Cours Génie Civil : Géométrie 3D. IUT G.C de Meaux. Denis Augier. Années

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1 Cours Génie Civil : Géométrie 3D IUT GC de Meaux Denis Augier Années Sommaire I Savoir-faire : 2 II Produit scalaire 2 A Définition et propriétés 2 1 Définition 2 2 Propriétés 2 3 Règles de calcul 3 4 Expression analytique 3 B Utilisation 4 1 Définition vectoriel d une figure de l espace 4 a) Plan 4 b) Droite 5 c) Sphère et cercle 7 2 Détermination d un projeté orthogonal 8 a) Sur une droite 8 b) Sur un plan 8 3 Distance 9 a) Distance d un point à un plan 9 b) Distance d un point à une droite 9 III Produit vectoriel 10 A Définition et propriétés 10 1 Définition 10 2 Propriétés et règles de calculs 10 3 Expression analytique 11 4 Interprétation géométrique 11 B Utilisation 11 1 Colinéarité de deux vecteurs 11 2 Détermination un plan passant par trois points 11 3 Position de trois plans Erreur! Signet non défini a) Calcul du déterminant Erreur! Signet non défini b) Position de trois plans Erreur! Signet non défini 4 Perpendiculaire commune et distance entre deux droites 12 5 Position de trois plans 14 a) Calcul du déterminant 14 b) Position de trois plans 14 c) Tableau récapitulatif 16 IV Exercices : 17 Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 1

2 Dans l ensemble de ce cours, on se placera dans l espace E, repérer par le repère orthonormé ( O; i, j, k ) I Savoir-faire : Calculer un produit scalaire ou un produit vectoriel Déterminer une équation cartésienne d un plan : o A partir d un point et d un vecteur normal, o A partir de trois points de ce plan Déterminer une représentation paramétrique d une droite : o A partir d un point et d un vecteur directeur, o A partir d une équation cartésienne (c est-à-dire vue intersection de deux plans) o A partir de deux points de cette droite Déterminer l équation d une sphère Déterminer la position (sécante ou parallèle) o De deux plans, o D un plan et d une droite, o De deux droites Déterminer le projeté orthogonal d un point : o Sur une droite, o Sur un plan Déterminer la distance : o De deux points, o D un point à un plan, o D un point à une droite, o De deux droites Déterminer une représentation paramétrique d une droite orthogonale à un plan passant par un point Déterminer une équation cartésienne d un plan orthogonal à une droite passant par un point Déterminer la nature de l intersection de trois plans Etc II Produit scalaire A Définition et propriétés Soit u, v et w trois vecteurs de l espace Soient A, B et C trois points de l espace tel que u = AB et v = AC Soit P le plan contenant les points A, B et C Soit k un réel 1 Définition Le produit scalaire de u et v de l espace est le produit scalaire des vecteur u et v, calculé dans P Soit α = ( u, v) = ( AB, AC) et H le projeté orthogonal de C sur (AB) u + v u v AB + AC BC Alors u v = u v cos α = AB AH = AB AH = = 2 2 u u = u 2 2 Propriétés u v = v u u v = 0 u et v sont orthogonaux Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 2

3 u v = v u 3 Règles de calcul ( ku) v = k ( u v) Egalité de la médiane : u v = ( u + v u v ) Si l espace et muni d une base orthonormé ( i, j, k ) 2 u v + w = u v + u w ( ) 4 Expression analytique tel que u (x,y,z) et v (x,y,z ) alors : u v = xx ' + yy ' + zz ' 1 Exercice IIA1 : Soient les vecteurs : u : 2 ; 1 Effectuez le produit scalaire des vecteurs suivants :u v Quelle remarque peut-on faire? 1 3 v : 0 ; w: 1 1 1, u w, v w Exercice IIA2 Soit un carré ABCD On construit un rectangle APQR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré AP = DR, u ( v + w) et u ( v 2w) Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires 1 Justifier que : CQ PR = CQ ( AR AP) 2 En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires Exercice IIA3 ABC est un triangle et I est le milieu de [BC] (Voir les données sous la figure) Calculer : 1 AB AC AB + AC AB AC 4 AB et AC Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 3

4 Exercice IIA4 : Démontrer que : u + v u v = 4u v et u + v + u v = 2( u + v ) Lien avec le losange, le parallélogramme? Démontrer que : u + v u v = u v ( ) ( ) 2 2 En déduire qu'un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux B Utilisation 1 Définition vectoriel d une figure de l espace Soient A, B et C trois points de l espace de coordonnées respectifs ( x, y, z ), ( x, y, z ) et ( x, y, z ) a) Plan Soit P le plan passant par A( x, y, z ) et de vecteur normal n( a, b, c) A A A A A A B B B Soit M ( x, y, z) un point de C C C l espace : M P AM et u orthogonaux AM u = 0 a( x xa) + b( y ya) + c( z za) = 0 ax + by + cz = axa + bya + cza = d L équation obtenue est une équation cartésienne du plan P De plus, l ensemble des points M(x,y,z) vérifiant ax + by + cz + d = 0, est un plan de vecteur normale n( a, b, c) Exemple : Soit P le plan de vecteur normal 1 u : 2 1 et passant par le point A( 2, 1,3) Pour déterminer l équation du plan P : x 2 1 M P AM et u orthogonaux AM u = 0 y = ( x 2) + 2( y + 1) + ( z 3) = 0 x + 2y + z 3 = 0 z 3 1 Une équation cartésienne du plan P est x + 2y + z 3 = 0 D autre part si P a pour équation cartésienne 3x 2y + z 2 = 0 Alors et B : ( 1,1,1 ) est un point de P 3 n : 2 1 est un vecteur normal de P Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 4

5 Exercice IIB1 : 1 Déterminer les équations cartésiennes des plans : 1 a De vecteur normal v : 0 et passant par le point C(3,-2,1) 1 B : 1,1,1 et C(3,-2,1) b Passant par les points ( 2, 1,3) A, ( ) 2 Déterminer un vecteur normal et un point du plan d équation cartésienne 3x 5y + 4z + 6 = 0 3 Déterminer si les plans suivants sont parallèles ou sécants et préciser la nature de leur intersection : 3x 5y + 4z + 6 = 0 a x y + z + 7 = 0 3x 6y + 9z + 6 = 0 b x 2y + 3z + 7 = 0 3x 6y + 9z + 6 = 0 c x 2y + 3z + 18 = 0 b) Droite Soit D la droite passant par A ( x y, z ) (1) Par la linéarité :, et de vecteur directeur u ( a, b, c) A A A l espace : x = xa + ta M D AM et u colinéaires t R / AM = t u t R y = ya + tb z = za + tc Le système est une représentation paramétrique de la droite D, de paramètre t Exemple : Soit M ( x, y, z) un point de Soit d la droite de vecteur directeur de la droite d : 1 u : 2 1 et passant par le point A( 2, 1,3) Pour déterminer l équation x 2 1 x = t + 2 M d AM et u colinéaires t R, AM = tu t R, y + 1 = t 2 t R, y = 2t 1 z 3 1 z = t + 3 Une représentation paramétrique de la droite d est : x = t + 2 y = 2t 1 z = t + 3 x = 4t + 4 D autre part si d a pour représentation paramétrique y = t 1 Alors z = 2t + 2 d et D : ( 4, 1,2 ) est un point de d 4 v : 1 2 est un vecteur directeur de Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 5

6 Exercice IIB2 : Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point A( 1, 2,3) et de vecteur directeur 3 u : 2 1 (2) Intersection de plan : équation cartésienne Une droite peut être définie comme intersection de deux plans séquents : Soient deux plans P et P d équation respectif : ax + by + cz + d = 0 et a ' x + b ' y + c ' z + d ' = 0 Si c est a a ' deux plans sont sécant (les vecteurs normaux u b et u ' b' sont donc non colinéaires : u u' 0 ) leur c c ' intersection est une droite Cette droite a pour équation cartésienne le système : ax + by + cz + d = 0 a ' x + b ' y + c ' z + d ' = 0 Remarque : il existe une infinité d équation cartésienne pour une même droite 3x 5y + 4z + 6 = 0 Exemple : Le système d équation, constitue l équation cartésienne de la droite x y + z + 7 = 0 intersection d des plans d équation : P : 3x 5y + 4z + 6 = 0 et P ' : x y + z + 7 = 0 En effet les vecteurs normaux de ces plan ne sont pas colinéaires donc l intersection est bien une droite Pour déterminer une équation paramétrique de cette droite, on choisit l une des coordonnés comme paramètre : x = z x = t L L 2 3x 5y + 4z + 6 = 0 2x + z + 29 = L2 L1 t R, y = z t R, y = t x y + z + 7 = 0 2y z + 15 = z = 2t z = 2t On obtient alors la représentation paramétrique de d : 29 x = t 2 15 M ( x, y, z) d t R, y = t 2 z = 2t Le vecteur u 1 est un vecteur directeur de d, de plus A ; ;0 d xoy d équation z=0 l intersection de d avec le plan de base ( ) (remarque ce point est Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 6

7 Exercice IIB3 : Déterminer une représentation paramétrique des droites d équation cartésienne : x y + 3z + 6 = 0 (ici vous déterminerez l intersection de cette droite avec les plans de base) x y + z + 7 = 0 2x y + 6 = 0 x y + 7 = 0 y + 3z + 6 = 0 x 4y + z 2 = 0 x = 4 (ici vous déterminerez l intersection de cette droite avec les plans de base) x + z = 7 Exercice IIB4 : On considère la droite (AB) avec A( 3, 2,7) et ( 2,3, 1) 3 On pose n : 5 un vecteur normal de P 4 1 Déduire de AB n, la nature de l intersection de (AB) et P 2 Déterminez les coordonnées du point I l intersection de (AB) et P c) Sphère et cercle Les points M vérifiant AM BM = 0 Si on arrive à transformer une équation algébrique en sphère dans l espace de centre A et de rayon r B et le plan P d équation P : 3x 5y + 4z + 6 = 0 est une sphère dans l espace de diamètre [ AB ] Par exemple dans l espace : ( ) ( ) ( ) Exemple : 2 2 AM = r alors l ensemble des points M est une A A A AM = r x x + y y + z z = r La sphère S de centre A( 3, 2,7) et de rayon 3 a pour équation : ( ) ( ) ( ) M S AM x y z x x y y z z = = = 0 D autre part si l on nous donne l équation : x x y y z z = 0 Alors on effectue la transformation : ( ) ( ) ( ) x x y y z z x y z = = 0 ( x ) ( y ) ( z ) On reconnait alors l équation de la sphère de centre C ( 2; 5;4) et de rayon 7 Exercice IIB5 : 1 Ecrire l équation de la sphère S de centre B( 2,3, 1) de rayon 3 2 Déterminer le centre D et le rayon de la sphère S d équation : = 49 = x x y y z z = 0 3 Déterminer le centre et le rayon du cercle ( ) C intersection de S et S ainsi qu une équation du plan qui le contient et proposé un système d équation cartésienne de C Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 7

8 2 Détermination d un projeté orthogonal a) Sur une droite Pour déterminer le projeté orthogonal d un point A sur une droite d Une fois déterminer une représentation paramétrique de la droite d, on détermine la valeur du paramètre t pour que le vecteur AM t (où M t est un point quelconque de d) soit orthogonal à un vecteur directeur de d Exemple : Soit d une droite de représentation paramétrique : Soit A( 2,0,5) x = t + 2 d : y = 2t + 1, t R z = t 3 1 Le vecteur u : 2 est un vecteur directeur de d Le point Mt : ( t + 2; 2t + 1; t 3) est un point 1 quelconque de d AM t et u sont orthogonaux si et seulement si t + 2 ( 2) 1 t AM t u = 2t = 2t = t t 2 + t + 8 = 6t + 10 = 0 t = 3 t t Donc le projeté orthogonal de A sur d est le point M 5 : 2; 2 1; 3 ; ; = Exercice IIB6 : Soit d la droite de vecteur directeur 1 u : 0 2 orthogonal du point B( 1,3, 1) sur la droite d et passant par le point A( 2, 1,3) Déterminer le projeté b) Sur un plan Pour déterminer le projeté orthogonal d un point A sur un plan P On détermine une représentation paramétrique de la droite normal à P passant par A et ensuite on détermine l intersection de P avec cette droite Exercice IIB7 : Déterminer le projeté orthogonal du point A( 2, 1,3) sur le plan P dont une équation cartésienne est P : 3x 5y + 4z + 6 = 0 Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 8

9 3 Distance a) Distance d un point à un plan Soit P un plan et A un point quelconque de l espace On appelle distance du Point A au plan P la distance AH, H étant le projeté orthogonal de A sur P ou ce qui est équivalent le point de P le plus proche de A On note cette distance d(a,p) a Si dans un repère orthonormal P a pour équation ax + by + cz + d = 0 alors n : b est normal à P c n AH axa + bya + cza + d On a d( A, P) = AH = = a + b + c a + b + c Exemple : On considère le point ( 3, 2,7) A et le plan P d équation P : 3x 5y + 4z + 6 = 0 Alors : ( 2) d( A, P) = = = ( ) 2 Exercice IIB8 : Déterminer la distance de ( 2,3, 1) b) Distance d un point à une droite Pour déterminer la distance d un point A à une droite D : B au plan d équation P : x y + z + 7 = 0 1 ière étape : On détermine l équation du plan P perpendiculaire à D passant par A 2 ième étape : On détermine le projeté orthogonal H de A sur D comme intersection de D et H (pour cela on privilégiera l utilisation d une représentation paramétrique de D que l on «intégrera» dans l équation cartésienne de P) 3 ième étape : On détermine la distance AH Exemple : Pour déterminer la distance du point C ( 1;2;3 ) à la droite ( AB ) avec A( 3, 2,7) et ( 2,3, 1) 1 ière étape : On détermine l équation du plan P perpendiculaire à ( AB ) passant par C B : 1 AB : 5 8 est un vecteur normal de P Donc l équation de P est la forme : x 5y + 8z + d = 0 Or C P donc d = 0 d = 15 L équation de P est donc : x 5y + 8z 15 = 0 2 ième étape : On détermine le projeté orthogonal H de A sur D comme intersection de D et H (pour cela on privilégiera l utilisation d une représentation paramétrique de D que l on «intégrera» dans l équation cartésienne de P) Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 9

10 On détermine une représentation paramétrique de ( AB ) : x = t + 3 y = 5t 2 ; t R z = 8t + 7 Donc les coordonnées ( x, y, z ) de H vérifie les équation de P et de ( AB ) donc : 54 3 t t t = 0 90t = 54 t = = 90 5 ( ) ( ) ( ) Donc H a pour coordonnées H : + 3; 5 2;8 + 7 = ;1; ième étape : On détermine la distance AH AH = 3 + ( 1+ 2) + 7 = = Exercice IIB9 : Déterminer la distance du point A( 1, 3,1) à la droite 1 passant par B( 0,5, 1) et de vecteur directeur 2 d équation cartésienne : 2x y + 3z + 6 = 0 x y + z + 7 = 0 1 u : 2 3 III Produit vectoriel A Définition et propriétés 1 Définition Le produit vectoriel de u et v de l espace est le vecteur u v, vérifiant : Si u et v colinéaires u v = 0 Sinon : o u v est orthogonal à u et v o ( u, v, u v) est une base directes (règle des trois doigts de la main droite : indexe pour u, le majeur pour v et le pouce pour u v u v = u v sin u, v o ( ) 2 Propriétés et règles de calculs i j = k, j k = i et k i = j u v = v u u ( v + w) = u v + u w et ( v + w) u = v u + w u u u = 0 Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 10

11 3 Expression analytique Si l espace et muni d une base orthonormé ( i, j, k ) Exercice IIIA1 : x x' tel que u : y et v : y ' z z ' y y ' z z ' x x' yz ' zy ' x x' u v : y y ' = = zx' xz' z z ' z z ' xz ' zx ' x x' z z ' alors : Soient les vecteurs : u : 2 ; v : 0 ; w: Effectuez les produits vectoriels suivants :u v, u w u v w u w u et u ( v 2w) 2 Déterminer les valeurs suivants : ( ), ( ) 3 Quelles remarques peut-on faire? 4 Interprétation géométrique Soit A, B et C trois points de l espace et D tel que ABCD soit un parallélogramme Soit S la surface de ABCD S = AB AC = AB AC sin AB, AC = 2 Air de ABC Alors : ( ) Exercice IIIA2 : On considère les points A( 3, 2,7), B( 2,3, 1) et ( 1;2;3 ) triangle ABC B Utilisation On peut ainsi déterminer : 1 Colinéarité de deux vecteurs Si u et v colinéaires u v = 0 C de l espace E Déterminer la surface du Si trois points sont alignés Si deux droites sont parallèles (en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs) Si deux plans sont parallèles ou sécants (en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs normaux) Exemple : 2 Détermination un plan passant par trois points On considère les points A( 3, 2,7), B( 2,3, 1) et ( 1;2;3 ) plan ( ABC ) C de l espace E Déterminons une équation du Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 11

12 1 ière étape : Détermination d un vecteur normal n au plan ( ABC ) : n = AB AC : 5 4 = ième étape : Détermination d une équation cartésienne du plan ( ABC ) Une équation est de la forme 2x 2 y z + d = 0 (puisque 1 2 n : d 0 d 3 est aussi un vecteur normal du plan ( ABC ) On utilise que A est un point du plan ( ABC ) Donc ( ) + = = Donc une équation du plan ( ) 2x 2y z 3 = 0 Exercice IIIB1 : On considère les points A( 4,1, 3), B( 4,6, 1) et ( 5; 1;3 ) cartésienne du plan ( ABC ) ABC est C de l espace E Déterminer une équation 3 Perpendiculaire commune et distance entre deux droites Exemple : On considère deux droites : d passant par A( 2,1, 3) et de vecteur directeur et d passant par B ( 1,2,0 ) et de vecteur directeur 1 u : 2, 1 1 v : 0 1 Pour déterminer une perpendiculaire commune et les points H et H respectivement intersection de d et, d et : 1 ière étape : On détermine un vecteur directeur w de : u v : 2 0 = Donc on peut choisir : 1 w: ième étape : On détermine une équation cartésienne du plan P contenant d et (Ce plan contenant sera sécant à d en H ) Pour se faire : on sait que P contient A et que u et w sont deux vecteurs directeurs de P Donc on obtient un vecteur normal n à P en faisant : n = u w: 2 1 = Une équation de P est de la forme : x 2y + 3z + d = 0 ( ) A P d = 0 d = 13 Une équation de P est x 2y + 3z + 13 = 0 Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 12

13 3 ième étape : on détermine les coordonnées de H Pour ce faire on commence par déterminer une équation 1 x = t + 1 paramétrique de d passant par B ( 1,2,0 ) et de vecteur directeur v : 0 Donc : y = 2, t R est une 1 z = t équation paramétrique de d Comme H appartient à d et P ses coordonnées vérifient les deux équations on t t + 13 = 0 4t = 8 t = 4 obtient : ( ) Donc H a pour coordonnées en remplaçant dans l équation de d : H ': ( 3;2; 2) 4 ième étape : On détermine l équation de On en possède un point ':( 3;2; 2) H et un vecteur directeur ( w) : x = t + 3 d ': y = t + 2, t R z = t 2 5 ième étape : On détermine les coordonnées de H intersection de d et qui passe par Comme d passe par A( 2,1, 3) et est de vecteur directeur 1 u : 2 1 : x = t + 2 d : y = 2t + 1, t R z = t 3 Les coordonnées de H vérifient les deux équations puisqu il est intersection de d et x = t + 3 t + 3 = t ' + 2 t ' 0 y t 2 = t 2 2 t ' 1 = + + = + 3 t ' + 1 = 1 ( L1 L3) t = 1 z = t 2 t 2 = t ' 3 t = 2 t ' 1 x = 2 x = t ' + 2 x = t ' + 2 x = t ' + 2 y = 1 y = 2 t ' + 1 y = 2 t ' + 1 y = 2 t ' + 1 z 3 z t ' 3 z t ' 3 = = = z = t ' 3 Donc H a pour coordonnées ( 2,1, 3) (ici c est une coïncidence A=H) 6 ième étape : Distance de d à d La distance de d à d est la longueur ( ) ( ) ( ) HH ' = ( 3) = 3 Exercice IIIB2 : Soit d une droite passant par le point A( 3, 4,1) et de vecteur directeur dont une représentation paramétrique est : x = 1 t d ': y = 2 + t, t R z = 1 t 1 u : 3 1 On considère la droite d 1 Déterminer une représentation paramétrique de la perpendiculaire commune à d et d (si elle existe) 2 En déduire la distance de d à d Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 13

14 4 Position de trois plans Soit trois vecteurs a) Calcul du déterminant x u y, z x ' v y ' et z ' x" w y" z" Le déterminant de ( u, v, w ) est définie par det (,, ) ( ) u v w = u v w = u v w = w u v Remarque : det (,, ) ( ) ( ) ( ) y ' y '' x ' x '' x ' x" u v w = u v w = x y + z z ' z '' z ' z" y ' z" b) Position de trois plans x On considère trois plan P, Q et R, de vecteur normal respectivement u y, z Si ( u v w ) x ' v y ' z ' det,, 0 alors l intersection de ces trois plans est un point unique et x" w y" z" det u, v, w = 0 Si ( ) alors l intersection de ces trois plans est : o Vide : Si les trois vecteurs sont colinéaires : Si deux des trois vecteurs normaux sont colinéaires Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 14

15 Si trois vecteurs sont coplanaires mais définissent un plan vectoriel o Infini : Si les trois vecteurs sont colinéaires mais les plans identiques Si trois vecteurs sont coplanaires mais définissent un plan vectoriel Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 15

16 c) Tableau récapitulatif On considère trois plan P, Q et R, de vecteur normal respectivement x u y z, x ' v y ' z ' et x" w y" z" Déterminant det u, v, w 0 ( ) det u, v, w = 0 ( ) Exercice IIIB3 : Considération sur les trois vecteurs normaux Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires Si les trois vecteurs sont colinéaires Si deux des trois vecteurs sont colinéaires Si les trois vecteurs sont coplanaires mais qu ils sont deux à deux non colinéaires Nature de l intersection Un unique point S il n existe pas de point commun l intersection est vide S il existe un point commun, les trois plans sont confondus S il n existe pas de point commun alors deux des trois plans sont parallèles et disjoints L intersection est vide S il existe un point commun alors deux des trois plans sont confondu et l intersection est une droite S il n existe pas de points communs l intersection est vide et les intersections deux à deux sont trois droites parallèles S il existe un point commun alors l intersection est une droite Déterminer la nature des intersections des plans P, Q et R dans les cas suivants : a) b) c) d) e) P : 2x y + z + 3 = 0 Q : 3x + 2z 5 = 0 * R : y 3z + 1 = 0 P : 2x y + z + 3 = 0 Q : 3x + 2z 5 = 0 R : 5x y + 3z + 1 = 0 P : 2x y + z 2 = 0 Q : 3x + 2z 5 = 0 R : 5x y + 3z 7 = 0 P : x y + z + 3 = 0 Q : 3x + 2z 5 = 0 R : y + 3z + 1 = 0 P : 2x y + z + 3 = 0 Q : 4x 2y + 2z + 6 = 0 R : y 3z + 1 = 0 Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 16

17 IV Exercices : Exercice IV1 : Effectuer les produits vectoriels suivants : 1 1 a = ; 1 1 b = ; 1 1 C = ; 5 1 d = ; 1 2 e = Exercice IV2 : On considère les trois points A( 1, 2,7) B ( 2,2,1) et ( 1,1,5 ) C 1 Déterminer la surface du triangle ABC 2 Déterminer l équation du plan (ABC) 3 Déterminer une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire à (ABC) passant par A 4 Déterminer la distance de B à la droite (on pourra commencer par remarquer que l on connait le projeté orthogonal de B sur ) Exercice IV3 : On considère les trois points A( 2,0,5) et le vecteur par A et de vecteur normal n 2 n : 6 4 Déterminer une équation du plan P passant Exercice IV4 : On considère les plans : P : x 3y + 2z = 5 1 P : 2x + y + 7z = Montrer que ces deux plans sont sécants 2 Déterminer une représentation paramétrique de leur intersection d 3 Déterminer les coordonnées d un point A de d ainsi que d un vecteur directeur u de d Exercice IV5 : On considère les points A( 1;2; 1) et ( 0;1;3 ) B ainsi que le plan P d équation : P : x + y + z 1= 0 1 Montrer que la droite ( AB ) et le plan P sont sécants 2 Déterminer les coordonnées de leur point d intersection 3 Déterminer une équation du plan P orthogonal à P et contenant la droite (AB) Exercice IV6 : On considère : Le plan P d équation : P :3x + y z 1= 0 La droite d dont une représentation paramétrique est : 1 Déterminer si le point ( ) 1;3;2 C appartient au plan P 2 Démontrer que d est incluse dans P 3 Soit Q le plan passant par C est orthogonal à la droite d x = 1 t d : y = 2 t, t R z = 2 t Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 17

18 a Déterminer une équation cartésienne du plan P b Déterminer les coordonnées du point I, intersection du plan Q et de la droite d c Montrer que CI = 3 4 Soit t un réel et M t le point de la droite D de coordonnées Mt ( 1 t,2 t,2 t) Exercice IV7 : 2 2 a Vérifier que pour tout nombre réel t, CM = 6t 12t + 9 b Montrer que CI est la valeur minimale de CM t lorsque t décrit l ensemble R On considère les plans : P : x + y + z = 0, Et Q : 2x + 3y + z 4 = 0 1 Montrer que l intersection des plans P et Q est la droite d dont une représentation paramétrique est : x = 4 2t d : y = 4 + t, t R z = t 1 λ x + y + z + λ 2x + 3y + z 4 = 0 2 Soit λ R On considère le plan P λ d équation : ( )( ) ( ) 1+ λ a Vérifier que le vecteur n : 1+ 2λ est un vecteur normal du plan P λ 1 b Donner une valeur de λ pour laquelle P = P λ c Existe-t-il λ pour lequel P et P λ soit perpendiculaires 3 Déterminer une représentation paramétrique de la droite d, intersection de P et P 1 Montrer que les droites d et d sont confondues A 1;1;1 Déterminer la distance du point A à la droite d, c est-à-dire la 4 On considère le point ( ) distance du point A à son projeté orthogonal sur la droite d t Denis Augier IUT GC-Mathématiques Meaux Page 18