1 Orientation de l espace

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1 J.M -PRDUIT VECTRIEL- 1bac SMI 1 rientation de l espace 1.1 Repère orienté dans l espace Soit (,,, ) un repère de l espace (ξ), et soient I, J, et K trois points de l espace (ξ) tels que = I, = J, et = K. Le bon homme d ampère est un homme imaginaire ses pieds sont sur le point et sa tête vers le point K, et son regard dans la direction de (I), alors on a deux situations pour le point J. Situation 1 : Le point J se trouve à gauche de notre bon homme d ampère. Situation 2 : Le point J se trouve à droite de notre bon homme d ampère. Par convention : dans la première situation le repère (,,, ) est dit directe ou positif, par contre la deuxième situation le repère (,,, ) est dit indirecte ou négatif. K K J J I I Situation 2 ; Situation 1 Exemple n suppose que le repère (,,, ) est directe, alors : - Le repère (,,, ) est directe. - le repère (,,, ) est directe. - Le repère (,,, ) est indirecte. Remarque Si le repère (,,, ) est directe alors la base (,, ) est aussi directe et vis versa. 1.2 rientation d un plan dans l espace Soit un plan dans l espace (ξ), et soit un vecteur unitaire et normal au plan, et soit un point de.

2 Remarque L orientation d un plan dans l espace ça se fait à partir de l orientation d un vecteur normal sur lui. 2 Le produit vectoriel Définition Soient u, et v deux vecteurs de l espace (V 3 ), et soient A, et B deux points de l espace (ξ) tels que : u = A, et v = B. Le produit vectoriel des deux vecteurs dans cet ordre est un vecteur noté par : u v, et qui est défini par : 1)- Si u et v sont colinéaires, alors : u v =. 2)- Si u et v sont non colinéaires, alors : a)- Le vecteur w = u v vérifi : w u et w v. b)- La base ( u, v, w ) est directe. c)- u v = v cos(θ) oǔ θ est une mesure de l angle [ÂB]. Exemple n suppose que le repère (,,, ) est un repère orthonormé directe. a) = k j i = k. b) = i k j = i. c) = j i k = j Applications : - Montrer que : u v 2 +( u v ) 2 = 2 v 2. Propriétées 1)- Si les points A, B et C ne sont pas alignés, alors le vecteur AB AC est un vecteur normal au plan (ABC). 2)- Soit θ une mesure de l angle [ BAC]. - n a sin(θ) = CH AC, donc CH = AC sin(θ), d oǔ AB AC = AB CH. Conséquences 1.. Le nombre AB AC est égale à la surface du parallélogramme issue des segments [AB], [AC]. Proposition La surface du triangle ABC est 1 2 AB AC. 3)- Les deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : u v =. 4)-pérations sur le produit vectoriel. Soient u, v,et w trois vecteurs de l espace (V 3 ), et α un nombre réel. - u v = v u. - (α u ) v = u (α v ) = α( u v ). - u ( v + w ) = u v + u w.

3 3 L expression Analytique du produit vectoriel dans un repère orthonormé directe Soient les vecteurs u (x, y, z) et v (x, y, z ) de l espace (V 3 ), donc on a : u v = (x + y + z ) (x + y + z ) = xy xz yx yz + zx zy = (yz zy ) (xz x z) + (xy x y). = y y x x i x x j + y y k. Conséquences 2.. u x y z v x y z = u v y y z z x x x x y y. Exemple )-Soient u (1, 2, 1), et v ( 1, 0, 1) deux vecteurs de l espace (V 3 ). u 2 0 v = i j = k. 2)- Soient A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), et C(1, 1, 0) des points de l espace (ξ). n a : AB( 1, 1, 0) et AC(0, 1, 1). Donc : 1 0 AB AC = i j k. =. D oǔ AB AC = 3 3, par suite u(u=unité de mesure)est la surface du triangle ABC. 2 4 Applications du produit vectoriel - Calcul des surfaces des triangles. - Determination d une équation d un plan défini par trois points A, B et C. Le vecteur AB AC est un vecteur normal au plan (ABC). - Intersection de deux plan. Soient et (Q) deux plans sécants dans l espace (ξ), et soient n, et n leurs vecteurs normaux respectivement, et soit la droite (D) leur intersection. Le vecteur u = n n est un vecteur directeur de la droite (D).

4 n (D) (Q) u n - Distance d un point à une droite. Soit D(A, u ) une droite dans l espace (ξ) qui est associé à un repère orthonormé (,,, ). Et soit B un point de l espace (ξ) et H son projeté sur la droite D(A, u ), on a : AB u = ( AH + HB) u = HB u. Donc : AB = HB = HB. Donc : HB = AB D oǔ ( ) d B, (D) = AB Proposition L espace (ξ) est associé à un repère orthonormé (,,, ). Distance d un point B à une droite D(A, ( ) u ) est : d B, (D) = AB Exemple Soit (D) une droite représentée paramétriquement par : point de l espace ( (ξ). ) - Calculons d A, (D). x = t y = 1 + t (t R) z = t et soit A(2, 1, 0) un n a : le point C(0, 1, 0) (D) et le vecteur u (1, 1, 1) est un vecteur directeur de la droite (D). ( ) Donc d A, (D) = CA n a : u (1, 1, 1) et CA(2, 0, 0) donc : CA = i j k D oǔ CA = 8 et = 3 8 Donc d(a, (D)) = 3. = Exercice 1.. Soient A(1, 0, 0), B(0, 2, 1), et C(1, 2, 1) des points de l espace affine (ξ) qui est associé à un repère orthonormé (,,, ). 1)- Calculer le produit vectoriel AB AC et en déduire une équation cartésiènne du plan (ABC).

5 2)- Soit S une sphère de l espace telle que l intersection du plan (ABC) avec la sphère S est le cercle ciconscrit au triangle ABC. a)- Montrer que le point S. b)- Determiner une équation cartésiènne de la sphère S sachant que le point H(0, 0, 3) S. 3)- Soit le plan tangent à la sphère S en H. - Determiner une ( équation ) cartésiènne du plan. 4)- Calculer d H, (AB)