Chapitre III : Continuité et dérivation

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1 Terminale S Chapitre III : Continuité et dérivation 2018/2019 I) Rappels de Première S sur la dérivation : (Revoir le cours) 1) Définition de fonction dérivable en un point 2) Equation réduite de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a 3) Dérivabilité sur un intervalle + revoir les différentes formules vues en Première 4) Lien dérivation/variations 5) Extremum local II) Compléments à la dérivation : 1) Dérivée de u : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I D u telle que u(x) > 0, pour tout x I Alors, u est dérivable sur I et ( u) = u 2 u Exemple : Soit f(x) = 5x + 3 f est définie 5x x D où : D f = [ ; + [ Si on pose u(x) = 5x + 3, alors u(x) > 0 pour tout x ] ; + [ On a u (x) = 5 Comme ( u) = u 2 u, alors : f est alors dérivable sur ] ; + [ 5 f (x) = 2 5x+3 2) Dérivée de u n, avec n Z* a) Cas où n N* : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I D u et n, un entier naturel non-nul. Alors u n est dérivable sur I et (u n ) = n u u n-1 b) Cas où n Z* : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I D u et n, un entier relatif non-nul avec u(x) 0, pour tout x I Alors u n est dérivable sur I et (u n ) = n u u n-1

2 Rappel : Si x 0, n N, alors : 1 x n = x n Exemple : 1 Soit g(x) = (3x + 2) 4 D g = R\{- 2 3 } On peut se placer sur ]- 2 3 ; + [ : En effet, sur cet intervalle 3x g(x) = = (3x + 2)- (3x + 2) 4 On pose u(x) = 3x + 2 et n = - 4 Z* u (x) = 3 g est donc dérivable sur ]- 2 3 ; + [ : et (u n ) = n u u n-1 d où g (x) = (3x + 2) -5 = -12(3x + 2) -5 = 12 (3x+2) 5 3) Dérivée de la composée de deux fonctions : Soient u,une fonction dérivable sur un intervalle I D u et v, une fonction dérivable pour tout u(x) avec x I, Alors vou est dérivable sur I et : x I, (vou) (x) = v [u(x)] u (x) Cas particulier à connaître : Si u(x) = ax + b, avec a et b, deux réels (vou)(x) = v(u(x)) = v(ax + b) (avec ax + b D v) Alors, vou est dérivable sur D v et (v(ax + b)) = a v (ax + b) Exemple : f(x) = (2x + 5) 3 On peut poser u(x) = 2x + 5 et v(x) = x 3 u (x) = 2 et v (x) = 3x 2 Alors f = vou En effet, f(x) = v(u(x)) = v(2x + 5) = (2x + 5) 3 f est dérivable sur R et f (x) = a v (ax + b) = 2 3(2x + 5) 2 = 6(2x + 5) 2 Remarque : On aurait pu utiliser la formule vue en 2) avec n N* Démonstration :

3 III) Continuité : 1) Idée de continuité : Pour tracer la courbe de f sur [1 ;6], on ne «lève pas le stylo» Pour tracer la courbe de la fonction inverse sur [-3 ;3]\{0}, on doit «lever le crayon» Dans une première approche, on dira que f est une fonction continue sur [1 ;6] et que la fonction inverse n est pas continue sur [-3 ;3] Par contre, on pourra dire que la fonction inverse est continue sur [-3 ;0[ et elle l est également sur ]0 ;3] 2) Définition de la continuité d une fonction en un point : Soit f une fonction et a D f. Si lim x a f(x) = f(a), alors on dit que f est une fonction continue en a Remarque : Définie ainsi la continuité est une notion locale 3) Continuité sur un intervalle : Si f est une fonction continue pour tout a I, on dira alors que f est continue sur I Exemples : - Les fonctions polynômes sont continues sur R - La fonction racine carrée est continue sur [0 ;+ [ - La fonction inverse est continue sur ]- ;0[ et sur ]0 ;+ [ - Les fonctions rationnelles sont continues partout où elles sont définies Cas particulier des fonctions affines par morceaux : Application : Etudier la continuité de la fonction f définie par : 3x + 1, pour x 2 f(x) = { 2x 1, pour x ] 2 ; 2] x + 4, pour x > 2

4 Sur chaque intervalle sur lequel f est définie, elle est continue puisque c est une fonction affine. Deux cas vont être à étudier à part : au voisinage de -2 et de 2 (c est en effet en ces valeurs de x que f change d expression) - En -2 : Pour x = -2, f(x) = f(-2) = 3 (-2) + 1 = -5 D autre part, lim x 2 x> 2 f(x) = lim (2x 1) = -4-1 = -5 x 2 x> 2 La limite à droite de -2 est égale à la limite à gauche en -2, d où lim f(x) = f(-2) x 2 Par conséquent, f est continue en -2 - En 2 : f(2) = = 3 D autre part, lim f(x) = lim(x + 4) = 6 f(2) x 2 x>2 x 2 x>2 Donc f n est pas continue en 2 4) Lien dérivabilité/continuité : Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I D f, alors f est continue sur I Remarque :ATTENTION La réciproque est fausse!! Contre-exemple : La fonction valeur absolue est continue en 0, mais elle n est pas dérivable en 0 : Démonstration :

5 IV) Théorème des valeurs intermédiaires et application : 1) Théorème : Soient a et b, deux nombres réels tels que a < b Soit f, une fonction définie et continue sur [a ;b] Pour tout réel k entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k Autrement dit : L équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a ;b] 2) Corollaire : Soient a et b, deux nombres réels tels que a < b Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur [a ;b]. Pour tout k entre f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet une unique solution dans l intervalle [a ;b] Remarques : - ATTENTION : dans le cas où f est décroissante, k [f(b) ;f(a)] (= il faut penser à l ordre des bornes) - Ce corollaire s applique aussi aux intervalles du type [a ;b[, ]a ;b], ]a ;b[ avec a pouvant être - ou b + 3) Application à la résolution approchée d équation : Méthode : - On utilise le corollaire pour démontrer qu une équation admet une unique solution sur un intervalle donné - Ensuite, on donne une valeur approchée ou un encadrement de cette solution à une précision donnée soit par une méthode algorithmique, soit en utilisant un tableau de valeurs de la calculatrice. Exemple d application : Montrer que l équation x 3 4x + 1 = 0 admet une unique solution dans l intervalle [1,5 ;2]. Donner ensuite un encadrement de cette solution à 10-2 près

6 On pose f(x) = x 3 4x + 1 Comme f est une fonction polynôme, elle est définie, continue et dérivable sur R, d où en particulier sur [1,5 ;2] f (x) = 3x 2 4 f (x) 0 3x x x 2 3 ou x Or, x [1,5 ;2] et 2 3 1,15 D où f strictement positive sur [1,5 ;2] c est-à-dire f strictement croissante sur cet intervalle. f est donc continue et strictement croissante sur [1,5 ;2] Or, 0 [f(1,5) ;f(2)] (= [-1,625 ;1]) D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [1,5 ;2] A l aide de la calculatrice *, on trouve : 1,86 < α < 1,87 *Manipulation de la calculatrice (CASIO GRAPH35+E) : - Dans le menu TABLE, on entre l expression de la fonction : - Ensuite, F5 (SET) pour régler les valeurs de x et le pas. Comme on veut une précision de 10-2, on prendra un pas de Puis EXE et on fait défiler jusqu à voir le changement de signes dans les images : On a f(1,86) < 0 et f(1,87) 0,0592 > 0 D où la conclusion sur l encadrement de α