Correction des exercices de mathématiques pour les élèves entrant en seconde. e) = = 4 j) = 1

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1 Correction des exercices de mathématiques pour les élèves entrant en seconde Exercice 1 : Calculer les expressions suivantes : a) = 2 e) = i) = b) ( ) = 16 c) 9 5 = 6 d) ( 5) 2 = 1 f) = j) = 1 g) 1 11 = 9 k) h) = 0 l) m) ( 2) 2 = 6 n) 2 2 = 2 p) = 100 = = Exercice 2 : Résoudre les équations et inéquations suivantes : a) x = 0 La solution de l équation est. b) 7 x = 0 La solution de l équation est 7. c) t = 2 La solution de l équation est 0,5. d) y = La solution de l équation est e)2y + = 1 La solution de l équation est 1. f) x 5 = 7 2x La solution de l équation est 1 g) (2x + 1)(x ) = 0 Soit 2x + 1 = 0; soit x = 0 Les solutions de l équation sont : 1 2 et h) t 2 16 = 0 Il faut résoudre (t )(t + ) = 0 Les solutions de l équation sont et. i) x + 0 Revient à résoudre x nombres supérieurs ou égaux à j) 7t > Revient à résoudre t > 7 nombres supérieurs strictement à 7 k) 5t 2 Revient à résoudre t 2 5 nombres inférieurs ou égaux à 2 5 l) x 5 > 7 2x Revient à résoudre x > 1 nombres supérieurs strictement à 1 1

2 Exercice : Développer et réduire les expressions suivantes : a)2x(x + 5) = 8x x d) (x 5) 2 = x 2 10x + 25 b) (x + 2)² = 9x x + e) (u + 2v)(5v u) = 12u v 2 + 7uv c)(2t )(2t + ) = t 2 9 f) (x + 2) 2 (2x + ) 2 = 9x x + (x x + 9) = 5x 2 5 Exercice : Factoriser les expressions suivantes : a) 12 6x = 6(2 x) c) x 2 2x + 1 e) z + 9z 2 b) 5a 2 a = (5a )a d) 9 y 2 g) (x + 2) 2 + (x 1)(x + 2) = (x + 2)(x x 1) = (x + 2)(5x + 1) = 2 (2y) 2 = ( 2y)( + 2y) f) (x 2) 5x(x 2) = ( 5x)(x 2) Exercice 5 : On considère la fonction f définie par f(x) = 2x. a) Déterminer l image de 5 par f. f( 5) = 2 ( 5) = 1 b) Déterminer l antécédent de 7 par f. Il faut résoudre l équation f(x) = 7. f(x) = 7 revient à résoudre 2x = 7 revient à résoudre x = est l antécédent de 7 par f. = 2 c) Quelle est la nature de la fonction f? Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère. f est une fonction affine car s écrit sous la forme f(x) = ax + b. 2

3 Représentation graphique : Exercice 6 : Soit le tableau de valeurs d une fonction g : x k(x) ) Déterminer l image de 1 : g(1) = 2 2) Déterminer le ou les antécédents de 2. Les antécédents de 2 sont 1 et 1. ) Déterminer l image de 0 : g(0) = 1 Exercice 7 : On considère la courbe représentative de la fonction f pour x compris entre et 9.

4 a) Déterminer l image de 1 par f : f(1) = b) Déterminer le ou les antécédent(s) de 2 par f. Les antécédents de 2 sont 2; 0; 2 et 8. c) Déterminer l image de 5 par f : f(5) = d) Déterminer le ou les antécédent(s) de 2 par f. Les antécédents de 2 sont et 6. Exercice 8 : Compléter les phrases ci-dessous pour qu elles soient vraies 1) Un losange qui a ses diagonales de même longueur..est un carré. 2) Un losange qui a ses côtés perpendiculaires est un carré. ) Un rectangle qui a ses diagonales perpendiculaires est un carré. ) Un rectangle qui a ses côtés de même mesure.est un carré. 5) Un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur..est un rectangle. 6) Un parallélogramme qui a ses côtés consécutifs de même longueur. est un losange. 7) Un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur est un carré. Exercice 7 : a) BAC est un triangle rectangle en A avec AB = et AC = 7. Déterminer la longueur BC et un arrondi au degré près de la mesure de l angle ABC. Le triangle BAC est rectangle en A donc d après le théorème de Pythagore : AB 2 + AC 2 = BC 2 soit = 65 donc BC 2 = 65 donc BC = 65. Le triangle BAC est rectangle en A donc cos(abc) = AB BC = 65 Donc ABC 60,25 b) PQRest un triangle rectangle en R avec PQ = et PR = 2. Déterminer la longueur QR. PQRest un triangle rectangle en R donc d après le théorème de Pythagore : RP 2 + RQ 2 = QP 2 soit RQ 2 = 2 donc RQ 2 = 9 = 5

5 Donc RQ = 5 car RQ est une longueur. c) Le triangle JUL est tel que JU =, UL = 5 et JL =. Préciser la nature du triangle JUL. UJ 2 + JL 2 = = 25 et UL 2 = 5 2 = 25 donc UJ 2 + JL 2 = UL 2 Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JUL est rectangle en J. d) Le quadrilatère non croisé ABCD est tel que (AB) (CD) et AB = CD. Préciser la nature exacte du quadrilatère ABCD. Comme ABCD est un quadrilatère non croisé ABCD est tel que (AB) (CD) et AB = CD, on en déduit que ABCDest un parallélogramme. Exercice 8 : Répondre par vrai ou faux en justifiant vos réponses : 1) Si AI = BI alors I est le milieu du segment [AB]. Faux : les points A, I, B ne sont pas obligatoirement alignés. 2) Si T appartient à la médiatrice du segment [RS] alors TR = TS. Vrai par définition de la médiatrice du segment [RS]. ) Si AM AB = AN AC alors (MN) (BC). Faux : il faut que les points A, M, N et A, B, C soient alignés dans le même ordre. Exercice 9 : 1) Construire un triangle OBC tel que OB=2,5 ; OC=6 et BC=6,5. 2) Montrer que le triangle OBC est rectangle. OC 2 + OB 2 = 2, = 2,25 et BC 2 = 6,5 2 = 2,25 Donc OC 2 + OB 2 = BC 2 Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OBC est rectangle en O. ) a) Construire le point D symétrique de B par rapport à O. b) Construire le point A tel que ABCD soit un parallélogramme. ) Démontrer que O est le milieu de [AC]. ABCD est un parallélogramme donc les diagonales [BD] et [AC]se coupent en leur milieu Or le point D est le symétrique de B par rapport à O donc O est le milieu du segment [BD] Donc O est le milieu de [AC]. 5) Démontrer que ABCD est un losange. ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires car OBC est rectangle en O donc ABCD est un losange. 5

6 Exercice 10 : On considère la figure plane suivante : On sait que (EF)est parallèle à (BC), que (FG)est parallèle à (CD)et que AB =. Montrer que la droite (EG) est parallèle à la droite (BD). Les points A, E, B et A, F, C sont ordonnés dans le même ordre et (EF) (BC) donc d après le théorème de Thales : AB = AF AC Les points A, G, D et A, F, C sont ordonnés dans le même ordre et (FG) (DC) donc d après le théorème de Thales : On en déduit : AB = AF AC = AG AD AG AD = AF AC donc AB = AG AD AB = AG et les points A,E,B et A,G,D sont ordonnés dans le même ordre AD Donc d après la réciproque du théorème de Thales, les droites (EG) et (BD) sont parallèles. 6