S Antilles-Guyane septembre 2015

Transcription

1 Exercice 2 Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels Rtelle que : f k ( x)=k e kx On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; i ; j ) 6 points Partie A : Etude du cas k = On considère donc la fonction définie sur Rpar : (x)=x e x.. Déterminer les limites de la fonction en + et en. En déduire que la courbe C admet une asymptote que l'on précisera. 2. Etudier les variations de sur Rpuis dresser son tableau de variations sur R. 3. Démontrer que la fonction g définie et dérivable sur Rtelle que : g (x)= ( x+)e x est une primitive de la fonction sur R. 4. Etudier le signe de (x) suivant les valeurs du nombre réel x. 5. Calculer,en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = ln0. Partie B : Propriétés graphiques On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C 2, C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs et T la tangente à C b au point O origine du repère.. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes C k passent par un même point. 2.a. Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a : f k ' (x)=k( kx)e kx b. Justifier que pour tout réel k strictement positif, f k admet un maximum et calculer ce maximum Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page

2 c. En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la démarche. d. Ecrire une équation de la tangente à C k au point O origine du repère. e. En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de b. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 2

3 CORRECTION Partie A est définie sur Rpar (x)=x e x. lim ( x) = + et lim e X = + donc lim e x = + X + conséquence : lim x e x = soit lim (x) =. (x)= x e x= e x x conséquence : lim x + e x lim x + x (x) = 0 x = + et lim x + e = 0 x La droite d'équation y = 0 ( l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à C en est dérivable sur R (e u ) ' =u' e u donc (e x ) ' = e x et ' ( x)=e x x e x =( x)e x pour tout nombre réel x, on a : e x > 0 donc le signe ' (x) est le signe de : -x. est croissante sur ] ; ] et est décroissante sur [ ; + [. Tableau de variation x + ' ( x) + 0 (x) e () = e = e 3. g est définie sur Rpar : g (x)= ( x+)e x 0 g est dérivable sur R g ' (x)= e x ( x+)( e x )= e x + xe x +e x =x e x = (x) donc g est une primitive de sur R 4. (x)=x e x Pour tout nombre réel x, on a : e x > 0 donc le signe de (x) est le signe de x. x 0 + (x) est continue et positive sur [0 ; ln0] donc l'aire, en unité d'aire, de la partie de plan comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = ln0 ln 0 est a = ( x), xd x. 0 g est une primitive de sur R Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 3

4 a = g (ln 0) g (0)= (ln 0+)e ln 0 +e 0 = (ln 0+)e ln ( 0 ) += (ln 0+) a = 0 ln 0U.A. 0,67 U.A. 0 La courbe C n'est pas demandée dans l'énoncé, toutefois on joint une représentation graphique. Partie B f k est une fonction définie sur Rpar f k ( x)=kx e kx avec k nombre réel strictement positif.. En regardant la figure de l'énoncé on conjecture que les courbes C k passant par l'origine. On vérifie : Pour tout réel k strictement positif : f k (0)=k 0 e 0 =0 donc toutes les courbes C k passent par le point O(0;0) 2.a. f k est dérivable sur R on a : (e kx ) ' = k e kx donc f k ' (x)=ke kx +kx( k e kx )=(k k 2 x)e kx =k ( kx)e kx f k ' (x)=k( kx)e kx b. Le signe de f k ' est le signe kx car k > 0. kx 0 k - x 0 k x On donne les variations sous forme de tableau Donc f k admet un maximum pour Le maximum de f k est e. k et f k( k ) =k k e k k = e = e c. L'abscisse du maximum de f a est inférieure à celle de f 2 donc a < 2 soit a < 2 d. T passe par O(0;0) et B(0,2;0,6) T =(OB) le coefficient directeur de T est : m= 0,6 0 0,2 0 =3 T a pour équation : y = 3x e. Première méthode Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 4

5 T est la tangente à C b à l'origine donc f b ' (0)=m=3 or f b ' ( x)=b( bx)e bx et f k ' (0)=b Conséquence : b = 3 Deuxième méthode On détermine graphiquement l'abscisse du point d'ordonnée : e de C b. On place le point M puis le point H ( projeté orthogonal de M sur (x'x)). On ne peut que proposer 0,3 par lecture graphique ( le logiciel géogébra donne : 0,32) Donc =0,3 b= b 0,3 = 0 3,33 3 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 5