Chapitre 7 Les fonctions affines

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1 Chapitre 7 Les fonctions affines I Propriétés fondamentales des fonctions affines I.1 La notion de fonction affine a) Le cas général Définition : Soit une fonction numérique f définie sur R. On dit que f est une fonction affine si il existe deux réels m et p tels que pour tout réel x, on a : f x = mx + p On dira que (m ; p) est le couple de coefficients associé à la fonction affine f. Remarque : On démontre aisément que le couple de coefficients associé à la fonction affine f est unique. Autrement dit, si (m ; p) et (m ; p ) sont deux couples de réels tels que, pour tout réel x, on a f x = m x + p = mx + p, alors m et p = p. Exemples :... b) Deux cas particuliers : fonctions linéaires et fonctions constantes Soit une fonction affine f et (m ; p) le couple de coefficients associé à la fonction f. Si p = 0, alors l'expression de f est f x = mx. On dit que f est une fonction linéaire de coefficient m. Si 0, alors l'expression de f est f x = p. On dit que f est une fonction constante. Remarques : (a) La fonction f définie sur R par l'expression f x = x est une fonction affine de coefficient 1 et p = 0. C'est donc la fonction linéaire de coefficient 1. On l'appelle fonction identité. (b) La fonction f définie sur R par l'expression f x = 0 est une fonction affine de coefficient 1 et p = 0. C'est donc à la fois une fonction constante et la fonction linéaire de coefficient 0. On l'appelle fonction nulle. I.2 Courbe représentative d'une fonction affine On considère un plan muni d'un repère (O ; I ; J). On définira les courbes représentatives des fonctions numériques par rapport à ce repère. a) Le cas général Propriété : La courbe représentative d'une fonction affine est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. Remarques : (a) Il n'existe qu'une droite qui passe par deux points distincts. Donc, pour tracer la courbe représentative d'une fonction affine, il suffit de connaître deux points distincts de cette courbe. 7. Fonctions affines 1 Cours 2nde,

2 Pour déterminer ces deux points, il suffit de choisir deux réels distincts a et b puis déterminer leur image par f : f(a) et f(b). Les points A(a ; f a ) et B (b ; f b ) sont distincts puisque a b et ils appartiennent à la droite D qui réprésente la fonction f. Donc la droite D est la droite (AB). Exemple :... (b) Si la fonction affine f a pour expression f x = mx + p alors l'équation de la droite D qui représente la fonction f est y = f x. Donc l'équation de la droite D est y = mx + p. On note ceci de la façon suivante : D: y = mx + p b) Deux cas particuliers Propriétés : (1) La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. (2) La courbe représentative d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses. I.3 Interprétation graphique des coefficients m et p Soit f une fonction affine définie pour tout réel x par : f x = mx + p. On appelle D la courbe représentative de la fonction f. Puisque f est affine, D est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. a) Le coefficient directeur m Propriété et définition : Soient a et b sont deux réels tels que a b. Alors on a l'égalité suivante : On dit que m est le coefficient directeur de la fonction affine f ou de la droite D. Démonstration de la propriété D'après l'expression de la fonction f, on a : f a = ma + p et f b = mb + p. Donc, f b f a = mb + p ma + p = mb + p ma p = mb ma = m() Si on met le réel m en facteur, on obtient : f b f a = m(). De plus, a b donc 0. Finalement, on a bien : Représentation graphique de l'égalité 7. Fonctions affines 2 Cours 2nde,

3 Soient A et B deux points distincts d'abscisses respectives a et b appartiennant à la droite D qui représente la fonction affine f. A et B ont donc pour coordonnées (a ; f(a)) et (b ; f(b)). D'après la propriété, on a : ou encore : y ; y < x ; x < Le coefficient m exprime le quotient de la variation des ordonnées y ; y < sur la variation des abscisses x ; x <. Il exprime donc l'inclinaison ou la direction de la droite D. On l'appelle donc le coefficient directeur de la droite D. b) L'ordonnée à l'origine p Propriété et définition : L'intersection de la droite D avec l'axe des ordonnées est le point de coordonnées (0 ; p). On dit donc que p est l'ordonnée à l'origine de la fonction affine f ou de la droite D. Démonstration de la propriété * Le point A de coordonnées (0 ; p) a une abscisse nulle donc il appartient à l'axe des ordonnées. * On a l'égalité suivante : f 0 = m 0 + p = p Donc le point A(0 ; p) appartient à la droite D qui représente la fonction f. Finalement A est bien l'intersection de la droite D avec l'axe des ordonnées. Exemple : La fonction affine g définie sur R par g(x) = 0,5x Fonctions affines 3 Cours 2nde,

4 est représentée par la droite D suivante : L'intersection de D avec l'axe des ordonnées est le point A de coordonnées (0 ; 3). 3 est l'ordonnée à l'origine de la droite D et de la fonction affine g. I.4 Déterminer l'expression d'une fonction affine On considère une fonction affine f telle que : f( 2) = 7 et f(3) = 4 On veut déterminer l'expression de la fonction f. Puisque f est une fonction affine, son expression est : f(x) = mx + p Calcul du coefficient directeur m On utilise la formule du coefficient directeur On pose a = 2 et b = 3. Donc f(a) = 7 et f(b) = 4 D'où ( 2) = 3 5 = 3 5 Calcul de l'ordonnée à l'origine p D'après le calcul précédent, on a : f(x) = 3 x + p 5 On en déduit : 7. Fonctions affines 4 Cours 2nde,

5 f(3) = p = 4 5 On résout cette équation d'inconnue p : p = 4 Finalement l'expression de la fonction f est : <=> p = 4 + F <=> p = HI + F <=> p = HF f(x) = 3 5 x Remarque : On aurait aussi obtenu p = HF en utilisant l'égalité f( 2) = 7. II Etude des variations et du signe d'une fonction affine II.1 Sens de variation d'une fonction affine Soient : * f une fonction affine définie pour tout réel x par : f x = mx + p * la droite D qui représente la fonction f. Propriété : Le sens de variation de la fonction affine f dépend du signe de son coefficient directeur m de la façon suivante : * Si m > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur R. * Si m < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur R. * Si 0, alors la fonction f est constante sur R. Démonstration de la propriété * Supposons que m > 0. Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b. D'après la propriété précédente on a : On en déduit : f b f a = m(). Or m > 0 et > 0 car a < b. On en déduit par la règle des signes : f b f a > 0. Ceci équivaut à f b > f a. Ceci est vrai pour tout couple de réels (a; b) tel que a < b. Donc f est strictement croissante. * De même, si m < 0, alors, pour tout couple de réels (a; b) tel que a < b, f b < f a. Donc f est strictement décroissante. * Supposons enfin que 0. Soient a et b deux réels quelconques tels que a b. On a alors : = 0 7. Fonctions affines 5 Cours 2nde,

6 On en déduit que f b f a = 0. Ce qui équivaut à f b = f a. Exemple : On considère la fonction définie sur R par : f(x) = 3x On a pour tout x R : f(x) = 3x + 2 = 3x = 3 5 x La fonction f est donc affine de coefficients : M et p = H Puisque le coefficient m est M donc strictement négatif, la fonction f est strictement décroissante. II.2 Etablir le tableau de signes d'une fonction affine Soit f une fonction affine définie sur R par f(x) = mx + p où m est non nul. On veut établir le tableau de signe de f sans tracer la courbe de la fonction. a) La méthode générale * Commençons par déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0. On sait que l'on a les équivalences suivantes : f(x) = 0 <=> mx + p = 0 <=> mx = p <=> x = N O Le réel x I = N est donc la seule solution de l'équation. O On distingue ensuite deux cas selon le signe du coefficient directeur m. 1er cas : le coefficient directeur m est positif La fonction affine f est alors strictement croissante. De plus f x I déduit : * Pour tout réel x tel que x < x I, on a f x < f(x I ). Donc f x < 0. * De même, si x > x I, on a f x > f(x I). Donc f x > 0. Ainsi le tableau de signe de la fonction f est : = 0. On en x x I + signe de f(x) ème cas : le coefficient directeur m est négatif La fonction affine f est alors strictement décroissante. De plus f x I déduit : - Pour tout réel x tel que x < x I alors on a f x > f(x I ). Donc f x > 0. - De même, si x > x I alors on a f x < f(x I). Donc f x < 0. Ainsi le tableau de signe de la fonction f est : = 0. On en 7. Fonctions affines 6 Cours 2nde,

7 b) Deux exemples x x I + signe de f(x) (a) On considère la fonction affine f Q telle que pour tout réel x, f Q (x) = 3x + 4. * On résout l'équation 3x + 4 = 0 <=> 3x = 4 <=>x = R M. L'unique solution de l'équation f Q (x) = 0 est donc R M. * Le coefficient directeur de la fonction f Q est -3, donc strictement négatif : la fonction f Q est strictement décroissante. Le tableau de signe de la fonction f Q est donc : x R + signe de f Q (x) (b) On considère la fonction affine f H telle que pour tout réel x : * On résout l'équation : f H (x) = 0 f H (x) = 5 7 x + 2. M <=> x = QR. x + 2 = 0 <=> x = 2 <=> x = 2 <=> x = 2 S S S S Donc x I = QR. * Le coefficient directeur de la fonction f H est, donc strictement positif : la fonction est S strictement croissante. Le tableau de signe de la fonction f 2 est donc : x signe de f H (x) S + III Résoudre des inéquations par l'étude du signe de fonctions affines III.1 Rappels sur la règle des signes Propriété : Soit deux réels A et B. (1) Le produit AB est nul si et seulement si A est nul ou B est nul. (2) Le produit AB est strictement positif si et seulement si A et B sont non nuls et de même signe. (3) Le produit AB est stricement négatif si et seulement si A et B sont non nuls et de signes opposés. Propriété : Soit deux réels A et B tels que B est non nul. (1) Le quotient < est nul si et seulement si A est nul. ; (2) Le quotient < est strictement positif si et seulement si A est non nul et A et B sont de ; même signe. 7. Fonctions affines 7 Cours 2nde,

8 (3) Le quotient < est stricement négatif si et seulement si A et B sont non nuls et A et B sont ; de signes opposés. Remarque : Il n'y a pas de règle des signes pour l'addition ou la soustraction : la connaissance du signe de A et du signe de B ne permet pas d'en déduire le signe de A + B ou le signe de A B. III.2 Résoudre une inéquation produit a) L'idée générale de la méthode Si une inéquation est équivalente à une inéquation de la forme ax + b cx + d > 0 où a, b, c et d sont quatre réels et a et c sont non nuls, alors on peut résoudre l'inéquation par les étapes suivantes : (1) on étudie le signe de la fonction affine f(x) = ax + b (2) on étudie le signe de la fonction affine g(x) = cx + d (3) on en déduit le tableau de signes du produit ax + b cx + d en appliquant la règle des signes. (4) on utilise le tableau de signes pour donner l'ensemble de solution de l'inéquation ax + b cx + d > 0 b) Un exemple On veut résoudre l'inéquation suivante : (4x + 5)( 3x + 7) > 0 (1) Etude du signe de 4x + 5 * Résolvons l'équation f(x) = 0 : f(x) = 0 <=> 4x + 5 = 0 <=> 4x = 5 <=> x = R * Le coefficient directeur de f est 4 > 0 donc cette fonction affine est strictement croissante. (2) Etude du signe de 3x + 7 * Résolvons l'équation g(x) = 0 : g(x) = 0 <=> 3x + 7 = 0 <=> 3x = 7 <=> x = WS <=> x = S WM M * Le coefficient directeur de g est 3 < 0 donc cette fonction affine est strictement décroissante. (3) On peut donc faire le tableau de signes suivant : x R signe de 4x signe de 3x signe de (4x + 5)( 3x + 7) S M + 7. Fonctions affines 8 Cours 2nde,

9 Remarque : la dernière ligne du tableau est déduite de la règle des signes pour un produit. (4) A l'aide du tableau de signes, on en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation (4x + 5)( 3x + 7) > 0 est : S = 5 4 ; 7 3 Remarque : Avec le même tableau de signes, on peut aussi résoudre les inéquations (4x + 5)( 3x + 7) < 0 ou (4x + 5)( 3x + 7) 0 ou (4x + 5)( 3x + 7) 0 7. Fonctions affines 9 Cours 2nde,