Dérivation. Chapitre Nombre dérivé (rappels) Sommaire Activités

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1 Chapitre Dérivation Sommaire. Nombre dérivé (rappels) Activités Bilan Eercices Fonction dérivée Activités Bilan et compléments Eercices Nombre dérivé (rappels).. Activités Activité.. On se place dans le plan muni du repère orthogonal ( O ; ı, ) (voir la figure. de la présente page).. On considère la droite D d équation : =. (a) Déterminer l ordonnée du point A de D dont l abscisse est 0. (b) Déterminer l abscisse du point B de D dont l ordonnée est 0. (c) Déterminer l abscisse du point D de D dont l ordonnée est. (d) Le point E ( ; ) appartient-il à la droite D?. (a) Placer dans le repère le point F ( ; ). (b) Tracer dans les droites D, D, D et D passant par F et de coefficients directeurs respectifs 0,, et. FIGURE. Figure de l activité. D O ı

2 . Nombre dérivé (rappels) Terminale STG Activité.. On considère le repère orthonormal ( O ; ı, ) de la figure. de la présente page dans lequel on a représenté les droites D, D, D, D et D. Ces droites coupent l ae des abscisses et des ordonnées en des points dont les coordonnées sont des nombres entiers.. (a) Indiquer, sans calcul, le signe des coefficients directeurs m, m, m, m et m respectifs de chacune des droites (b) Classer ces droites par ordre croissant de leur coefficient directeur.. (a) En utilisant les coordonnées de deu points d une droite, déterminer, par le calcul, la valeur eacte du coefficient directeur de chacune de ces cinq droites. (b) Les résultats des questions et sont-ils en accord?. Déterminer l équation réduite de chacune des droites.. Déterminer algébriquement, puis graphiquement les coordonnées des points d intersection des droites : (a) D et D (b) D et D (c) D et D FIGURE. Figure de l activité. D D D O ı D D http ://perpendiculaires.free.fr/

3 Terminale STG. Nombre dérivé (rappels) Activité.. La courbe C de la figure. de la présente page représente graphiquement une fonction f.. Les trois droites D, D et D sont des tangentes à la courbe. En quels points les droites D, D et D sont-elles tangentes à la courbe C? (indiquer leurs coordonnées). Compléter la phrase : On peut interpréter graphiquement f ( ) comme Donc f ( )= Donner par lecture graphique : f (0)= f ()= FIGURE. Figure de l activité. D D D O.. Bilan Définition.. Le nombre dérivé d une fonction f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnées ( a ; f (a) ). Il se note f (a). On dit alors que f est dérivable en a. f (a) A f (a) a Propriété.. Par définition, la tangente au point A ( a ; f (a) ) a une équation de la forme = f (a)+ p. Remarque. Pour trouver p on remplace et par les coordonnées de A. David ROBERT

4 . Nombre dérivé (rappels) Terminale STG.. Eercices Eercice.. On donne sur la figure. de la présente page la courbe représentative C de la fonction f en indiquant les droites tangentes au points A, B et C.. Donner par lecture graphique f ( ) et f (6). Donner par lecture graphique f ( ), f (6) et f (). Déterminer l équation de la tangente à C au point d abscisse. FIGURE. Figure de l eercice. A 0 i B C Eercice.. On donne sur la figure. de la présente page la courbe représentative C d une fonction définie f sur R ainsi que les tangentes à cette courbe en certains points. FIGURE. Figure de l eercice. O ı. Donner par lecture graphique f (), f ( ) et f ( 9).. Donner par lecture graphique f (), f ( ) et f ( 9).. Déterminer l équation réduite de T, la tangente à C au point d abscisse. Eercice.. La courbe C de la figure.6 page suivante est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R, dans un repère orthogonal.. Déterminer graphiquement : (a) f (0) et f (0) ; (b) f ( ) et f ( ) ; (c) f () et f () ; (d) L équation de la tangente T au point d abscisse ; (e) L équation de la tangente T 0 au point d abscisse 0.. La droite T tangente à la courbe C au point d abscisse et d ordonnée passe par le point A de coordonnées (; 6) http ://perpendiculaires.free.fr/

5 Terminale STG. Nombre dérivé (rappels) FIGURE.6 Figure de l eercice ı - (a) Déterminer par le calcul une équation de T. (b) En déduire f ( ). Eercice.. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [ ; ] aant les propriétés suivantes : f est décroissante sur [ ; 0] ; f (0)= et f (0)=0 ; C est smétrique par rapport à l ae des ordonnées ; f ()=9. Eercice.. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [0; 9] aant les popriétés suivantes : f (0)=0 ; f ()= et f ()= ; f ()=6 et f ()= ; f ()=7 et f ()=0 ; f (6)=6 et f (6)=. Eercice.6. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [0; ] aant les popriétés suivantes : f (0)= ; f est décroissante sur l intervalle [0; ] ; f admet en un minimum égal à - ; f ()= et f ()= ; f ()=0, f ()= et f ()= ; pour tout [;], f ()<0. Eercice.7. Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l intervalle [ ; ] aant les popriétés suivantes : C est smétrique par rapport à l ae des ordonnées ; f (0)=, f ()= et f ()= ; f (0)=0, f ()= et f ()=. On fera apparaître toutes les tangentes qu on peut déduire de l énoncé. David ROBERT

6 . Fonction dérivée Terminale STG. Fonction dérivée.. Activités Activité. (Fonctions dérivées des fonctions usuelles). Dans chacun des cas suivants, compléter le tableau et conjecturer l epression de f (). FIGURE.7 Fonction constante : f () = 6 O ı 6 0 f () f ()= FIGURE.8 Fonction affine : f ()= 6 O ı 6 0 f () f ()= http ://perpendiculaires.free.fr/

7 Terminale STG. Fonction dérivée FIGURE.9 Fonction carrée : f ()= O ı 0 f () f ()= FIGURE.0 Fonction cube : f ()= O ı 0 f () f ()= David ROBERT 7

8 . Fonction dérivée Terminale STG FIGURE. Fonction inverse : f ()= O ı 0, f () f ()= Activité. (Fonction dérivée du produit d une fonction par une constante). Soit f la fonction définie sur R par f ()= et D f sa tangente au point d abscisse. Soient g et h les fonctions définies sur R par g ()= f () et h()=f () pour tout R. On nomme D g et D h leurs tangentes respectives au point d abscisse. On nomme enfin C f, C g et C h les courbes respectives de f, g et h.. Déterminer par lecture graphique f (), g () et h ().. Conjecturer l epression de g () et de h () en fonction de f (). FIGURE. Fonction carrée : f ()= D h 8 C h 7 6 D f C g C f D g O ı 8 http ://perpendiculaires.free.fr/

9 Terminale STG. Fonction dérivée Activité.6 (Fonction dérivée d une somme de fonction).. Soient u, v et f trois fonctions définies sur R par u() =, v()= et f ()=u()+ v(). (a) Déterminer u () et v (). (b) On donne sur la figure. de la présente page la courbe représentative de f ainsi que quelques tangentes. À l aide de la question précédente et de la figure, compléter le tableau suivant : FIGURE. f ()=u()+ v() 6 O ı 6 0 u () v () f () (c) Conjecturer l epression de f () en fonction de u () et de v ().. Soient l, m et g trois fonctions définies sur R par l()=, m()= et g ()=l() m(). (a) Déterminer l () et m (). (b) Montrer que g ()= f (). (c) Compléter alors le tableau suivant : David ROBERT 9

10 . Fonction dérivée Terminale STG 0 l () m () g () (d) Quelle formule «intuitive» est fausse?.. Bilan et compléments Fonctions dérivées des fonctions usuelles Compléter le tableau. de la présente page. TABLE. Fonctions dérivées des fonctions usuelles Fonction f définie sur Fonction dérivée f définie sur f ()=k (constante) R f ()= f ()=m+ p R f ()= f ()= n avec n N R f ()= f ()= n avec n N R f ()= f ()= R + = [0;+ [ f ()= Opérations algébriques et dérivation Soient u et v définies et dérivables sur un même intervalle I. Compléter le tableau. de la présente page. TABLE. Opérations sur les fonctions dérivées Fonction ku avec k R u+ v u v u n avec n N avec v() 0 v u avec v() 0 v Fonction dérivée.. Eercices Déterminer des fonctions dérivées Sommes : 0 à page 7 Produits : à 7 page 7 Puissances : 9 et page 7 Inverses : et 6 page 7 Quotients :, 6 et 8 page 7 Problèmes : 8 à 88 page 8 0 http ://perpendiculaires.free.fr/