COURS MPSI 13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 09/10

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "COURS MPSI 13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 09/10"

Transcription

1 IESPACER 2 1R 2 est unr-espacevectoriel euclidienorienté. Voir cours sur les espaces ( vectoriels euclidiens. i, La base canonique j est orthonormée directe. Leproduitscalaireestnotésimplement u v,etlanormeeuclidienne u 2. 2R 2 est unr-espaceaffine euclidienorienté. Sesélémentssontalorsvuscommedespoints: sia=(x A,y A etb=(x B,y B, AB=(xB x A,y B y A 2 AB estsimplifiéenab. 3R 2 est unr-espacevectoriel normé. Onavulanormeeuclidienne: (x,y 2 = x 2 +y 2,maisilyenad autres: DEF: Lanorme sup ou infinie estdéfiniepar (x,y =sup( x, y =max( x, y. Lanorme 1 estdéfiniepar (x,y 1 = x + y. (onmontrequecesontbiendesnormessurr 2 (appeléeslesnormesusuellessurr 2 Explicationdesnotations 1,2, Pourt>0, lanorme t estdéfiniepar (x,y t = (x,y t + t = (x,y. 4R 2 est unespace métrique. ( x t + y t 1/t : onpeutmontrerquec estbienunenorme, etque DEF:unedistance surunensemblee estuneapplicationddee 2 dansr + vérifiant x,y,z E d(x,y = 0 x=y d(x,y = d(y,x (propriétédesymétrie d(x,y d(x,z+d(z,y (inégalitétriangulaire un ensemble muni d une distance est appelé un espace métrique. PROP:toutespacevectorielnorméestunespacemétriquepourladistanceddéfiniepard( x, y= y x. Remarque: toute norme engendre donc une distance, mais une distance ne provient pas forcément d une norme. R 2 estdoncmunide3distancesusuelles d 1 (A,B = x B x A + y B y A d 2 (A,B = (x B x A 2 +(y B y A 2 notétoutsimplementab d (A,B = max( x B x A, y B y A Sans indication, dans la suite, désignera la norme euclidienne. 5 R 2 est unespace topologique. Rappel: unintervalledutype]x 0 α,x 0 +α[avecα>0estappeléunvoisinage dex 0 R 1

2 DEF:undisqueouvert centréenm 0 D(M 0,α={M /M 0 M <α}estappeléunvoisinage dem 0 R 2. DEF:onditqu unepartieu der 2 estouverte sipourtoutpointm deu ilexisteunvoisinagedem inclusdansu ; autrement dit si M U α>0 N R 2 MN <α N U EXEMPLES: (1leplantoutentieretl ensemblevide un disque ouvert leplanmoinsunpoint leplanmoinsunedroite un demi-plan sans son bord le complémentaire d une demi-droite fermée(i.e. contenant son extrémité. D1 PROP: (2 Toute réunion d ouverts est un ouvert (3 toute intersection FINIE d ouverts est un ouvert, mais cela peut être faux pour une intersection non finie. D4 Coro: un carré ouvert,le complémentaire d un ensemble fini sont ouverts. CNS:U estouvertssic estuneréuniondedisquesouverts. D3 On désigne plus généralement par espace topologique tout ensemble pour lequel on a décrété certaines parties"ouvertes", tellesquesoientexacteslespropriétés(1(2(3ci-dessus;voicipourquoionpeutdirequer 2 estunespacetopologique. IIFONCTIONSDER 2 dansr,itesetcontinuité. 1 Généralités. f fonctionder 2 dansr;f((x,yestsimplifiéenf(x,y. D f =ensemblededéfinitiondef (partieder 2. Surfacereprésentative: S f = M x y / (x,y D f etz=f(x,y,d équationcartésienne: z=f(x,y. z EXEMPLES: E1 2 Limites Définition générale d une ite: E 1 ete 2 sontdeuxespacestopologiques, f unefonctiondee 1 danse 2, X unepartieded f x 0 unpointadhérentàx (c est-àdirequetoutvoisinagedex 0 rencontrex lunpointdee 2 Alors f(x l def W voisinagedel V voisinagedex 0 / x D f x V f(x W x x0 x X PourE 1 =E 2 =R,onretrouvebienladéfinition f(x l def ε>0 α>0 x X x x 0 <α f(x l <ε x x0 x X PourE 1 =R 2,E 2 =R,casquinousconcerneici,onobtient f(x,y l def ε>0 α>0 (x x 0,y y 0 <α f(x,y l <ε 2

3 (x x 0,y y 0 pouvantêtreremplacéparl unedes3normesusuelles. PROP1: sielleexiste,laiteestunique. Onpeutdoncutiliserlanotation: l= PROP 2: ite restreinte (x,y (x 0,y 0 f(x,y. siy X et(x 0,y 0 Y l= f(x,y l= (x,y Y f(x,y PROP3: opérationssurlesites si f(x,y=l 1 et alors sil 2 0 si x l1 x f(x (f+g(x,y=l 1 +l 2 (fg(x,y=l 1 l 2 f g (x,y= l 1 l 2 g(x,y=l 2 h(x=l 3 (hfonctionderdansr h(f(x,y=l 3. Exemples: f(x,y= xy x 2 +y 2, g(x,y= x2 y x 4 +y 2 =f(x2,y, h(x,y= x2 y x 2 +y 2. 1f n admetpasdeiteen(0,0,cecibienque f(x,0= g(0,y=0 x 0 y 0 2gn admetpasdeiteen(0,0,cecibienqu elleadmettepourite0en(0,0surtoutedroitepassantpar(0,0!! 3 h=0 (0,0 D5 3 Continuité Définitiondelacontinuité: si(x 0,y 0 D f f estcontinue(c 0 en(x 0,y 0 def f(x,y=f(x 0,y 0 ε>0 α>0 (x,y D f (x x 0,y y 0 <α f(x,y f(x 0,y 0 <ε six D f,festcontinuesurxsilarestrictiondefàxestcontinueentoutpointdex(c estàdire f(x,y= f(x 0,y 0 pour(x 0,y 0 dansx. Exemplesdebase: toutefonctionconstante,etlesdeuxfonctionscoordonnées(x,y xet(x,y y sontcontinues surr 2. D6 PROP 4: toute somme, produit, quotient, composées de fonctions continues est continue. D7 Corollaire : toute fonction f telle que f(x,y s exprime algébriquementàl aide de x,y, de constantes etdes fonctions usuelles(sauf la partie entière est continue sur son ensemble de définition. 3

4 E4 xy f définie par f(x,y = x 2 +y 2 et f(0,0 = 0 est continue sur R2 \{(0,0} mais pas sur R 2, par contre h définie par h(x,y= x2 y 2 x 2 +y 2 eth(0,0=0estcontinuesurr2. D8 III DÉRIVATION 1 Dérivées partielles. DEF:f fonctionder 2 dansr;(x 0,y 0 D f { f estdérivable(partiellementparrapportàlapremièrevariableen(x 0,y 0 silafonctionpartielle dérivableenx 0,autrementdit,si R R x f(x,y 0 est Notations: f(x 0 +u,y 0 f(x 0,y 0 u f(x 0 +u,y 0 f(x 0,y 0 u 0 u tendversuneitefinieqdu 0 = f 1 (x 0,y 0 =D 1 (f(x 0,y 0 = f x(x 0,y 0 = f x (x 0,y 0 De même, EXEMPLES E5 f(x 0,y 0 +u f(x 0,y 0 u 0 u = f 2(x 0,y 0 =D 2 (f(x 0,y 0 = f y (x 0,y 0 = f y (x 0,y 0 ATTENTION : la dérivabilité partielle par rapport aux deux variables en un point n entraine pas la continuité en ce point! Exemple: f définieparf(x,y= xy x 2 +y 2 etf(0,0=0. D9 2 Dérivée suivant un vecteur, dérivabilité dans une direction. DEF:M 0 =(x 0,y 0 D f, u =(v,w R 2 f estdérivablesuivantlevecteur u enm 0 silafonctiond unevariablet f(m 0 +t uestdérivableen0,autrement dit, si f(x 0 +tv,y 0 +tw f(x 0,y 0 tendversuneitefinieqdt 0 t f(x 0 +tv,y 0 +tw f(x 0,y 0 Notations: =f t 0 t u (x 0,y 0 =D u (f(x 0,y 0 = f u (x 0,y 0. Remarque: cette notion généralise celle de dérivée partielle, en effet f x = f i et f y = f j 4

5 D10 Exemple: E6 PROP:sif estdérivableenm 0 suivant u elleestdérivablesuivanttoutvecteurcolinéaireà u et onditdoncquef estdérivable dansladirectionde u. D11 D λ u (x 0,y 0 =λd u (x 0,y 0 ATTENTION:l application u ϕ( u=d u (x 0,y 0 vérifieϕ(λ u=λϕ( u,maisellen estpasforcémentlinéaire; exemple: f définieparf(x,y= x3 x 2 +y 2 etf(0,0=0. Onvavoirquecettefonctionϕseraquandmêmeforcémentlinéairesif estdeclassec 1. 3 Fonctionde classec 1. DEF:U ouvertinclusdansd f f estdeclassec 1 suru si 1. f estdérivablepartiellementparrapportauxdeuxvariablesentoutpointdeu 2. lesdeuxdérivéespartielles(x,y f f (x,yet(x,y x y (x,ysontcontinuessuru TH Fondamental Sif estdeclassec 1 suru,alors 1. f estcontinuesuru. 2. f estdérivabledanstoutelesdirectionsentoutpointdeu 3. Si(x,y U,et u =(v,w R 2 f f (x,y= u x (x,yv+ f y (x,yw (l application u f u (x,yestdonclinéairepourtoutpoint(x,ydeu. DEF:danscecaslaformelinéaire u =(v,w f f (x,y= u x (x,yv+ f (x,yws appelleladifférentielle def en y (x,y,notéedf (x,y. f Autrement dit: u (x,y=df (x,y( u= f x (x,yv+ f y (x,yw. Levecteur u estsouventnoté(dx,dy,cequidonne: Notations simplifiées pratiques, mais abusives: df (x,y (dx,dy= f x (x,ydx+ f y (x,ydy z = f(x,y dz = z x dx+ z y dy (ceci explique pourquoi les dérivées partielles doivent impérativement s écrire avec des d ronds. PROP: différentielle d une somme, d un produit, d un quotient et d une composée: 5

6 Sif etgsontdeclassec 1 suru,alorsf+g,fget f g (sigjamaisnullesuruaussiet d(f+g (x,y =df (x,y +dg (x,y d(fg (x,y =f(x,ydg (x,y +g(x,ydf ( (x,y f d = g(x,ydf (x,y f(x,ydg (x,y g g 2 (x,y (x,y sideplush:r RestdeclasseC 1 surf(u,h f estdeclassec 1 suru et d(h f (x,y =h (f(x,ydf (x,y en simplifié: d(z 1 +z 2 =dz 1 +dz 2 d(z ( 1 z 2 =z 1 dz 2 +z 2 dz 1 z1 d = z 2dz 1 z 1 dz 2 z 2 z2 2 du= du dz dz EXEMPLES: E7 4 Développements ités. DEF:f:R 2 R,(x 0,y 0 D f ; f possèdeundéveloppementitéàl ordre1en(x 0,y 0 s ilexistedeuxréelsaetbtelsque f(x 0 +u,y 0 +v=f(x 0,y 0 +au+bv+ o (u,v (0,0 ( (u,v Remarque: siledl1existe,alorsa= f x (x 0,y 0 etb= f y (x 0,y 0 ;parcontrel existencedesdeuxdérivéespartielles xy n entraîne pas l existence d un DL1(exemple: toujours x 2 +y 2. D12 TH:sif estc 1 suru,f admetundlàl ordre1entoutpointdeu. Exemple: E8 5 Plan tangent et gradient. DEF:sif estc 1 suru,m 0 =(x 0,y 0 U,z 0 =f(x 0,y 0 alorslepland équation z=z 0 + f x (x 0,y 0 (x x 0 + f y (x 0,y 0 (y y 0 estleplantangentàlasurfacereprésentatives ( f aupointm 0 =(x 0,y 0,z 0 ;c estleplanpassantparm 0 etorthogonal f au vecteur x (x 0,y 0, f y (x 0,y 0, 1 der 3. ( f CORO:lacourbedeniveauz 0,d équationf(x,y=z 0 dansr 2 aunetangenteorthogonaleauvecteur x (x 0,y 0, f y (x 0,y 0 enm 0. D 13 6

7 DEF:levecteur ( f x (M 0, f y (M 0 (s ilexisteestappelélegradientdef enm 0 ;notation gradf M0. Remarque1: onadonc,surunouvertoùf estc 1 : df M ( u= gradf M. u,cequi,ensimplifié,donne: dz= gradz.d M Remarque2: legradientenm esttoujoursorthogonalàlacourbedeniveaupassantparm. 6 Dérivées partielles des composées. adérivéedeg(f(x,y. Données: f:r 2 R,C 1 suru,g: R R,C 1 surf(u,h=g f ;alors Soit, en simplifié: D14 bdérivéedef(g(x,h(x. h x (x,y=... h y (x,y=... sif(x,y = z,g(z=u u x = du z dz x, u y = du z dz y Données: geth: R R,C 1 suri,f:r 2 R,C 1 suru contenantles(g(x,h(xpourx I,k(x=f(g(x,h(x; alors k (x=d 1 f(g(x,h(xg (x+d 2 f(g(x,h(xh (x soit,ensimplifié,enposantg(x=u,h(x=v,f(u,v=z: dz dx = z du udx + z dv vdx D15 cdérivéespartiellesdef(g(x,y,h(x,y Données : g et h : R 2 R, C 1 sur U, f : R 2 R, C 1 sur V contenant les (g(x,y,h(x,y pour (x,y U, k(x,y=f(g(x,y,h(x,y;alors D 1 k(x,y=d 1 f(g(x,y,h(x,y.d 1 g(x,y+d 2 f(g(x,y,h(x,y.d 1 h(x,y soit,ensimplifié,enposantg(x,y=u,h(x,y=v,f(u,v=z: z x = z u u x + z v v x D16 7 Dérivées d ordres supérieurs. 7

8 DEF:sii 1,...,i k sontdesentierségauxà1ou2, D i1,...,i k =D i1... D ik parexemple,pourk=2 (D 1 D 1 f = (D 1 D 2 f = (D 2 D 1 f = (D 2 D 2 f = ( x x ( x y ( y x ( y y f notations = D 1,1 f = 2 f f notations = D 1,2 f = 2 f f notations = D 2,1 f = 2 f x 2 ( x 2 =f x y =f xy y x =f yx f notations = D 2,2 f = 2 f ( y 2 =f y 2 EXEMPLE:E8 DEF:f estdeclasse C k surunouvertu sitoutes lesdérivéespartiellesde f jusqu àl ordrekinclusexistentetsont continues sur U. TH:toutesomme,produit,quotient,composéedefonctionsdeclasseC k estdeclassec k. THÉORÈME de SCHWARZ: Sif estdeclassec 2 surunouvertu,lesdeuxdérivéespartiellesd 1,2 f=f xy etd 2,1 f =f yx sontégalessuru. D 17: ceci revient à démontrer la simple interversion de ites suivante: u 0v 0 f(x+u,y+v f(x+u,y f(x,y+v+f(x,y uv = v 0 u 0 f(x+u,y+v f(x+u,y f(x,y+v+f(x,y uv COROLLAIRE:sif estdeclassec k suru,lesd i1,...,i k f nedépendentpasdel ordredesi q. D oùlanotation: D 1 k 12 k 2 = k ( x k1 ( y k2,aveck 1+k 2 =k. Question: combien existe-t-il donc de dérivées partielles distinctes à l ordre k? 8 Extremums. DEF:f fonctionder 2 dansr;(x 0,y 0 { X D f. maximumabsolu(ouglobal surx Onditquef possède(ouprésenteun minimumabsolu(ouglobalsurx en(x 0,y 0 si f(x,y{ f(x 0,y 0 { maximum(local Onditquefpossèdeun minimum(local en(x 0,y 0,autrementdit,s ilexisteα>0telque { maximumabsolusurunvoisinagede (x0,y en(x 0,y 0 sifàpossèdeun 0 minimumabsolusurunvoisinagede (x 0,y 0 (x,y D f ( x x 0 <αet y y 0 <α f(x,y{ f(x 0,y 0 8

9 extremum signifie minimum ou maximum Lavaleur dumaximumouduminimumestalorsf(x 0,y 0. On définit aussi la notion d extremum strict par \{(x 0,y 0 } f(x,y{ < > f(x 0,y 0 TH : si les deux dérivées partielles de f existent en (x 0,y 0, et si (x 0,y 0 est intérieur à X (c est-à dire s il existe un voisinagede(x 0,y 0 inclusdansxalors f présenteunextremumen (x 0,y 0 surx f x (x 0,y 0 = f y (x 0,y 0 =0 (c est-àdire,sif estdeclassec 1, gradf (x0,y 0 = 0, oudf (x0,y 0 =0. D18 ATTENTION: 1Laréciproqueestfausse: exemples: f(x,y=xy(casd un col ou point-selle,ouf(x,y=x 3 (casd un palier. D19 2Unefonctionpeuttrèsbienavoirunextremum -enunpointoùellen apassesdeuxdérivéespartielles: exemples: f(x,y= x 2 +y 2 ouf(x,y= x. -enunpointdela"frontière"dex : exemple: f(x,y=x 2 +y 2 etx : x 2 +y 2 1. DEF:sifestdeclasseC 1 surunouvertu,lespointscritiquesdefsuru sontlespointsoùladifférentielledef s annule. REM:M estunpointcritiquessileplantangentenm àlasurfaces f esthorizontal. OnsaitdoncquelespointsdeU oùf estextrémalesontàrechercherparmilespointscritiques. Poursavoirsiunpointcritique(x 0,y 0 correspondàunextremum,onétudielesignedef(x 0 +u,y 0 +v f(x 0,y 0 au voisinage de(0, 0. E9: f(x,y=(y x ( y x 2. 9

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

COURS MPSI A.1.IV.NOTIONS DE BASE : RELATIONS R. FERRÉOL 13/14

COURS MPSI A.1.IV.NOTIONS DE BASE : RELATIONS R. FERRÉOL 13/14 IV) RELATIONS. 1) Définition. DEF : une relationrest définie par la donnée d unensemblededépart E, d unensembled arrivée F et d un ensemble G de couples(x,y) avecxdanse ety dansf (autrement dit, G est

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

1 Outils mathématiques pour la Physique

1 Outils mathématiques pour la Physique Licence 3 Sciences de la Terre, de l Univers et de l Environnement Université Joseph-Fourier TUE 302 : Outil Physique et Géophysique 1 Outils mathématiques pour la Physique k Daniel.Brito@ujf-grenoble.fr

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

Intégrales curvilignes.

Intégrales curvilignes. Chapitre 1 Intégrales curvilignes. 1.1 Généralités 1.1.1 Courbes paramétrées dans le plan. Motivations, exemples. L exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par un objet assimilée à un point

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II

Mathématiques I. Recueil d exercices #2. Analyse II FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET SOCIALES Sections des sciences économiques et des hautes études commerciales Mathématiques I Cours du professeur D. Royer Recueil d exercices #2 Analyse II Semestre

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 13/14

EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 13/14 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 PRODUIT SCALAIRE. : Dire si chacune des applications suivantes est un produit scalaire surr : x x x x y y = symétrique? bilinéaire? = positif? défini?

Plus en détail

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type INTÉGRATION SUR LES SURFACES Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type φ(x)dσ(x) Σ où Σ est une surface de classe C 1 de R 3 ou plus généralement une hypersurface

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours à l ISFA, en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Motivation.................................... 4 1.2 Le problème général d optimisation......................

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que Champs d hyperplans Un champ d hyperplans coorientable (resp. coorienté) sur une variété V m est le noyau ξ d une 1-forme différentielle non singulière α bien définie à multiplication près par une fonction

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe.

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe. Chapitre I INTRODUCTION ATHÉATIQUE I.A. I.A.1. Calcul vectoriel Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i )))

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i ))) A) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours,e,f etgdésignent desk-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c est

Plus en détail

Introduction à l analyse des données. Analyse des Données (1) Exemple, ville et (in)sécurité. Exemple, ville et (in)sécurité

Introduction à l analyse des données. Analyse des Données (1) Exemple, ville et (in)sécurité. Exemple, ville et (in)sécurité Introduction à l analyse des données Analyse des Données () Le but de l analyse de données est de synthétiser, structurer l information contenue dans des données multidimensionnelles Deux groupes de méthodes

Plus en détail

Ensembles-Applications

Ensembles-Applications Ensembles-Applications Exercice 1 : Soient A = {1,2,3} et B = {0,1,2,3}. Décrire les ensembles A B, A B et A B. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soient A = [1,3] et B = [2,4]. Déterminer

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Les équations différentielles

Les équations différentielles Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) 2011-2012 JPV

Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) 2011-2012 JPV Mathématiques pour MPSI (mais pas que pour) 211-212 JPV Lycée international de Valbonne Sophia-Antipolis E-mail address: jean-paul.vincent@prepas.org 3 Résumé. Ce fascicule développe le programme officiel

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

a+b=c+d = b+d = a+d = b+c a+b+c=d+e+f = g+h+i d e f M

a+b=c+d = b+d = a+d = b+c a+b+c=d+e+f = g+h+i d e f M EXERCICES MPSI A6. ESPACES VECTORIELS R. FERREOL /4 Dans tous ces exercices,kest égal àrouc.. : Dire dans quelk espace vectoriel sont inclus les ensembles suivants (il faut préciserkdans certains cas).

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R.

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R. CHAPITRE I Fonctions d une variable réelle. Limites Soit f une fonction définie sur R : et soit R. f W R! R 7! f./ Définition. Limite finie en un point) On dit que f admet ` pour ite lorsque tend vers

Plus en détail

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ 2 Champ et potentiel électrostatique Les e ets électriques peuvent être décrits par deux grandeurs que nous allons étudier dans ce chapitre : le champ électrostatique (grandeur vectorielle) et le potentiel

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1 Examen Mathématiques LS TD 04 05 06 Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction (0.1) Ce cours s articule autour du calcul différentiel et, en particulier, son application au

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 203-204 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) Email: bardet@univ-paris.fr Page oueb: http://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016 LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 015-016 Pourquoi ce livret? Afin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions

Plus en détail

4 Espaces topologiques vectoriels

4 Espaces topologiques vectoriels 4 Espaces topologiques vectoriels Il existe des exemples importants d espaces vectoriels pour lesquels la notion naturelle de convergence n est pas engendrée par une norme. C est le cas, par exemple, de

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

COURS DE THERMODYNAMIQUE

COURS DE THERMODYNAMIQUE 1 I.U.. de Saint-Omer Dunkerque Département Génie hermique et énergie COURS DE HERMODYNAMIQUE 4 e semestre Olivier ERRO 2009-2010 able des matières 1 Mathématiques pour la thermodynamique 4 1.1 Dérivées

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Enveloppe vectorielle ou. Transformer de l affine en du vectoriel

Enveloppe vectorielle ou. Transformer de l affine en du vectoriel Préparation à l Agrégation Année 2009 2010 ENS Cachan Vincent Beck Enveloppe vectorielle ou Transformer de l affine en du vectoriel 0 Mode d emploi. Cette note propose la construction de l enveloppe vectorielle

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Dérivation Primitives

Dérivation Primitives Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique............................................. 3

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Séminaire ALGO. Solutions formelles locales en un point singulier d une classe de systèmes d EDP linéaires d ordre 1

Séminaire ALGO. Solutions formelles locales en un point singulier d une classe de systèmes d EDP linéaires d ordre 1 Séminaire ALGO Solutions formelles locales en un point singulier d une classe de systèmes d EDP linéaires d ordre 1 Nicolas Le Roux projet ALGO. séminaire ALGO 1 avertissement A certains moments de l exposé

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail