COURS MPSI 13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 09/10

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1 IESPACER 2 1R 2 est unr-espacevectoriel euclidienorienté. Voir cours sur les espaces ( vectoriels euclidiens. i, La base canonique j est orthonormée directe. Leproduitscalaireestnotésimplement u v,etlanormeeuclidienne u 2. 2R 2 est unr-espaceaffine euclidienorienté. Sesélémentssontalorsvuscommedespoints: sia=(x A,y A etb=(x B,y B, AB=(xB x A,y B y A 2 AB estsimplifiéenab. 3R 2 est unr-espacevectoriel normé. Onavulanormeeuclidienne: (x,y 2 = x 2 +y 2,maisilyenad autres: DEF: Lanorme sup ou infinie estdéfiniepar (x,y =sup( x, y =max( x, y. Lanorme 1 estdéfiniepar (x,y 1 = x + y. (onmontrequecesontbiendesnormessurr 2 (appeléeslesnormesusuellessurr 2 Explicationdesnotations 1,2, Pourt>0, lanorme t estdéfiniepar (x,y t = (x,y t + t = (x,y. 4R 2 est unespace métrique. ( x t + y t 1/t : onpeutmontrerquec estbienunenorme, etque DEF:unedistance surunensemblee estuneapplicationddee 2 dansr + vérifiant x,y,z E d(x,y = 0 x=y d(x,y = d(y,x (propriétédesymétrie d(x,y d(x,z+d(z,y (inégalitétriangulaire un ensemble muni d une distance est appelé un espace métrique. PROP:toutespacevectorielnorméestunespacemétriquepourladistanceddéfiniepard( x, y= y x. Remarque: toute norme engendre donc une distance, mais une distance ne provient pas forcément d une norme. R 2 estdoncmunide3distancesusuelles d 1 (A,B = x B x A + y B y A d 2 (A,B = (x B x A 2 +(y B y A 2 notétoutsimplementab d (A,B = max( x B x A, y B y A Sans indication, dans la suite, désignera la norme euclidienne. 5 R 2 est unespace topologique. Rappel: unintervalledutype]x 0 α,x 0 +α[avecα>0estappeléunvoisinage dex 0 R 1

2 DEF:undisqueouvert centréenm 0 D(M 0,α={M /M 0 M <α}estappeléunvoisinage dem 0 R 2. DEF:onditqu unepartieu der 2 estouverte sipourtoutpointm deu ilexisteunvoisinagedem inclusdansu ; autrement dit si M U α>0 N R 2 MN <α N U EXEMPLES: (1leplantoutentieretl ensemblevide un disque ouvert leplanmoinsunpoint leplanmoinsunedroite un demi-plan sans son bord le complémentaire d une demi-droite fermée(i.e. contenant son extrémité. D1 PROP: (2 Toute réunion d ouverts est un ouvert (3 toute intersection FINIE d ouverts est un ouvert, mais cela peut être faux pour une intersection non finie. D4 Coro: un carré ouvert,le complémentaire d un ensemble fini sont ouverts. CNS:U estouvertssic estuneréuniondedisquesouverts. D3 On désigne plus généralement par espace topologique tout ensemble pour lequel on a décrété certaines parties"ouvertes", tellesquesoientexacteslespropriétés(1(2(3ci-dessus;voicipourquoionpeutdirequer 2 estunespacetopologique. IIFONCTIONSDER 2 dansr,itesetcontinuité. 1 Généralités. f fonctionder 2 dansr;f((x,yestsimplifiéenf(x,y. D f =ensemblededéfinitiondef (partieder 2. Surfacereprésentative: S f = M x y / (x,y D f etz=f(x,y,d équationcartésienne: z=f(x,y. z EXEMPLES: E1 2 Limites Définition générale d une ite: E 1 ete 2 sontdeuxespacestopologiques, f unefonctiondee 1 danse 2, X unepartieded f x 0 unpointadhérentàx (c est-àdirequetoutvoisinagedex 0 rencontrex lunpointdee 2 Alors f(x l def W voisinagedel V voisinagedex 0 / x D f x V f(x W x x0 x X PourE 1 =E 2 =R,onretrouvebienladéfinition f(x l def ε>0 α>0 x X x x 0 <α f(x l <ε x x0 x X PourE 1 =R 2,E 2 =R,casquinousconcerneici,onobtient f(x,y l def ε>0 α>0 (x x 0,y y 0 <α f(x,y l <ε 2

3 (x x 0,y y 0 pouvantêtreremplacéparl unedes3normesusuelles. PROP1: sielleexiste,laiteestunique. Onpeutdoncutiliserlanotation: l= PROP 2: ite restreinte (x,y (x 0,y 0 f(x,y. siy X et(x 0,y 0 Y l= f(x,y l= (x,y Y f(x,y PROP3: opérationssurlesites si f(x,y=l 1 et alors sil 2 0 si x l1 x f(x (f+g(x,y=l 1 +l 2 (fg(x,y=l 1 l 2 f g (x,y= l 1 l 2 g(x,y=l 2 h(x=l 3 (hfonctionderdansr h(f(x,y=l 3. Exemples: f(x,y= xy x 2 +y 2, g(x,y= x2 y x 4 +y 2 =f(x2,y, h(x,y= x2 y x 2 +y 2. 1f n admetpasdeiteen(0,0,cecibienque f(x,0= g(0,y=0 x 0 y 0 2gn admetpasdeiteen(0,0,cecibienqu elleadmettepourite0en(0,0surtoutedroitepassantpar(0,0!! 3 h=0 (0,0 D5 3 Continuité Définitiondelacontinuité: si(x 0,y 0 D f f estcontinue(c 0 en(x 0,y 0 def f(x,y=f(x 0,y 0 ε>0 α>0 (x,y D f (x x 0,y y 0 <α f(x,y f(x 0,y 0 <ε six D f,festcontinuesurxsilarestrictiondefàxestcontinueentoutpointdex(c estàdire f(x,y= f(x 0,y 0 pour(x 0,y 0 dansx. Exemplesdebase: toutefonctionconstante,etlesdeuxfonctionscoordonnées(x,y xet(x,y y sontcontinues surr 2. D6 PROP 4: toute somme, produit, quotient, composées de fonctions continues est continue. D7 Corollaire : toute fonction f telle que f(x,y s exprime algébriquementàl aide de x,y, de constantes etdes fonctions usuelles(sauf la partie entière est continue sur son ensemble de définition. 3

4 E4 xy f définie par f(x,y = x 2 +y 2 et f(0,0 = 0 est continue sur R2 \{(0,0} mais pas sur R 2, par contre h définie par h(x,y= x2 y 2 x 2 +y 2 eth(0,0=0estcontinuesurr2. D8 III DÉRIVATION 1 Dérivées partielles. DEF:f fonctionder 2 dansr;(x 0,y 0 D f { f estdérivable(partiellementparrapportàlapremièrevariableen(x 0,y 0 silafonctionpartielle dérivableenx 0,autrementdit,si R R x f(x,y 0 est Notations: f(x 0 +u,y 0 f(x 0,y 0 u f(x 0 +u,y 0 f(x 0,y 0 u 0 u tendversuneitefinieqdu 0 = f 1 (x 0,y 0 =D 1 (f(x 0,y 0 = f x(x 0,y 0 = f x (x 0,y 0 De même, EXEMPLES E5 f(x 0,y 0 +u f(x 0,y 0 u 0 u = f 2(x 0,y 0 =D 2 (f(x 0,y 0 = f y (x 0,y 0 = f y (x 0,y 0 ATTENTION : la dérivabilité partielle par rapport aux deux variables en un point n entraine pas la continuité en ce point! Exemple: f définieparf(x,y= xy x 2 +y 2 etf(0,0=0. D9 2 Dérivée suivant un vecteur, dérivabilité dans une direction. DEF:M 0 =(x 0,y 0 D f, u =(v,w R 2 f estdérivablesuivantlevecteur u enm 0 silafonctiond unevariablet f(m 0 +t uestdérivableen0,autrement dit, si f(x 0 +tv,y 0 +tw f(x 0,y 0 tendversuneitefinieqdt 0 t f(x 0 +tv,y 0 +tw f(x 0,y 0 Notations: =f t 0 t u (x 0,y 0 =D u (f(x 0,y 0 = f u (x 0,y 0. Remarque: cette notion généralise celle de dérivée partielle, en effet f x = f i et f y = f j 4

5 D10 Exemple: E6 PROP:sif estdérivableenm 0 suivant u elleestdérivablesuivanttoutvecteurcolinéaireà u et onditdoncquef estdérivable dansladirectionde u. D11 D λ u (x 0,y 0 =λd u (x 0,y 0 ATTENTION:l application u ϕ( u=d u (x 0,y 0 vérifieϕ(λ u=λϕ( u,maisellen estpasforcémentlinéaire; exemple: f définieparf(x,y= x3 x 2 +y 2 etf(0,0=0. Onvavoirquecettefonctionϕseraquandmêmeforcémentlinéairesif estdeclassec 1. 3 Fonctionde classec 1. DEF:U ouvertinclusdansd f f estdeclassec 1 suru si 1. f estdérivablepartiellementparrapportauxdeuxvariablesentoutpointdeu 2. lesdeuxdérivéespartielles(x,y f f (x,yet(x,y x y (x,ysontcontinuessuru TH Fondamental Sif estdeclassec 1 suru,alors 1. f estcontinuesuru. 2. f estdérivabledanstoutelesdirectionsentoutpointdeu 3. Si(x,y U,et u =(v,w R 2 f f (x,y= u x (x,yv+ f y (x,yw (l application u f u (x,yestdonclinéairepourtoutpoint(x,ydeu. DEF:danscecaslaformelinéaire u =(v,w f f (x,y= u x (x,yv+ f (x,yws appelleladifférentielle def en y (x,y,notéedf (x,y. f Autrement dit: u (x,y=df (x,y( u= f x (x,yv+ f y (x,yw. Levecteur u estsouventnoté(dx,dy,cequidonne: Notations simplifiées pratiques, mais abusives: df (x,y (dx,dy= f x (x,ydx+ f y (x,ydy z = f(x,y dz = z x dx+ z y dy (ceci explique pourquoi les dérivées partielles doivent impérativement s écrire avec des d ronds. PROP: différentielle d une somme, d un produit, d un quotient et d une composée: 5

6 Sif etgsontdeclassec 1 suru,alorsf+g,fget f g (sigjamaisnullesuruaussiet d(f+g (x,y =df (x,y +dg (x,y d(fg (x,y =f(x,ydg (x,y +g(x,ydf ( (x,y f d = g(x,ydf (x,y f(x,ydg (x,y g g 2 (x,y (x,y sideplush:r RestdeclasseC 1 surf(u,h f estdeclassec 1 suru et d(h f (x,y =h (f(x,ydf (x,y en simplifié: d(z 1 +z 2 =dz 1 +dz 2 d(z ( 1 z 2 =z 1 dz 2 +z 2 dz 1 z1 d = z 2dz 1 z 1 dz 2 z 2 z2 2 du= du dz dz EXEMPLES: E7 4 Développements ités. DEF:f:R 2 R,(x 0,y 0 D f ; f possèdeundéveloppementitéàl ordre1en(x 0,y 0 s ilexistedeuxréelsaetbtelsque f(x 0 +u,y 0 +v=f(x 0,y 0 +au+bv+ o (u,v (0,0 ( (u,v Remarque: siledl1existe,alorsa= f x (x 0,y 0 etb= f y (x 0,y 0 ;parcontrel existencedesdeuxdérivéespartielles xy n entraîne pas l existence d un DL1(exemple: toujours x 2 +y 2. D12 TH:sif estc 1 suru,f admetundlàl ordre1entoutpointdeu. Exemple: E8 5 Plan tangent et gradient. DEF:sif estc 1 suru,m 0 =(x 0,y 0 U,z 0 =f(x 0,y 0 alorslepland équation z=z 0 + f x (x 0,y 0 (x x 0 + f y (x 0,y 0 (y y 0 estleplantangentàlasurfacereprésentatives ( f aupointm 0 =(x 0,y 0,z 0 ;c estleplanpassantparm 0 etorthogonal f au vecteur x (x 0,y 0, f y (x 0,y 0, 1 der 3. ( f CORO:lacourbedeniveauz 0,d équationf(x,y=z 0 dansr 2 aunetangenteorthogonaleauvecteur x (x 0,y 0, f y (x 0,y 0 enm 0. D 13 6

7 DEF:levecteur ( f x (M 0, f y (M 0 (s ilexisteestappelélegradientdef enm 0 ;notation gradf M0. Remarque1: onadonc,surunouvertoùf estc 1 : df M ( u= gradf M. u,cequi,ensimplifié,donne: dz= gradz.d M Remarque2: legradientenm esttoujoursorthogonalàlacourbedeniveaupassantparm. 6 Dérivées partielles des composées. adérivéedeg(f(x,y. Données: f:r 2 R,C 1 suru,g: R R,C 1 surf(u,h=g f ;alors Soit, en simplifié: D14 bdérivéedef(g(x,h(x. h x (x,y=... h y (x,y=... sif(x,y = z,g(z=u u x = du z dz x, u y = du z dz y Données: geth: R R,C 1 suri,f:r 2 R,C 1 suru contenantles(g(x,h(xpourx I,k(x=f(g(x,h(x; alors k (x=d 1 f(g(x,h(xg (x+d 2 f(g(x,h(xh (x soit,ensimplifié,enposantg(x=u,h(x=v,f(u,v=z: dz dx = z du udx + z dv vdx D15 cdérivéespartiellesdef(g(x,y,h(x,y Données : g et h : R 2 R, C 1 sur U, f : R 2 R, C 1 sur V contenant les (g(x,y,h(x,y pour (x,y U, k(x,y=f(g(x,y,h(x,y;alors D 1 k(x,y=d 1 f(g(x,y,h(x,y.d 1 g(x,y+d 2 f(g(x,y,h(x,y.d 1 h(x,y soit,ensimplifié,enposantg(x,y=u,h(x,y=v,f(u,v=z: z x = z u u x + z v v x D16 7 Dérivées d ordres supérieurs. 7

8 DEF:sii 1,...,i k sontdesentierségauxà1ou2, D i1,...,i k =D i1... D ik parexemple,pourk=2 (D 1 D 1 f = (D 1 D 2 f = (D 2 D 1 f = (D 2 D 2 f = ( x x ( x y ( y x ( y y f notations = D 1,1 f = 2 f f notations = D 1,2 f = 2 f f notations = D 2,1 f = 2 f x 2 ( x 2 =f x y =f xy y x =f yx f notations = D 2,2 f = 2 f ( y 2 =f y 2 EXEMPLE:E8 DEF:f estdeclasse C k surunouvertu sitoutes lesdérivéespartiellesde f jusqu àl ordrekinclusexistentetsont continues sur U. TH:toutesomme,produit,quotient,composéedefonctionsdeclasseC k estdeclassec k. THÉORÈME de SCHWARZ: Sif estdeclassec 2 surunouvertu,lesdeuxdérivéespartiellesd 1,2 f=f xy etd 2,1 f =f yx sontégalessuru. D 17: ceci revient à démontrer la simple interversion de ites suivante: u 0v 0 f(x+u,y+v f(x+u,y f(x,y+v+f(x,y uv = v 0 u 0 f(x+u,y+v f(x+u,y f(x,y+v+f(x,y uv COROLLAIRE:sif estdeclassec k suru,lesd i1,...,i k f nedépendentpasdel ordredesi q. D oùlanotation: D 1 k 12 k 2 = k ( x k1 ( y k2,aveck 1+k 2 =k. Question: combien existe-t-il donc de dérivées partielles distinctes à l ordre k? 8 Extremums. DEF:f fonctionder 2 dansr;(x 0,y 0 { X D f. maximumabsolu(ouglobal surx Onditquef possède(ouprésenteun minimumabsolu(ouglobalsurx en(x 0,y 0 si f(x,y{ f(x 0,y 0 { maximum(local Onditquefpossèdeun minimum(local en(x 0,y 0,autrementdit,s ilexisteα>0telque { maximumabsolusurunvoisinagede (x0,y en(x 0,y 0 sifàpossèdeun 0 minimumabsolusurunvoisinagede (x 0,y 0 (x,y D f ( x x 0 <αet y y 0 <α f(x,y{ f(x 0,y 0 8

9 extremum signifie minimum ou maximum Lavaleur dumaximumouduminimumestalorsf(x 0,y 0. On définit aussi la notion d extremum strict par \{(x 0,y 0 } f(x,y{ < > f(x 0,y 0 TH : si les deux dérivées partielles de f existent en (x 0,y 0, et si (x 0,y 0 est intérieur à X (c est-à dire s il existe un voisinagede(x 0,y 0 inclusdansxalors f présenteunextremumen (x 0,y 0 surx f x (x 0,y 0 = f y (x 0,y 0 =0 (c est-àdire,sif estdeclassec 1, gradf (x0,y 0 = 0, oudf (x0,y 0 =0. D18 ATTENTION: 1Laréciproqueestfausse: exemples: f(x,y=xy(casd un col ou point-selle,ouf(x,y=x 3 (casd un palier. D19 2Unefonctionpeuttrèsbienavoirunextremum -enunpointoùellen apassesdeuxdérivéespartielles: exemples: f(x,y= x 2 +y 2 ouf(x,y= x. -enunpointdela"frontière"dex : exemple: f(x,y=x 2 +y 2 etx : x 2 +y 2 1. DEF:sifestdeclasseC 1 surunouvertu,lespointscritiquesdefsuru sontlespointsoùladifférentielledef s annule. REM:M estunpointcritiquessileplantangentenm àlasurfaces f esthorizontal. OnsaitdoncquelespointsdeU oùf estextrémalesontàrechercherparmilespointscritiques. Poursavoirsiunpointcritique(x 0,y 0 correspondàunextremum,onétudielesignedef(x 0 +u,y 0 +v f(x 0,y 0 au voisinage de(0, 0. E9: f(x,y=(y x ( y x 2. 9