La projection dans le plan
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- Camille St-Louis
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1 Tronc CS PROF : ATMANI NAJIB La projection dans le plan I) La projection sur une droite parallèlement à une autre droite II) Théorème de Thales et son théorème réciproque I) La projection sur une droite parallèlement à une autre droite )éfinition Soient et La droite qui passe par M et parallèle coupe () en un point M' le point M' s'appelle la projection du point M sur () parallèlement à deux droites sécantes en un pont A, et soit M un point du plan ou le projeté M sur () parallèlement a ou l Image d'un point M la projection P sur () parallèlement à ( ; ) et on écrit : P ( ; ) M M ' ou P( M) M ' la droite s'appelle la direction de la projection P( M) M ' : M ' l Image d'un point M la projectionp si B ( ) alors P( B) B on dit alors que le point B est invariant par la projectionp. Propriétés Chaque point de () est confondu avec sa projection Est tout point confondu avec sa projection est un point de () On dit que la droite () est invariante par la projection sur () parallèlement à ( )
2 Cas particulier Si les droite et sont perpendiculaire (on dit aussi orthogonales) on dit que M'est la projection orthogonale de M sur () Application : Soit C est un triangle et M le milieu de [] )Soit éterminer : )Soit la projection sur (BC) parallèlement à P A éterminer : P M, la projection sur P A P M, P C,, P B parallèlement à (BC) P C,, P Réponse : ) soit: P la projection sur (BC) parallèlement à ( ) On a et ( BC) C P A C A B BC On a C BC On a Soit M B donc donc B est invariante par la projection donc C est invariante par la projection P M on a M le milieu de [] donc P ( B ) B donc P ( C ) C La parallèle à ( ) passant par M passe forcément par le milieu de [BC] donc M' est le milieu de [BC] ) soit: la projection sur ( ) parallèlement à (BC) On a A On a C P A A donc donc C est invariante par la projection On a B ( BC) et ( BC) C P B C donc donc P ( C ) On a M le milieu de [] donc la parallèle à (BC) passant par M coupe [] en son milieu soit: M ce milieu donc P ( M ) M. La projection d un segment et de son milieu sur une droite parallèlement à une autre droite Soi A et B deux points du plan et A' et B' sont respectivement leur projection P sur sur () parallèlement à Propriété : L image du segment [] par la projectionp est le segment [ A'B '] et on écrit : P A B Propriété : Si I est le milieu de [] alors P ( I ) C I est le milieu du segment [ A'B ']
3 On dit que la projection conserve les milieux Re ma r que : P A B donc pour tout point M du segment on a : [] : P ( M ) M II)Théorème de Thales et son théorème réciproque )Théorème de Thales : Soient ( ) et du plan tel que ( ) et ne sont pas parallèles soient A ; B; C respectivement les projetés des points A ; B; C sur Alors : A B A C deux droites sécantes en un pont, et soient A ; B; C trois points alignés parallèlement à )Théorème de Thales avec les vecteurs : Soient A ; B;C respectivement les projetés des points A ; B ; C sur droite( ) parallèlement à ( ) Si k avec k Alors : k On dit que la projection conserve le coefficient d alignement de trois points Application : Soient C est un triangle et M un point définie par : AM )Construire le point M' le projeté de M sur la droite BC parallèlement à
4 )Montrer que AM et en déduire que MM BC Réponse : ) soit: P parallèlement à (BC) A On a C BC On a On a aussi : P ( B ) C la projection sur donc A est invariante par la projection P donc C est invariante par la projection P donc P ( A) A donc P ( C ) C Et puisque AM et la projection conserve le coefficient d alignement de trois points Alo r s : AM On a MM MA + AM + ( + ) BC )le théorème réciproque de Thales Soient et points de la droite deux droites non parallèles a une troisième ( ), et soient A ; B deux parallèlement à Si C un point de la droite tel que A et B respectivement les projetés des points A ; B sur et C un point de la droite Et les points A ; B et C sont dans le méme ordre sur la droite sur la droite Alors : le point C est la projection de C sur la droite ( AA) ( BB) ( CC ) tel que A B A C que les points A; B et C parallèlement à et on a Propriété Soient ( ) et deux droites sécantes et A ; B; C ; des points distinctes et k tel que kc ET si A ; B;C et respectivement les projetés des points A ; B ; C et sur la droite ( ) parallèlement à Alors : kc On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs
![parallèlement à ( BC ) ) On a I est la projection de I de [BC] Mq : AG AM?](/docs-images/100/146091009/images/5-1.jpg "?? On considère P On a A ( AM ) AI et d après la réciproque de Thales : ( II ) ( BC) en I donc I est la projection dei sur la droite ( ) sur la droite ( ) parallèlement à ( BC ) et M est le milieu la")
5 Application(réciproque de Thales): Soient C est un triangle et I et AI et AI ) Montrer que parallèlement à I est par la projection de I BC I deux points tel que : sur la droite ) soit M est le milieu de [BC] ; la droite( AM ) coupe la droite ( II) en G Montrer que AG Réponse : ) On a AM AI donc AI donc AI donc AI Et on a : AI donc AI donc AI donc AI après et on a AI II Et puisque ( ) coupe parallèlement à ( BC ) ) On a I est la projection de I de [BC] Mq : AG AM??? On considère P On a A ( AM ) AI et d après la réciproque de Thales : ( II ) ( BC) en I donc I est la projection dei sur la droite ( ) sur la droite ( ) parallèlement à ( BC ) et M est le milieu la projection sur ( AM ) parallèlement à (BC) donc A est invariante par la projection P donc P ( A) A ❶ la parallèle à (BC) passant par C est (BC) elle coupe ( AM ) en M donc P ( C ) M ❷ la parallèle à (BC) passant par I est elle coupe II P I AM en G donc G ❸ Et on a en plus AI ❹donc après ❶ et ❷ et ❸ et ❹ on a AG AM car la projection conserve le coefficient d alignement de trois points
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