Approche décentralisée pour la détection et la localisation de défauts dans une ferme photovoltaïque

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1 Approche décentralisée pour la détection et la localisation de défauts dans une ferme photovoltaïque Samir Hachour Dirigé par : Alain Kibangou (UJF) et Federica Garin (INRIA) Maître de stage : Pierre Ambs 07 septembre 2011

2 Résumé Dans ce rapport nous avons présenté une solution de détection et de localisation de défauts dans une ferme solaire. Le travail consiste en premier temps en l estimation décentralisée de l état du système à l aide d un réseau de capteurs sans fils. L estimation se fait par un filtre de Kalman décentralisé qui alterne itérativement l estimation locale faite individuellement par chaque capteur et une étape de communication. La communication entre les capteurs se fait par le moyen d un algorithme de consensus de moyenne. Pour lequel nous avons présenté deux différents algorithmes. le premier est l algorithme de consensus classique qui converge asymptotiquement vers la valeur moyenne des données initiales. Pour cet algorithme on est appelé à limiter le nombre d itérations, ce qui fait que la valeur moyenne des données n est pas atteinte. Le second est un algorithme de consensus en temps fini qui calcule la valeur moyenne exacte après un nombre d itérations égal au nombre de valeur propres distinctes non nulles de la matrice Laplacienne du graphe de communication. Après avoir fait une estimation de l état global du système, chaque capteur est appelé à générer un signal résiduel et le tester grâce au test de χ 2. La disposition spécifique de notre réseau de capteurs permet d utiliser les décisions locales pour élaborer un test logique permettant de localiser le défaut dans la ferme solaire.

3 Table des matières 1 Introduction Générale Présentation du sujet Présentation de l équipe Diagnostic des défauts Diagnostic à base de modèles Filtre de Kalman Détection et localisation de défaut Test du ratio de vraisemblance Suivi de la valeur moyenne du résidu Test de χ Exemple d application Localisation de défaut Conclusion Estimation décentralisée Modèle et estimation locaux Partitionnement du modèle d observation Approche de Rao et Durrent-Whyte Estimation locale Equations d assimilation Algorithme de consensus de moyenne Éléments de la théorie des graphes Algorithme de consensus classique Algorithme de consensus en temps fini Filtre de Kalman distribué basé sur un consensus de moyenne Conclusion Application à une ferme photovoltaïque Description du système Architectures des réseaux photovoltïque Exemple d architecture pour le réseau de surveillance Estimation de l état du système Erreur d estimation avec un consensus classique Erreur d estimation avec un consensus en temps fini

4 4.3 Détection d un défaut Localisation du défaut Conclusion Conclusion générale 46 A Table de χ

5 Chapitre 1 Introduction Générale 1.1 Présentation du sujet La détection et l identification des pannes dans les systèmes dynamiques, c est à dire leur diagnostic, a été un sujet important de recherche dès les débuts de l Automatique moderne. En effet dans beaucoup d applications il s agira souvent, au delà de considérations purement économiques, d assurer la sécurité des personnes et de préserver leur environnement. C est notamment le cas pour beaucoup d applications liées aux domaines de l énergie, de l eau, de l air et des transports. La diversité des approches qui ont été développées pour le diagnostic des systèmes dynamiques semblent être le résultat de contextes différents associés à la nature des applications visées et aux caractéristiques propres du cahier des charges qui en résulte. Ainsi, la nature des informations disponibles sur le système ou le type de défauts à détecter conduisent à la mise en oeuvre de stratégies spécifiques. Les méthodes de diagnostic à base de modèles occupent une place importante dans la littérature. Leur utilisation, notamment dans le cadre d applications critiques (systèmes énergétiques, systèmes de transport, industrie lourde), s est considérablement développée. Face au déploiement plus ou moins bien contrôlé des réseaux de communication à grande échelle, la question du diagnostic des systèmes complexes reste d une grande délicatesse. Depuis plusieurs années plusieurs recherches ont été développées sur l estimation décentralisée des systèmes complexes. Parmi les études, on peut citer celles de Rao et Durrent-Whyte [10] qui se base sur la décentralisation du modèle d observation du système. C est une approche d un grand intérêt, elle était développée par Olfat-Saber [9]. Une autre approche qui considéré le système global comme étant un ensemble de sous-systèmes a été développée par Stankovic et al. [12] [11]. L apparition de nouveaux dispositifs sans fil à faible coût permet de mettre en oeuvre ces stratégie de surveillance dites décentralisées pour les système complexes, tel qu une ferme solaire par exemple. Le travail consistait en l analyse des documents bibliographiques réunis autour du sujet. Notamment les approches d estimation décentralisée et les tests statistiques pour la détection et la localisation de défauts. Ensuite, nous étions amenés à synthétiser une approche applicable au modèle d une ferme solaire. Ce après avoir choisi et arranger un modèle linéaire et vérifier l observabilté du système. Pour la 3

6 localisation de défauts, nous avons conçu un algorithme spécifique considérant les décisions et l emplacement des différents capteurs dans le réseau. L algorithme est implémenté sous Matlab et les résultats obtenus sont commentés Le rapport sera organisé d une manière à présenter en centralisé le travail qu on projette de faire en décentralisé, notamment, le filtrage de Kalman décentralisé, la détection et la localisation de défaut dans le premier chapitre. Le deuxième chapitre est dédié à l étude des approches qui traitent l estimation à base du filtre de Kalman décentralisé. Dans le troisième chapitre, on trouve la description le modèle de la ferme solaire, et les résultats obtenus quant à l estimation, la détection et la localisation de défaut dans un tel système. 1.2 Présentation de l équipe L équipe NECS (Système commandés en réseau) a pour but de développer une nouvelle approche de commande pour prendre en compte l apparition de nouveaux composants sans fils de faible coût, l accroissement de la complexité des systèmes et la répartition dans un réseau à reconfiguration dynamique de capteurs et d actionneurs (réseaux de capteurs). Dans ce cadre les commandes s effectuent sous contraintes de limitation des ressources de communication, de calcul et d énergie. L équipe vise des avancées dans le domaine de la commande des systèmes connectés en réseau par un développement d outils pour l automatique combinant les aspects commande, calcul et communication. L équipe-projet est bi-localisée à l INRIA sur le site de Montbonnot et au laboratoire GIPSA sur le campus de Grenoble. Axes de recherche Commande de systèmes en réseaux hétérogènes reconfigurables dynamiquement. Conception conjointe commande et codage pour capteurs de faible coût. Systèmes de commande intégrés, embarqués et distribués. Modélisation et commande de processus informatiques autonomes. Commande de systèmes avec échantillonnage non-uniforme. Les domaines d application du projet sont : Commande dans les réseaux de capteurs. Commande de véhicules et gestion intelligente de la circulation. Surveillance et cartographie du milieu marin par flottille de sous-marins autonomes. Contrôle énergétique dans les systèmes à circuits asynchrones. 4

7 Véhicules aériens autonomes (drones). Modélisation et commande de serveurs Web (en collaboration avec l équipe-projet SARDES). Automatisation de systèmes distribués (immeuble intelligent...). Grands instruments avec actionneurs et capteurs répartis (Tokamak, télescopes). 5

8 Chapitre 2 Diagnostic des défauts Tout système est susceptible de présenter des symptômes révélateurs de défauts, le défi est de pouvoir détecter et localiser ces défauts d une manière automatique. Le principe général de surveillance d un système autonome peut être décrit par l organigramme (2.1), les étapes sont brièvement expliquées comme suit : Prise de mesures : La mesure qu on fait sur le système est la seule information qu on a sur l évolution du système. Son exhaustivité par rapport à la représentation de l état du système dépend de l observabilité du système lui-même. Elle se fait à l aide d un capteur approprié et nécessite souvent d une étape de filtrage. Détection de défauts : Souvent, il s agit d un test statistique traitant un signal susceptible de contenir des informations sur l état du système à surveiller, signal souvent appelé signal résiduel. Une variation importante dans la valeur moyenne ou la variance de ce signal révèle un éventuel défaut dans le système. Dans la suite, nous allons prendre le soin de décrire une première approche basée sur un test d hypothèses, puis une seconde consistant en un suivi de la moyenne du signal résiduel, et enfin, le test que nous avons utilisé dans notre algorithme, le test de χ 2. Localisation de défauts : C est souvent une tâche liée aux caractéristiques du système. Il s agit d un test logique qui nous informe sur la provenance du défaut. Parmi les approches les plus utilisées, on peut citer celles qui se basent sur un banc d observateurs, comme, l architecture DOS (Dedicated Observer Scheme), et GOS (Generalized Observer Scheme) à base de l observateur de Luenberger, pour les système linéaires déterministes [2]. Identification de défauts : Il s agit de caractériser le défaut, d estimer son importance et son comportement dans le temps. 6

9 Prise de mesures Détection de défauts Localisation de défauts Identification de défauts Décision Correction Système Adaptation Fig. 2.1 Processus de détection et de localisation Décision : C est une décision sur le type d action à prendre pour rétablir de système. Correction : C est l action d arrêter le système et de procéder à une maintenance corrective. Adaptation : C est l action de reconfiguration et d adaptation de la consigne à injecter dans le système. 2.1 Diagnostic à base de modèles La redondance d informations est très utilisée dans les systèmes de surveillance et de diagnostic. Par exemple, pour être sûr de la fiabilité de la mesure, on peut utiliser une redondance matérielle, où, plus d un capteur vont mesurer une même grandeur physique. Cette méthode présente l inconvénient d être encombrante et très coûteuse. La redondance analytique d informations offre une bien meilleure solution. Le principe consiste en la comparaison d un modèle de référence avec le modèle dynamique réel du processus, ce qui génère un signal résiduel sensible aux changements anormaux dans l état du système. Pour un système linéaire déterministe ayant comme entrée u(k) et comme sortie y(k), avec ŷ(k) la sortie estimée par l observateur, le schéma de la redondance et de la génération du résidu r(k) peut être donné par la figure 2.2. Considérons le système linéaire Gaussien suivant. 7

10 Fig. 2.2 Redondance analytique { x(k + 1) = F x(k) + Gw(k) z(k) = Hx(k) + v(k) (2.1) Où, F est la matrice d état, G la matrice qui pondère le bruit d état w(k). z(k) représente la mesure, H la matrice de sortie et v(k) le bruit de mesure. Avec, v(k) et w(k) sont des bruits gaussiens, indépendants, de moyenne nulle. Leurs matrices de covariance sont données respectivement par : E[vv T ] = R, et E[ww T ] = Q. L observateur : En connaissant le modèle du système, la tâche de l observateur est d estimer l état du système, à partir des mesures de la sortie du processus. Pour l estimation de ce genre de processus aléatoires, le filtre de Kalman et connu comme optimal Filtre de Kalman Il est utilisé dans plusieurs domaines technologiques (radars, vision artificielle,...etc.). Un exemple d utilisation peut être la mise à disposition d informations telles que la position ou la vitesse d un objet à partir d une série d observations relative à sa position, incluant éventuellement des erreurs de mesures. Par exemple, pour le cas des radars où l on désire suivre une cible, des données sur sa position, sa vitesse et son accélération sont mesurées à chaque instant mais avec des perturbations importantes dues au bruit ou aux erreurs de mesure. Le filtre de Kalman [5] fait appel à la dynamique de la cible qui définit son évolution dans le temps pour obtenir de meilleures données, éliminant ainsi l effet du bruit. Ces données peuvent être calculées pour l instant présent (filtrage), dans le passé (lissage), ou sur un horizon futur (prédiction). Pour notre cas, on utilise ces données comme estimation de l état du système à surveiller (2.1). L algorithme récursif du filtre de Kalman est donné comme suit. Pour le système (2.1), le filtre de Kalman calcule une estimation ˆx(k/k) de l état x(k) à partir de la mesure z(k). Ce calcul se fait en deux phases principales, une de prédiction d état ˆx(k/k 1) et de la matrice de covariance de l erreur d estimation P (k/k 1)(2.2), (2.3) et une deuxième phase de mise à jour des valeurs prédites(2.6), (2.4). 8

11 ˆx(k + 1/k) = F ˆx(k/k) (2.2) P (k + 1/k) = F P (k/k)f T + GQ(k)G T (2.3) P 1 (k + 1/k + 1) = P 1 (k + 1/k) + H T R 1 H (2.4) Le gain du filtre K(k) est donnée par l équation (2.5). K(k + 1) = P (k + 1/k + 1)H T R 1 (2.5) ˆx(k + 1/k + 1) = ˆx(k + 1/k) + K(k + 1)[z(k + 1) H ˆx(k + 1/k)] (2.6) Le filtre de Kalman part des valeurs initiales x(0/0), P (0/0) et calcule itérativement l estimation de l état ˆx(k + 1/k) en alternant entre la phase de prédiction et celle de mise à jour. 2.2 Détection et localisation de défaut Dans cette section, nous allons décrire et étudier quelques tests statistiques dédiés à la détection de défauts. Sachant que l analyse du signal résiduel peut se faire sur sa variance ou bien sa valeur moyenne, c est sur ce deuxième critère que se basent les tests que nous allons décrire. Pour simplifier, nous considérons dans cette section le cas où la mesure z(k) est scalaire. Dans ce cas le résidu est défini comme suit : r(k) = z(k) H ˆx(k/k) Test du ratio de vraisemblance C est un test pour un problème de décision binaire. On considère un nombre n de réalisations r(1),..., r(n) d une variable aléatoire gaussienne de variance σ 2, on sait que sa valeur moyenne, notée m, ne peut prendre que deux valeurs. H 0 : m = 0, hypothèse que le système en fonctionnement normal. H 1 : m = α, hypothèse que le système est défectueux. On désire déterminer laquelle des deux valeurs de m correspond aux observations effectuées. Pour résoudre ce problème on doit d abord déterminer la fonction de densité des observations sous chaque hypothèse. L indépendance des réalisations permet d écrire : n P (r/h 0 ) = P (r(k)/h 0 ) k=1 n P (r/h 1 ) = P (r(k)/h 1 ) k=1 9

12 où r = (r(1),..., r(n)). On définit le rapport de vraisemblance comme suit : Λ(r) = P (r/h 1) P (r/h 0 ) Après développement, sous l hypothèse gaussienne, on aboutit à la formule suivante : ( nm ) Λ(r) = exp 2σ 2 exp ( m σ 2 n k=1 ) r(k) Le test peut se faire en comparant la valeur de Λ à un seuil bien déterminé. On peut aussi utiliser le rapport de vraisemblance logarithmique. La prise de décision sur l état du système se fait de la manière suivante : Si ln Λ(r) ν, le système est en fonctionnement normal. Si ln Λ(r) > ν, le système est dans un état défectueux. Avec, ν un seuil à déterminer au préalable, il est en fonction des densités de probabilité initiales des deux hypothèses. Ce test est applicable dans le cas où le signal r est gaussien et de moyenne nulle en fonctionnement normal. Dans notre cas le test sera appliqué au signal résiduel. L utilisation de ce test nécessite la connaissance de la valeur moyenne du signal résiduel m dans le cas défectueux, chose qui n est pas évidente pour les système à comportement aléatoire Suivi de la valeur moyenne du résidu L idée est de comparer la valeur du signal résiduel r(k) à un certain seuil s, tel que : { Si r(k)> s Détection de défaut. Si r(k)< s Fonctionnement normal. (2.7) La comparaison de la valeur instantanée du résidu au seuil considéré s avère très exposée aux fausses alarmes et aux non détections des défauts. Pour remédier ce problème nous nous sommes proposés de ne pas prendre une décision sur l état du système à l issue d une seule valeur instantanée du résidu, mais de comparer au seuil une moyenne d un nombre donné d échantillons de ce résidu qu on notera av. { Si av(k)> s Détection de défaut. (2.8) Si av(k)< s Fonctionnement normal. La valeur moyenne du résidu av sera explicitement définie dans les paragraphes suivants. Test sur la moyenne av Fenêtre glissante résidu. Cette technique compare au seuil s la moyenne des d derniers échantillons du 10

13 Par définition la moyenne sur une fenêtre glissante de d échantillons est donnée par (2.9). av(t) = 1 d t k=t (d 1) r(k) (2.9) Son implementation récursive est initialisée par le calcul de la moyenne des d premiers échantillons de la séquence. L évolution se fait par l intégration des nouvelles valeurs du résidu et la soustraction des plus anciennes. { av(d 1) = 1 d 1 d k=0 (r(k)) av(t) = av(t 1) r(t (d)) d + r(t) (2.10) d Le résultat de détection avec une fenêtre glissante est plus au moins robuste selon la largeur de la fenêtre utilisée. Voir l exemple de la section suivante. Fenêtre amortie Dans cette technique, l influence des valeurs anciennes de r(k) décroît exponentiellement avec le temps. Par définition la moyenne sur une fenêtre amortie est donnée par (2.11) : t av(t) = (1 p) p k r(t k), 0 < p < 1 (2.11) k=0 p est le facteur d oubli, sa valeur peut avoir un impact sur la robustesse de la détection par rapport aux fausses alarmes et aux non détections, cela sera mis en évidence dans l exemple d application de la section suivante. La formule récursive permettant d implémenter la fenêtre amortie est donnée par (2.12) av(t) = av(t 1) p + r(t) (1 p) (2.12) Choix du seuil s Le cas où av > s et que le système est en fonctionnement normale, la détection sera considérée comme étant une fausse alarme. Le test présente une non détection dans le cas où av s et que le système est dans un état défectueux. L objectif est de garantir une probabilité de fausses alarmes inférieure ou égale à un niveau α : P ( av µ s/système en fonctionnement normal) Pour une variable aléatoire X de moyenne µ et de variance σ 2, et pour tout s > 0, l inégalité de Tchebichev est donnée par (2.13). P ( X µ s) σ2 s 2 (2.13) Nous allons appliquer cette inégalité à av, en considérant que sa moyenne en fonctionnement normal est égale à zero et sa variance est approximativement égale à celle du bruit de mesure v(k). Nous 11

14 obtenons ainsi : P ( av µ s/système en fonctionnement normal) σ2 s 2 (2.14) Donc, pour déterminer le seuil garantissant notre objectif, il suffit de choisir s tel que : α = σ2 s 2 : s = σ 2 α Test de χ 2 C est un test proposé par Yang et al [13], il se base de l innovation du filtre de Kalman qu on notera γ(k) γ(k) = z(k) H ˆx(k + 1/k) C est la différence entre la mesure et sa prédiction par le filtre de Kalman. Quand le système est en fonctionnement normal, γ(k) suit une loi gaussienne de moyenne nulle. L occurrence d un défaut provoque un saut de moyenne ce qui est révélateur d un défaut dans le système. Cela peut être testé par la fonction suivante : avec : λ(k) = γ T (k)u 1 (k)γ(k) (2.15) U(k) = HP (k + 1/k)H T + R (2.16) Les deux dernières équations sont calculables avec le filtre de Kalman. La fonction λ(k) dans (2.15) suit une loi χ 2 de m degrés de liberté, m est la dimension du vecteur de mesures. Le test de détection se fait par la comparaison de la fonction λ(k) par rapport à un seuil s. { si λ(k) > s Système défectueux (2.17) si λ(k) s Système en fonctionnement normal Le seuil s garantit un taux de fausse alarmes que l on se fixe à priori, α. Il est tiré de la table de χ 2 (voir annexe) Exemple d application Pour simuler le processus de génération de résidu et de détection de défaut, nous avons considéré un système dynamique (2.1), avec une matrice d état F donnée par (2.18) : 12

15 Fig. 2.3 Simulation d un défaut qui survient au temps t=50 F = (2.18) Et la matrice caractérisant le bruit d état w est donnée par : 0 0 G = (2.19) 0 1 Il s agit d un simple exemple de suivi d un objet ponctuel en mouvement. Un exemple de défaut peut être la modification des paramètre de la matrice d état à un instant t = 50. On prend comme mesure : F = ( 0.25) (2.20) z(k) = x(k) + v(k) où v(k) est le bruit de mesure supposé gaussien de moyenne nulle. La figure 2.3 illustre le fait qu après l occurrence du défaut, l erreur d estimation devient plus importante. Elle montre bien le changement du comportement du système à l instant t = 50. Cela est dû au fait que le filtre utilise le modèle en fonctionnement normal F et les mesures du système défectueux F pour faire son estimation. 13

16 Fig. 2.4 Fenêtre glissante, fenêtre amortie, test de χ 2 Sachant qu un défaut dans ce cas provoque un saut de la valeur moyenne de l erreur d estimation faite par le filtre de Kalman (figure 2.3), la technique qu on va utiliser est celle du suivi de la moyenne de la norme du résidu r(k) = z(k) ˆx(k/k), avec z(k) la mesure portée sur le système, et ˆx(k/k), l estimation faite par le filtre de Kalman. Nous avons comparé les performances, quant au taux de fausses alarmes et de non détections, des tests de détections présentés précédemment. Le résidu et le signal d innovation respectivement pour les tests de suivi de la moyenne et de χ 2, nous avons utilisé leurs normes respectives. Comparaison Afin de choisir le meilleur test pour la détection des défaut nous avons comparé les performances du test de suivi de moyenne (fenêtre amortie et fenêtre glissante) et celles du test de χ 2. Les tests n ont pas présenté des fausses alarmes. La figure?? montre les taux de non détections obtenus pour chacun des tests considérés. La première figure montre le taux de non détection du test de suivi de moyenne avec une fenêtre glissante en faisant varier la largeur de la fenêtre d. La deuxième figure montre le taux de non détection pour le suivi de moyenne à l aide d une fenêtre amortie en faisant varier le coefficient d oubli p. La troisième figure montre le taux de non détections du test de χ 2 en fonction du taux de fausses alarmes que l on se fixe à priori pour le choix du seuil (table de χ 2 ). Remarques La figure 2.4 nous donne les taux de non détections obtenus par les tests, suivi de la valeur moyenne avec une fenêtre glissante, suivi de la valeur moyenne avec une fenêtre amortie, et enfin le test de χ 2. On peut en faire les remarques suivantes. Le taux de non détections pour la méthode de suivi de la valeur moyenne du résidu avec une fenêtre glissante est proportionnel à la largeur de la fenêtre utilisée d. Les non détections pour une fenêtre glissante large sont principalement dues au retard à la détection. 14

17 Le taux de non détections pour la méthode de suivi de la valeur moyenne du résidu avec une fenêtre amortie est proportionnel à la valeur du facteur d oubli p utilisé. Tel que plus le facteur d oubli est proche de 1, l influence des anciennes valeurs du résidu soit importante, et donc un lissage plus important du signal résiduel, ce qui mène à un important retard à la détection. En fonction du taux de fausses alarmes α que l on se fixe à priori, on peut avoir de différents seuils plus au moins prudents, c est pour quoi, on obtient un taux de non détections relativement important pour les valeurs importantes de α. Les résultats présentés dans la figure 2.4 montrent que les taux de non détections obtenus avec le test de χ 2 sont moins importants que ceux obtenus avec les autres méthodes. C est pour quoi nous avons opté à l utilisation du test de χ 2 dans notre travail en choisissant α assez petit pour ne pas avoir de fausses alarmes Localisation de défaut La localisation de défaut consiste souvent en un test logique qui nous permet d isoler le défaut. L approche la plus utilisée pour le diagnostic à base de modèles est celle d un banc d observateurs, c est le cas des observateurs DOS et GOS qui permettent de localiser les défauts de capteurs notamment. Le même principe à été utilisé dans [3], ce pour une approche décentralisée. Les défauts qui peuvent affecter le système sont supposés connus. Un banc d observateurs de Kalman est établi, chacun fonctionne avec le modèle du système entaché d un défaut bien déterminé. Les observateur comparés au modèle du système en fonctionnement normal gênèrent des résidus capables de détecter et d isoler le défaut. Pour notre cas de figure, nous avons utilisé un test logique de localisation adapté aux contraintes de notre système d application, qui est la détection de défaut dans les modules d une ferme de panneaux solaires. 2.3 Conclusion Dans ce premier chapitre nous avons présenté, d une manière générale, le principe du diagnostic à base de modèle. Nous nous sommes intéressés aux systèmes stochastiques linéaires gaussiens, où la tâche commence par une estimation de l état du système à l aide d un filtre de Kalman. Ensuite, vient la tâche de la détection et d isolation de défaut, où nous avons présenté le principe de génération d un signal résiduel révélateur de défaut. Les tests statistiques qui servent à l analyse du résidu sont présentés et leur robustesse par rapport aux fausses alarmes et aux non détections est comparée. Pour des systèmes relativement peu complexes, l estimation, la detection et la localisation de défauts peut bien être faite d une manière centralisée. Dans le chapitre suivant, nous verrons comment est ce qu on parvient à estimer l état d un système complexe, en partant de mesures locales, et en faisant, en plus de la tâche de l estimation locale, une étape de communication. 15

18 Chapitre 3 Estimation décentralisée On considère un système complexe qui peut être décrit par le modèle linéaire (2.1), le vecteur de mesure z(k) étant de dimension importante et spatialement réparti sur le système. La surveillance d un tel système d une manière centralisée peut engendrer une paralysie totale du processus de surveillance en cas de défaillance du centre de fusion. A cela, une solution a été apportée par Rao et Durrent-Whyte [10]. Un autre inconvénient majeur de la surveillance centralisée, c est la complexité de calculs. L approche décentralisée proposée par Olfati-Saber [9] s affranchit de ce problème, elle propose des calculs en parallèle par les unités du réseau de surveillance. Dans cette section, nous nous intéresserons à la tâche de l estimation décentralisée par un réseau de capteurs. 3.1 Modèle et estimation locaux Un système de surveillance décentralisé peut être vu comme étant un réseau de capteurs qui prennent des mesures partielles du système, à l aide desquelles ils font des estimations locales. L objectif étant de pouvoir estimer l état global du système, ces capteurs nécessitent d une étape de communication leur permettant de compléter leurs estimations Partitionnement du modèle d observation Dans le cas d un système décentralisé, des hypothèses par rapport au modèle d observation des différentes unités du réseau doivent être faites, elles sont expliquées dans ce qui suit. Supposons qu on a un système de dimension m, qu on désire surveiller à l aide de N capteurs (nœuds), la mesure z(k) peut être partitionnée de la manière suivante : z(k) = [z T 1 (k)z T 2 (k)...z T N (k)] T 16

19 Avec(z 1 (k)z 2 (k)...z N (k)) sont les mesures portées par les nœuds (1,2,...n) entachées respectivement par des bruits de mesure qui peuvent âtre partitionnés de la manière suivante : v = [v T 1 v T 2...v T N ] T Si en plus ces bruits sont décorrelés, on peut écrire leur covariance R de la manière suivante : R = E[vv T ] = blockdiag(r 1 R 2...R N ) Ainsi, on aura pour le modèle d observation, la matrice de sortie suivante : H = [H T 1 H T 2...H T N] T L ensemble des suppositions et partitionnements permettent d écrire le modèle spécifique à chacun des nœuds sous la forme suivante : { x(k + 1) = F x(k) + Gw(k) z i (k) = H i x(k) + v i (3.1) On note que la première équation dans (3.1) reste la même pour tous les nœuds, puisque elle décrit le fonctionnement global du système. Plus encore, ces hypothèses nous permettent d écrire les équivalences suivantes (3.2). { H T R 1 H = N H T R 1 z(k) = N i=1 HT i R 1 i H i i=1 HT i R 1 i On va voir dans ce qui va suivre que la communication entre les différents nœuds du réseau se base sur les deux équations dans (3.2). z i (k) 3.2 Approche de Rao et Durrent-Whyte En considérant le modèle local (3.1) et les deux équivalences dans (3.2), Rao et Durrent-Whyte ont pu élaborer un algorithme d estimation décentralisé. Ce à condition que chacun des nœuds du réseau puisse calculer la valeur moyenne des données reçues de tous les autres nœuds du réseau. La formulation de l algorithme est donnée par les étapes suivantes. (3.2) 17

20 3.2.1 Estimation locale Le filtre de Kalman local qui permet à chacun des nœuds de faire une estimation locale, est représenté par les équations suivantes : P 1 i ˆx i (k + 1/k) = F ˆx i (k/k) (3.3) P i (k + 1/k) = F P i (k/k)f T + GQ i (k)g T (3.4) (k + 1/k + 1) = P 1 i (k + 1/k) + Hi T R 1 i H i (3.5) Le gain K i (k + 1) du filtre local est donné par l équation (3.6). K i (k + 1) = P i (k + 1/k + 1)H T i R 1 i (3.6) x i (k + 1/k + 1) = ˆx i (k + 1/k) + K i (k + 1)[z i (k + 1) H iˆx i (k + 1/k)] (3.7) (Tilde) veut dire que ˆx(k/k) et P (k/k) ne sont mises à jour que localement, selon les états observables par la mesure disponible au niveau de chacun des nœuds. Pour avoir l information complète sur l état du système et l erreur d estimation commise et après avoir fait sa propre estimation, chacun des nœuds doit compléter son estimation à l aide des équations dites d assimilation que nous allons décrire ci-dessous Equations d assimilation L objectif étant de parvenir à écrire les équivalences dans (3.2) en fonction des quantités calculées localement ( x(k/k) et P (k/k)), la procédure est éclairée par les démonstrations suivantes. Correction de la matrice P (k/k) : Les équations de mise à jour de la matrice P(k/k), respectivement du filtre de Kalman centralisé(2.4) et du filtre de Kalman décentralisé (3.5), nous permettent d écrire les deux équations suivantes (3.8) : { H T R 1 H = P 1 (k + 1/k + 1) P 1 (k + 1/k) Hi T R 1 i H i = P 1 i (k + 1/k + 1) P 1 (k + 1/k) i (3.8) Par identification à la première équation dans le système (3.2), on peut écrire l équivalence suivante : n P 1 (k + 1/k + 1) = P 1 1 (k + 1/k) + [ P i (k + 1/k + 1) P 1 i (k + 1/k)] (3.9) i=1 Cette équation appliquée à un nœud i donne l équation (3.10) qui permet de mettre à jour la matrice de covariance de l erreur d estimation, elle s écrit comme suit : P 1 i (k + 1/k + 1) = P 1 i (k + 1/k) + N [ j=1 1 P j (k + 1/k + 1) P 1 j (k + 1/k)] (3.10) 18

21 L équation (3.10) veut dire qu un nœud corrige la matrice P (k/k), en se basant sur la valeur de P(k+1/k) déjà prédite et la somme des erreurs d estimation faites par l ensemble des nœuds du réseau. Correction de l estimation de l état x(k/k) : La démonstration de la formule permettant la mise à jour complète de l état du système se fait à travers les étapes suivantes : La pré-multiplication de la première équation du système (3.8) par P (k + 1/k + 1) avec utilisation de la formule du gain en (2.5), on aboutit à l équation suivante (3.11) : I K(k + 1)H = P (k + 1/k + 1)P 1 (k + 1/k) (3.11) La pré-multiplication de l équation de mise à jour de ˆx(k/k) dans le filtre centralisé (2.6) par P 1 (k + 1/k + 1) avec utilisation de la formule (3.11), après rearrangement on aboutit à l équation suivante(3.12) : H T R 1 z(k) = P 1 (k + 1/k + 1)ˆx(k + 1/k + 1) P 1 (k + 1/k)ˆx(k + 1/k) (3.12) En appliquant les deux dernières étapes respectivement à la deuxième équation du système (3.8), et l équation de mise à jour locale de l état x(k/k) dans (3.7), on obtient l équation suivante : Hi T R 1 i z i (k) = 1 P i (k + 1/k + 1) x i (k + 1/k + 1) P 1 i (k + 1/k)ˆx i (k + 1/k) (3.13) Par identification à la deuxième équation dans (3.2) et réarrangement, on aura la formule permettant à un nœud (i) de mettre à jour son estimation (3.14) : + ˆx i (k + 1/k + 1) = P i (k + 1/k + 1)[P 1 i (k + 1/k)ˆx i (k + 1/k) (3.14) N [ j=1 P 1 j (k + 1/k + 1) x j (k + 1/k + 1) P 1 (k + 1/k)ˆx j (k + 1/k)] Cette dernière formule veut dire qu un nœud i met à jour les états du système à l aide de la matrice de covariance corrigée (3.10), sa prédiction et les erreurs d estimation locales faites par l ensemble des nœds du réseau. Si on pose : j et Φ(k) = N [ j=1 P 1 j (k + 1/k + 1) P 1 (k + 1/k)] j Ψ(k) = N [ j=1 P 1 j (k + 1/k + 1) x j (k + 1/k + 1) P 1 (k + 1/k)ˆx j (k + 1/k)], j 19

22 on obtient les deux équations d assimilation suivantes : P 1 i (k + 1/k + 1) = P 1 i (k + 1/k) + Φ(k). (3.15) ˆx i (k + 1/k + 1) = P i (k + 1/k + 1)[P 1 i (k + 1/k)ˆx i (k + 1/k) + Ψ(k)]. (3.16) Ces deux dernières équations permettent à chacun des nœuds de corriger sont estimations. L algorithme suivant récapitule les étapes qu un nœud doit exécuter pour pouvoir imiter un estimateur centralisé : 1. Initialisation de l état du système ˆx i (0/0) et P i (0/0). k = 0 2. Prédiction de l état ˆx i (k + 1/k) et la matrice P i (k + 1/k). ˆx i (k + 1/k) = F ˆx i (k/k). P i (k + 1/k) = F P i (k/k)f T + GQ i (k)g T. 3. Mise à jour locale de P i (k + 1/k + 1). (k + 1/k + 1) = P 1 (k + 1/k) + Hi T R 1 P 1 i 4. Calcul du gain K i (k + 1) du filtre : K i (k + 1) = P i (k + 1/k + 1)H T i R 1 i. 5. Acquisition de la mesure z(k). i i H i 6. Mise à jour locale de l état du système x i (k + 1/k + 1) : x i (k + 1/k + 1) = ˆx i (k + 1/k) + K i (k + 1)[z i (k + 1) H iˆx i (k + 1/k)]. 7. Communication et Calcul de : Φ(k) = N 1 j=1 P j (k + 1/k + 1) P 1 j (k + 1/k). Ψ(k) = N 1 j=1 [ P j (k + 1/k + 1) x j (k + 1/k + 1) P 1 j (k + 1/k)ˆx j (k + 1/k)]. 8. Mise à jour complète la matrice P i (k + 1/k + 1). (k + 1/k + 1) = P 1 (k + 1/k) + Φ(k). P 1 i i 9. Mise à jour complète de l état du système : ˆx i (k + 1/k + 1) = P i (k + 1/k + 1)[P 1 i (k + 1/k)ˆx i (k + 1/k) + Ψ(k)]. 10. k = k + 1, retour à l étape 2. Après avoir fait une estimation locale de l état (étape 6 de l algorithme), chaque nœud doit recueillir les données de tous les autres nœuds du réseau permettant de calculer φ(k) et ψ(k). Ces derniers lui permettent de compléter l estimation de l état (étape 9). 20

23 Cet algorithme nécessite une communication ( all to all), autrement dit, un graphe complet, donc, chaque nœud du réseau sera vu comme étant un nœud centralisé. Ceci nous fait comprendre que l apport de cet algorithme peut être principalement, l extensibilité du système mais aussi si un nœud tombe en panne, le système de surveillance peut continuer sa fonction. ce qui ne peut pas être le cas dans l approche centralisée. En plus de ces avantages, l algorithme de Olfati-Saber nous fait profiter aussi de celui de la réduction de la complexité des calculs. Dans ce cas le graphe peut ne pas être complet, et la communication entre ces nœuds se fait à l aide d un algorithme de consensus simple à calculer. 3.3 Algorithme de consensus de moyenne Le consensus de moyenne est un algorithme distribué où un ensemble d agents communiquent à travers les liens du graphe de communication. L objectif de cet algorithme est de calculer la valeur moyenne des données provenant des différents agents Éléments de la théorie des graphes Étant donné un réseau composé de N capteurs, un graphe G = (V, E) est le moyen le plus naturel pour la modélisation d un tel réseau. Où, les N capteurs seront représentés par l ensemble des nœuds du graphe V = {1,..., N}, et les liens E V V représente l ensemble des communications qui existent entre les différents nœuds du réseau : si un nœud i peut envoyer des informations au nœud j, alors (i, j) E. Graphe complet des autres. Un graphe complet est un graphe dont tous les nœuds sont adjacents les uns Graphe non orienté Un graphe non orienté est un graphe qui représente un réseau où les communications sont bidirectionnelles. Elles sont représentées par des liens sans flèches dans le graphe. Dans un graphe non orienté, si le lien (i, j) E alors (j, i) E, i, j représentent deux nœuds différents. Degré d un nœud On définit le voisinage d un nœud : N(i) = {j/(j, i) E, i j} Le degré d un nœud est le nombre de liens dont ce nœud est une extrémité. d(i) = N(i) 21

24 Fig. 3.1 Graphe, matrice d adjacence et matrice Laplacienne Matrices associées au graphe La matrice d adjacence : A = [a ij ] R N N est la matrice d adjacence du graphe G d ordre N. { 1 Si (i, j) E a ij = 0 Autrement Matrice des degrés : C est une matrice diagonale contenant les degrés de tous les nœuds du réseau. (3.17) = diag(d(i)) Matrice Laplacienne : L = A Sur la figure (3.3.1), on donne un exemple de graphe d ordre 5, non complet et non orienté, sa matrice d adjacence A et sa matrice Laplacienne L Algorithme de consensus classique C est un algorithme récursif qui converge asymptotiquement vers la valeur moyenne des données reçues en entrée (3.18) [1]. Ave(x(0)) = 1 N x i (0). (3.18) N L algorithme du consensus peut être vu comme étant un système dynamique (3.19), dont la stabilité et la vitesse de convergence dépendent des valeur propres de la matrice P (k). i=1 x(k + 1) = P (k)x(k). (3.19) La matrice P (k) peut être constante, variante dans le temps, ou bien, aléatoire, selon le type de communication entre qu il y a entre les nœuds. La matrice P (k) est compatible avec le graphe, ce qui signifie que P ij (k) = 0 s il n y a pas de lien entre les deux agents i, j. 22

25 Dans notre travail, on s intéresse au cas où le graphe de communication est fixe, ce qui permet de choisir une matrice P (k) = P constante. Dans ce cas, on a : x(k) = P k x(0) lim k P k = 1 N 11T Pour cela, il suffit que la matrice P (k) soit doublement stochastique. P = [P i,j ] est dite doublement stochastique si : P i,j 0 i,j N i=1 P i,j = 1 j (3.20) N j=1 P i,j = 1 i Nous présentons ici quelques exemples de choix des coefficients de la matrice P tels qu ils sont décrits dans [1]. Simple random walk Dans cette méthode, chaque nœud pondère uniformément son propre état et l état des nœuds de son voisinage. P i,j = { 1 d(i)+1 j N(i) {i} 0 autrement. (3.21) La matrice P resultant est stochastique mais, en général n est pas doublement stochastique, donc, le point de convergence de l algorithme de convergence n est pas forcement la valeur moyenne des données reçues x i. Maximum-degree weights Dans cette méthode chaque nœud a besoin de calculer le plus grand degré de connectivité d (3.22) pour pondérer son état et l état des nœuds qui lui sont voisins. d = max d(i) = max N(j). (3.22) j N(i) j N(i) La pondération de la matrice P se fait comme suit (3.23). 1 d+1 j N(i) P i,j = 1 d(i) d+1 i = j 0 autrement. (3.23) Si, le graphe de communication n est pas orienté, la matrice P resultant est symétrique, ce qui permet une convergence vers la valeur moyenne des données collectées. Pour le cas d un graphe de communication fixe, le calcul de d se fait une seule fois. 23

26 Metropolis weights Pour cette approche la pondération est à base du degré de connectivité maximum entre les deux nœuds partageant le même lien. La pondération se fait comme suit (3.24) : 1 max[d(i),d(j)]+1 j N(i) P i,j = 1 k N(i) P i,k i = j (3.24) 0 autrement. La matrice obtenue par cette méthode est aussi stochastique, et doublement stochastique si le graphe n est pas orienté. Cette méthode est plus intéressante du moment qu elle ne calcule pas de degré de connectivité maximum d à travers tout le réseau, donc, elle peut facilement être mise en œuvre dans le cadre d un système distribué. La maîtrise de la matrice P (k) implique la maîtrise de la dynamique de l algorithme du consensus utilisé. Donc, on peut parameter sa vitesse de convergence par exemple. Après avoir donner un aperçu de l algorithme de consensus classique, la convergence étant asymptotique dont la performance est liée au nombre d itération exécutées par l algorithme en question Algorithme de consensus en temps fini Plus récemment, un algorithme de consensus calculant la moyenne exacte en un nombre fini d itérations a été conçu [6]. Contrairement à l algorithme du consensus classique qui se base sur une seule matrice P pour contrôler la dynamique de l algorithme, où, la matrice est prise doublement stochastique pour assurer une convergence asymptotique vers la moyenne des données entrant, cette deuxième approche considère, selon le nombre D de valeurs propres distinctes et non nulles de la matrice Laplacienne correspondant au graphe, un ensemble de matrices W i nous permettent de calculer 1 N 11T après un nombre d itérations en général égal à D et égal à la partie entière de N 2 dans le cas d une topologie en cercle. Avec N, le nombre de nœuds dans le graphe, et 11, la matrice unité et D +1 le nombre de valeurs propres distinctes de la matrice Laplacienne L. Donc, on rappelle que l objectif est de trouver l ensemble des matrices W i compatibles avec le graphe, diagonalisables et ayant 1 comme vecteur propre pour assurer la convergence. D W i = 1 N 11T i=1 Pour ce faire, on définit une matrice dont on connait les propriétés, compatible avec le graphe à = d max I L, avec d max, le degré maximum dans le graphe. On pose : W i = α i I + βã. La décomposition en valeurs propres de la matrice à est une alternative qui ramène le problème à la résolution d un système ayant un nombre d équation égal au nombre de valeurs propres distinctes de L où les variables sont les paramètres α i et β. La solution est donné par le théorème suivant : 24

27 Théorème : Pour un graphe connecté et non orienté auquel est associée la matrice Laplacienne L, l ensemble des matrices sont données par : W k = (α k + d max β)i) βl. Avec : k = 1,..., D, β 0. Ces matrices permettent d atteindre la valeur moyenne comme consensus au bout de D itérations si : 1. D + 1 est le nombre de valeurs propres distinctes de la matrice Laplacienne. 2. les paramètres α i et β sont donnés par : β = 1 D+1 i=2 D λ i α k = λ k+1 d max D+1 i=2 Avec : λ i, i = 2,..., D + 1 sont les valeurs propres distinctes de la matrice L différentes de zero. La preuve de la solution donnée dans le théorème peut être trouvée dans [6]. Pour récapituler, on dira que cette méthode utilise une dynamique variable faisant en sorte de calculer la valeur moyenne des données initiales en un temps fini. D λ i 3.4 Filtre de Kalman distribué basé sur un consensus de moyenne Plus récemment Olfati-Saber a proposé une approche du filtre de Kalman décentralisé utilisant l algorithme du consensus pour calculer la valeur moyenne des données locales suivantes (Hi T R 1 i H i, Hi T R 1 i z i (k)). D après (3.8) et (3.2) : n Φ = H T R 1 H = Hi T R 1 i H i On notera que c est un cas particulier où H i et R i sont des matrices constantes, donc, Φ est constant. D après les équations (3.12) et (3.13) identifiées au système (3.2), on voit que : Ψ(k) = H T R 1 z(k) = i=1 N i=1 Hi T R 1 i z i (k) L algorithme de consensus permet de calculer (exactement ou approximativement, selon l algorithme utilisé) les grandeurs qu on va noter ( Φet Ψ(k)) et qui sont respectivement exprimées comme suit : Φ = 1 N Φ = 1 N 25 N i=1 H T i R 1 i H i (3.25)

28 Ψ(k) = 1 N Ψ(k) = 1 N N i=1 H T i R 1 i z i (k) (3.26) En remplaçant H T R 1 H, dans l équation (2.4) du filtre centralisé par (N Φ i ) on aura l équation de mise à jour de la matrice de covariance de l erreur d estimation applicable au nœud i (3.27). P 1 i (k + 1/k + 1) = P 1 i (k + 1/k) + N Φ i (3.27) En remplaçant dans l équation (2.6), le gain par sa formule (3.6) et en utilisant les formules (3.25) et (3.26), on aura l équation qui permet à chaque nœud de mettre à jour son estimation (3.28). ˆx i (k + 1/k + 1) = ˆx i (k + 1/k) + P i (k + 1/k + 1)[N Ψ i (k + 1) N Φ iˆx i (k + 1/k)] (3.28) Cette dernière équation est équivalente à l équation de mise à jour de l algorithme précédent (3.16). Équivalence entre les deux équations de mise à jour (3.28) et (3.16) De l équation (3.27) : (k + 1/k) = P 1 (k + 1/k + 1) N Φ i P 1 i En remplaçant cette dernière équation dans (3.16) on aura : i ˆx i (k + 1/k + 1) = P i (k + 1/k + 1)[(P 1 i (k + 1/k + 1) N Φ i )ˆx i (k + 1/k) + N Ψ i ] (3.29) = P i (k + 1/k + 1)[P 1 i (k + 1/k + 1)ˆx i (k + 1/k) N Φ iˆx i (k + 1/k) + N Ψ i (k)] = ˆx i (k + 1/k) + P i (k + 1/k + 1)[N Ψ i (k) Φ iˆx i (k + 1/k)] Le filtre de Kalman local que chaque nœud doit executer est donné par les équations suivantes : ˆx i (k + 1/k) = F ˆx i (k/k) (3.30) P i (k + 1/k) = F P i (k/k)f T + GQ i (k)g T (3.31) P 1 i (k + 1/k + 1) = P 1 i (k + 1/k) + N Φ i (3.32) ˆx i (k + 1/k + 1) = P i (k + 1/k + 1)[P 1 i (k + 1/k)ˆx i (k + 1/k) + N Ψ i (k)] (3.33) Dans le cas du calcul exact du consensus les Φ i et Ψ i sont les mêmes au niveau de tous les nœuds du réseau. On peut remarquer que le filtre dans ((3.30),(3.31),(3.32),(3.33)) est une version compacte du précédent. Contrairement au premier qui suppose que le graphe de communication est complet pour calculer exactement les sommes (Φ(k) et Ψ(k)), ce dernier utilise un algorithme de consensus qui fait propager les informations dans le graphe et qui calcule les valeurs moyennes des quantités H i et Hi T R 1 z i (k) respectivement Φ et Ψ(k). H T i R 1 i i Si en plus, comme dans notre cas (H i et R i ) sont des matrices constantes, l execution de l algorithme de consensus calculant ( Φ) peut se faire hors ligne. 26

29 L algorithme suivant est récapitulatif des étapes qu un nœud doit executer pour pouvoir imiter un filtre centralisé. 1. calcul du consensus hors ligne : Φ i = cons({h T j R 1 j H j } N j=1 ). 2. Initialisation de l état du système ˆx i (0/0) et P i (0/0). k = 0 3. Prédiction de l état ˆx i (k + 1/k) et la matrice P i (k + 1/k). ˆx i (k + 1/k) = F ˆx i (k/k). P i (k + 1/k) = F P i (k/k)f T + GQ i (k)g T. 4. Mise à jour de P i (k + 1/k + 1). (k + 1/k + 1) = P 1 (k + 1/k) + N Φ i P 1 i 5. Acquisition de la mesure z i (k + 1). i 6. Calcul de Ψ i : Ψ i (k) = cons({h T j R 1 j z j (k + 1)} N j=1 ). 7. Mise à jour complète de l état du système : ˆx i (k + 1/k + 1) = P i (k + 1/k + 1)[P 1 i (k + 1/k)ˆx i (k + 1/k) + N Ψ i (k)]. 8. k = k + 1, retour à l étape 2. Y i = cons({u j } N j=1 ) c est la fonction représentant l algorithme du consensus qui reçoit en entrée les grandeurs locales U j et retourne exactement ou approximativement, en sortie, leur valeur moyenne Y i. Pour faire une estimation globale de l état du système, chaque nœud doit combiner avec son estimation partielle deux étapes de communication (Consensus de moyenne). Le consensus à obtenir dans le cas d utilisation de l algorithme de consensus classique dépend du temps de convergence qui lui est accordé, cela fait que les différents nœuds du réseau ne feront pas exactement la même estimation. Par contre dans le cas d utilisation de l algorithme de consensus en temps fini, les nœuds feront exactement la même estimation qu un algorithme centralisé. La différence dans la qualité d estimation pour l utilisation des deux algorithmes de consensus sera présentée dans le chapitre suivant. 3.5 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons abordé la problématique d estimation décentralisée de l état d un système. Nous avons vu que c est une tâche qui est faite en deux étapes principales : une estimation locale 27

30 à l aide d une mesure locale au niveau de chaque nœud du réseau et une étape de communication. Le premier algorithme que nous avons décrit suppose que le graphe de communication et complet, de telle manière que chacun des nœuds puisse calculer la valeur moyenne des données qu il reçoit de tous les autres nœuds du réseau. Dans le second algorithme, le graphe de communication n est pas forcément complet. La communication entre les nœuds est assurée par un algorithme de consensus. Pour ce dernier nous avons présenté deux différents algorithmes, le premier est dit classique, il converge vers la valeur moyenne des données partiellement calculées, avec la condition que la matrice décrivant sa dynamique soit doublement stochastique. Le second est un algorithme qui calcule la valeur moyenne exacte des données partielles en un nombre d itérations égal au nombre de valeurs propres distinctes et non nulles de la matrice Laplacienne du graphe de communication. Dans le chapitre suivant, nous allons présenter l application de l algorithme du filtre de Kalman distribué à l estimation de l etat d une ferme solaire. Une stratégie de détection et de localisation de défauts sera aussi présentée. 28

31 Chapitre 4 Application à une ferme photovoltaïque Une ferme photovoltaïque peut contenir des centaines, voire des milliers de modules solaires. La stabilité et la puissance électrique globales dépendent de l état de fonctionnement de chacun des modules photovoltaïques. Le principal problème du maintien en fonctionnement normal d une station photovoltaïque est dans la tâche de détection et de localisation de défauts Parmi tous les éventuels défauts qui peuvent apparaître dans un tel système, on s intéressera à ceux qui causent une baisse dans la puissance électrique produite par manque d ensoleillement : problème d ombrage ou accumulation de la poussière par exemple. 4.1 Description du système La puissance électrique générée par une station photovoltaïque dépend grandement de l irradiance solaire. Cependant, les fluctuations de l irradiance solaire font que la modélisation du système soit difficile. Dans [8], une étude expérimentale de l effet de l irradiance est faite à l aide d un banc de données d une seconde sur une période d un an. Ce sur six stations solaires différentes. Une analyse dans le domaine fréquentiel des données expérimentales a permis de modéliser un module solaire par une fonction de transfert de premier ordre. Fonction de transfert et équation différentielle L équation différentielle représentant le transfert entrée/sortie au niveau d un module solaire est donnée par (4.1) P (s) G(s) = K 1 + S 2πλ s (4.1) P représente la puissance électrique exprimée en watt, G représente l irradiance solaire exprimée en watt/m 2, K représente le gain exprimé en (m 2 ) et λ = 0.02 est un paramètre déterminé expéri- 29