Estimations de la vitesse de propagation des photons et complétude asymptotique en QED non relativiste

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1 Estimations la vitesse propagation et complétu asymptotique en Institut Mathématiques Boraux Université Boraux 1 J-F Bony, J F, J. Funct. Anal., 262, , (2012) J-F Bony, J F, IM Sigal, Adv. Math., 231, , (2012) J F, IM Sigal, arxiv:

2 Plan l exposé maximale minimale Complétu asymptotique

3 Partie I

4 H = p y + V (y), V C 0 (R 3 ; R) H auto-adjoint avec domaine D(H) = D( ) σ pp(h) ], 0[, σ ac(h) = [0, + [, σ sc(h) = Représentation impulsion : H = k + V (i k ) Fonctions localisation Soient f C 0 (R; [0, 1]) telle que supp(f ) [1, 2] et F (s) = R s f (τ) dτ. On note On définit même les fonctions F ( c) := F ( /c) F ( c) et F ( c)

5 H = p y + V (y), V C 0 (R 3 ; R) H auto-adjoint avec domaine D(H) = D( ) σ pp(h) ], 0[, σ ac(h) = [0, + [, σ sc(h) = Représentation impulsion : H = k + V (i k ) Fonctions localisation Soient f C 0 (R; [0, 1]) telle que supp(f ) [1, 2] et F (s) = R s f (τ) dτ. On note On définit même les fonctions F ( c) := F ( /c) F ( c) et F ( c)

6 Estimations propagation Estimation vitesse maximale ψ t = e ith ψ 0 Soient χ C 0 (R) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( y 1/2 ), F ( y ct) 2 1 ψt t γ ( y + 1) 2 1 ψ0 Estimations vitesse minimale Soient χ C 0 (R) et 0 < c < 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( k 1/2 ), Z 1 t 1 F ( y ct) 1 2 ψt 2 dt ( k 1 + 1) 1 2 ψ0 2 De plus, si supp(χ) ]0, + [, alors pour tous β < 1, c > 0 et ψ 0 χ(h)d( y ), F ( y ct β ) 1 2 ψt t δ ( y + 1)ψ 0

7 Estimations propagation Estimation vitesse maximale ψ t = e ith ψ 0 Soient χ C 0 (R) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( y 1/2 ), F ( y ct) 2 1 ψt t γ ( y + 1) 2 1 ψ0 Estimations vitesse minimale Soient χ C 0 (R) et 0 < c < 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( k 1/2 ), Z 1 t 1 F ( y ct) 1 2 ψt 2 dt ( k 1 + 1) 1 2 ψ0 2 De plus, si supp(χ) ]0, + [, alors pour tous β < 1, c > 0 et ψ 0 χ(h)d( y ), F ( y ct β ) 1 2 ψt t δ ( y + 1)ψ 0

8 Dérivée Heisenberg Métho s observables propagation (I) Soit Φ t une famille d observables. On note DΦ t = tφ t i[φ t, H], d où t ψ t, Φ tψ t = ψ t, DΦ tψ t Estimation propagation forte On suppose Φ t 0, DΦ t G t + R t, G t 0, et Z Alors ψ t, Φ tψ t + 0 Z 0 ψ t, R t ψ t dt ψ 0 2 ψ t, G tψ t dt ψ ψ 0, Φ 0ψ 0

9 Dérivée Heisenberg Métho s observables propagation (I) Soit Φ t une famille d observables. On note DΦ t = tφ t i[φ t, H], d où t ψ t, Φ tψ t = ψ t, DΦ tψ t Estimation propagation forte On suppose Φ t 0, DΦ t G t + R t, G t 0, et Z Alors ψ t, Φ tψ t + 0 Z 0 ψ t, R t ψ t dt ψ 0 2 ψ t, G tψ t dt ψ ψ 0, Φ 0ψ 0

10 Métho s observables propagation (II) Estimation propagation faible On suppose sup t ψ t, Φ tψ t ψ 0 2, DΦ t G t + R t, G t 0, et Alors Z Z 0 ψ t, R t ψ t dt ψ ψ t, G tψ t dt ψ ψ 0 2

11 Estimation vitesse maximale (I) Observable Soient J β (s) = s β F (s 1/2 ), et F ( y ct) 1 2 ψt t γ ( y + 1) 1 2 ψ0 Φ t = t 2γ J β (y 2 /c 2 t 2 ) (β β c) Dérivée Heisenberg DΦ t = tφ t i[φ t, H] = 2t 2γ 1 γj β ( y 2 c 2 t 2 ) y 2 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t 2 ) t 2γh J β ( y 2 c 2 t 2 ), i k i

12 Estimation vitesse maximale (I) Observable Soient J β (s) = s β F (s 1/2 ), et F ( y ct) 1 2 ψt t γ ( y + 1) 1 2 ψ0 Φ t = t 2γ J β (y 2 /c 2 t 2 ) (β β c) Dérivée Heisenberg DΦ t = tφ t i[φ t, H] = 2t 2γ 1 γj β ( y 2 c 2 t 2 ) y 2 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t 2 ) t 2γh J β ( y 2 c 2 t 2 ), i k i

13 Développement du commutateur hj β ( y 2 c 2 t 2 ), i k i = 1 π Z = 1 πc 2 t 2 Estimation vitesse maximale (II) Jβ z (z)ˆ(y 2 /c 2 t 2 z) 1, i k dre z dim z Z Jβ z (z)(y 2 /c 2 t 2 z) 1 k y k + k k y (y 2 /c 2 t 2 z) 1 dre z dim z = 1 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) 1 k 2 2 y k + k k y J β( y 2 c 2 t ) Rt, avec k 1 2 Rt k 1 2 t 2 Estimation du commutateur ± hj β ( y 2 i c 2 t ), i k 2 y 2 2 ct c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) + 2 Ct 2 k 1

14 Estimation vitesse maximale (III) Dérivée Heisenberg DΦ t = tφ t i[φ t, H] = 2t 2γ 1 γj β ( y 2 c 2 t ) y 2 2 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) t 2γh J 2 β ( y 2 i c 2 t ), i k 2 2t 2γ 1 γj β ( y 2 1 c 2 t ) 1 y 2 2 c c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) + Ct 2+2γ k 1 2 2t 2γ 1 γ 1 1 β J β ( y 2 c c 2 t ) + 2 Ct 2+2γ k 1 Ct 2+2γ k 1, pour γ 1 1 β c

15 Estimation vitesse maximale (IV) Contrôle l évolution k 1 D une part, ψ t, k 1 F ( k t µ )ψ t t 2µ ψ t, k F ( k t µ )ψ t t 2µ ψ 0 2 D autre part, ψ t, k 1 F ( k t µ )ψ t ψ 0, ( k 1 + 1)ψ 0 + ψ 0, ( k 1 + 1)ψ 0 + Z t 0 Z t 1 ψ ˆ k s, 1 F ( k s µ ), V (y) ψ s ds s µ/2+ε ψ 0 2 ds k 2 1 ψ0 2 + t 1 µ/2+ε ψ 0 2 Conclusion : ψ t, k 1 ψ t croît moins vite que linéairement

16 Estimation vitesse maximale (V) Dérivée Heisenberg ψ t, DΦ tψ t Ct 2+2γ ψ t, k 1 ψ t Intégrable pour γ pas trop grand Conclusion t 2γ ψ t, F ( y ct)ψ t ψ t, Φ tψ t ψ 0 2

17 Partie II standard la

18 Le modèle Système physique Système atomique non (N particules quantiques, chargées, non s) En interaction avec le champ électromagnétique quantifié Système atomique Système le plus simple : atome d hydrogène avec noyau infiniment lourd associé dans H el = L 2 (R 3 ) H el = x + V (x), où V L 2 loc(r 3 ; R), et V (x)ψ ε xψ + C ε ψ. Par exemple V (x) = C x

19 Le modèle Système physique Système atomique non (N particules quantiques, chargées, non s) En interaction avec le champ électromagnétique quantifié Système atomique Système le plus simple : atome d hydrogène avec noyau infiniment lourd associé dans H el = L 2 (R 3 ) H el = x + V (x), où V L 2 loc(r 3 ; R), et V (x)ψ ε xψ + C ε ψ. Par exemple V (x) = C x

20 Espace Hilbert pour le champ photons Espace Fock (I) Espace Hilbert pour 1 photon : L 2 (R 3 {1, 2}) Espace Fock symétrique pour le champ photons : H ph = + M n=0 F (n) s = C M n 1 L 2 (R 3 {1, 2}) n s Ψ = ( Ψ (0), Ψ (1) (K 1) {z } {z } C, Ψ (2) (K 1, K 2) {z } L 2 (R 3 {1,2}) L 2 ((R 3 {1,2}) 2 ),... ) H ph s création et d annihilation Pour f L 2 (R 3 {1, 2}), (a (f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = 1 n nx f (K i )Ψ (n 1) (K 1,, ˆK i,, K n) i=1 (a(f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = Z n + 1 R 3 {1,2} f (K)Ψ (n+1) (K, K 1,, K n)dk

21 Espace Hilbert pour le champ photons Espace Fock (I) Espace Hilbert pour 1 photon : L 2 (R 3 {1, 2}) Espace Fock symétrique pour le champ photons : H ph = + M n=0 F (n) s = C M n 1 L 2 (R 3 {1, 2}) n s Ψ = ( Ψ (0), Ψ (1) (K 1) {z } {z } C, Ψ (2) (K 1, K 2) {z } L 2 (R 3 {1,2}) L 2 ((R 3 {1,2}) 2 ),... ) H ph s création et d annihilation Pour f L 2 (R 3 {1, 2}), (a (f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = 1 n nx f (K i )Ψ (n 1) (K 1,, ˆK i,, K n) i=1 (a(f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = Z n + 1 R 3 {1,2} f (K)Ψ (n+1) (K, K 1,, K n)dk

22 Espace Fock (II) s champ Φ(f ) = a (f ) + a(f ) s second quantifiés Soit b un opérateur sur L 2 (R 3 {1, 2}). La secon quantification b est l opérateur sur H ph défini par dγ(b) (n) F = b b b s dγ(b) Ω = 0 où Ω = (1, 0, 0, ) (vi)

23 Espace Fock (II) s champ Φ(f ) = a (f ) + a(f ) s second quantifiés Soit b un opérateur sur L 2 (R 3 {1, 2}). La secon quantification b est l opérateur sur H ph défini par dγ(b) (n) F = b b b s dγ(b) Ω = 0 où Ω = (1, 0, 0, ) (vi)

24 standard la Espace Hilbert pour le système total (électron+champ photons) H = H el H ph = L 2 (R 3, dx) H ph Hamiltonien Pauli-Fierz agissant dans H H = ` i x 1 Hph α 3 2 A(αx) Hel H f + V (x) 1 Hph où H f = dγ(ω), ω(k) = k, A j (x) = Φ(h j (x)), h j (x, k, λ) = e ik x χ(k) k 1 2 ( ελ (k)) j

25 Spectre, Seuil d ionisation Spectre ([Bach,Fröhlich,Sigal 99], [Griesemer,Lieb,Loss 01]) Sous une hypothèse règle d or Fermi et pour couplage suffisamment petit, H possè une valeur propre simple E gs au bas du spectre (associé à un état fondamental Φ gs), et le spectre est absolument continu dans l intervalle (E gs, Σ) Seuil d ionisation Défini par Σ = lim inf R ϕ D R, ϕ =1 où D R = {ϕ D(H); ϕ(x) = 0 si x < R} ϕ, Hϕ, Décroissance exponentielle ([Bach,Fröhlich,Sigal 99], [Griesemer 02]) Pour tout δ, ξ R tel que ξ + δ 2 < Σ, e δ x E (,ξ] (H) <

26 Dynamique Equation On s intéresse à la dynamique associée à l équation i tψ t = Hψ t Etats initiaux On considère s états initiaux en ssous du seuil d ionisation, ψ 0 Ran E (,Σ) (H) (Processus d absorption et d émission photons, l atome restant non ionisé) Objectif On souhaite étudier le comportement asymptotique lorsque t + la dynamique associée au modèle

27 connus Hamiltoniens avec une forme explicite Arai 83, Spohn 97, Derezinski 04 s massifs ou avec troncature infrarouge Derezinski-Gérard 99, Fröhlich-Griesemer-Schlein 02 pour s modèles non massifs Gérard 02 Retour à l équilibre et borne uniforme sur le nombre photons émis pour le modèle spin-bosons De Roeck-Kupiainen 12

28 maximale minimale Complétu asymptotique Partie III

29 maximale minimale Complétu asymptotique III.1 maximale

30 maximale maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( y ) 1/2 ), dγ`f ( y ct) 1 2 ψ t t γ (dγ( y ) + 1) 2 1 ψ0 Elements preuve Transformation Pauli-Fierz généralisée Versions second quantifiées s commutateurs/estimations précéntes s champ = termes reste (intégrable) Décroissance exponentielle en ssous du seuil d ionisation Contrôle dγ( k δ ) le long l évolution

31 maximale maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( y ) 1/2 ), dγ`f ( y ct) 1 2 ψ t t γ (dγ( y ) + 1) 2 1 ψ0 Elements preuve Transformation Pauli-Fierz généralisée Versions second quantifiées s commutateurs/estimations précéntes s champ = termes reste (intégrable) Décroissance exponentielle en ssous du seuil d ionisation Contrôle dγ( k δ ) le long l évolution

32 maximale minimale Complétu asymptotique III.2 minimale

33 maximale minimale Complétu asymptotique préliminaires Décroissance l énergie locale à basses énergies Inégalité Mourre ([Fröhlich,Griesemer,Sigal 08]) 1 Jσ (H)[H, ib σ]1 Jσ (H) c 0σ1 Jσ (H) avec B σ générateur s dilatations dans l espace Fock, restreint aux basses énergies [Hunziker,Sigal,Soffer 00] implique, pour χ σ C 0 (J σ), B σ s e ith χ σ(h) B σ s σt s

34 maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F]) Décroissance l énergie locale uniforme à basses énergies Pour tous 0 α α c, χ C 0 (], e 1 δ[; R), 0 s < 2, et t R, avec Π gs = 1 {Egs}(H) dγ( y ) s e ith χ(h) dγ( y ) s = e itegs χ(e gs) dγ( y ) s Π gs dγ( y ) s + O( t s ), Eléments preuve Décomposition dyadique s basses énergies ([Bony,Häfner 10]) Inégalités Hardy dans l espace Fock dγ( y ) s χ σ(h α) B σ s σ s

35 maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F]) Décroissance l énergie locale uniforme à basses énergies Pour tous 0 α α c, χ C 0 (], e 1 δ[; R), 0 s < 2, et t R, avec Π gs = 1 {Egs}(H) dγ( y ) s e ith χ(h) dγ( y ) s = e itegs χ(e gs) dγ( y ) s Π gs dγ( y ) s + O( t s ), Eléments preuve Décomposition dyadique s basses énergies ([Bony,Häfner 10]) Inégalités Hardy dans l espace Fock dγ( y ) s χ σ(h α) B σ s σ s

36 Propagation d au moins un photon maximale minimale Complétu asymptotique Γ(b) = b b (sur l espace pour n photons) Théorème ([F,Sigal]) Soient ]E gs, Σ el [ et χ C 0 ( ). On suppose que la règle d or Fermi est satisfaite dans. Pour tout 0 α α c et ψ 0 χ(h)d(dγ( y )), Γ(F ( y ct β ))ψ t t γ `dγ( y ) + 1 ψ 0, pour certains β < 1 Remarque A basses énergies, conséquence la décroissance l énergie locale et du fait que N = dγ(1) croît moins vite que linéairement

37 maximale minimale Complétu asymptotique minimale ψ t, dγ( k δ )ψ t t ν( δ) (dγ( k δ ) + 1)ψ 0 2 Théorème ([F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[). Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( k 1 ) 1/2 ), Z 1 t β aν(0) dγ(f ( y ct β )) 1 2 ψt 2 dt (dγ( k 1 ) + 1) 1 2 ψ0 2, avec (1 δ < β < 1 et c > 0) ou (β = 1 et 0 < c < 1), et a > 1 Elements preuve Métho s observables propagation Observable dγ(f (b t/ct β )) avec b t = i ` 2 k k + t κ k + k k k + t κ

38 maximale minimale Complétu asymptotique minimale ψ t, dγ( k δ )ψ t t ν( δ) (dγ( k δ ) + 1)ψ 0 2 Théorème ([F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[). Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( k 1 ) 1/2 ), Z 1 t β aν(0) dγ(f ( y ct β )) 1 2 ψt 2 dt (dγ( k 1 ) + 1) 1 2 ψ0 2, avec (1 δ < β < 1 et c > 0) ou (β = 1 et 0 < c < 1), et a > 1 Elements preuve Métho s observables propagation Observable dγ(f (b t/ct β )) avec b t = i ` 2 k k + t κ k + k k k + t κ

39 maximale minimale Complétu asymptotique III.3 Complétu asymptotique

40 Complétu asymptotique (I) maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([F,Sigal]) Soit ], Σ el [. On suppose que la règle d or Fermi est satisfaite dans, que 0 α α c, et que l une s ux hypothèses suivantes est vérifiée : (i) Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ(1) 1/2 ) et χ C 0 ( ), dγ(1) 1 2 ψt dγ(1) 1 2 ψ0 + ψ 0 (i ) Pour tout ψ 0 dans un certain ensemble D nse dans Ran 1 (H), dγ( k 1 ) 1 2 ψt C(ψ 0) Alors la complétu asymptotique est satisfaite dans Ran 1 (H) : pour tous ψ 0 Ran 1 (H) et ε > 0, il existe f ε H ph avec un nombre fini photons, tel que lim sup e ith ψ 0 e itegs Φ gs s e ith f f ε ε t

41 Complétu asymptotique (II) maximale minimale Complétu asymptotique spin-bosons Hypothèse (i ) vérifiable ([De Roeck,Kupiainen 12]) Eléments preuve Partition asymptotique l unité dans l espace Fock Existence s opérateurs d on inverse Utilisation s estimations vitesse propagation

42 maximale minimale Complétu asymptotique Définition Soit h t(k) = e it k h(k), s création et d annihilation asymptotiques a # ±(h)φ := lim t ± eith a # (h t)e ith Φ, pour tous h h 0 = {h L 2 (R 3 ), R h(k) 2 ( k 1 + k 2 )dk < } et Φ Ran E (,Σ) (H) Propriétés 1 Si Ψ est un vecteur propre H, a ±(h)ψ = 0 2 On vérifie que lim t ± eith a # (h 1,t) a # (h n,t)e ith Φ = a ±(h # 1) a ±(h # n)φ, pour tous h 1,, h n h 0 et Φ Ran E (,Σ) (H)

43 maximale minimale Complétu asymptotique Définition Soit h t(k) = e it k h(k), s création et d annihilation asymptotiques a # ±(h)φ := lim t ± eith a # (h t)e ith Φ, pour tous h h 0 = {h L 2 (R 3 ), R h(k) 2 ( k 1 + k 2 )dk < } et Φ Ran E (,Σ) (H) Propriétés 1 Si Ψ est un vecteur propre H, a ±(h)ψ = 0 2 On vérifie que lim t ± eith a # (h 1,t) a # (h n,t)e ith Φ = a ±(h # 1) a ±(h # n)φ, pour tous h 1,, h n h 0 et Φ Ran E (,Σ) (H)

44 d on maximale minimale Complétu asymptotique Espace s vis asymptotiques K + = {u Ran E (,Σ) (H), a +(h)u = 0 pour tout h h 0} On a Ran Π gs K + Espace asymptotique H + = K + F s d on Défini sur K + F fin (h 0) par Ω +(Φ a (h 1) a (h n)ω) = a +(h 1) a +(h n)φ Ω + est isométrique et se prolonge en une isométrie sur H +

45 d on maximale minimale Complétu asymptotique Espace s vis asymptotiques K + = {u Ran E (,Σ) (H), a +(h)u = 0 pour tout h h 0} On a Ran Π gs K + Espace asymptotique H + = K + F s d on Défini sur K + F fin (h 0) par Ω +(Φ a (h 1) a (h n)ω) = a +(h 1) a +(h n)φ Ω + est isométrique et se prolonge en une isométrie sur H +

46 d intification maximale minimale Complétu asymptotique d intification Soit H fin = H el F fin F fin (où F fin est l espace est l espace Fock s vecteurs n ayant qu un nombre fini particules). d intification I : H fin H défini par I : Φ ny a (h i )Ω pour tout Φ H el F fin et h 1,... h n L 2 (R 3 ) 1 ny a (h i )Φ, 1 d on Sur l espace Ran Π gs F fin (h 0), Ω + = s lim t e ith I (e ith e ith f )

47 Complétu asymptotique maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([F, Sigal]) Sous les mêmes hypothèses que précémment (théorème sur la complétu asymptotique), on a sur Ran E [Egs,Σ)(H) : Ω +(Π gs Π Ω )W + Πgs + Π gs = 1, où W + est l opérateur d on inverse Deift-Simon, Π Ω est la projection sur le vi dans l espace Fock, et Π # = 1 Π #. En particulier, K + = Ran Π gs, i.e. l espace s vis asymptotiques coïnci avec l état fondamental

48 Merci