Intégration et probabilités ENS Paris, TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014. TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé"

Transcription

1 Intégration et probabilités NS Paris, TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé xercices à préparer du TD 4 xercice. (Partiel 27 Soit (,,µ un espace mesuré et f : + une fonction mesurable.. On suppose que f est intégrable. Étudier la convergence de la suite ( I n n ln + f dµ n lorsque n. 2. Même question losque f dµ.. Pour tout x, nln( + f (x/n f (x lorsque n, et de plus, on a n ln( + f /n dµ f, qui est une fonction intégrale positive indépendante de n. D après le théorème de convergence dominée, I n f dµ. 2. D après le lemme de Fatou, xercice 2. ( lim inf nln + f dµ f dµ. n n Ainsi I n. emarque. On peut aussi vérifier que nln( + f /n croît vers f quand n, et appliquer, aussi bien pour a que pour b, le théorème de convergence monotone.. Dans le lemme de Fatou, montrer que si l on remplace liminf par limsup, f n par f n et par, le théorème reste vrai. Montrer en revanche, à l aide de contre-exemples, qu on ne peut pas se permettre d en changer certains mais pas les autres. 2. Donner un exemple de fonctions (f n n pour lesquelles l inégalité est stricte dans le lemme de Fatou. 3. Dans le théorème de convergence dominée, vérifier, en donnant des exemples et contre-exemples, que si l on oublie une hypothèse la conclusion peut rester vraie, ou pas! 4. eprendre la question précédente avec le théorème de convergence monotone. Pour des questions, demande de précisions ou explications, n hésitez pas à m envoyer un mail à ou bien à venir me voir au bureau V4.

2 5. Soit (f n une suite de fonctions positives convergeant µ-pp vers f. Supposons que f n dµ c <. Montrer que f dµ est définie est appartient à [,c] mais ne vaut pas nécessairement c. 6. Construire une suite de fonctions continues f n sur [,], avec f n, et telle que lim f n (xdx, sans toutefois que la suite (f n (x ne converge pour aucun x de [,]. Tout d abord, voici une tripotée d exemples utiles : La bosse glissante : f n [n,n+]. Le puits infini : f n n [,/n]. Pour les probabilistes : (X i i une suite iid de Bernoulli /2. Le stroboscope infernal : f n est un plateau de largeur /n que l on fait glisser sur le segment [,].. Pour la première partie, il suffit d utiliser le lemme de Fatou avec f n à la place de f n. Pour les contre-exemples, choisir parmi la liste ci-dessus. 2. Choisir un contre-exemple parmi la liste ci-dessus. 3. Si on oublie la condition de domination : si on prend f n n [n,n+], la conclusion reste vraie (autre exemple : f n (x n si /n < x <, f n (x n si < x < /n et sinon ; mais si on prend la bosse glissante la conclusion est mise en défaut. Si on oublie la convergence presque partout : voir question 6. pour un exemple où la conclusion demeure, mais si on prend f n (x sin(n sur [,], la conclusion est mise en défaut. 4. Si on oublie la croissance : si on prend f n {n}, la conclusion reste vraie, mais si on prend le puits infini, la conclusion est mise en défaut. Si on oublie la positivité : si on prend f n {n}, la conclusion reste vraie, mais si on prend f n (x x ],/n[(x, la conclusion est mise en défaut. 5. Prendre la bosse glissante. 6. Prendre le stroboscope infernal : f n,k (x ] k n, k n[ pour k n. Petites questions xpliquer pourquoi il n y a pas de faute d orthographe dans le titre du TD. Soit f la fonction définie sur [,] 2 par f (x,y x2 y 2 Calculer alors 2 n considérant l intégrale dx dyf (x,y et 2 + (x 2 + y 2 2 si (x,y (, et f (x,y si x y. dy dxf (x, y. Diabolique, non? ( + y( + x 2 dx dy, calculer y + ln(x x 2 dx. 3 n remarquant que x sin(x cos(xydy, calculer pour tout t > l intégrale suivante + x sin(xe tx dx. 2

3 Deux théorèmes de Fubini ont été vus en cours, dont l un spécifique aux fonctions à valeurs positives. À x fixé, en remarquant que y/(x 2 + y 2 est une primitive de (x 2 y 2 /(x 2 + y 2 2, il vient : [ y dyf (x,y x 2 + y 2 ] + x 2. Donc dx dyf (x,y π 4 et par symétrie dy dxf (x,y π 4. De ce fait le théorème de Fubini ne s applique pas, car f n est pas dans L ([,] 2. 2 Notons F(x,y ( + y( + x 2 pour tout x,y. On a, d après le théorème de Fubini pour les y fonctions positives, 2 + F(x,ydx dy + ( dy + y + dx + x 2 y + dy π ( + y 2 y π 2 + 2du + u 2 π2 2, et Or pour tout x >, 2 + ( F(x,ydx dy F(x,ydy dx F(x,ydy x 2 + ( x 2 + x 2 y + y dy 2ln(x x 2. Donc + ln(x π2 x 2 dx 4. 3 Posons G(x,y cos(xyexp( tx pour x, y [,] et t >. On a G(x,y exp( tx et (x,y exp( tx est intégrable sur + [,] d après le théorème de Fubini pour les fonctions positives. Donc G est intégrable sur + [,] et d après le théorème de Fubini pour les fonctions intégrables, sin(x e xt dx + x G(x,ydx dy + [,] ( cos(xye tx dx + t y 2 + t 2 dy ( arctan. t 2 Théorèmes de Fubini dy xercice 3. (Truc de ouf Soit f : une fonction borélienne. Montrer que pour λ presque tout y, λ({x ; f (x y}. 3

4 On écrit, en utilisant le théorème de Fubini pour les fonctions positives : dyλ({x ; f (x y} dxdy {f (xy} dxλ({y ; f (x y} dx. Le résultat en découle, car une fonction positive d intégrale nulle est presque partout nulle. Autre solution : Pour m,n, on note { A m,n y ; λ({f ({y} [ m,m]} > }. n Il est facile de voir que A m,n est fini. Ainsi : {y ; λ({x ; f (x y} > } m,n A m,n est dénombrable, donc de mesure de Lebesgue nulle. Ceci conclut. xercice 4. (Quelque chose d utile Sur un espace mesuré σ-fini (,A,µ, on considère f : (,A,µ ( +,B( + une fonction mesurable. Soit g : + + une fonction croissante de classe C telle que g(. Montrer que + g f dµ g (tµ({f t}dt. Indication : On pourra écrire g(f (t comme une intégrale. 2. Montrer que f dµ µ{f t}dt. 3. On suppose que µ est finie et qu il existe p et c > tels que pour tout t >, µ({ f > t} ct p. Montrer que f L q (,A,µ pour tout q [,p[. A-t-on forcément f L p (,A,µ?. La fonction g : + + est de classe C et g( donc pour tout x on a On a donc g f dµ f (x g(f (x g (sds. + g (s {s f (x} ds dµ(x. t la fonction F : (x,s + g (s {s f (x} est positive. Donc d après le théorème de Fubini pour les fonctions positives (Fubini-Tonelli, on a g f dµ g (s {s f (x} dµ(xds g (sµ({f s}ds Application immédiate de la question précédente en prenant g(x x. 4

5 3. On applique la question. avec f et g(x x q (pour passer de µ({ f > t} à µ({ f t}, on remarque qu on peut remplacer {s f (x} par {s < f (x} dans la solution de la question : f q dµ q t q µ({ f t}dt qµ( + cq t q p dt <, car q p <. n revanche, on n a pas forchément f L p (,A,µ : prendre par exemple f t /p sur ],]. emarque. Si f L p (,A,µ, l inégalité de Markov implique qu il existe c > telsque pour tout t >, µ({ f > t} ct p. 3 Calculs xercice 5.. Soit (f n n une suite de fonctions (,A,µ (,B( intégrables. Montrer que ( f n dµ < f n dµ f n dµ. n n n 2. Calculer les intégrales lnx x dx, sin(ax e x dx.. D après le théorème de convergence monotone, la fonction n f n est intégrable. Cela implique que la fonction n f n existe et est intégrable. De plus, pour tout N N, N f n f n et n n N f n n p.p. N f n. D après le théorème de convergence dominée, on a donc N f n dµ f n dµ. Par ailleurs, pour tout N, n N N f n dµ n n n N f n dµ. t f ndµ est le terme général d une série absolument convergente par hypothèse. n passant à la limite quand N + dans l égalité précédente, on obtient le résultat. 2. Pour tout x ],[, on a ln(x x x n ln(x. n Posons pour tout n, f n : x ],[ x n ln(x. Alors, par une intégration par parties, on obtient, f n (x dx x n ln(xdx 5 n x n n + dx (n + 2.

6 Donc n f n(x dx < +. On peut donc appliquer la question. et l on trouve, ln(x x dx Autre possibilité : Écrire Pour tout x >, on a x n ln(x dx n ln(x x dx sin(ax e x n x n ln(xdx (n + 2 π2 6. n ln( x x dx et développer plutôt en série entière ln( x. sin(ax e x e x e (n+x sin(ax. Posons pour tout n, f n : x ],+ [ e (n+x sin(ax. Alors, pour tout x >, f n axe (n+x, et n f n (x dx n n axe (n+x dx (n + 2 <. n Ainsi, d après la question., On a, Donc, f n (xdx sin(ax e x dx n f n (xdx. (e (n+x eiax e iax dx ( 2i 2i (n + x iax (n + x + iax a (n a 2. sin(ax e x dx a n 2 + a 2. n xercice 6. Soit ϕ : ([,],B([,] (,B( une fonction intégrable pour la mesure de Lebesgue. On définit F : + + par F(t ϕ(x 2 + t dx. [,]. Montrer que F est continue sur + et dérivable sur Donner une condition nécessaire et suffisante sur ϕ pour que F soit dérivable en.. On pose, pour tous t et x [,], f (x,t ϕ(x 2 + t. Pour tout t, f (x,t ϕ(x + t qui est intégrable sur [,]. La fonction F est donc bien définie. De plus, pour tout A > et pour tout t [,A], f (x,t ϕ(x + A. D après le théorème de continuité sous le signe intégrale, F est continue sur tout ensemble de la forme [,A] et donc sur +. La fonction f est de plus dérivable par rapport à t en tout t > et Soient a > et t a. On a alors f (x,t t f (x,t t 6 2 ϕ(x 2 + t. 2 a.

7 Ainsi, F est dérivable sur tout ensemble de la forme [a,+ [ et donc sur + de dérivée F (t 2 ϕ(x 2 + t dx. 2. Soit (t n n une suite décroissant vers. On a F(t n F( ϕ(x 2 + t n ϕ(x dx t n t n ϕ(x 2 + t n + ϕ(x dx. D après le théorème de convergence monotone, F(t n F( t n n 2 ϕ(x dx. Ainsi, F est dérivable en si et seulement si / ϕ est intégrable. 4 Compléments (hors TD xercice 9. On définit une fonction µ : P ( [, + ] par µ(a si A est une partie finie ou dénombrable, µ(a + sinon. a Soit K l espace triadique de Cantor défini par K n 3 n : (a n n {,2} N. On rappelle que K est un compact de [,], infini non-dénombrable et de mesure de Lebesgue nulle. On pose C {(x,y : x y K}.. Vérifier que µ est une mesure sur (,P (. n 2. Montrer que C B( P (. ( 3. Calculer les intégrales C (x,yµ(dy dx et ( C (x,ydx µ(dy. Conclure.. L ensemble vide est considéré comme fini donc µ(. Si (A n n est une suite de parties de disjointes finies ou dénombrables alors n A n est finie ou dénombrable et donc µ A n µ(a n. n Si (A n n P ( N est une suite dont au moins une des parties est infinie non-dénombrable alors n A n est infinie non-dénombrable et donc µ A n + µ(a n. n 2. L ensemble K est compact donc C est fermé. Ainsi C B( B( P (. n n 7

8 3. On a ( C (x,yµ(dy car x K est non-dénombrable et ( C (x,ydx dx µ(x Kdx +, µ(dy λ(k ydy λ(kdy. On a ici un exemple où le théorème de Fubini pour les fonctions positives s applique pas, la mesure µ n est pas σ-finie. xercice. Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur la tribu borélienne de.. Montrer que l ensemble D µ {x : µ({x} > } est fini ou dénombrable. 2. Soit {(x,x : x } la diagonale de 2. Montrer que µ ν( µ({x}ν({x}. x. Soit ( n n une suite croissante de boréliens de telle que n n et telle que µ( n < pour tout n. On note D n { x n : µ(x /n }. Si D n est infini alors il contient une suite (y m m et µ( n µ(d n µ({y m,m } µ({y m } n, ce qui est impossible. On en déduit donc que D n est fini. Puis D n D n est fini ou dénombrable. 2. D après le théorème de Fubini pour les fonctions positives on a µ ν( (x,yµ(dxν(dy µ({y}ν(dy µ({x} {xy} ν(dy x D µ µ({x} {xy} ν(dy x D µ m µ({x}ν({x} x D µ D ν µ({x}ν({x}. x m xercice. (La fonction Γ Pour tout t > on pose Γ (t x t e x dx.. Montrer que ceci définit une fonction de classe C sur +. 8

9 2. Montrer la formule d uler : pour tout t >, Γ (t lim n n t n! t(t +...(t + n. Indication : on pourra considérer la suite de fonctions (f n n définies par ( f n : x ], [ ],n[ (x n x n x t.. Pour tout t >, la fonction x + g(t,x x t e x est intégrable donc Γ est bien définie sur +. De plus, pour tout k et pour tout x >, g est k-fois dérivable par rapport à t et k g(x,t t k (ln(x k x t e x. Pour tous A > a >, t [a,a] et x >, on a k g(x,t t k (ln(x k x A e x {x } + (ln(x k x a e x {x<}, et la fonction x + (ln(x k x A e x {x } + (ln(x k x a e x {x<} L ( +,λ. D après le théorème de dérivation sous le signe intégrale, Γ est de classe C k sur tout ensemble de la forme [a,a] et ceci pour tout k. On obtient donc le résultat. 2. On fixe t >. On voit que la suite de fonctions (f n n converge p.p. vers f : x + x t e x et de plus pour tout x >, f n (x x t e x. Donc, d après le théorème de convergence dominée, on a Or, en posant u x/n, on a n Γ (t lim n n ( x n n x t dx. ( x n x t dx n t ( u n u t dt n t I n n (t. On montre par une intégration par parties que I n (t (ni n (t+/t pour tout n. On en déduit que n! I n (t t(t +...(t + n I n! (t + n t(t +...(t + n (t + n. xercice 2. Soit ϕ : ([,],B([,] (,B( une fonction intégrable pour la mesure de Lebesgue. On définit G : + par G(t ϕ(x t dx. [,]. Montrer que G est continue sur. 2. Montrer que G est dérivable en t si et seulement si où λ désigne la mesure de Lebesgue. λ({ϕ t}, 9

10 . Même méthode qu à la question. de l exercice Pour tout t et tout h, on a G(t + h G(t h ϕ(x t h ϕ(x t dx. h Soit (h n n une suite de réels strictement positifs décroissant vers. Pour tout x [,], on a ϕ(x t h n ϕ(x t h n [ϕ(x,+ [ (t ],ϕ(x[ (t, n et ϕ(x t h n ϕ(x t h n. Ainsi, d après le théorème de convergence dominée, la fonction G est dérivable à droite en t et G d (t λ({ϕ t} λ({ϕ > t}. De même, G est dérivable à gauche en t et G g(t λ({ϕ < t} λ({ϕ t}. Ainsi G d (t G g(t λ({ϕ t} ce qui implique le résultat. Fin

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

TD3. Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz. f (s,y(s))ds.

TD3. Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz. f (s,y(s))ds. Analyse fonctionnelle A. Leclaire - L. Magnis ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016 TD3 Exercice 1 Un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz Soient I un intervalle de, E un espace de Banach et f :

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières.

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières. Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M Hadamard 25-26 TD7 Exercice Sous-espaces fermés de C ([,] formé de fonctions régulières. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de C ([,] muni de la convergence

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo Feuille de TD 6. Théorie de l mesure et intégrtion. J.C. Prdo Exercices. Exo. 72 Soit f une fonction sur. On considère muni de l tribu B des boréliens et d une mesure λ sur B. On suppose que f est λ-loclement

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Introduction aux processus de diffusion Pierre Priouret. Mode d emploi

Introduction aux processus de diffusion Pierre Priouret. Mode d emploi Université Pierre et Marie Curie Master de sciences et technologies Mathématiques et applications. Deuxième année Spécialité Probabilités et applications. Filière Probabilités et Finances Année 24/25 1

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < +

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Chapitre 6 Les espaces L p 6.1 Définitions et premières propriétés 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Soient (E, T,m) un espace mesuré, 1 p < + et f M = M(E, T) (c est-à-dire f : E R, mesurable). On remarque

Plus en détail

3 Equations de Laplace et de Poisson

3 Equations de Laplace et de Poisson 3 Equations de Laplace et de Poisson 3. Formule d intégration par parties Soit un domaine borné à bord régulier de classe C. On note ν = ν(x) le vecteur normal extérieur au point x. Pour toutes fonctions

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

Exercices sur les équations différentielles :

Exercices sur les équations différentielles : Université de Rennes 200-20 Licence de mathématiques L2-ED Exercices sur les équations différentielles : Une mise en jambes Exercice. Parmi les espaces suivants, lesquels sont des espaces vectoriels sur

Plus en détail

Calcul intégral et probabilités. Université de La Rochelle

Calcul intégral et probabilités. Université de La Rochelle Calcul intégral et probabilités Frédéric Testard Université de La ochelle Agrégation externe - Calcul intégral et probabilité On donne ci-dessous le planning de la partie de l enseignement de calcul intégral

Plus en détail

Seconde Partie. Cours de Mathématiques. Semestre

Seconde Partie. Cours de Mathématiques. Semestre Année 2009-2010 ntégration et Probabilités Seconde Partie Cours de Mathématiques Takéo Takahashi Première Année FICM Semestre Table des matières 5 Indépendance et Convolution 3 5.1 Indépendance..............................................

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Théorèmes d échange de limites

Théorèmes d échange de limites Théorèmes d échange de limites ) Convergence uniforme et limites Théorème de continuité our les suites de fonctions. Pour E et F deux esaces vectoriels normés, on considère une suite d alications f n :

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions

TD Dérivation n 2 : étude des variations de fonctions 1) f (x) = 7x+3 TD Dérivation n : étude des variations de fonctions Étude de variations f est une fonction affine, de coefficient directeur négatif, on sait donc qu elle est décroissante surê. Le calcul

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Statistiques - Notes de cours - M1. Elisabeth Gassiat

Statistiques - Notes de cours - M1. Elisabeth Gassiat Statistiques - Notes de cours - M1 Elisabeth Gassiat Table des matières 1 Introduction 5 1.1 Estimation et régions de confiance...................... 5 1.2 Tests.......................................

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau.

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Gilles arbou.m.l.a Ecole Normale Supérieure de achan 61, avenue du Président Wilson 9435 achan edex Résumé. - On étudie les solutions

Plus en détail

EMLyon 2011 - Corrigé

EMLyon 2011 - Corrigé EMLyon - Corrigé Partie I. Soit X une variable aléatoire suivant la loi E() ; une densité de X est : f(x) = { si x < e x si x et E(X) = et V (X) =.. (a) Soit n N ; n E(S n ) = E(X k ) = n par linéarité

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Intégrales sur un intervalle

Intégrales sur un intervalle CHAPTRE 2. NTÉGRALES SUR UN NTERVALLE Chapitre 2 ntégrales sur un intervalle 2.1 Préparation 2.1.6 L objectif de ce cours est de généraliser la notion d intégrale d une fonction sur un segment, à des intervalles

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants :

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants : Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo Un peu de topologie Enseignants : F. Golse (golse@math.polytechnique.fr), Y. Laszlo (laszlo@math.polytechnique.fr), C. Viterbo (viterbo@math.polytechnique.fr)

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES OFM FRANÇAISES MATHÉMATIQUES ENVOI NO. 3 CORRIGÉ 1 Exercices du groupe B Exercice 1. Soit n 1 un entier tel que le quotient de 2 n par n est une puissance

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercice VI. Ch6-Exercice Montrer par récurrence que En déduire que puis que k =,,..., n, d k dx k xn = n(n ) (n + k)x n k, d n dx n xn = n! d k dx k xn =

Plus en détail

1 Définition, existence, unicité.

1 Définition, existence, unicité. Université Denis Diderot Paris 7 Espérance conditionnelle Ces rappels et compléments de cours sont inspirés de [1], [2], [3]. Il va de soi que pour une bonne connaissance des notions qui suivent, il est

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Le théorème du sandwich au jambon

Le théorème du sandwich au jambon Le théorème du sandwich au jambon Florian Bouguet & Paul Schneider Ecole Normale Supérieure de Cachan - Antenne de Bretagne Travaux encadrés par Antoine Chambert-Loir Université de Rennes 1 1 2 Table des

Plus en détail

Exercices corrigés. Université de Poitiers, Guilhem Coq. TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures

Exercices corrigés. Université de Poitiers, Guilhem Coq. TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures Université de Poitiers, Guilhem Coq Année 29-2 L3 6L2 : théorie de la mesure xercices corrigés TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures xercice Soit f :, T R, BR une application mesurable et

Plus en détail

ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL

ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL Dans ce qui suit on adopte les notations suivantes : désigne une constante universelle h = π = 6,60 34 Joules par seconde est la constante

Plus en détail

Rapport de Recherche. 1 Estimation fonctionnelle en temps continu. 1.1 Vitesses de convergence pour l estimateur à noyau. (D. Blanke - Mars 2008)

Rapport de Recherche. 1 Estimation fonctionnelle en temps continu. 1.1 Vitesses de convergence pour l estimateur à noyau. (D. Blanke - Mars 2008) Rapport de Recherche (D. Blanke - Mars 2008) L essentiel de mes activités de recherche porte sur l estimation fonctionnelle ou paramétrique pour des processus. L ensemble de ces travaux peut se diviser

Plus en détail

Espaces de Sobolev. Résumé du cours de MEDP Maîtrise de mathématiques 2001 2002. medp-sobolev.tex (2001nov24)

Espaces de Sobolev. Résumé du cours de MEDP Maîtrise de mathématiques 2001 2002. medp-sobolev.tex (2001nov24) Espaces de Sobolev Résumé du cours de MEDP Maîtrise de mathématiques 2001 2002 medp-sobolevtex (2001nov24) Sauf mention explicite du contraire, toutes les fonctions considérées seront à valeurs réelles

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul Différentiel et Équations Différentielles D. Azé Université Paul Sabatier Toulouse 2008 Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés 3 1.1 Espaces

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

Techniques fondamentales de calcul

Techniques fondamentales de calcul Chapitre Techniques fondamentales de calcul. Inégalités dans R On rappelle que (R, +,, ) est un corps totalement ordonné, d où : x, y R, x y ou y x, x, y, z R, x y = x + z y + z, x, y R, x 0ety 0 = xy

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 2011 1 - durée : 3h

Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 2011 1 - durée : 3h Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 2011 1 - durée : 3h - Le seul document autorisé est un résumé manuscrit du cours de trois pages maximum. - Les téléphones portables et

Plus en détail

Préparation à l agrégation Année 2015/2016. Analyse Fonctionnelle. Arthur Leclaire

Préparation à l agrégation Année 2015/2016. Analyse Fonctionnelle. Arthur Leclaire ENS Cachan Mathématiques Préparation à l agrégation Année 2015/2016 Analyse Fonctionnelle Arthur Leclaire Références [B] H. Brézis. Analyse Fonctionnelle. Dunod, 1999. [CLF] A. Chambert-Loir, S. Fermigier,

Plus en détail

ENS de CACHAN. Cours et Travaux Dirigés de Probabilités. Cédric Bernardin et Jean-Michel Morel

ENS de CACHAN. Cours et Travaux Dirigés de Probabilités. Cédric Bernardin et Jean-Michel Morel ENS de CACHAN Cours et Travaux Dirigés de Probabilités Prépa Agrég Cédric Bernardin et Jean-Michel Morel 2 Table des matières 1 La construction des espaces de probabilités 9 1.1 Algèbres, tribus, π-systèmes,

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

Exercice 3.1.1 Si f est une fonction continue sur [0, 1], montrer que l équation différentielle

Exercice 3.1.1 Si f est une fonction continue sur [0, 1], montrer que l équation différentielle Chapitre 3 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Exercice 3.. Si f est une fonction continue sur [, ], montrer que l équation différentielle { d 2 u = f pour < x < dx 2 (3.) u() = u() =.

Plus en détail

Inde, avril 2014, exercice 1

Inde, avril 2014, exercice 1 Sujet 1 Inde, avril 2014, exercice 1 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1 La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser

Plus en détail

Intégrales curvilignes.

Intégrales curvilignes. Chapitre 1 Intégrales curvilignes. 1.1 Généralités 1.1.1 Courbes paramétrées dans le plan. Motivations, exemples. L exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par un objet assimilée à un point

Plus en détail

Série n 5 : Optimisation non linéaire

Série n 5 : Optimisation non linéaire Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Série n 5 : Optimisation

Plus en détail

Ensembles-Applications

Ensembles-Applications Ensembles-Applications Exercice 1 : Soient A = {1,2,3} et B = {0,1,2,3}. Décrire les ensembles A B, A B et A B. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soient A = [1,3] et B = [2,4]. Déterminer

Plus en détail

Cours de probabilités, master 1. Yves Coudène

Cours de probabilités, master 1. Yves Coudène Cours de probabilités, master 1 Yves Coudène 19 janvier 2015 2 Table des matières Introduction 5 Notations 6 1 Formalisme de Kolmogorov 7 1.1 Le cas discret : Ω fini ou dénombrable................ 7 1.2

Plus en détail

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Chp. 9. Convexité Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction numérique partout définie sur C. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Définition

Plus en détail

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez

Plus en détail

CCP 2007. Filière MP. Mathématiques 1. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org)

CCP 2007. Filière MP. Mathématiques 1. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) CCP 27. Filière MP. Mthémtiques. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lmrd (jen-louis.lmrd@preps.org EXERCCE.. f est continue (en tnt de frction rtionnelle dont le dénominteur ne s nnule ps sur le compct F

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez

EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez Corrigé ECRICOME Eco par Pierre Veuillez EXERCICE (M 3 (R), +,.) désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coeffi cients réels. Deux matrices A et B de M 3 (R) étant données, on suppose

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1 Lycée Jean Bart MPSI & PCSI Année 213-214 Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES Topologie Générale Philippe Charpentier Université Bordeaux I Année universitaire 2000-01 PHILIPPE CHARPENTIER UNIVERSITÉ BORDEAUX I LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES 351,

Plus en détail

Une axiomatisation du plan euclidien

Une axiomatisation du plan euclidien Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Exo7 Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Définition, sous-espaces Exercice Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : E = { f : [,] R } :

Plus en détail

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner...

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... I Savoir reconnaître un produit scalaire Les applications ci-dessous sont-elles des formes bilinéaires? Si oui sont-elles symétriques? Définies?

Plus en détail

Université Denis Diderot Examen (corrigé) Durée 3 heures Documents, Téléphones et calculatrices non autorisés

Université Denis Diderot Examen (corrigé) Durée 3 heures Documents, Téléphones et calculatrices non autorisés Université Denis Diderot 22-23 L3 Mathématiques appliquées Intégration Examen (corrigé) Durée 3 heures Documents, Téléphones et calculatrices non autorisés Exercice Chacune des questions suivantes compte

Plus en détail

AMPHI 2 : INTEGRATION. Chapitre 3. Documents disponibles sur http ://www.math.polytechnique.fr/ golse

AMPHI 2 : INTEGRATION. Chapitre 3. Documents disponibles sur http ://www.math.polytechnique.fr/ golse AMPHI 2 : INTEGRATION Chapitre 3 Documents disponibles sur http ://www.math.polytechnique.fr/ golse L intégrale de Lebesgue (1902) A la base de l analyse fonctionnelle, socle mathématique de la mécanique

Plus en détail

Épreuve de Mathématiques 8

Épreuve de Mathématiques 8 Lycée La Prat s Vendredi 10 avril 2015 Classe de PT Épreuve de Mathématiques 8 Durée 4 h L usage des calculatrices est interdit. La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction

Plus en détail

1.1. Le moment cinétique en mécanique classique

1.1. Le moment cinétique en mécanique classique c M Dunseath-Terao - Master 1 de Physique UR1 2006 2007 1 Complément 1 Le moment cinétique 1.1. Le moment cinétique en mécanique classique L équation du mouvement d un corps en rotation en mécanique classique

Plus en détail

Examen de rattrapage

Examen de rattrapage Université Denis Diderot Paris 7 7 juin 4 Probabilités et Simulations UPS36 Examen de rattrapage durée : 3 heures Les documents et calculatrices ne sont pas autorisés. On prendra soin de bien justifier

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples.

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Introduction : On suppose connues les notions d injectivité, surjectivité,

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 4

Programmation Linéaire - Cours 4 Programmation Linéaire - Cours 4 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire Dualité 1 Dualité 2 3 Primal / Dual Dualité Les PL vont toujours par paires

Plus en détail

Cours de Mathématiques. Travaux dirigés du cours. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

Cours de Mathématiques. Travaux dirigés du cours. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Université Paris Dauphine Département MIDO Cours de Mathématiques Travaux dirigés du cours Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Licence M D Table des matières Feuilles d exercices : n o 1 : variables

Plus en détail

CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES

CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES II.1. Un exemple : le poker Distribuer une main de poker (5 cartes sur 52) revient à tirer au hasard 5 cartes parmi 52. On appelle expérience aléatoire une telle expérience

Plus en détail

Formulaire de Probabilités et Statistiques

Formulaire de Probabilités et Statistiques Formulaire de Probabilités et Statistiques AD+JS 1 Rappels de combinatoire Arrangements avec répétitions Nombre d applications d un ensemble à k éléments dans un ensemble à n éléments : n k Arrangements

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts

Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts Thomas Lim Université Paris 7-LPMA Travail en collaboration avec Marie-Claire Quenez Séminaire des jeunes

Plus en détail

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3 Alexandre VIDAL Dernière modification : 11 janvier 2011 Table des matières I Généralités et rappels sur les fonctions 1 I.1 Définition....................................

Plus en détail

Espérances et variances

Espérances et variances [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 201 Enoncés 1 Espérances et variances Exercice 1 [ 04018 ] [Correction] Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a ; b]. a Montrer que

Plus en détail