Une axiomatisation du plan euclidien

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1 Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se peut, de ce qui est enseigné au Collège et Lycée. Nous voulons donc éviter de partir d une distance provenant d un produit scalaire (ce qui est la méthode la plus efficace 1 ) mais nous voulons aussi éviter le «flou» qui entoure la définition de l orthogonalité dans l enseignement secondaire. Et pour finir nous voulons définir les angles et surtout leur mesure «sans enrouler de fil autour d un cercle» ce qui nécessite de définir d abord les rotations. L objet de base de cette axiomatisation est la réflexion qui est introduite très tôt au Collège et qui nous permet de définir simultanément l orthogonalité de deux droites. Ce texte est inspiré d un livre de l IRE de Strasbourg traitant du programme de 3ème et publié en n se donne un plan affine P. n suppose connues ses propriétés, en particulier le théorème de THLÈS et (ce qui est équivalent) la structure d espace vectoriel associée. n suppose aussi connues la définition et les propriétés des applications suivantes : translation, projection sur une droite parallèlement à une droite, et symétrie par rapport à une droite parallèlement à une droite. Ce sont des applications affines. L objectif de ce chapitre est de déterminer des propriétés d une distance sur P qui permettent in fine de montrer que cette distance est euclidienne au sens classique du terme c est-à-dire qu elle provient d un produit scalaire (voir paragraphe 6). En d autres termes on va donner une autre caractérisation d une telle distance. 1. La distance euclidienne n notera par des lettres majuscules les points du plan P, par P l espace vectoriel associé et par le vecteur de P associé au couple de points (,).. Les axiomes n se donne une distance sur P c est-à-dire une application P P R + (1) = 0 = ; telle que (2) = ; (, ) (3) C + C. n suppose en outre que cette distance provient d une norme c est-à-dire que (4) C = λ (λ R) = C = λ. 1 Voir par exemple le livre Géométrie de ichèle udin.

2 2 1. La distance euclidienne En particulier = C = = C. n appellera norme de et on notera la distance entre et qui est bien une norme sur P grâce aux axiomes (1) à (4). n suppose aussi que «le plus court chemin d un point à un autre est la ligne droite» en posant (5) C / [] = < C + C, où [] désigne le segment d extrémités et c est-à-dire l ensemble des points tels que = λ avec λ [0,1]. Exercice 1.1. éduire des axiomes précédents la caractérisation ci-dessous d un segment C [] = C + C. Exercice 1.2. ontrer que C est le milieu de, c est-à-dire C + C =, si et seulement si C = C et = C + C. Pour poser l axiome qui rendra cette distance euclidienne on va utiliser la notion d isométrie qui est très simple. éfinition 1.1. Une application f : P P est une isométrie si elle conserve la distance c est-à-dire si tous les points et de P on a f()f() =. En dernier lieu on suppose que la distance vérifie la propriété : (6) Pour toute droite du plan il existe une direction (δ) telle que la symétrie par rapport à parallèlement à (δ) est une isométrie. Evidemment δ est supposée distincte de la direction de pour que la symétrie ait un sens.. Unicité La démonstration de l unicité de la direction (δ) associée à une droite par (6) repose sur la Proposition 1.2. n se donne une droite et un point du plan. Soit la droite passant par de direction (δ) (où (δ) est associée par (6) à ) et H le point d intersection de avec. lors pour tout point distinct de H on a > H. émonstration. n note le symétrique de par rapport à (parallèlement à (δ). Cette symétrie fixe et, puisque c est une isométrie, on obtient =. Par l inégalité triangulaire stricte (5) on obtient H 2 = + > = 2H, car H est le milieu de. n en déduit > H.

3 Une axiomatisation du plan euclidien 3 Proposition 1.3. Pour toute droite, la direction (δ) telle que la symétrie par rapport à parallèlement à (δ) est une isométrie, est unique. émonstration. n rappelle que l axiome (6) affirme l existence d une telle direction. Soient (δ) et (δ ) deux directions distinctes telles que les symétries par rapport à parallèlement à (δ) et (δ ) soient des isométries. n considère un point du plan n appartenant pas à et les droites et passant par et de directions respectives (δ) et (δ ). Ces droites sont distinctes et sécantes en. Par conséquent leurs points d intersection H et H avec sont distincts. La proposition 1.2 implique que H > H et H > H, ce qui est impossible, d où l unicité de (δ). H H Proposition 1.4. Soit une droite de direction (d) et une droite de direction (δ) où (δ) est la direction telle que la symétrie par rapport à parallèlement à (δ) est une isométrie. lors (d) est la direction telle que la symétrie par rapport à de direction (d) est une isométrie. émonstration. n note s et s les symétries par rapport aux droites et parallèlement aux directions (δ) et (d). Le théorème des milieux (ou le théorème de Thalès) implique que s s = s, où s est la symétrie centrale de centre le point d intersection de et, et ceci pour toutes les paires de droites sécantes et. r s est une isométrie car s () s s () s ()s () = = s ()s () = grâce à (4). s () Par conséquent le fait que s est une isométrie implique que s = s s est aussi une isométrie. s s ()

4 4 1. La distance euclidienne C. rthogonalité éfinition 1.5. La direction (δ) est dite orthogonale à la droite si la symétrie par rapport à parallèlement à (δ) est une isométrie. n dira aussi que toute droite de direction (δ) est orthogonale à la droite. ien entendu l axiome (6) et la proposition 1.3 permettent d affirmer que pour toute droite il existe une seule direction (δ) orthogonale à. Si une droite est orthogonale à on notera et si est parallèle à on notera. n peut maintenant établir les propriétés classiques de l orthogonalité à savoir Theorème 1.6. Si, et sont des droites du plan on a = ; et =. émonstration. La première propriété est une conséquence directe de la proposition 1.4 et la seconde de l unicité (proposition 1.3). n peut déduire des propositions du paragraphe la caractérisation suivante de l orthogonalité : Theorème 1.7. Soient et deux droites sécantes en H. Si elles sont orthogonales, alors H < P pour tout point H appartenant à et tout point P H appartenant à. Réciproquement si il existe un point 0 H appartenant à tel que 0 H < 0 P pour tout point P distinct de H alors elles sont orthogonales. 0 H P Remarque. n peut grâce à la proposition 1.4 échanger le rôle de et dans ce théorème. émonstration. La première partie du théorème n est rien d autre que la proposition 1.2. La deuxième partie se déduit de la proposition 1.3. En effet l intersection H de la droite orthogonale à passant par 0 est aussi telle que 0 H < P pour tout point P (P H ). Si H était distinct de H on aurait 0 H < 0 H ce qui contredit l hypothèse. n en déduit que H et H sont confondus c est-à-dire que est orthogonale à.

5 Une axiomatisation du plan euclidien 5 orénavant nous appellerons symétrie orthogonale ou réflexion d axe l unique symétrie par rapport à la droite parallèlement à la direction orthogonale à et nous la noterons s. n déduit du théorème précédent le Corollaire 1.8. Toute réflexion conserve l orthogonalité des droites. émonstration. Une symétrie est une application affine et transforme donc une droite en une droite. L image par une réflexion de deux droites orthogonales et sécantes en H est donnée par deux droites et sécantes en H. La caractérisation de l orthogonalité donnée par le théorème 1.7 est vérifiée pour les droites et et, puisqu une réflexion conserve les distances, elle est aussi vérifiée pour les droites et qui sont donc aussi orthogonales. n peut maintenant établir plusieurs propriétés classiques en géométrie euclidienne et pour commencer le fait que l ensemble des points équidistants de deux points est une droite. 2. La médiatrice Lemme 2.1. Soient et deux points distincts du plan. Il existe une unique droite telle que la réflexion d axe échange les points et. émonstration. Si une telle réflexion existe son axe est nécessairement orthogonal à la droite () et coupe la droite () en un point I tel que I = I (puisque c est une isométrie). Le point I est donc le milieu de (voir exercice 1.2). r il existe une unique droite orthogonale à () et passant par le point I. n a alors s () =. I n appelle cette droite la médiatrice de. Nous venons aussi de montrer que c est la droite orthogonale à () passant par le milieu de. Comme s est une isométrie, on a pour tout point de l égalité =. Nous voulons montrer que la médiatrice est l ensemble des points du plan tels que = ce qui, vu ce qui précède, est équivalent à affirmer que l ensemble des points du plan tels que = est une droite. Pour le faire nous allons en fait décrire les demi-plans limités par cette droite en établissant le Lemme 2.2. Soient et deux points distincts du plan et la médiatrice de. lors

6 6 2. La médiatrice (1) = = ; (1) (2) (2) / et [] = = > ; (3) (3) / et [] = = <. émonstration. (1) Nous l avons déjà remarqué : la réflexion d axe, qui est une isométrie, fixe et envoie sur d où =. (2) Notons I le point d intersection du segment [] avec. n a alors = I +I et, puisque I appartient à, = I + I. Si I appartenait au segment [] on aurait = I + I =. ais dans ce cas la droite (I) (qui est bien définie car / ) contiendrait et. Le point serait alors le milieu de, ce qui est impossible puisque n appartient pas à. Par conséquent I n appartient pas au segment [] et on déduit de (5) que = I + I >. I (3) Si le segment [] ne coupe pas deux cas se présentent : a) La droite () est parallèle à. Comme () est alors orthogonale à la droite (), on déduit de la proposition 1.2 (car est distinct de ) que <. b) La droite () coupe en un point I tel que I = λ avec λ / [0,1].

7 Une axiomatisation du plan euclidien 7 I λ > 1 I λ < 0 Si λ > 1 alors = I I = I I. n montre comme ci-dessus que n appartient au segment [I] ce qui implique = I I >. Si λ < 0 alors = I I = I I. n montre de même que n appartient pas au segment [I] et on en déduit que = I I <. Le lemme donne une partition du plan en trois parties disjointes qui peuvent aussi être décrites ainsi. Theorème 2.3. Soient et deux points distincts et la médiatrice de. lors (1) { P = } = ; (2) { P < } = { P [] = } ; (3) { P > } = { P [] = }. Remarque. ien entendu les ensembles définis par les parties gauches des égalités forment une partition du plan. Il n est pas évident à priori que ceux déterminés par les parties droites en forment aussi une. C est ce qu entre autre le lemme permet de démontrer (quitte à échanger le rôle de et ). n peut maintenant démontrer les résultats classiques suivants. Un triangle C désigne trois points, et C non alignés (sauf précision contraire). Exercice 2.1. Un triangle C est isocèle en si = C. ontrer que le triangle C est isocèle en si et seulement si la médiatrice de et la médiane issues de sont confondues. Exercice 2.2. ontrer que les médiatrices d un triangle (c est-à-dire les médiatrices des côtés) sont concourantes. En déduire qu il existe un unique cercle contenant les 3 sommets du triangle. n l appelle le cercle circonscrit au triangle. Je n ai pas défini ce qu est un cercle... mais c est sans problème à partir du moment où on dispose d une distance. Exercice 2.3.

8 8 3. Projection orthogonale ontrer que les hauteurs d un triangle C (c est-à-dire les droites orthogonales à l un des côtés passant par le sommet opposé) sont concourantes (en utilisant une homothétie qui a pour centre le centre de gravité G du triangle). n appelle orthocentre le point de concours des hauteurs et on le note H. Ecrire la relation vectorielle liant les points G, H et le centre du cercle circonscrit. ontrer que H = + + C. Utiliser deux réflexions d axes parallèles pour montrer que les symétriques de l orthocentre par rapport aux côtés appartiennent au cercle circonscrit. H G 3. Projection orthogonale n a défini dans le plan affine la projection sur une droite parallèlement à une direction donnée et on a montré que c était une application affine. Ici on va en étudier un cas particulier. éfinition 3.1. La projection orthogonale sur la droite est la projection sur parallèlement à la direction orthogonale à. La proposition 1.2 permet de caractériser ainsi la projection orthogonale : Proposition 3.2. La projection orthogonale d un point sur une droite est l unique point H de tel que H P pour tout P. H P La distance du point à la droite qui, par définition, est égale à inf{p P } est donc égale à la distance de à sa projection orthogonale H sur. Proposition 3.3. Soient et deux droites sécantes en. Soient et deux points distincts de de la droite, et leurs projections orthogonales sur. lors on a = =.

9 Une axiomatisation du plan euclidien 9 émonstration. En utilisant le théorème de Thalès ou le fait qu une projection est affine on obtient = λ = = λ (λ R). Et on a de même = λ. Le résultat s en déduit en utilisant l axiome (4). u vu de la démonstration il est clair que la proposition ci-dessus est aussi vérifiée par une projection non orthogonale. En revanche la projection orthogonale vérifie une propriété supplémentaire. Si on projette sur au lieu de projeter sur on obtient le même rapport. Plus précisément on a Theorème 3.4. Soient et deux droites sécantes en. Soient un point de la droite distinct de et sa projection orthogonale sur. Soit C est un point de la droite distinct de et C sa projection orthogonale sur. lors on a = C C. e plus ce rapport est strictement inférieur à 1. C C émonstration. Choisissons tout d abord un point C 0 tel que C 0 =. La médiatrice de C 0 contient le point (d après le théorème 2.3). La réflexion d axe envoie le point sur le point C 0, la droite = () sur la droite = (C 0 ). Comme elle conserve l orthogonalité (corollaire 1.8), elle envoie la droite orthogonale à passant par sur la droite orthogonale à passant par C 0 et donc sur la projection orthogonale C 0 de C 0 sur. Par conséquent on a = C 0 d où C C 0 C 0 = C 0. La proposition 3.3 implique que pour un point C quelconque de on a d où le résultat. C C = C 0, C 0 Le rapport est strictement inférieur à 1 puisque qui est égal à la distance de à la droite ( ) est strictement plus petit que, les points et étant distincts. C C 0

10 10 3. Projection orthogonale La figure ci-contre montre que ce théorème ne s applique pas si on projette de sur ou de sur parallèlement à une direction donnée. n constate que dans ce cas > 1 et C C < 1. C C En utilisant la proposition 3.3 on vérifie aisément le Corollaire Soient et sont deux points distincts de et et leurs projections orthogonales sur. Soient C et deux points disctincts de et C et leurs projections orthogonales sur. lors on a = C C. C C En nous contentant de travailler avec des distances, nous n avons pas exploité complètement le fait que la projection et la réflexion sont des applications affines. n peut exprimer cette propriété plus précisément en utilisant des mesures algébriques. Rappelons que le rapport des mesures algébriques de deux vecteurs colinéaires et ne dépend pas du choix de ces mesures c est-à-dire du choix du vecteur i tel que = i et = i. e plus nous utiliserons, ce qui est en général implicite dans le cadre euclidien, des mesures algébriques définies par des vecteurs unitaires. Un vecteur i est unitaire si sa norme est égale à 1. Pour tout vecteur colinéaire à i, on déduit de l axiome (4) que =. Theorème 3.6. Soient et deux droites sécantes en. Soient et deux points distincts de de la droite et et leurs projections orthogonales sur. Soit C est un point de la droite distinct de et C sa projection orthogonale sur. lors on a (1) =. (2) C = C, où les mesures algébriques des vecteurs sont définies à partir de vecteurs directeurs unitaires des deux droites.

11 Une axiomatisation du plan euclidien 11 émonstration. (1) Il suffit de reprendre la démonstration de la proposition 3.3 qui consiste à exprimer le fait que la projection est affine et à traduire les égalités vectorielles à l aide des mesures algébriques. (2) Reprenons les notations de la démonstration du théorème 3.4. Comme, et C 0 sont alignés sur et que, C 0 et sont leurs images par la réflexion d axe, qui est affine, on a C 0 = λ = = λ C 0. n en déduit que, pour un choix quelconque de mesure algébrique sur chacune des deux droites, C 0 = λ2 et C 0 = λc 02. Choisissons maintenant des mesures algébriques définies par des vecteurs unitaires portés par les deux droites. n a alors 2 = 2 = C 02 = C 0 2, d où le résultat dans le cas où C =. n termine la démonstration en utilisant (1) pour les points C et C 0 de la droite et leurs projections orthogonales C et C 0 sur la droite. Remarque 1. Comme les points, et ne sont pas alignés le rapport dépend du choix des mesures algébriques sur et. ême si on choisit des vecteurs directeurs unitaires, le signe de ce rapport dépendra de ce choix. C est pourquoi, le résultat (2) du théorème est exprimé à l aide d un produit plutôt que d un rapport comme au théorème 3.4. En effet le produit C ne dépend pas du choix d un vecteur directeur unitaire de et le produit C de celui fait pour. Remarque 2. La propriété (2) du théorème 3.6 sera essentielle pour définir le produit scalaire Les propriétés métriques du triangle rectangle Un triangle C est dit rectangle en si les droites () et (C) sont orthogonales. Le côté C s appelle l hypoténuse du triangle. L un des théorèmes les plus célèbres est le théorème de Pythagore qui donne une relation entre les longueurs des côtés d un triangle rectangle. Exercice 4.1. Utiliser la figure ci-contre pour «démontrer» la formule de Pythagore en utilisant la notion d aire. 2 Toutes ces contorsions paraitront artificielles à qui définit une structure euclidienne par le produit scalaire mais cela montre qu il n est si élémentaire que cela de vérifier que le produit scalaire défini par projection est symétrique.

12 12 4. Les propriétés métriques du triangle rectangle n commencera par démontrer, en utilisant uniquement ce qui précède, que si le grand quadilatère est un carré, il en est de même pour le petit. n pourra utiliser la composée de deux réflexions pour montrer des égalités de longueurs et la proposition 4.1 pour montrer l orthogonalité des côtés. c a b a c b alheureusement l existence d une aire c est-à-dire d une application (i) ( rectangle) = largeur longueur : {parties de P} R + telle que (ii) ( ) = () + () si et sont deux parties disjointes du plan, est loin d être assurée...il est même (très) difficile de déterminer un ensemble de parties du plan sur lequel une telle application 3 est bien définie. Nous allons donc établir les propriétés métriques d un triangle rectangle en utilisant nos axiomes. Proposition 4.1 (Propriété de la médiane). Soit C un triangle et I le milieu de C. Le triangle est rectangle en si et seulement si I = I = IC. émonstration. n trace la parallèle à () passant par I. Elle coupe (C) en son milieu J d après le théorème de Thalès. I J C Supposons le triangle rectangle en. lors est la médiatrice de C et la reflexion s envoie C sur ce qui implique IC = I. Supposons réciproquement que IC = I. Ceci implique que I appartient à la médiatrice de C (théorème 2.3). Comme c est aussi le cas pour J, la droite est orthogonale à (C). C est donc aussi le cas pour () qui est parallèle à par construction. n peut aussi énoncer ce résultat en utilisant le cercle circonscrit au triangle. Un triangle est rectangle si et seulement si son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Proposition 4.2 (Propriété de la hauteur). Soit C un triangle et H le pied de la hauteur issue de c est-à-dire l intersection de cette hauteur avec la droite (C). 3 n peut soit définir les ensembles quarrables soit, plus généralement, ceux qui sont mesurables pour la mesure de Lebesgue.

13 Une axiomatisation du plan euclidien 13 Le triangle est rectangle en si et seulement si les deux propriétés ci-dessous sont vérifiées. émonstration. (i) H [C], (ii) 2 = H C. Supposons le triangle rectangle en. Comme H est la projection orthogonale de sur la droite (C) et la projection de C sur la droite () on déduit du théorème 3.4 que ce qui implique (ii). H = C, ontrons que H appartient au segment [C]. En utilisant la Proposition 1.2 on obtient (H) (H) et H = H < ; (C) () et = < C. n en déduit que H < C et en échangeant le rôle de et C que CH < C. Comme H appartient à la droite (C), il est facile d en déduire que H appartient au segment [C]. H C Supposons les conditions (i) et (ii) vérifiées et notons la projection orthogonale de C sur la droite (). Nous voulons montrer que =. n sait, d après le (2) du théorème 3.6 que H C =. H r l hypothèse (i) implique que H C > 0 et en utilisant (ii) on en déduit que ce qui implique que = 2, = d où =. Remarque. Voici un contre exemple montrant que la condition (i) est indispensable. C H C

14 14 4. Les propriétés métriques du triangle rectangle Theorème 4.3 (Théorème de Pythagore). Un triangle C est rectangle en si et seulement si C 2 = 2 + C 2. émonstration. Supposons le triangle rectangle en. En appliquant la proposition 4.2 on obtient 2 + C 2 = C(H + HC). Comme, de plus, H appartient au segment [C] on a H + CH = C ce qui implique le résultat. Supposons réciproquement que la relation C C 2 = 2 + C 2 est vérifiée et notons C l un des points de la droite orthogonale à () passant par tel que C = C. La partie directe du théorème appliquée au triangle C implique que C 2 = 2 + C 2 = 2 + C 2. n en déduit que C = C. Si C et C sont confondus le résultat est démontré. Sinon, la droite () étant la médiatrice de (CC ), lui est orthogonale. r, par construction, la droite () est aussi orthogonale à (C ). Les points, C et C sont donc alignés ce qui implique l orthogonalité de (C) et de (). Exercice 4.2. Soit C un triangle et H le pied de la hauteur issue de. ontrer que suivant la position de H par rapport aux points et C on a C 2 = 2 + C 2 2H C ou C 2 = 2 + C 2 + 2H C. Le produit scalaire permettra d éviter de distinguer ces deux cas. Le théorème de Pythagore permet d exprimer la distance entre deux points dans un repère orthonormé. éfinition 4.4. Un repère (, i, j ) du plan affine est dit orthonormé si les vecteurs i et j sont unitaires et orthogonaux. n dit que deux vecteurs non nuls sont et C sont orthogonaux si les droites () et (C) sont orthogonales. Et cette définition ne dépend pas du choix des représentants des vecteurs. Proposition 4.5 (istance dans un repère orthonormé). Le carré de la distance entre le point de coordonnées (x,y) et le point de coordonnées (x,y ) dans un repère orthonormé est donné par 2 = (x x ) 2 + (y y ) 2. C

15 Une axiomatisation du plan euclidien 15 émonstration. Si est le point du plan tel que =, alors = par l axiome (4). r ce point a pour coordonnées (x x,y y) dans le repère (affine). Comme le repère est orthonormé on déduit du théorème de Pythagore que 2 = H 2 + H 2, où H est la projection orthogonale de sur l axe des x. Puisque H = (x x) i et H = (y y) j, le résultat est une conséquence de l axiome (4). y j i H x 5. ngles géométriques et trigonométrie du triangle rectangle ans ce paragraphe on se propose de décrire la trigonométrie du triangle rectangle, en utilisant les angles géométriques comme cela est fait en collège. n donnera toutefois une definition de ces angles (ce qui n est pas fait en collège) mais on se privera de les mesurer 4. éfinition 5.1 (ngles géométriques). Soient [) et [) (resp. [ ) et [ )) deux demi-droites d origine (resp. ). n considère les points I, J (resp. I et J ) appartenant aux demi-droites [) et [) (resp. [ ) et [ )) tels que I = J = 1 (resp. I = J = 1). n dit que les angles géométriques  et sont égaux si IJ = I J. I J Remarque. Ce type de définition permet de «contourner» la définition d un angle comme classe d équivalence mais elle la contient de façon implicite. En effet la définition donnée ci-dessus de l égalité  = n est rien d autre que la définition d une relation d équivalence entre paires de demi-droites et l angle  n est rien d autre que la classe d équivalence de la paire de demi-droite {[),[)} pour cette relation. Theorème 5.2. Les angles géométriques  et sont égaux si et seulement si il existe une isométrie f du plan telle que f() =, f(i) = I et f(j) = J, où I, J, I et J sont définis comme en 5.1. émonstration. 4 Une définition de la mesure des angles sera donnée pour les angles orientés au chapitre sur les angles.

16 16 5. ngles géométriques et trigonométrie du triangle rectangle S il existe une isométrie f vérifiant les conditions du théorème, les angles sont égaux puisqu une isométrie conserve les distances. Réciproquement supposons les angles  et égaux et cherchons à déterminer une isométrie f vérifiant les conditions du théorème. Considérons tout d abord la translation t de vecteur (qui est une isométrie par l axiome (4)) et notons I 1 et J 1 les images de I et J par cette translation. Soient K 1 et K les milieux de I 1 J 1 et I J. J Soit les points K 1 et K sont confondus : comme I 1 J 1 = I J, les points I 1, J 1, I et J sont à la même distance de K sur la droite orthogonale à ( K ). Si on a I 1 = I et J 1 = J I alors f = t convient. Sinon on a I 1 = J et J 1 = I et, si s (K ) désigne la réflexion d axe (K ), alors f = s (K ) t convient. J 1 K 1 Soit les points K 1 et K sont distincts : on note la médiatrice de K 1 K. ans ce cas s envoie K 1 sur K et on se retrouve dans la situation précédente avec I 1 et J 1 remplacés par leurs I 1 images par s. Par conséquent f = s t ou f = s (K ) s t convient. K I éfinition 5.3. n dit que l angle  est aigu (resp. obtus) si la projection orthogonale de sur () appartient à la demi-droite ]) (resp. n appartient pas à la demi-droite [)). n dit qu il est droit si cette projection est le point c est-à-dire si les droites () et () sont orthogonales. J ngle aigu ngle droit ngle obtus Il faut vérifier que cette définition ne dépend que de l angle... et pas du choix des points, et. 1) La définition d un angle aigu (par exemple) ne dépend pas du choix du point sur la demi-droite ]). En effet un point 1 appartient à la demi-droite ]) si et seulement si 1 > 0.

17 Une axiomatisation du plan euclidien 17 Si et 1 désignent les projections orthogonales de et 1 sur () alors le théorème de Thalès implique que 1 = 1 > 0. n en déduit que 1 appartient à la demi-droite ] ) qui, par hypothèse, est aussi la demidroite ]). 2) n peut caractériser une demi-droite par des distances en utilisant l exercice 1.1. ]) ]] ou ]] et = + ou = +. La définition d un angle aigu est donc cohérente avec «l égalité» des angles (caractérisée par le théorème 5.2). Remarque. n peut en particulier noter que si l angle  est aigu la projection orthogonale de sur la droite () appartient à la demidroite ]). Pour le montrer il suffit d utiliser la réflexion qui fixe et échange les points I et J définis plus haut et de vérifier qu elle échange les demi-droites ]) et ]). Pour définir le cosinus d un angle aigu nous rappelons tout d abord quelques proprétés des projections orthogonales établies au paragraphe précédent. Soit  est un angle géométrique aigu, un point de la demi-droite ]) et P un point de la demi-droite ]). n note respectivement et les projections orthogonales de et sur la droite () et on note respectivement et P les projections orthogonales de et P sur la droite (). n déduit du théorème 3.4 que P = = = P P 1. P éfinition 5.4. Le rapport défini ci-dessus s appelle le cosinus de l angle géométrique (aigu) Â. Les égalités rappelées ci-dessus montrent que le cosinus ne dépend que de la paire de demidroites [0) et [0). Et comme une isométrie conserve les distances, il ne dépend d après le théorème 5.2 que de l angle Â. Remarque. L égalité des différents rapports ci-dessus est vérifiée même si l angle  n est pas aigu. ais le fait que cet angle est aigu implique que les rapports des longueurs sont égaux

18 18 5. ngles géométriques et trigonométrie du triangle rectangle aux rapports des mesures algébriques. n peut montrer (voir l exercice 5.1) que le cosinus d un angle aigu détermine cet angle. Exercice 5.1. ontrer que deux angles aigus  et  ayant le même cosinus sont égaux. ans le cas où = = 1 on pourra, en utilisant le théorème de Pythagore, calculer en fonction du cosinus de l angle Â. Il est naturel d introduire un signe pour définir le cosinus d un angle obtus comme le montre l exercice ci-dessous. Exercice 5.2. Reprenons les relations démontrées à l exercice 4.2. ontrer que si l angle C est aigu, on obtient ( ) C 2 = 2 +C 2 2 C cos C. Par contre si l angle C est obtus, on obtient C 2 = 2 + C 2 + 2C H, où H est la projection orthogonale de sur la droite (C). Il est alors naturel de poser, dans le cas où C est obtus, cos C = H, H C H ce qui rend la formule ( ) valable dans tous les cas, à condition de poser cos C = 0 si l angle C est droit, ce qu il est naturel de faire par continuité et que nous allons dorénavant faire. H C Reprenons les notations et la figure précédant la définition du cosinus. En utilisant le théorème de Thalès et les égalités de rapport démontrées au théorème 3.4 on vérifie que et = = = PP P, = = = PP P P P éfinition 5.5. n définit le sinus et la tangente de l angle  (aigu) par sin  = et tan  =. En particulier, dans un triangle C rectangle en les angles ÂC et ÂC sont aigus et on obtient

19 Une axiomatisation du plan euclidien 19 cos ÂC = = sin ÂC ; C sin ÂC = C = cos ÂC. C Exercice 5.3. En utilisant le théorème de Pythagore montrer que pour tout angle (aigu)  on a cos 2  + sin 2  = 1. Exercice 5.4. aintenant que le cosinus et le sinus sont bien définis on peut les utiliser pour retrouver les propriétés métriques relatives à la hauteur d un triangle C rectangle en. Soit H le pied de la hauteur issue de. Quelles formules obtient-on en écrivant les fonctions trigonométriques des angles égaux ÂC et ÂH? Comme on vient de le voir la formule obtenue à la proposition 4.2 s obtient aisément en utilisant les fonctions trigonométriques. Il faut cependant être bien conscient du fait que nous l avons utilisée pour prouver que les fonctions trigonométriques sont bien définies. Exercice 5.5. Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des angles d un triangle équilatéral et d un triangle isocèle rectangle. Pour aller plus loin il faudrait définir l addition des angles, ce qui pose de sérieux problèmes pour des angles géométriques. Considérons en effet la figure ci-contre : Les droites () et () sont orthogonales. La droite (C) est la médiatrice de. n aimerait écrire  + C = ÂC. r les angles C et ÂC sont égaux (utiliser la réflexion d axe (C)) alors qu évidemment l angle  n est pas un bon candidat pour être un élément neutre pour une addition. C est là qu on voit apparaître dans les ouvrages de collège des angles «rentrants» ou «saillants» car on y additionne les mesures des angles en distinguant par exemple un angle de 135 o et un angle de 225 o. Il faudrait alors modifier la définition 5.1! n définira de manière satisfaisante d une part une addition pour les angles orientés, d autre part une mesure et on montrera que l addition des angles est cohérente avec celle des mesures. Comme la définition des angles orientés utilise celle des déplacements du plan, elle sera donnée plus loin (Chapitre III). C C 6. ù l on retrouve le produit scalaire n peut lire ce paragraphe immédiatement après le paragraphe «projection orthogonale». Il sert à montrer que la distance que nous avons définie avec les axiomes (1) à (6) est bien euclidienne au sens où elle provient d un produit scalaire. Il sert à montrer aussi comment

20 20 6. ù l on retrouve le produit scalaire on peut introduire le produit scalaire à partir des propriétés des réflexions (c est-à-dire des propriétés connues des élèves qui sortent du collège) sans faire de cercle vicieux, et sans utiliser les fonctions trigonométriques des angles orientés. n rappelle que l on a déjà défini la distance entre deux points et la norme d un vecteur (axiome 4). éfinition 6.1. n associe à tout couple ( u, v ) de vecteurs un réel noté u v défini ainsi : Si u = 0, on pose u v = 0. Si u 0, on choisit des points,, C et tels que u = et v = C et on note C et les projections orthogonales de C et sur la droite (). n pose alors u v =.C, C où les mesures algébriques sont définies à partir de vecteurs unitaires. C Il faut commencer par vérifier que cette définition ne dépend pas des représentants choisis pour les vecteurs u et v. Il suffit de le faire dans le cas où u 0. 1) Comme la projection est affine, C = C 1 1 implique C = C 1 1 où C 1 et 1 désignent les projections orthogonales de C 1 et 1 sur la droite () d où.c =.C 1 1. C C C ) autre part si 1 1 =, les droites () et (1 1 ) sont parallèles. C 1 n en déduit que C 1 1 = C où cette fois C 1 et 1 désignent les projections orthogonales de C et sur la droite ( 1 1 ), d où.c = 1 1.C 1 1. C 1 1 Theorème 6.2. L application de P P dans R qui au couple ( u v ) associe u. v est une forme bilinéaire symétrique définie positive. n appelle u v le produit scalaire de u et v. C C 1 1

21 Une axiomatisation du plan euclidien 21 émonstration. La bilinéarité est (avec cette définition du produit scalaire) une conséquence immédiate du fait que les projections sont affines. Par contre la symétrie de cette forme n est pas évidente mais se déduit directement de la deuxième partie du théorème 3.6. n vérifie facilement que la forme est définie positive puisque = () 2. Remarque. La propriété (2) du théorème 3.6 s exprime plus aisément comme conséquence directe de la symétrie du produit scalaire (qu elle a ici servi à démontrer). La distance et la norme dont nous sommes partis proviennent bien du produit scalaire puisque = 2 = 2. n peut déduire l inégalité de Cauchy-Schwarz directement de la définition du produit scalaire, en utilisant le théorème 3.4. Soient, en effet, et C deux vecteurs non nuls et C et les projections orthogonales de C et sur la droite (). Si les vecteurs et C ne sont pas colinéaires le rapport C /C est strictement inférieur à 1 et il est clairement égal à 1 dans le cas contraire. n en déduit que quels que soient les vecteurs u et v on a u v u v et l égalité a lieu si et seulement si les vecteurs sont colinéaires. n peut aussi caractériser L orthogonalité à l aide du produit scalaire. En effet on déduit aisément de la définition que si,, C et sont quatre points tels que et C alors () (C). C = 0. Et on peut maintenant, grâce au produit scalaire, traduire des propriétés géométriques par des calculs (où l on utilise fortement la bilinéarité). Exercice 6.1. Propriété du parallélogramme et de la médiane ontrer que u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ), et interpréter géométriquement ce résultat. Exercice 6.2. Théorème de Pythagore généralisé ontrer que u + v 2 = u 2 + v 2 2 u. v, et interpréter géométriquement ce résultat. Exercice 6.3. ù l on redémontre la caractérisation de la médiatrice ontrer que ( u v )( u + v ) = u 2 v 2, et interpréter géométriquement ce résultat. Exercice 6.4. n se donne un nombre k > 0 et deux points distincts et. éterminer l ensemble des points du plan tels que = k.

22 22 6. ù l on retrouve le produit scalaire Plus généralement, on peut étudier la fonction de Leibniz et les problèmes de lignes de niveau qui lui sont associés. Exercice 6.5. Ecriture analytique ontrer que la bilinéarité du produit scalaire permet de donner facilement l expression du produit de deux vecteurs en fonction de leurs coordonnées dans une base orthonormée du plan. Exercice 6.6. Une jolie application! n se donne un carré C et les milieux de ses côtés I, J, K et L. ontrer que le quadrilatère P QRS tracé sur la figure ci-contre est un carré et déterminer le rapport de son aire à celle du carré C. n pourra calculer L SP. L I S P Q R K C J Il est possible maintenant de donner une définition du cosinus d un couple de vecteurs de la façon suivante. éfinition 6.3. Soient u et v deux vecteurs non nuls. n appelle cosinus du couple ( u, v ) le nombre cos( u, u v v ) = u v. L inégalité de Cauchy-Schwarz implique que et la symétrie du produit scalaire que cos( u, v ) 1, cos( u, v ) = cos( v, u ). Cette définition est cohérente avec celle donnée pour un angle géométrique Â. En effet si l angle est aigu, la projection orthogonale de sur la droite () appartient à la demi-droite ]) et on a = = +, d où cos(, ) = = cos(â). Par contre si l angle est obtus on a d où =, cos(, ) = = cos(â).

23 Une axiomatisation du plan euclidien 23 Exercice 6.7. Formule d l Kshi En appliquant le théorème de Pythagore généralisé et en utilisant la définition du cosinus, vérifier que dans un triangle C on a C 2 = 2 + C 2 2 C cos(, C). 7. Conclusion Nous avons finalement démontré que les axiomes (1) à (6) permettent bien de définir une structure euclidienne sur un plan affine. Il me semble déconseillé de présenter cette axiomatisation lors d une épreuve d exposé au CPES. En revanche, il est tout à fait possible d exposer les leçons sur la projection, les propriétés des triangles, la médiatrice ou le produit scalaire en admettant que la réflexion ainsi que ses propriétés élémentaires sont connues (ceci implique implicitement que l orthogonalité est donnée). Ce texte permet de se convaincre que l on ne fait pas de cercle vicieux en procédant ainsi. Et cette méthode permet d être cohérent avec l esprit des programmes puisqu il est noté, déjà dans les commentaires du programme de sixième, «la symétrie orthogonale est mise en jeu le plus fréquemment possible pour justifier les propriétés.».

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