Théorie algébrique des nombres

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1 Cours de aîtrise de athéatiques : Théorie algébrique des nobres Bas Edixhoven, Université de Rennes 1 janvier 2002 Ce texte est une version (légèreent) corrigée et agrandie (d une section sur le théorèe de Wedderburn) du polycopié de 2001 Le polycopié de 2001 était une version réorganisée du texte qui a été distribué en ai 2000 Le texte de ai 2000 était consitué des notes de cours que l auteur avait écrit pour lui-êe, sans avoir l intention d en faire un polycopié ais vu le teps investi, il lui a seblé quand-êe utile d en faire une version présentable Néanoins, le résultat est oins détaillé que le cours Pour plus de détails, on pourra consulter les livres entionnés dans la bibliographie, et surtout [Sauel] 1

2 Table des atières 1 L équation de Ferat 3 2 L anneau et le théorèe des deux carrés 11 3 Anneaux des entiers dans les corps de nobres 13 4 Les anneaux de Dedekind 20 5 Finitude du groupe des classes d idéaux 32 6 Le théorèe des unités 40 7 La réciprocité quadratique 45 8 Le théorèe de Wedderburn 51 9 Copléents et rappels Exercices Exaens, partiels, etc 64 2

3 7 7 7 ) 7 ) L équation de Ferat 11 ntroduction Nous suivrons le livre de Sauel [Sauel] d assez près, en coplétant par des références au livre de Cohen [Cohen] pour des résultats algorithiques En êe teps, nous essayerons de otiver le plus possible, par des exeples siples, l introduction des notions techniques C est pour cela que nous coençons par regarder l équation de Ferat : Dans cette équation, est un entier, plus grand ou égal à un, et le problèe qui se pose est de trouver, pour donné, toutes les solutions de cette équation, c est à dire, tous les triplets dans " tels que Avant de dire quoi que ce soit sur ce problèe particulier, rearquons que ce problèe garde un sens si on replace par n iporte quel anneau (les anneaux seront coutatifs et unitaires dans ce cours, sauf ention explicite contraire) En effet, l enseble des solutions dans, pour un anneau, est sipleent l enseble des racines du polynôe %$ '( dans Plus tard aujourd hui, nous allons considérer l anneau & Si )+*,- / est un orphise d anneaux et dans une solution de l équation de Ferat de degré ci-dessus, alors ) dans / est égaleent une solution de la êe équation En fait, cette dernière propriété est vraie pour tout systèe d équations polynoiales à coefficients dans L équation de Ferat est hoogène : tous les onôes y intervenant ont êe degré Une autre façon 2 de dire cela est : si 2 est un anneau, 4 dans alors est une solution si et seuleent si 3 et 3 dans non diviseur de zéro, l est Géoétriqueent, cela s exprie 2 en disant que l enseble des solutions est un cône, et (au oins sur un corps) la propriété pour d être une solution ne dépend que de la droite, donc que de l iage de dans le plan projectif sur En général, quand on considère des systèes d équations polynoiales hoogènes, on a intérêt à considérer les solutions dans l espace projectif correspondant, car cela fait baisser la diension du problèe (c est à dire, le nobre de variables) d un L hoogénéité de l équation de Ferat entraîne égaleent une relation entre les ensebles de solutions dans et dans 7, que nous allons aintenant expliquer Pour 8:9<; 0, un éléent de est dit priitif D0 si BDCFE2G H particulier, un éléent priitif de est non nul, et tout non nul dans est de la fore, avec KJ dans et priitif est alors un pgcd des ) Le groupe N POQH $ HR des éléents inversibles de opère par hoothéties sur l enseble SUT1VXW des éléents priitifs de, 1N et on nous noterons Y le quotient SZT[VXW Ceci est l analogue sur de la définition usuelle de l espace projectif Y * $ O ; R 1 Avec ces définitions, on a la proposition suivante 111 Proposition L inclusion de SUT1V]W et Y dans 7 $ O ; R induit une bijection entre Y 3

4 f h 7 La vérification est laissée coe exercice ; disons seuleent que l application inverse est obte- nue coe suite : pour non nul dans on prend un dénoinateur des, c est à dire un dans non nul tel que les sont entiers, et on écrit _^ J J avec ^ dans et a`dans priitif (Une autre façon de construire l application inverse est de ontrer que pour dc ; dans 7 l intersection 7b est un -odule libre de rang un, et d en prendre les deux générateurs ; voir la section 9) Soit aintenant e9 H Notons f l enseble des solutions priitives dans de l équation g :, et h l enseble des solutions non nulles dans 7 de l équation i : Le groupe " joqh $ HFR des inversibles de opère par hoothéties sur f, et, de la êe façon, 7 opère sur h Soient fk* " et hl* les quotients de ces actions Alors la proposition précédente iplique que l inclusion de f dans h induit une bijection de f vers h 12 L équation de Ferat, degré 1 est une solu- Autreent dit, nous avons une bijection de % vers l enseble l n y a pas grand chose à dire Pour 2 n iporte quel anneau, dans tion si et seuleent si 56 des solutions, qui envoie vers 0 13 L équation de Ferat, degré 2, sur n ci, nous suivons [Sauel, o 12] l s agit aintenant de l équation : : QA Les solutions avec, et des entiers positifs et non nul, sont appelés des triplets pythagoriciens qpr ApApr Notons que de toute façon, dans est une solution si et seuleent si tous les triplets sont des solutions l nous suffit de trouver toutes les solutions dans s Nous allons classifier les triplets pythagoriciens priitifs, à l aide de la factorialité de l anneau Coe l équation que 2 nous considérons est QAt` hoogène, c est à dire que tous les teres ont êe degré, toute solution dans avec ; qp KJXAp 6Jup Jv est de la fore, avec dans s non nul, un triplet pythagoricien priitif On procède par les étapes suivantes 1 Soit un triplet pythagoricien Les conditions suivantes sont équivalentes : (a) BC@E2G (b) BC@E2G (c) BC@E2G (d) BC@E2G jh, 56 xh, 562 yh, 462 jh (En effet, si est pythagoricien et si par exeple un nobre preier z divise et, alors z divise, donc, donc ) 2 2 Soit un triplet pythagoricien priitif Alors { est ipair, et l un d entre et est sont ; et H ) pair (pour le voir, on utilise que les carrés dans 4

5 ; ; ' ' ' ; 3 Soit un triplet pythagoricien priitif avec pair En écrivant 0@ F 1 $ 1@ F21 on ontre qu il existe ~ et dans s, preiers entre eux, tel que ; ~ƒ, $ }[@ ~5 et 1F Q (En effet, $ }[@ et 1@ sont preiers entre eux car l idéal qu ils engendrent contient et, donc H, et leur produit est un carré) On conclut que les triplets pythagoriciens priitifs avec pair sont les triplets $ ~ ~5 ~, avec ; ~ƒ preier entre eux et ~5 pair Une autre façon de faire la liste de tous les triplets pythagoriciens est la suivante, que l on pourrait appeler paraétrisation rationnelle du cercle A un triplet pythagoricien on } 0F fait correspondre le point du cercle par $ H dans ˆ de rayon un et de centre ; Un éléent de est dit rationnel si ses deux coordonnées sont rationnelles En considérant les droites passant, on ontre que tout autre point rationnel de est de la fore [ H $ [D Hd AA ' D Ĥ avec ' dans 7 ( ' étant la pente de la droite considérée) En effet, pour ' dans notons Š la droite dans qui passe par $ H et qui est de pente ', et notons ' 0 ' [ le deuxièe point d intersection de Š avec le cercle Alors ' est rationnelle si et seuleent si ' 0 ' [ l est (si ' A ' 1 est rationnelle, Š contient deux points rationnels, donc sa pente est rationnelle, si ' est rationnelle, le deuxièe point d intersection est de la fore $ H 3 H ' avec 3 dans solution d une équation de degré deux à coefficients rationnels et avec une racine rationnelle ; un petit calcul donne la forule en haut) En écrivant ' ~ [0 avec ~ et des entiers preiers entre eux, on obtient de nouveau la classification des triplets pythagoriciens priitifs obtenue en haut 14 L équation de Ferat, degré ŒŽ, sur En 1993, Andrew Wiles a ontré qu il n y a pas de solutions non triviales dans alheureuseent, la déonstration est beaucoup trop difficile pour l expliquer dans ce cours Pour ceux qui veulent voir coent cela arche, voir par exeple le livre de Cornell, Silveran et Stevens [CSS], ou les deux exposés au Séinaire Bourbaki par Serre et Oesterlé, en juin 1995, ou le nuéro 22 du agazine Quadrature, été 1995 (Editions du choix, Argenteuil) Signalons aussi que Kuer, au 19èe siècle, avait déjà déontré le théorèe de Ferat pour de nobreux exposants preiers Ce que nous pouvons faire avec les techniques à notre disposition, est résoudre ces équations ' dans l anneau & 141 Théorèe Soit 9 š '( entier Si, et dans & satisfont et sont preiers entre eux (BDC@E G yh ), alors, et sont de degré zéro, c est à dire, sont dans & Preuve La éthode s appelle la descente infinie Supposons donc qu il existe au oins une solution priitive non constante Soit alors une telle solution où le axiu des degrés 5

6 & de, et est inial Notons tout d abord que, et sont preiers entre eux deux par deux, tous non nuls, et qu au plus un d entre eux est constant On a : $ œ ž Ÿ $ 0 Les facteurs $ sont preiers entre eux, deux par deux, car chaque pair d entre eux fore une base du sous-& -espace ' vectoriel de & engendré par et (notons que ce sous-espace est de diension deux car et sont non nuls, preiers entre eux et pas tous les deux constant) Par '( la factorialité de &, nous obtenons que les $ sont des puissances ièes, à des inversibles près ais les inversibles sont les constants non nuls, qui sont eux-êes des puissances ièes l existe donc des ž '( dans & tels que $g ž Coe les $ sont preiers entre eux deux par deux, les ž le sont égaleent En considérant les teres doinants de et de, on voit qu au plus un des ž est constant Prenons aintenant n iporte triplet,, et pari les ž (cela est possible parce que est au oins š ) Coe, et ' appartiennent au sous-espace de & engendre par et, il y a une relation linéaire non triviale pari eux, disons : avec, et dans &, ne pas tous nuls ais coe chaque éléent de & est une puissance ièe, nous trouvons, en choisissant des racines ièes de, et, une relation : avec, et preiers entre eux deux à deux, ne pas tous constants, et de êe degré que, et, respectiveent ais cela contredit la inialité en teres des degrés de la solution de départ '( Avant de continuer, notons que nous avons utilisé que l anneau & est factoriel, et que tout '( inversible de & est une puissance ièe Ce sont exacteent ces deux propriétés qui posent un problèe pour les anneaux r Lv ^ «ª Le défaut de non factorialité de tels anneaux, ainsi que leurs groupes ultiplicatifs, seront étudiés plus tard dans ce cours Signalons aussi que la éthode qui a conduit à une preuve du théorèe de Ferat n est pas d étudier en grand détail les anneaux r L ^ «ª, ais plutôt des anneaux de la fore r j, c est à dire, des courbes elliptiques Pour ontrer que l on sait déontrer des résultats généraux, citons le suivant, cas spécial d un théorèe de Faltings, auparavant conjecture de ordell (voir par exeple [Serre1]) 142 Théorèe Soit dans 7, et ne s annulent pas en un êe point de & O 0"± 7 ³² H ; R est fini hoogène de degré au oins {, tel que les dérivées $ O ; R Alors l enseble Ce qui est { intéressant dans ce résultat est la condition sur le degré Le fait que ce degré doit être au oins correspond au fait que la variété des solutions dans Y est une surface copacte connexe et orientable dont le genre (ie, le nobre de trous) est au oins deux 6

7 15 L équation de Ferat, degré, sur n ci nous suivons [Sauel, o 12] Nous allons ontrer : Soient, et dans tels que µuµ : Alors 5} ; Supposons donc que cet énoncé soit faux, et soit avec µ ƒµ :, 5} ` dans s ;, et inial Pour obtenir une contradiction, on procède par les étapes suivantes, où l on applique est un tel triplet) ce que nous savons déjà des triplets pythagoriciens (car 1, et sont deux à deux preiers entre eux 2 Après perutation, si nécessaire, de et, on a et ipairs, pair l existe ~ et dans s, preiers entre eux, avec ~, tels que : ~ $ ~¹ ~ La preière équation dit que ~ ; coe est ipair, est pair La deuxièe équation dit F ~5, donc il existe et dans s tels que ~ et De la preière équation on tire qu il existe et dans s, preiers entre eux, tels que : º $ F ~ La deuxièe de ces équations dit que, donc que et sont des carrés, disons ^ et :» avec ^ et» dans s Coe ~ et coe ~ et ¼~5, on a ~59 ^ µ» µ µ 9 16 L équation de Ferat, degré, sur n, on a : Contradiction avec la inialité de Ceci n est pas fait dans [Sauel] Nous suivons [-R, o 178] La éthode est toujours la êe : factoriser après adjonction des racines 3èes de l unité, et descente infinie Nous coençons par quelques résultats sur le sous-anneau x* r ½@, avec ½ ½ H% ;, de & 161 Proposition La conjugaison coplexe º¾ - induit sur un autoorphise d anneau L application À*Á - s, ¾ - ² ² est ultiplicative et s appelle la nore de la - algèbre L anneau est euclidien pour la fonction ; est donc factoriel Le groupe de ses éléents inversibles est O p H Ap ½ Ap ½ R, et est cyclique d ordre 6 L éléent 3ƒ* yh $ ½ de est preier, et le quotient 35 est un corps à trois éléents Une factorisation de š dans est la suivante : š $ ½ 03 Preuve Coe est un sous-anneau de &, est intègre Pour voir que À* - &, ¾ - ² ² prend ses valeurs dans, faisons le calcul suivant :  ½  ½ 2  ½  ½ ½  $ Âl  7

8 8 à 8 ½ ² à 3 š š ² ½ ½ C est donc vrai que prend ses valeurs dans s Pour ontrer que est euclidien pour la fonction, il faut ontrer que pour tous et dans avec non nul, il existe à et 8 dans avec 8 et Soient et dans `, avec ; Soit à alors un des éléents de F le plus proche de Alors on a : F $ à ²QÄ H QÅ š H@ (Pour l expliquer, faire un dessin du réseau dans & ; ce réseau est l enseble des soets On alors : d un pavage de & par des triangles de cotés un) Posons 8 * $ à ² 8 ² ² $ ² F ² ² b ² $ à ² ² d où ² 8 ² Æ ² ² 0 Soit dans Alors est inversible si et seuleent s il existe dans Q tel que H En particulier, si est dans, il existe dans tel que H H 0 0, d où Ê ÇH D autre part, si est dans et ÈH, on a HÉ, donc est dans (et ) Les inversibles de sont les dans avec kh, c est à dire, les dans l intersection de et le cercle unité Pour voir ce qu est 3, notons que r '( D ' ' ÉH, ce qui nous donne un orphise surjectif :-ÌË, en envoyant ' vers H (en effet, l iage de ' ' ÍH est alors ; ) Par construction, l iage de 3 dans Ë est nulle, donc le orphise Î- Ë se factorise par 3 ce qui donne une surjection de 3 sur Ë Le fait que š iplique que 3 est irréductible, donc preier (car euclidien donc factoriel) ais alors 3 est un corps (c est le quotient d un anneau principal par un idéal preier non nul), donc le orphise 35Ï- Ë est injectif, et donc un isoorphise Calculons : 35 H $ ½ yh $ ½ ½ yhd ½ ½ $ ½ $ š Faisons quelques exeples de factorisation dans Factorisons par exeple š { et $ ½ D abord, š ½ { š $ š ÐH :Ñ est preier, donc š ½ est preier, ainsi que š ½ $ ½ La factorisation de $ { Ò{ est plus intéressante On a $ ½ { { ÎHÍ HÍ šb Ñ On essaie alors de diviser $ ½ par un éléent de nore š, par exeple H $ ½ On trouve : { $ ½ { H $ ½ $ ½ H $ ½ { $ { ½ $ ½ H H $ ½Zb H $ ½ š ½ Coe š ½ { est preier, on a la factorisation $ ½ H $ ½ 2 š ½ en éléents preiers de Ó 162 Lee Les puissances troisièes dans 3 µ sont ; p, H p, 3 Preuve Coe 3 Ë, tout éléent de est d une des fores H% 3, $ HÔ 3, 3 (avec dans ) On calcule les puissances troisièes de ces bêtes, en utilisant que êe les en haut s écrivent encore sous la 3 avec dans O ; H $ HFR (et on utilise le petit théorèe de Ferat ) Nous allons ontrer un résultat plus fort que l énoncé que pour tout Õ on ait 5Ð dans avec ; ; cela est nécessaire pour faire la descente infinie Cette fois, la descente sera en teres de divisibilité par 3 8

9 ` 3 Ê 3 3 ~ p ~ Å 163 Notation Soit un anneau factoriel, dans non nul, et z dans preier Nous notons alors 0Ö le nobre de facteurs z dans la décoposition de en facteurs irréductibles Plus préciséent, on a J zd Ø ÙÛÚ[Ü, avec z J ne pas divisant (On utilise la lettre pour valuation) 164 Théorèe Supposons que, et sont dans et que ~ est dans tels que ~ Alors 5Ý ; Preuve Par contradiction Supposons donc que,, et ~ sont dans, avec ~ dans j ~ et 5 ; Par l arguent habituel, nous pouvons supposer que, et sont deux à deux preiers entre eux ontrons que 3 ² 5}, et que si 3 ² 5, alors ~ p H Supposons donc que 3 ² 5 Alors 3 ne divise pas ~ p, donc on a H% p ~ dans Cela veut dire que 3 divise ~ $ H ou ~ ƒh l en résulte que ~ p H (Par exeple, on peut utiliser que ² ~ H ²Ä tandis que ² 3 ² š š³ ) Nous avons donc ontré la deuxièe assertion ontrons la preière Supposons que 3 ne divise pas 5} Alors O RßÞxOQH $ HFR dans 3 µ ais alors on a ~ p dans 3 µ Cela veut dire que 3 µ divise ~ $ ou ~ ais H p ÄŽ² ~ ²QÄ š tandis que ² 3 µ ² Ó, ce qui est une contradiction Ceci nous raène au cas où nous avons,, et ~ dans, avec ~ dans, ƒ ~, et 3 ² Nous allons aintenant produire un tel quadruplet Jw J] Jw J avec à Já à ; c est ça la contradiction cherchée Allons-y Notons tout d abord que dans 3 nous avons ;, donc que â e ; (dans 35, bien sûr) ais alors ; dans 3 µ (utiliser ce que nous savons des cubes dans 3 µ ), donc 3 µ ² ~, donc 3 ² Nous écrivons aintenant : ß ½ 2 ½ ~ Coe 3 ã ² ~, au oins un des facteurs à gauche est divisible par 3 ; en replaçant par ½ ou ½ si nécessaire, on a 35 ² ß¼ (notons que ces substitutions ne changent pas, ce qui est iportant pour notre arguent) ontrons qu alors à ß ½ à ½ jh Coe l iage de ½ dans Ë est H, il est clair que 3 divise Í ½ et â ½ Supposons que 3 F² ½ Alors ä Í ½ dans 3, donc ; H $ ½ ß 3 dans 3 Coe est dans, cela entraîne que 3 ² 3, ce qui est faux De êe pour ½ : 3 ne divise pas H $ ½ Nous avons donc : à šf à $ à ½ xh à ½ xh@ ç ¹è Le fait que GDå æ $ 3 ontre que ½ 3, et de êe on trouve que, ½ et ½ ont, deux à deux, plus grand coun diviseur 3 La factorialité de donne l existence d éléents, et de qui sont preiers à 3 et preiers entre eux deux à deux, et d éléents ~, ~ et ~ de, tels que : ß ~ é2ùëêìü ½ ß ~ 3 ½ ß ~ 3 La cobinaison linéaire avec coefficients H, ½ et ½ de ces trois équations, divisée par 3, donne : ; Ê ~ é ÙëêìÜ ½ ½ ~ 9,

10 9 3 Ê On pose aintenant * í, *, et * 3 é ÙëêìÜ Alors on a, avec î et î dans convenables : î î (car à ), on a î p H dans, ce qui ontre que î p H (dans ) par $ si nécessaire, on obtient donc : î avec à 1 à $ H Coe 3 ² En replaçant 10

11 { - z z 2 L anneau ïñðvò4ó et le théorèe des deux carrés 21 Un peu d arithétique dans nº ëô6 Le but de cette section est d abord de coprendre coent se factorisent les nobres preiers dans r, et d appliquer le résultat pour déteriner quels entiers sont soe de deux carrés Les résultats de cette section se trouvent dans [Sauel, o 56], ais y sont déontrés de façon oins éléentaire 211 Proposition La conjugaison coplexe ݾ - induit sur r un autoorphise d anneau r L application :* - s, ¾ - ² ² est ultiplicative et s appelle la nore de la - algèbre L anneau r est euclidien pour la fonction ; r est donc factoriel Le groupe r de ses éléents inversibles est O p H Ap R, et est cyclique d ordre 4 La déonstration est analogue à celle que nous avons déjà faite pour r ½@ 212 Théorèe Soit z un nobre preier Alors z est encore preier dans r si et seuleent si z $ { H { odulo Pour on a : H 2 H $ H $ Un nobre preier z congru à 1 odulo se factorise coe : z 2 $, en deux facteurs preiers non associés Les éléents preiers de r sont ceux dont la nore est un nobre preier (forcéent H odulo ou égal à ) ou le carré d un nobre preier qui est $ H { odulo Preuve ontrons d abord les assertions sur la factorisation dans r des nobres preiers Supposons donc z preier dans et non preier dans r Soit alors preier dans r tel que n est pas inversible dans r Ecrivons avec et dans ²z ; notons que z Alors ² { z On en conclut que z, et donc que z n est pas $ H odulo La situation de se vérifie par un calcul ontrons aintenant que les preiers z qui sont H { odulo { se factorisent en deux preiers non associés Soit donc z preier, congru à H odulo Les deux racines distinctes de H dans ËÖ { (ce sont les éléents d ordre du groupe cyclique Ë Ö ) nous donnent deux orphises d anneaux de r vers ËÖ Soit un générateur du noyau de l un des deux Alors est preier dans, il divise z, et il n est pas associé à z (par exeple car r r z est de cardinal z ) Coe ² z, on a z ontrons que tout preier de est un diviseur d un unique preier positif de Pour cela, supposons que dans r soit preier Alors r r est intègre (car preier), et êe un corps car en plus principal (En fait, nous n utiliserons pas que c est un corps) r r Considérons le orphise d anneaux - Son noyau contient qui est non nul, et son iage est intègre l en résulte que le noyau est engendré par un nobre preier z Bien sûr, on a ² z D autre part, si z est preier dans et ²z, z est un générateur du noyau de r r Pour finir, ontrons la classification des preiers de r en teres de la nore Supposons que dans r soit preier Notons z l unique nobre preier divisible par En utilisant la factorisation de z en preiers dans, on voit que si z n est pas $ H { odulo, z, et que sinon z D autre part, il est clair que si dans r est tel que est preier, alors est preier Supposons que dans est tel que zd avec z $ H { odulo Coe z, on a ²z ais coe z est preier dans r, l est aussi 11

12 ½ Ö ² ± Ö ½ 22 Le théorèe des deux carrés 221 Théorèe Un nobre preier z est la soe de deux carrés si et seuleent si z est congru à H { odulo (Ferat) Soit dans s Alors est une soe de deux carrés si et seuleent si 0Ö est pair pour tout nobre preier z qui est $ H { odulo Preuve La preière assertion a été vue dans la section 21 : $ dans r ontrons la deuxièe assertion Soit dans s, non nul Supposons d abord que Ö est pair pour tout nobre preier z qui est $ H { odulo Pour chaque preier z yh { od, choisissons Ö et Ö dans tels que z Ö Alors on a $ où : Hd õ[ù Ü œ Ö Ø0Ù Ü œ z Ø Ù Ü Ö0ö Ù µ Ü Ö0ö Ê Ù µ Ü D autre part, supposons que avec et dans On écrit alors, avec Soit z preier, avec z $ H { odulo, donc preier dans l existe dans s et dans r preier à z tels que z Alors on a z, et donc, avec  * Î dans s : z Â, avec z ne pas divisant  dans r, donc pas non plus dans Cela ontre bien que 0Ö est pair Dans le TD on verra un algorithe efficace pour trouver une factorisation dans r d un nobre preier z dans s qui est H odulo { Cet algorithe est assez siple, et utilise des particularités de r (être engendré par une racine de l unité d ordre {, et être euclidien) Dans des cas plus généraux, signalons qu il existe des algorithes efficaces pour factoriser des polynôes sur les corps finis (algorithe de Berlekap) et pour trouver des éléents courts dans des réseaux (LLL : Lenstra-Lenstra-Lovász) ; pour ces algorithes, voir [Cohen] 222 Théorèe Tout dans s est soe de quatre carrés Pour la preuve, que nous ne donnerons pas ici par anque de teps, voir [Sauel, o 57] L idée de la preuve est la êe que celle du théorèe des deux carrés, ais on replace r par un sous-anneau convenable de la 7 -algèbre (non coutative) des quaternions : 7ø 7 7 â7 ù, avec ù $ H, et w½ $ ½K ù Cette 7 -algèbre est une algèbre à division : tout " U½ éléent non nul adet un inverse Le sous-anneau ù ne suffit car il n est pas euclidien (il est facile de vérifier qu il n est pas euclidien pour la nore euclidienne) Le sousanneau que l on prend est celui engendré par, ½, ù et H ½ 1@ ù Une façon d écrire cet ordre est : O ½ [@ 5646 ù, od 2 RQ 12

13 J Ê Ê Ê Ê J Ê 3 Anneaux des entiers dans les corps de nobres 31 Eléents entiers aintenant que nous avons vu quelques applications non triviales de l arithétique dans des anneaux tels que r et r ½@, nous allons introduire de tels anneaux dans tous les corps de nobres Par corps de nobres, on entend extension finie de Définition Soit 7Õ- ú une extension finie Un éléent de ú est dit entier sur s il est racine d un polynôe unitaire à coefficients dans Autreent dit, dans ú est entier sur s il existe 9 H KL et des dans, ; Ä, tels que : Ê Ê bbb ß Qû ; L enseble de tels éléents sera noté úßü Une notation plus courante pour úßü est ý þ 312 Exeple ontrons que 7Æü l est évident que 7Æü contient Soit dans 7Æü, et écrivons Â, avec et  ; des entiers preiers entre eux Prenons» dans r unitaire tel que» ; Ecrivons»É K bbb Kû Cela donne ÂŽ bbb Kû  ; Supposons qu un nobre preier z divise  Alors divise Ê Ây bbb Kû Â, donc, donc, ce qui contredit que et  sont preiers entre eux l en résulte que ÂÿyH et que est dans La définition d intégralité est claireent une généralisation de la notion d éléent algébrique dans une extension de corps Nous allons ontrer tout de suite que úßü est en fait un sous-anneau de ú, contenant Le fait que úßü contient est de toute façon évident 313 Proposition Soit j- / un orphise d anneaux Un éléent de / est dit entier sur s il existe 9 et des dans, ; Ä ¼, tel que : Ê ì Ê bbb ì Kû ; Pour dans /, les conditions suivantes sont équivalentes : 1 est entier sur ; 2 la sous- -algèbre de / est un -odule de type fini ; 3 il existe une sous- -algèbre de /, contenant, et de type fini en tant que -odule ; 4 il existe un sous- -odule de /, de type fini, contenant H et stable par ultiplication par (ie, tel que Þ ) 5 il existe un sous- -odule de /, de type fini, contenant un non diviseur de zéro et stable par ultiplication par Soit / l enseble des dans / qui sont entiers sur Alors / est une sous- -algèbre de / 13

14 š š J è J Soit» dans unitaire, tel que» 0 ; Alors le sous- de / est l iage du orphise de -algèbres - / qui envoie vers Coe» est unitaire, on peut diviser avec reste par» dans, ce qui ontre que le -odule D» est libre de base H >> Ê, avec le degré de» l en résulte que est engendré, en tant que -odule, par H,, 2>, Ê Bien sûr, ceci se voit égaleent en notant que dans les avec ùâ : on peut prendre l* {Q : on peut prendre * {Q : on peut prendre * ontrons finaleent que H Soit un sous- -odule de /, de type fini, contenant un non diviseur de zéro, et stable par ultiplication par Soient ñ9l; et  0 >>  des générateurs de Pour tout,  L s écrit coe è 4èL  è èl, avec les dans Notons ^ la base canonique du -odule libre, et considérons le orphised* - qui envoie ^ L vers  L Coe les  L engendrent, ce orphise est surjectif Nous avons alors un diagrae coutatif : $$ $ - $$ $ - où b est l endoorphise  ¾ -  de, et où b est l endoorphise ¾ - de Soit» dans le polynôe caractéristique GDå0æ $ de Par définition,» est unitaire, de degré Le théorèe de Cayley-Hailton (voir ci-dessous) dit que» ; dansdg l en résulte que l endoorphise  ¾ -» 0  de est nul En particulier,» º ;, et coe n est pas un diviseur de zéro,» Preuve anneau ontrons que H  9l sont cobinaisons linéaires des avec ùð Â, donc des Ú est nul ontrons aintenant le deuxièe énoncé l faut donc ontrer que 20 / dans / Alors la sous- -algèbre de / est une sous- -algèbre de / > 2 Soient donc et engendrée par et est un L -odule de type fini (car engendré par les avec ; Ä Ï et ; Ä Â 2 si et sont racines de polynôes unitaires à coefficients dans de degrés et  respectiveent) 20 L équivalence entre les conditions 1 et 3 ontre alors que tout éléent de Soit» '( dans le polynôe caractéristique GDå0æ ' $ } dans est entier 9 ; sur 314 Théorèe (Cayley-Hailton) Soit un anneau coutatif, un entier, et de Alors» ; Preuve C est clair si est diagonale ; nous allons nous raener à ce cas Fixons pour l instant l anneau, ais pensons aux coefficients de coe des variables Alors les coefficients de» sont des fonctions polynoiales des, à coefficients dans l suffit donc de ontrer ² H ½ Ä Ä R, et la atrice Plongeons d abord dans son corps des fractions ú, et ensuite dans un corps de décoposition de» (» vu coe éléent '( ) Si le discriinant de» est non nul, a valeurs propres distinctes dans, est donc l identité pour P* r O Lè de ú diagonalisable sur, et le résultat est clair Pour voir que le discriinant est non nul, il suffit de 14

15 7 ` J J J ` J ` H ` J J ` J Å le voir après un choix convenable de valeurs pour les L è H A } >> la atrice diagonale GV"FC On peut prendre par exeple pour 32 Les corps quadratiques 321 Théorèe Toute Å extension de degré 2 de 7 est isoorphe à une sous-extension de 7j- & de la fore 7y-<7 pour un unique jh dans sans facteur carré : ^ ² iplique ^Ô p H Soit xh Å un entier sans facteur carré Alors 7 est une extension de degré 2 de 7 On a : Å ü Å si Å od 4 7 ü r HU Å 1@ si H od 4 Dans le preier cas, H Å Å est une -base de 7 ü Dans le deuxièe cas, H 4 HU Å est une -base de 7 ü Preuve Soit ú une extension de degré de 7 Prenons dans ú tel que ú 7Ýb H ñ7ýb l existe et dans 7 tels que ; On pose * ø }F ( est bien inversible dans 7 ), et on a * { $ On a bien ú 7 J On écrit avec dans 7 et dans et sans facteur carré En posant * Ï F, on a ú 7, avec ; H car ú est de degré deux Ceci ontre donc l existence Supposons que et ` sont des entiers yh Å Å sans facteur carré, tels que les 7 -algèbres J 7 et 7 J soient isoorphes l existe alors et dans 7 tels que Å FQ, ce qui donne : ; et A Si ;, on a A et on a Si ;, on a, ce qui contredit le fait que Soit aintenant n est pas un carré dans 7 Ceci établit l unicité H un entier sans facteur carré Soit par la théorie de Galois, soit en dans ú * Å 7, on voit que ú rearquant que $ a deux racines distinctes Å et $ Å a un unique autoorphise non trivial$, donné par$ Å $ Å, pour tout et dans 7 Coe$est un autoorphise, on a$ úøü úøü Pour tout dans ú, on a : ; $ $ $ [ $ ß $ [ $ 0 avec $ $ et dans 7 Soit dans úøü Alors$ est dans úøü donc $ $ et sont entiers sur ; coe ils sont dans 7, ils sont dans En écrivant É Å, avec et dans 7, cela donne : F ± $ ± { En particulier, cela iplique que F est dans On en déduit que est dans (car est sans facteur carré) Ensuite, on distingue les trois cas yh F, $ H { et odulo, et on trouve que est bien de la fore souhaitée (il est utile de noter que $ F0 { est dans ) D autre part, on vérifie directeent que les de cette fore sont entiers sur 33 La trace Les détails sont laissées au lecteur Notre but suivant est de ontrer que pour 7P- ú une extension finie, úßü est libre de rang GDV]W&%%ú en tant que -odule Nous allons donner deux déonstrations de cela La preière 15

16 J J J ú une par soit J ú J J sera plutôt algébrique, en utilisant une fore quadratique qui s appelle la fore trace de ú sur 7 La deuxièe déonstration fait appel à des résultats bien connus sur les sous-groupes discrets de -espaces vectoriels de diension finie ntroduisons aintenant la trace 331 Définition Soit un anneau, et / une -algèbre qui est libre de rang fini en tant que -odule Pour dans / on appelle trace de sur la trace de l endoorphise b * / - /, º¾ - du -odule / ; c est un éléent de que l on notera't ( L application't ( de / vers est un >06 orphise de -odules, on l appellera le orphise trace de la -algèbre / L application ¾ 2[ - 'T de / vers est -bilinéaire, et est appelée la fore trace de la -algèbre / 2A ; nous la noterons ¾ - )20 *( Pour que la fore trace nous soit utile, nous avons besoin de savoir qu elle est non dégénérée 332 Théorèe Soit ú - extension finie de corps Alors la fore trace est non dégénérée si et seuleent si l extension est séparable Preuve Supposons que ú - J-,þ séparable Alors il existe des éléents priitifs pour cette extension ; prenons en un, disons, et soit» dans ú son polynôe inial sur ú Soit ú - ú une extension qui scinde» :»º $ >6 bbb $ +2 J dans ú NotonsJ * ú la ú -algèbre obtenue de ú_- extension des scalaires de ú b*/10û à ú (voir la section 9 pour la définition du produit tensoriel d algèbres sur un corps) Alors)[b þ0est sipleent la fore bilinéaire déduite de)ìb b*@ þ par la êe extension des scalaires D autre part, la ú -algèbrej Jv+via : est isoorphe à ú 32 2 D» $ - J $ - ú 42 J D» $ - aintenant on calcule directeent Une façon de dire ce qui se passe ici, est de dire que cette extension des scalaires ne change rien aux atrices qui donnent le orphise et la fore trace, par rapport à une ú -base de, et à la ú -base dej en déduite, ais qu après cette extension de ú à ú, il existe une base beaucoup ieux adaptée au problèe que nous voulons résoudre : la base canonique de ú Jv+ Nous ne ontrons pas l iplication dans l autre sens Voir des livres d algèbre, par exeple celui de Lang (Algebra) Nous allons aintenant ontrer que pour ú une extension finie de 7, la trace't þ %* úì- 7 envoie úøü dans 333 Lee Soit un anneau, et» *,/ - / un orphise de -algèbres Soit dans / entier sur Alors» 0 est entier sur Preuve édiat car» 0 est annulé par tout polynôe qui annule 334 Proposition Soit ú une extension finie de 7, et notons y* GDV]W&%%ú l existe alors exacteent orphises de ú dans &, disons ) >> )+ Soit dans ú, et soit» '( dans 7 son polynôe inial sur 7 Alors : ' 1 $ ) [ ' bbb $ )+ 1 :»5 687:9<;>þ ; 16 J +

17 EDDDDDDC une ú L H 2 Si est dans úøü,» est dans '( ; 3 Le polynôe caractéristique de b *57 -<7 est» ; 4 Le polynôe caractéristique de b *¹ú_- ú est»5 6879<;8þ 5 Si est dans úøü,'t1þ % est dans Preuve Le fait qu il existe exacteent orphises de 7 -algèbres de ú dans & a été ontré en preier seestre Rappelons nous le principe de la déonstration : on ontre, par récurrence sur, l énoncé suivant : soit úí- extension de corps, séparable, de degré, et soit ú une clôture algébrique, alorsa il existe exacteent orphises de ú -algèbres de dans ú Soient aintenant ) >2 )+les plongeents de notre ú dans & ontrons la forule 1 en haut Soit donc L( dans ú L identité se voit alors en regroupant les ) qui sont égaux Chaque racine de» dans & intervient fois Ceci ontre la preière partie GDVXW@%ÙBA0Ü Soit dans úøü On applique la preière partie à 7 En notant A* GVXW@%%7 on a :»º ' $ ) [ ' bbb $ )+ [0 0 avec ) >> )+les plongeents de 7 L dans & Les ) sont entiers sur, donc les coefficients de» L, qui sont des soes de produits de ), sont eux aussi entiers sur ais coe ils sont dans 7, ils sont dans Ceci terine la déonstration de la deuxièe partie Par rapport ła 7 -base H >> +Ê de 7, la atrice de b est : $ Qû J H H $ F+Ê où nous avons écrit»º '+ L ' On ontre, par récurrence sur la taille de cette atrice, que son polynôe caractéristique est» (c est un exercice) Une autre façon de déontrer la troisièe partie est de dire que le polynôe caractéristique de b '( est dans 7, unitaire, de degré A, et, par Cayley-Hailton, annule, donc égale» Encore une autre façon de faire est d étendre les scalaires de 7 à &, et de choisir une base ieux adaptée au calcul, c est à dire, une base où b est diagonale Soit A >> N une 7 -base de ú On a donc ^ A Alors les L è forent une 7 -base de ú, que l on ordonne coe suite : A 5 A 2> +Ê A >> Par rapport à cette base, la atrice de b est constituée de ^ blocs, chacun égal à la atrice de la partie précédente Cela déontre donc la quatrièe partie La cinquièe partie résulte directeent des parties précédentes GHHHHHH ; 34 Preière déonstration de la liberté deoqp Pour ontrer que úøü est libre de rang GDV]W% ú en tant que -odule, nous allons ontrer que úøü contient un sous-anneau avec cette propriété Ensuite, en utilisant la fore trace, nous 17

18 L õ õ ) L ) õ õ õ ) ontrerons, par un arguent de dualité, que úøü est contenu dans un sous- -odule libre de rang GDV]W&%%ú de ú Par le résultat qui dit que tout sous-odule d un -odule libre de rang est libre de rang au plus, cela iplique que úøü est libre, de rang GDV]W&%%ú 341 Proposition Soit 7 - ú une extension finie Alors úøü contient un sous-anneau qui est libre de rang ³* GDVXW@%%ú en tant que -odule Preuve Prenons dans ú un éléent priitif : ú 7 En le replaçant par avec ; un entier convenable, on a entier sur l est clair que a les propriétés voulues 342 Théorèe Soit ú une extension finie de 7 Alors úøü est libre de rang GDV]W% ú en tant que -odule Preuve Soit un sous-anneau de úøü qui est déjà du bon rang sur Notons que pour tout dans úøü et dans, on a) *þ %dans Cela nous donne un orphise de -odules de úøü versrts@w ü : â¾ - ¾ % - ) *þ Coe contient une 7 -base de ú (car est libre du bon rang ; appliquer la définition d indépendance linéaire), et que la fore trace)[b b*þ non dégénérée, ce orphise est injectif Donc úßü est isoorphe à un sous-odule derus@w ü, qui est lui-êe libre de rang GDV]W@%Ôú Coe tout sous-odule d un % est -odule libre de rang fini est libre de rang au plus, cela nous donne que úøü est libre de rang au plus GDVXW@%%ú ais coe il contient, il est de rang GDVXW@%%ú 35 Deuxièe déonstration de la liberté deoqp V[Z Soit ú une extension finie de 7, * A GDV]W% ú, et ) >2 )+les plongeents de A ú dans & Nous nuérotons les ) de la façon suivante : ceux qui ont iage dans sont ) >> V,et VXW ensuite tel que ) õwl VXWL ), où ) signifie ) suivi de la conjugaison coplexe Nous posons : Y*¹ú - & º¾ - 0 2> VW 1 Cette applicationy, qui est un orphise injectif de 7 -algèbres, s appelle le plongeent canonique de ú (pas si canonique, car il faut nuéroter les ) ) De ce qui précède, il résulte que si on a dans úøü, ety 0 >> VW, alors le polynôe ' $ 1 ' bbb $ V[2 ' $ V-Ẅ[ ' $ V-W ' õẅ1 bbb $ V-W ' $ V-W est de la fore '+ ]+Ê '+Ê bbb D avec les dans êe, les sont des soes de produits de L et de L Cela iplique quey úøü est discret, et donc, par le théorèe suivant, quey est libre de rang au plus úøü 351 Théorèe Soit^ un sous-groupe discret d un -espace vectoriel_ diension finie Alors^ est un -odule libre de rang au plus En plus, toute -base de^ est une suite - linéaireent indépendante de_ Si^ est de rang, on l appelle un réseau 18

19 a dans^ J z Preuve Voir [Sauel, V, Th 1] ais la preuve donnée là-bas ne e plait pas trop ; elle ne donne pas d algorithe pour calculer une base du sous-groupe discret Pour cette raison, je donne une autre preuve Nous replaçons_ par son sous- -espace vectoriel engendré par^ Soient donc_ et^ coe dans le théorèe Nous devons ontrer que^ est libre de rang, et que toute -base de^ est une -base de_ Récurrence sur Pour ;, c est clair Supposons donc que 9 H Choisissons un produit scalaire)[b b*sur_, et notons`4bx`la nore associée Prenonsaû dans^ non nul, avec`baû`inial (c est possible car^ ^ est discret, donc d intersection finie avec tout sous-enseble borné de_) Notons_J caû l orthogonal de, et zæ*d_j-< caû et z *_x- _J les projections orthogonales ontrons d abord que aû c eaû c Soita dans^ aa J^ caû On pour un 3 a$  aû est dans^, et`î<aû`+ f`baû`, donc î ;, etaest dans aû ontrons aintenant que z est discret (dans_j, bien sûr) Pour cela, il faut ontrer qu il existe î _; tel que sia est dans^ eaû ais pas dans, alors`(z Jua`Ð íî J^ caû Soit donc ais pas dans En translatant par un éléent de aû J^, nous pouvons supposer que`(z a`ä F`baû`(faire unj dessin, avec la bande des telsa, et la boule de rayon`baû`) Coe`baû`est inial, on a`(z Å š`baû` Par récurrence, z est libre, de rang au plus $ H, et toute -base de z est une -base de_j Soienta0 2> a dans^ J^ JÒa[A tel que z >> JÒa1 soit une -base de z On ontre qu alorsaƒ* aûaa 2> aa est une -base de^ aû2a0 (exercice) l est clair que >> a est une -base de_ Par rapport à cette -base de^, toute -base de^ est donnée par un éléent degih, donc en particulier par un éléent degih, ce qui terine la déonstration dans Ecrivons 3 ¼ î avec ; Ä î H Alors î<aû 3daû 19

20 û L L Ÿ 4 Les anneaux de Dedekind on a factorisation unique des idéaux non nuls en idéaux preiers Cela replacera, dans les applications, la factorialité perdue Pour voir que la factorialité est perdue, considérer le cas ú Å 7 $ F La généralité naturelle de ce que nous voulons faire est le cadre des anneaux de Dedekind Nous allons suivre [Sauel, ] Nous voulons déontrer que dans l anneau d entiers úøü d un corps de nobres ú 41 Définition Un anneau est dit de Dedekind si : 42 LesOQP 1 il est intègre ; 2 noethérien : tout idéal est de type fini ; 3 intégraleent clos : tout éléent du corps de fractions qui est entier sur l anneau, est dans l anneau ; sont 4 tout idéal preier non nul est axial (la diension de Krull est au plus un) de Dedekind Avec ce que nous avons déjà vu, il est clair que tout anneau principal est de Dedekind Le but de cette section est de ontrer que les anneaux d entiers des corps de nobres sont de Dedekind Par définition, ces anneaux sont intègres Le fait qu ils sont libres de rang fini en tant que -odules entraîne qu ils sont noethériens : tout idéal est un sous-odule d un -odule libre de rang fini, donc libre de rang fini, donc engendré, êe en tant que -odule, par un nobre fini d éléents Reste donc à voir qu ils sont intégraleent clos, et que tout idéal preier non nul est axial 421 Proposition Soit ú un corps de nobres Soit z un idéal preier non nul de úßü Alors z est axial Preuve Soit dans z non nul (existe car z non nul) Coe úßü est intègre, l application úøüº- z, ƒ¾ - 5, est injective Cela ontre que z est libre de êe rang que úßü en tant que -odule, donc que úßü z est fini Coe un anneau intègre fini est un corps, z est un idéal axial 422 Lee Soit x- /ä- des orphises d anneaux, avec / entier sur : tout dans / est entier sur Soit dans, entier sur / Alors est entier sur Preuve Prenons une relation de dépendance intégrale Lkj ŸlV pour sur / : Ê Ê bbb û ; 6L Aû avec les dans / Notons que la sous- -algèbre >> Ê de est de type fini en tant que -odule, car engendré par des onôes bbb Ê avec tous les exposants bornés Le critère d intégralité du cours 3 iplique que est entier sur 20

21 š Þ 423 Proposition Soit ú un corps de nobres Alors úßü est intégraleent clos Preuve l n y a qu à appliquer le lee précédent dans le cas - úßü - ú 43 Autres exeples d anneaux de Dedekind»A Les anneaux de Dedekind ne se anifestent pas uniqueent en théorie des nobres, ais égaleent en géoétrie algébrique, coe le ontre l exeple suivant 431 Exeple Soit ù un corps,» dans ù irréductible, tel que» et ses dérivés partiels et»onengendrent l idéal ù de ù Alors l anneau ä* ù D» est de Dedekind En teres géoétriques : l anneau de coordonnées d une courbe algébrique affine non singulière est de Dedekind Un tel anneau peut être non factoriel, donc le fait qu il soit encore de Dedekind est iportant Par exeple, D $ H n est pas factoriel Ce dernier fait n est pas difficile à déontrer Par exeple, les éléents et $ H n adettent pas de pgcd 44 Généralités noethériennes Nous suivons [Sauel, ] 441 Proposition Soit un anneau, et un -odule Les conditions suivantes sont équivalentes : 1 toute faille non vide de sous-odules de possède un éléent axial, c est à dire, si pest un enseble non vide et, pour tout L dansp, un sous-odule de, alors il existe dansptel que pour tout ½ L è dansp, n est pas contenu stricteent dans ; 2 toute suite croissante de sous-odules de est stationnaire : si Þ bbb est une pour tout assez grand ; suite de sous-odules de, on a L LqẄ 3 tout sous-odule de est de type fini Preuve Les iplications H q F, et š sont claires ontrons, pour finir, que H Cela se fait par contradiction L : supposons que toute suite croissante de sous-odules de est stationnaire, et que, pour dansp, soit une faille non vide de sousodules de, qui n adet pas d éléentl axial Alors, pour tout dansp, il existe un J dans pavec L0stricteent plus grand que ais alors il existe une suite stricteent croissante, ce qui contredit que toute suite croissante est stationnaire LrjÞ LVbbb 442 Définition Soit un anneau Un -odule est noethérien si tout sous-odule de est de type fini L anneau idéal est de type fini est dit noethérien s il l est en tant que -odule, c est à dire, si tout 443 Exeples L anneau est noethérien, ainsi que les úßü pour les extensions finies ú de 7 Tout corps est noethérien, par anque d idéaux Si est noethérien, alors l est aussi ; voir un livre d algèbre pour ce résultat fondaental (nous ne l utiliserons pas) L anneau r >> 21

22 z J J J J à J J de polynôes en un nobre infini de variables n est pas noethérien, ainsi que la clôture intégrale de dans 7 J J J 444 Proposition Soit un anneau et ; - - J- J J - ; une suite exacte courte de -odules Alors est noethérien si et seuleent si et le sont J J J J Preuve Si est noethérien, alors J J et le sont, car tout sous-odule de est un sousodule de, et tout sous-odule de J J J est l iage d un sous-odule de, donc tous de type fini Supposons aintenant J que J J et sont noethériens J Soit J J un sous-odule de, son intersection Z avec et son iage dans Alors et sont de type fini Prenons J des éléents 2> J J et >> J J J sde tels que >> J J engendrent, et les iages de >> J J J J J J J sdans engendrent Alors >> J J et >> J J sengendrent Corollaire Soit un anneau Si >> sont des -odules noethériens, alors leur produit bbbz est noethérien Si est noethérien, alors tout -odule de type fini est noethérien 45 Produits d idéaux 451 Définition Soit un anneau, et et des idéaux de On définit alors le produit coe étant l idéal engendré par les 5, avec dans et Q dans Ce produit est l enseble des soes finis L L L, avec L dans et L dans zut Le lee suivant dit zvt que, pour cette ultiplication, les idéaux preiers se coportent coe des éléents preiers 452 Lee Soit un anneau, z A un idéal preier, et >2 bbb Alors pour un convenable Preuve Sinon, pour tout, il existe dans tel que L n est pas dans z ; ais alors bbb est dans bbb, et pas dans z des idéaux Supposons que 453 Lee Soit un anneau noethérien Alors tout idéal de contient un produit d idéaux preiers Et aussi : tout idéal non nul de différent de contient un produit d idéaux preiers non nuls Preuve La preuve est un exeple typique de l utilisation, assez agique, de l hypothèse noethérienne ontrons par exeple le deuxièe énoncé SoitY la faille des idéaux non nuls de différents de qui ne contiennent pas de produit d idéaux preiers non nuls Supposons quey soit non vide Soit alors dansy t axial Certaineent, n est pas preier, car Donc (coe F est non nul et non intègre) il existe et dans, non dans, tel que 5 soit dans Coe t et A sont stricteent plus grands que, il existent des idéaux preiers non nuls z 2> 0 et à >> Ãs, tels que tgz bbb z et t à bbb1ãs ais alors : 2 tz bbbòz bbb[ãs ce qui est une contradiction DoncY est bien vide 22

23 ± `  ` L 46 déaux fractionnaires 461 Définition Soit un anneau intègre, et - ú son corps de fractions Un idéal fractionnaire de est un sous- -odule de ú tel qu il existe dans non nul avec Þ Si est intègre et noethérien, les idéaux fractionnaires sont les sous- -odules de type fini de ú Si et sont des idéaux fractionnaires de Q, leur produit est le sous- -odule de ú engendré par les 5 avec dans et dans ; c est encore un idéal fractionnaire de, et, si et sont des idéaux de, c est le produit défini précédeent De êe, si et sont des idéaux fractionnaires de, leur soe est un idéal fractionnaire de 462 Lee Soit un anneau intègre L enseblep des idéaux fractionnaires non nuls de est un onoïde pour la ultiplication, c est à dire, cette ultiplication est associative, et adet un éléent neutre (c est ) Bien qu on a deux opérations sur l enseble des idéaux ¹ fractionnaires d un anneau intègre, à savoir le produit et la soe, et que l on a êe Q, cet enseble ne devient pas un anneau, car il anque l inverse pour l addition 463 Théorèe Soit un anneau de Dedekind Alors tout idéal axial non nul de est inversible dans le onoïdep d idéaux fractionnaires non nul de Preuve Soit  un idéal axial non nul de Notons Õ- ú le corps de fractions de Posons :  J * jo ± t ú ² 5ÂíÞ RQ Alors  J est un sous- -odule de ú Pour tout dans  on a  J Þ, donc  J est un idéal fractionnaire de l suffit donc de ontrer que  J  Coe  J, on a Â_Þñ J Â_Þ, donc soit  J Â, soit  J Âÿ  Supposons que  J Âÿ  Soit dans  J Alors  est un sous- -odule de ú, de type fini, stable par ultiplication par, et contenant un non diviseur de ; Par notre critère d intégralité, est entier sur, donc dans, car est intégraleent clos On a donc  J Ceci va contredire que tout les idéaux preiers non nuls de sont axiaux Soit t dans  t non nul Soient i9 H 0 entier et z >> z des idéaux preiers non nuls de tels que tîz bbbz, avec inial Coe  tp tîz bbbz, on a  tîz pour un certain, disons pour ŽH ais  et z sont axiaux, donc z jâ Posons * z bbbz Alors on a et par inialité de Prenons alors dans, non dans Alors on a Q Ê, et Ê Â_Þ, autreent dit : Q Ê ±  J Contradiction 464 Rearque Je trouve que la preuve donnée ci-dessus n est pas conceptuelle du tout On peut suivre ligne par ligne que cela arche, ais coprendre ce qui se passe, c est bien autre chose Si on dispose de l outil de localisation, on peut faire une preuve plus conceptuelle, par exeple, coe Serre dans son livre [Serre3] Tout d abord,  J û est ú, le plus grand sous-odule de ú annulé par  Ensuite, dans le cas local, on a pour tout non nul dans Â, que Ê ú (le seul idéal preier de qui est contenu dans est ; ) l en résulte que tout éléent de ú est annulé par une puissance de Coe  est de type fini, il en résulte 23

24 œ ` ` / que tout éléent de ú est annulé par une puissance de  ais en prenant un sous-odule inial de ú (ou d un sous-odule non nul de type fini de ú ), on trouve que  Já w est non nul (Pour l existence d un sous-odule inial, on utilise qu un sous-odule de type fini de ú est artinien) Pour finir cette rearque, notons qu on peut êe faire cet arguent sans localisation Voici coent on fait : soit dans  non nul l suffit de voir que Ê û ; ais la ultiplication par induit un isoorphise de Ê vers Ce dernier est un anneau noethérien où tous les idéaux preiers sont axiaux, et donc iniaux Or, dans un anneau noethérien, les idéaux preiers iniaux sont en nobre fini Soient donc Âÿ A >>  les idéaux preiers de /k* Coe dans tout anneau, l intersection des idéaux preiers est l idéal des nilpotents (c est vrai, pour ontrer ceci, il est coode de localiser par rapport à un éléent de cette intersection) Coe  5c c bbb  / x est de type fini, c est un idéal nilpotent On conclut que / est artinien, et que, pour assez grand, le orphise /ä- L  L est un isoorphise On terine en prenant un sous-odule inial de /  û : un tel sous-odule est nécessaireent isoorphe à / Â, ce qui ontre que ; Dans les exercices on trouvera une version plus éléentaire des arguents ci-dessus, adaptée spécialeent au cas des úßü 47 Factorisation unique des idéaux fractionnaires Dans cette section et la suivante, nous allons déontrer certains résultats concernant les anneaux de Dedekind, et en êe teps pour un certain type d anneaux a priori plus généraux dont nous verrons plus tard que ce sont eux aussi des anneaux de Dedekind La raison de procéder coe ceci est que cela nous peret de déontrer plus loin un critère pratique pour savoir si un sous-anneau d un anneau d entiers dans un corps de nobre est égal à l anneau des entiers, sans avoir à refaire les déonstrations des résultats de ces deux sections 471 Théorèe Soit un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal preier non nul est axial et inversible dansp Soity l enseble des idéaux preiers non nuls de Alors tout idéal fractionnaire non nul de s écrit de façon unique sous la fore : Ö{z{ z Ø ÙëÚ[Ü } avec les Ö dans, presque tous nuls Si est un idéal non nul de, on a 0Ö 9 ; pour tout z dansy Le onoïdep est un groupe : tout idéal fractionnaire non nul de adet un inverse pour la ultiplication d idéaux fractionnaires Nous avons donc un isoorphise de groupes : d*p Ù Ü ¾ - z ¾ 1 -<0Ö Preuve SoitY l enseble des idéaux ` non nuls de qui ne sont pas produit d un nobre fini d éléents dey Supposons quey ` un éléent axial dey Alors, car 32 } $ - ~ Soit 24

25 z J L z z L è z z L L L è z J J z Ê s, Ê J est le produit de zéro éléents dey Donc il existe z dansy tel que Þ z (prendre z axial pari les idéaux différents de et contenant ) Soit z l inverse de z On a : Þ J Þ J z@z Si J, on a z (coe dans la preuve du théorèe précédent si est de Dedekind, et en utilisant le lee 4112 J sous l autre hypothèse sur ) Donc z n est pas dansy Donc z s écrit sous la fore z bbbz, avec les z dansy ais alors on a : J z bbb z z ce qui est une contradiction DoncY est bien vide, et tout idéal non nul de est un produit d éléents dey Soit un idéal fractionnaire non nul de Soit non nul dans tel que * Þ Ecrivons K à bbbìã et bbbz avec les z et à dansy Alors on a bbbòz à bbb1ã, ce qui ontre que tout idéal fractionnaire non nul est un produit de puissances d éléents dey Le fait quep est un groupe coutatif, engendré pary, est aintenant clair ontrons l unicité de la factorisation Cela équivaut à ce quey soit libre Supposons qu il existe une relation non trivialex V { Ö z Ø En séparant les exposants positifs et négatifs, on obtient une relation non triviale de la fore : z bbb z bbb1ã s avec les exposants ; et les z et à tous distincts ais alors z bbb1ã donc contient l un des Ã, et est donc égal à l un des à à V à V contient, ce qui est une contradiction Pour pouvoir travailler avec cette factorisation des idéaux fractionnaires, nous avons besoin d en traduire les propriétés les plus iportantes en teres de cette factorisation D où le forulaire suivant 472 Théorèe Soit un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal preier non nul est axial et inversible dansp Soity l enseble des idéaux preiers non nuls de Soient et des idéaux fractionnaires non nuls de 0 1 Pour tout z dansy : Ö 0 0Ö 0Ö 2 On a Þ 0 si et seuleent si 0Ö 9ñ0Ö pour tout z dansy 3 On a Þ si et seuleent si 0Ö 9 ; pour tout z dansy 4 Pour tout z : Ö 0 0 [ WøV 0Ö Ö Ôc 0 5 Pour tout z dansy : Ö Wƒ Ö Ö Preuve L énoncé (1) résulte directeent du théorèe précédent Pour (2), on note que Þ équivaut à Ê Þ Donc avec (1), (2) résulte de (3) ontrons (3) Si les 0Ö sont tous 9 ;, est un produit d idéaux, donc un idéal Si Þ, tous les 0Ö sont 9_; par le théorèe précédent ontrons (4) Cela résulte de (2) plus le fait que est le plus petit idéal fractionnaire de c qui contient et L énoncé (5) correspond au fait que est le plus grand idéal fractionnaire de contenu dans et 25

26 Ä 48 Valuations sur les anneaux de Dedekind En pratique, on travaille plutôt directeent avec les éléents du corps de fractions d un anneau de Dedekind qu avec les idéaux fractionnaires Pour cela, il est coode d introduire les valuations induites par les idéaux preiers non nuls 481 Définition Soit un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal preier non nul est axial et inversible dansp Soit ú son corps de fractions, ety l enseble de ses idéaux preiers non nuls Pour tout z dansy, la valuation sur ú en z est l application : 0Ö *5ú_- ON R â¾ - 0Ö si ` ;, ; ¾ - ˆ 482 Proposition Dans la situation de la définition précédente, les applications 0Ö de ú vers ON R ont les propriétés suivantes : 1 0Ö 5 0Ö Ö pour tous et dans ú ; autreent dit : 0Ö * ú - est un orphise de groupes ; 2 0Ö 9ñW³V Ö 0 0Ö 1, avec égalité si 0Ö Preuve La preière égalité résulte directeent de ce que 5 ontrons (2) Si ;, ou y ;, ou jj ;, c est clair Supposons donc les trois non nuls Ecrivons g zd Ø Ù A0Ü et zd Ø0ÙnÜ Supposons que Ö Ö } Alors 0Ö ; 0 Ö Nous avons : º z Ø0ÙBA0Ü Þ z Ø0Ù A0Ü A z Ø0ÙnÜ Þ z Ø0ÙnÜ 0 Þ z Ø2Ù A0Ü 0 l en résulte que N ß z Ø ÙBA0Ü 0 Le Théorèe 472 dit que 0Ö 0 bien 0Ö ß Ö ß 1 9ñ Ö ß 0Ö Si 0Ö 0Ö, alors U³ n est pas dans z Ø0Ù A0ÜẄ 0, car sinon serait dans z Ø ÙBA0ÜẄ 0 ` 0Ö ;, ce qui donne ce qui n est pas le cas Ces propriétés justifient le no de valuation pour les 0Ö Nous ne donnerons pas ici la définition générale de ce qu est une valuation, ais nous voulons plutôt insister sur l analogie avec l ordre d une fonction éroorphe en une variable en un point Considérons par exeple l anneau & Alors, pour» ` ; dans le corps des fractions &, et dans &, on a bien que l ordre de» en est l exposant de $ dans la factorisation en irréductibles de», il est coode de penser à coe une fonction, et à Pour anipuler facileent les Ö 0Ö coe l ordre de en z A vrai dire, en géoétrie algébrique on dispose de ce qu il faut pour rendre tout ceci rigoureux En particulier, si est l anneau des fonctions régulières sur une courbe algébrique affine non singulière, cette interprétation est tout à fait correcte Le résultat suivant est l analogue de ce qu une fonction rationnelle sans pôle est régulière, 26

27 ú Ê L ú ú L Ö 483 Proposition Soit un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal preier non nul est axial et inversible dansp Soit ú son corps de fractions, ety l enseble de ses idéaux preiers non nuls Soit dans ú et dansp Pour que soit dans il faut et il suffit que 0Ö 9:0Ö pour tout z dansy En particulier, pour que soit dans il faut et il suffit que Ö 9 ; pour tout z Preuve Ceci résulte directeent de la définition de Ö *,ú - et des parties (2) et (3) du Théorèe Groupe des unités et groupe de classes d idéaux Soit un anneau de Dedekind, ú son corps de fractions, ety xl enseble de ses idéaux preiers non nuls Rappelons nous quep est le groupe des idéaux fractionnaires non nuls, et que nous avons un isoorphise ˆ*p - Ù Üdonné par z Ø0ÙëÚ1Ü Rappelons nous aussi que nous avons défini des valuations Ö *5ú -, par Ö Ö Un idéal fractionnaire de est dit principal s il est principal, c est à dire, s il existe dans ú tel que ú Nous avons un orphise de groupes : $ p A - â¾ - L iage de ce 1y orphise est le sous-groupey des idéaux fractionnaires principaux Le quotientp est appelé le groupe de classes d idéaux de, et est noté Avec ces définitions, il est clair que nous avons une suite exacte : ; $ -< $ - $ - Ù Ü $ - Une façon d interpréter cette suite exacte est de dire que les seules obstructions contre ce que soit un isoorphise sont et Plus exacteent, soit  *dyî- dans Ù Ü Alors  est dans l iage de si et seuleent si l iage de  dans est nulle Si tel est le cas, et si dans avec Â, alors O4ÂaRr Dans le cas où est l anneau de fonctions régulières sur une courbe algébrique affine non singulière, le groupe est l obstruction quand on veut construire de telles fonctions avec des ordres de pôles et de zéros donnés en tous les points, et on l appelle le groupe de Picard de la courbe Une autre raison d être de est la proposition suivante 491 Proposition Soit un anneau de Dedekind Alors est factoriel si et seuleent si est trivial Preuve Si s écrit coe ~Kz factoriel est trivial, tout idéal preier non nul est principal, donc tout non nul dans bbb z, avec ~ dans, 9y; et les z preiers Donc, dans ce cas, est Supposons que est factoriel Alors tout non nul dans s écrit sous la fore ~Kz avec ~ dans, t9 ; et les z preiers, et donc [ s écrit coe dz bbb dz $ - ; bbbz,, c est à dire, coe un produit d idéaux preiers principaux L unicité de la factorisation des idéaux non nuls en idéaux preiers non nuls iplique donc que tous les idéaux preiers qui interviennent 27

28 8 ` dans la factorisation d un tel sont principaux Pour ontrer que est nul, il suffit donc de ontrer que tout idéal preier z non nul intervient dans la factorisation d un Soit z un idéal preier non nul Prenons dans z, non dans z (c est possible, car ẑ t z et par l unicité des factorisations, z z ) Alors Ö jh Dans la résolution de systèes d équations polynoiales, les groupes et sont des groupes qui nous ebêtent, et pour cette raison, il est iportant de les coprendre un peu ieux, dans le cas des anneaux d entiers dans les corps de nobres Pour ú un corps de nobres, nous ontrerons que úøü est fini, et que ú ü est, à des racines de l unité près, libre de rang 8 $ H, où 8 est le nobre de plongeents réels de ú dans &, et 8 le nobre de plongeents non réels Voilà les deux résultats principaux de ce cours 410 Quelques conditions équivalentes Pour que toute la théorie des anneaux d entiers dans les corps de nobres soit utile, il faut disposer de critères pratiques pour qu un sous-anneau de l anneau des entiers d un corps de nobres soit égal á l anneau des entiers Voilà pourquoi on considère le résultat suivant 4101 Théorèe Soit un anneau intègre noethérien, dont tout idéal preier non nul est axial Alors les conditions suivantes sont équivalentes : 1 est de Dedekind ; 2 tout idéal preier non nul  de est inversible dansp ; 3 pour tout idéal preier non nul  de, le  -espace vectoriel   est de diension un Preuve Le fait que (1) iplique (2) est le théorèe 463 ontrons que (2) iplique (3) Considérons le orphise quotient zæ*  -   L application qui à un sous- -odule de   associe son iage réciproque dans  est une bijection entre l enseble des sous -odules de   et l enseble des sous -odules de  qui contiennent  Par le Théorèe 472, partie (2), les seuls sous -odules de  qui contiennent  sont  et Â, et ces deux ne sont pas égaux par l unicité de la factorisation dans le Théorèe 471 Coe en plus les sous -odules de   sont les sous  -espaces vectoriels, on constate que la diension de   est bien un ontrons que (3) iplique (2) Soit donc  un idéal preier non nul de Notons ú le corps de fractions de, et posons  J * ÎO ± ú ² 5Â_Þ R Alors  J est un idéal fractionnaire : c est un sous -odule de ú, et pour tout non nul dans  on a  J Þ Nous allons ontrer que  J Â, ce qui ontre bien que  est inversible dansp Par construction on a  J ÂÈÞ Coe  JtÈ, on a Â Þ Â J  Donc on a  J   ou  J Â, et il nous suffit de ontrer que  J  contient un éléent qui 't n est pas dans  Soit ' dans  et non dans  Par le Lee 453 il existe 8 9 H un entier, et   0  >>  0 des idéaux axiaux distincts de, et des entiers >2, tel que :  bbb  V 28

29 L ½ L Z bbbz Ä ½ ~ ; ; {Š V Coe les  L 2 V sont axiaux, on a  L  è si ` En prenant des puissances, on a   è si ` Le théorèe Chinois donne un isoorphise :» *  bbb  $ -   º¾ - 0 >> 0 V où L { ÂÏŠ est la classe de odulo Prenons ~ dans A tel que ~ >> 6 H 2> ontrons que ' Ê ~ est dans  J, c est à dire, que pour tout dans  on a ' Ê ~ dans La condition ' Ê ~ ± est équivalente à ~ ± ', et encore équivalente à ~ ± ', avec  bbb  Via l isoorphise», la dernière condition devient : %±ñ ' ì dans l anneau  V Coe ' est dans  et non dans Â, et que   est de diension un, il existe dans tel que É ', avec dans  Ensuite, pour tout Ð9 H, ' engendre   ce qui fait qu il existe des dans tels que º ' bbb ' Ð Ẅ avec Ẅ dans  Ẅ En prenant 9Ï on obtient que dans  Von a l identité Ð ' bbb ', donc que ß±j ' 1 On sait donc que ' Ê ~ est dans  J ais alors ~ '(' Ê ~ est dans  J  Coe ~ n est pas dans  (car ~ yh ) on conclut que  J Âÿ ontrons que (2) iplique (1) Par définition, il nous faut ontrer que est intégraleent clos Soit donc dans ú et supposons que soit entier sur Alors il existe 9 et des dans tel que : Ê Ê bbb Kû ; Vu la Proposition 483, pour ontrer que est dans, il suffit de ontrer que 9À; pour tout idéal preier non nul  de Supposons donc que  soit un tel idéal et que y; Alors on a, par les propriétés de :, ¼ Ê Ê Ê bbb KûA0 ce qui contredit que $ Ê Ê queœž O bbb Qû 411 Quelques critères pour P Pour que les beaux résultats que l on vient de voir, et ceux que nous verrons, soient exploitables, il faudra aussi avoir un oyen de calculer, pour un ú donné, l anneau des entiers úßü Bien qu on n a pas (et on ne s attend pas à l avoir un jour) d algorithe polynôial pour faire un tel calcul (en fait, il faudrait d abord expliciter les données de départ, et le forat dans lequel on aierait la réponse), il est utile d avoir quelques critères pour voir si un sous-anneau de úßü est égal à úøü, ou pour voir quels preiers divisent ² úøü Coençons par une propriété du discriinant, qui est défini dans le lee 555 et la définition Proposition Soit ú un corps de nobres, et un sous-anneau d indice fini de úøü Alors z ² GDV [E2T si et seuleent si z n est pas réduit Preuve En effet, si ù est un corps, et une ù -algèbre de diension finie en tant que ù -espace vectoriel, on a GDV 1E2T ; si n est pas réduit, car la fore trace est alors dégénérée D autre part, si ù est parfait, coe ËÖ par exeple, une ù -algèbre de diension finie et réduite est un produit fini d extensions séparables de ù, donc telle que la fore trace est non dégénérée 29 ²

30 Ä ` 4112 Proposition (Lee de Nakayaa) Soit un anneau,  dans un idéal axial, et un -odule de type fini Supposons que  Alors il existe un éléent de qui n est pas dans  tel que ; Preuve Soient  0 >>  des générateurs de Soit» *Á - le orphise de - odules tel que» ^ Lu  L Par hypothèse, il existe des Lè dans  tels que :  L è L è  è Alors on voit, coe dans la preuve de la Proposition 313, que est annulé par GDå0æ H $ qui n est pas dans Â, 4113 Théorèe Soit ú un corps de nobres, et Þ úßü un sous-anneau d indice fini Alors les conditions suivantes sont équivalentes : 1 úßü ; 2 pour tout idéal axial  de, on a GDV]W   yh ; 3 pour tout idéal axial  de, on a GDV]W& Â Â Ä H ; 4 pour tout preier z tel que z divise GDV 1E2T, et pour tout tout idéal axial Â Þ contenant z, on a GDV]W@ Â Â Ä H ; Preuve Le Théorèe 4101 ontre que (1) et (2) sont équivalentes l est clair que (2) iplique (3) et que (3) iplique (4) D après la Proposition précédente, on a  Õ pour tout idéal axial  de, donc les conditions GDV]W   H et GDV]W   íh sont équivalentes l ne reste donc qu à ontrer que (4) iplique (3) Soit donc z un nobre preier tel que zd ne divise pas GDV 1E T et soit  un idéal axial de contenant z Nous devons ontrer que GDV]W@ Â Â Ä H Posons ¼* ² úøü ² Alors on ontre dans les exercices que GDV [E2T,GDV 1E T úßü On voit donc que z ne divise pas l en résulte que la réduction odulo z induit un isoorphise d anneaux : 2 z $ - úßü z úøü On en déduit que les idéaux axiaux de qui contiennent z sont en bijection avec ceux de úßü, et que les   sont de diension un 4114 Exeple Traitons par exeple le cas de ú 7 7 D», avec»ž $ Prenons notre candidat Ì* pour úßü, et appliquons le critère l y a deux façons de calculer le discriinant de : on peut le faire avec la définition, c est à dire, en calculant le déterinant de la fore trace de, ou en calculant de discriinant de» (en TD on verra que les deux sont égaux) Pour calculer le discriinant, on peut utiliser des algorithes pour le calcul de résultants De toute façon, dans ce cas on trouve GV 1E T $ šbk }bb š Les preiers dont nous nous éfions sont donc 2 et 3 Coe Ë D, il n y a qu un seul idéal axial de qui contient, à savoir  * }, ais celui-là est engendré par tout seul, car dans on a, donc   est de diension au plus un sur  Coe 30

31 š šf Ë D :H et que ÀH ³:H sur Ë, on pose Éy ³ÀH, et l on calcule : $ $ š š $ š, donc r D $ š š $ š, (polynôe d Eisenstein ) et on voit qu il n y a qu un seul idéal axial de qui contient 3, à savoir  ci encore,  est principal, car engendré par, donc   est de diension au plus un sur  On conclut que úøü 31

32 b z / / 5 Finitude du groupe des classes d idéaux Pour ú une extension[y finie de 7, nous avons défini le groupe de classes d idéaux úøü úøü úøü Le but est aintenant de ontrer que les úßü F úßü est représenté par un idéal de úßü coe le quotientp Pour le faire, nous allons ontrer que tout éléent de qui est petit dans le sens que úßü est petit Le cardinal de úøü 51 La nore sont finis sera appelé la nore de 511 Définition Soit un anneau, et / une -algèbre qui est libre de rang fini en tant que -odule Pour dans / on appelle nore de sur le déterinant de l endoorphise *¹/j- /, â¾ - 2 du -odule / ; c est un éléent de que l on notera ( Pour tous et dans / on a T( 2[ ( >ì ( 512 Rearque Par T <DC rapport à une T NDC -base de /, T( %* / - est donné par un polynôe hoogène de degré en variables Soit aintenant ú une extension finie de 7, son degré, et ) >> )+les plongeents de ú dans & 513 Proposition 1 Pour tout % dans ú on a :'T þ ) 2 Pour tout % dans ú on a : %þ ) bbb6)+ 3 Pour tout % dans úøü,'t1þ % et %þ sont dans 4 Pour tout % dans ú ü, þ est H ou $ H 5 Pour ` ; dans úøü, on a ² úßü úßü ² % ² þ ² bbb )+ Preuve On utilise la proposition 334 pour les parties 1 et 2 La partie 3 résulte des propriétés d intégralité La partie 4 résulte de 3 La dernière partie a déjà été vue en TD (c est à dire, figure pari les exercices) En parti- % 514 % Définition Pour un idéal non nul de úßü, nous définissons sa nore %þ par : þ * F ² úßü ² Pour x dans úøü on a donc : ² ² úßü 515 Proposition Si et sont des idéaux non nuls de úßü, on a Q0 0 culier, on a } Ö Ø ÙÛÚ[Ü, où z parcourt l enseble des idéaux axiaux de úßü Preuve l suffit de le ontrer dans le cas où est un idéal axial  Dans ce cas, on a une suite exacte de úøü -odules : ; $ - F Ensuite, on utilise que  F  $ F - úßü  $ F - úøü $ - est un úøü ;  -espace vectoriel de diension un 32

33 / 8 û 8 / & 8 8 û & / 8 & Ä ` 8 & û de Ĩš 52 Le cas œž Å Nous considérons 7 $ F coe sous-anneau de &, en envoyant Å $ vers Å des entiers Å de 7 $ F est r Å $, de -base H Å Soit un idéal non nul de Å $ Essayons de trouver un éléent ` ; de tel que ² ² soit petit, et de voir après à quoi cela peut bien servir Pour 8i ; réel, notons / ferée O ± & ²¹² ²Ä 8 R Nous considérons, pour 8 9 ;, les orphises suivants : Ÿ- & $ F - & de groupes additifs ( n est pas un idéal dans & ) On a : S 1 8 r Å $ Å } S S Pour la dernière égalité, utiliser la suite exacte : F Å L anneau la boule ; $ r Å - $ F $ F - & $ r Å - $ $ - ; ou raisonner en teres de doaines fondaentaux (celui pour est réunion disjointe de copies de celui de r Å $ ) Prenons aintenant 8 Å S 1 F tel que, c est à dire : û 8 ¼8 } F Alors l application ci-dessus de / vers & n est pas injective, donc il existe et dans / distincts, tel que * $ est dans Nous avons donc obtenu un ` ; dans avec ² q q c ²Ä Ceci vaut pour tout 8t P8 Coe les / sont copactes, les / $ O ; R aussi, donc leur intersection, prise sur $ t t tous les 8i P8 finie n est vide) Donc, en fait, nous avons ontré l existence d un ; dans avec ² ²}Ä Considérons aintenant la suite d inclusions d idéaux : r Å Å $ â Q où la dernière égalité est la définition de Cela ontre que Ê r Å est égal à dans $ que : 0 Å r $ 1 1 ² ² {}Å F ñš r Å Nous en concluons que tout éléent de $ de r Å $ ais les seuls idéaux de nore au plus sont r Å $ et  * q HU Å r Å qui ontre que $ a au plus éléents Coe Å Â $ est Å ), on conclut que r Å 521 Théorèe S, 8 le sont, n est pas vide (car aucune intersection, et est représenté par un idéal de nore au plus, ce n est pas principal (la nore de 33

34 ) ) ) ~ ) ) ) ) ²± Å ) { H ) ` H H ²  ² û û 53 Application 531 Théorèe L équation $ n a pas de solution dans Preuve Par contradiction Supposons que et sont dans, tel que Î $ Alors nous avons, dans r Å $ : Ô Å $ K $ Å $ K Notons que l idéal Í Å $ } $ Å $ K q Å contient   Notonsy l enseble des idéaux axiaux de Å $ Alors, si z est dansy $ O4 R, au plus l un d entre 0Ö ø Å et 0Ö $ Å est í;, et donc tous ces Ö ø Å $ K et 0Ö $ Å sont divisibles par š D autre part,  P et  äâ, donc Å $ Å $ F, õ õ donc ³ Å et $ Å «ª sont divisibles par õ õ š Le êe arguent ontre que ³ Å $ F ª et $ Å sont divisibles par š On en conclut qu il existe un idéal de r Å $ tel que ³ Å $ F r Å Coe $ est d ordre, est principal, disons ais alors, quitte à replacer ~ par $ ~, on a ~ â Å $ En écrivant ~  Š$, ceci donne rapideent une contradiction On peut voir, ais ce n est pas facile, qu il n y a pas d obstruction de signe ni de congruence qui peret de ontrer ce résultat (en effet, il y a des solutions dans, et dans tous les avec z z preier et 9 H ) 54 Le cas des corps quadratiques réels Soit i H un entier sans facteur carré Notons ú * Å 7 et _* úøü son anneau des entiers Rappelons-nous que r H5 Å [@ si H { odulo, et r Å sinon Notons et ) les deux plongeents de ú dans, et )+*¹úÈ- le orphise d anneaux donné par A 1 Nous observons d abord que S r Å [ Å GDå0æ[ H Å $ Å 1 si { odulo, et Å Å { sinon D autre S< On en conclut que part, calculons le discriinant GDV [E2T de Par définition, c est le déterinant de la atrice de la fore trace par rapport à n iporte quelle -base de (cela ne dépend pas du choix car le déterinant d un éléent deg h p est H, et la atrice en question change par  ¾ - Š Â) Par rapport à la -base H Å de r Å, la atrice de la fore trace est, { donc de déterinant l en résulte que : GDV 1E2T On conclut que : S H si si 1 ² GDV [E2T L { odulo, { odulo Soit aintenant Þ un idéal non nul On a alors : S }[ S [ 34 ² GV 1E T +

35 8 û 8 û 8 / ) Ë ) ² Ä 8 ² ² 8 ² ² Coe dans le cas iaginaire, nous allons nous servir d une nore`4b-`sur le -espace vectoriel dans lequel nous travaillons : ici c est ˆ Nous prenons, coe tout le onde, d ailleurs, la nore donnée par` ` ² ² ² ² La raison de ce choix `4b-` devient claire dans un dessin, où l on voit que ce choix axiise le volue de la boule / * lo ± Ͳ``Ä 8 R sous la condition que cette boule soit contenue dans O ³± ¼²N² 5 ²UÄ HFR (Notons qu en fait toutes les étriques` ` ² ² ² ² avec xh, ñ; et ; sont aussi bonnes) L identité ¼ $ { 5 $ ontre que pour tout dans ú on a : ² ² ² ) ²QÄ H {Q`) ` `4b-` Coe / est un carré de côté Å 8, on a : S `4b-` 1 8 Prenons aintenant 8 1 tel que 8 ˆ, donc : û ² GDV 1E T û S Par le êe arguent que dans le cas iaginaire, on voit qu il existe un Prenons un tel On a alors : ` `Ä ² ²}Ä H {Q`) ` Ä H {Kì{ û 8 ² GDV 1E2T ³t D autre part, on a la suite d inclusions d idéaux de : tñ º Q où la dernière égalité est la définition de Pour ce : 0 ² } ² GDV [E2T On en conclut le résultat suivant ` ; dans, tel que a un représentant qui est un idéal de úßü de nore au plus Ê r Å 542 Exeple Ñ Å Ñ š est principal Coe r Å Ñ Dq F D H }, il suffit de voir que Hd Å Ñ principal Coe š Å Ñ š $ Ñr, c est le cas 541 Théorèe Soit ú un corps quadratique réel Alors tout éléent du groupe de classes d idéaux úßü ² GDV 1E T úøü est principal En effet, il suffit de voir que tout idéal de nore au plus est 35

36 & ) 8 ) ) õ L ) L L ) ) ) õ õ õ õ õ ) õ 55 Bornes dans le cas général Soit ú une extension finie de 7, son degré, et ) >> L )+les plongeents distincts de ú dans &, nuérotés de la façon suivante : ) ) si H VWL Ä Ä 8, et ) VW ) si õwl H Ä Ä 8 On a donc 8 VZ 551 Exeple Prenons ú * 7 Le polynôe inial de est $, ses trois racines dans & ½ ½ q sont,, et On a donc ), et on peut prendre ) ½ et ) V[Z ½ Nous plongeons ú dans & õ en utilisant les ) : )*5ú - & º¾ - ) * A >> VW [ Cette application ) est un orphise de 7 -algèbres Dans la suite, nous utilisons la -base H de & pour passer de & à Par exeple, nous noterons égaleent ) l application suivante, obtenue en coposant le ) en haut par l isoorphise & õ -< ˆ õ : )+*¹ú_-< + º¾ 0-0 >> VA 0 å VẄ 1AW VẄ 10 >> å VW [0W VW 1[ VZ& Pour siplifier la notation dans ce qui va suivre, nous posons úµé* õ Ceci est d autant plus justifié par le fait que le orphise naturel de -algèbres,% ú - úµest un isoorphise (cela se voit en prenant un éléent priitif de ú, et en écrivant ú '( D 7», avec» le polynôe inial de ) En fait, il est plus naturel de plonger ú dans,% ú que dans ú@µ, car cela évite le choix d une nuérotation des ) Nous avons vu que pour tout dans ú, on a : % þ 0 ² ) V0 ² bbb ² ) V Ẅ2 ² b ² ) V W ² bbb ² ) ² ú@µ ú $$ $ - * ¾ - ² ² bbb ² V² b ² ² bbb ² ² $$ $ - ¹Lº9»» 7 Cela donne donc un diagrae coutatif : Rearquons que l apparition des exposants au coordonnées qui correspondent aux facteurs n a rien de surprenant, car la nore est le déterinant de la ultiplication par l éléent en question (et donc sa valeur absolue esure le facteur par lequel changent les volues) Coe dans le cas des corps quadratiques réels, il faudra choisir une nore sur le -espace vectoriel ú@µ Pour rendre optial les résultats qui suivent, on fait le choix suivant : ` Ồ* ² ² bbb ² V² 36 ² ² bbb ² ²

37 / õ 8 Ä / õ 8 / / õ õ 8 Æ û 8 ² / / Ê õ 8 Ê õ õ A û / õ 552 Rearque Dans [Sauel], on ne voit pas de nore qui apparaît, ais plutôt le choix d une partie intégrable, convexe et syétrique par rapport à l origine de ú@µ Cela revient au êe (sauf peut-être si on voulait utiliser de telles parties assez sauvages pour `4b`H qu elles ne proviennent pas d une nore) Si`4b-`est une nore, on lui associe la partie /, la boule ferée de rayon un 553 Lee Pour tout dans úµon a : ² ¼+Ä ` ` Preuve C est l inégalité oyenne géoétrique Ä oyenne arithétique Elle résulte de [ à SFC 1 est l enseble des Ð S@C SFC 1 avec 9 ;, 9 ; et H, d où S@C S@C S@C S `4b` [ 554 Lee Pour 8 9 ;, on õ 8+ À ¾½ A Preuve Par récurrence sur 8 et 8 Si 8 ñ;, on a : S Vw 1 S VÊ w Ê 8 $ ² [ ² â S VÊ w 8 $ 1 º VÊ ÂÁ Äà 8 $ VÊ -W $ H ½ â bbb la convexité du logarithe En effet, si ;Î, le segent de SFC Si 8 ; et 8 A û ñ;, on a : S û [»ê»å S S û û 2 8 $ ² [ ² 0 8 $ NÇ[ ß où nous avons écrit Ý ø Ç^ L S ú@µ La chose suivante que nous voulons est une expression pour úøü Rappelons que nous avons déjà vu que úßü est discret dans ú@µ(ce qui est d autant plus Z clair après la rearque que le plongeent de úßü dans ú@µest, à un isoorphise près, celui de úßü dans,üdúøü Nous allons voir qu en effet ce volue s exprie naturelleent en teres du déterinant d une atrice de la fore trace de úøü Lee Soit un -odule libre de rang fini, et * Ç bbb une fore bilinéaire Pour ^ une base de, notons Wƒæ 0 la atrice de par rapport à ^ Alors les déterinants GDå0æ Wƒæ 01 0, avec ^ une base de, sont tous égaux, et on définit le discriinant de, noté GDV 1E2T, coe étant cet entier 37

38 õ ² ) ) EDDDDDDDDDC ) ) ) ² ) õ õ ) õ õ ² ² ) ) + õ õ + õ õ ² 556 Définition Pour ú un corps de nobres on définit le discriinant de úøü coe le discriinant de la fore trace sur úøü De êe pour des sous-anneaux d indice fini dans úøü 557 Proposition Soit ú S úµ un corps de nobres 1 úøü Ê õ ² GDV 1E T úßü S 2 Pour tout idéal non nul de úøü, on a ú@µf Ê õ ² GDV [E2T úøü È + 1 bbb ) + úøü GDå0æ å VXW [1 bbb å VW +2[ W VW 11 bbb W VW [ 2 [ bbb ) VẄ 1 VẄ2 Ê bbb ) +0 VW GDå æ 1 õẅ V-W bbb ) +2 õẅ VW 1 VW bbb ) +2 V-W 1 VW bbb ) Ê õ ² GDå avec L( ) è Š L è Lu è ) LÒ ) è % 'T6þ L è + DDDCE GHHH Preuve Bien sûr, le deuxièe énoncé résulte directeent du preier Soit * 0 >> J ) S< ú@µ JGHHHHHHHHH une -base de úßü Alors : Vient aintenant l astuce : Š }(Lè On en conclut que GDå0æ GDå æ GDå æ GDå0æ Š GDå0æ Gå æ Š }[ GDV 1E2T 558 Théorèe Soit ú un corps de nobres, son degré, 8 et 8 & dans úµ ¾½ 1 Soit un idéal non nul de úßü Alors il existe un non nul dans tel que : Ä3 { õ GDV [E2T úøü +² ¾½ 2 Tout éléent de úßü est représenté par un idéal de úßü tel que : õ } Ä { GDV +² 1E2T úßü úßü le nobre de facteurs et 38

39 ~ ~ ~ 9 3 úßü est fini Preuve On procède coe on l a déjà fait dans le cas des corps quadratiques réels Pour la finitude de úøü, notons sipleent qu un idéal de úßü d indice contient, donc est l iage réciproque de son iage dans l anneau fini úßü,úøü Nous terinons cette section avec un exeple ausant 559 Théorèe L anneau des entiers de 7 avec entier et $ { ;ß t Å $ est factoriel Les nobres $ { H { H sont tous des nobres preiers ontrons que est factoriel Coe il est de Dedekind, cela revient à ontrer que son groupe de classes d idéaux est trivial Le théorèe précédent donne qu il suffit de vérifier que les idéaux de nore au plus Å sont principaux (GV 1E T $ H Fš ) l suffit donc de Preuve On vérifie que est preier, et que $ H Fš est congru à 1 odulo 4 L anneau des Å entiers de 7 $ est donc r ~, avec ~ HÆ Å $ [@ Le polynôe inial de ~ est» * $ { H, donc r r D» vérifier que les idéaux axiaux contenant, š, ou Ñ sont principaux Cela résulte de ce que» est irréductible dans ËÖ pour tous les z dans cette liste On a donc ontré que est factoriel Pour ontrer le deuxièe énoncé sans vérifier cela cas par cas, on utilise une propriété de la nore Un calcul ontre que Q { H { H $ H {Q[, pour et dans 7 ` On voit donc que pour et dans avec ;, on a { H Soit z un nobre preier et supposons que» est réductible dans ËÖ Alors a un idéal de nore z, donc un éléent de nore z Donc» est irréductible dans ËÖ { si zé H Si z est preier et divise un nobre de la fore, $ { H, alors» a une racine dans ËÖ On en déduit que si z est preier et divise $ { H { pour un dans, alors zƒ9 H On en conclut que si ² $ { H { ² H, alors, $ { H est preier Pour finir : on a ² $ { ² H $ { H si et seuleent si $ { { ;ß H 39

40 ú ü ú ú ü ü ú ü ü ú þ ú ú ú Ê ú ü ² ú ú ú ~ ~ ü õ L ú õ ½ ` ² L ú ú õ ú õ ^ 6 Le théorèe ¼ËÌwÍ üêé des unités 1 Pour dans úøü on a ± 2 Le groupe ú Îest 61 Théorèe Soit ú un corps de nobres racines de l unité dans ú Ï 3 Le quotient ú est libre de rang 8 (resp & ) dans ú@µ Preuve Pour un tel, on a, pour tout : ² wë % %þ p H ÌwÍÎ3Ï cyclique et fini ; on a ú ü ² etù* S@C»» $ - õòñìwó $ - * ú Ë ÌwÍÎ, le groupe des 8 $ H, où 8 (resp 8,% ú Preuve Soit dans úßü Si est dans ú ü, alors H H Ê Ê, avec Ê et dans Si p H, alors b *¹úøü - úøü est un isoorphise de -odules (car de déterinant inversible), donc il existe dans úßü tel que gíh Les autres assertions prendront plus de teps Nous VZ nuérotons les plongeents ) *¹úí- & coe avant, ainsi que )+*5ú_- úµ Notons ³* GDVXW% Nous considérons le orphise de groupes suivant : ß*¹ú $ Ðû VW V/W - úµ & º¾ - S@C ² ) >2 S@C VW ² ) Coe pour tout dans ú ü on a H+ ² ² 0 ² ) bbb1)+ ², on constate que : Þ ^È* ÎO ± -W õ ² bbb V V-Ẅ bbb ; RQ 611 Lee Pour tout 8 9 ;, l enseble O ± ²Ô ü * ² L ²QÄ 8 R est fini L S@C ² ) ²X²QÄ 8, d où ^ Ê L«Äl² ) ²Ä Cela donne des bornes sur les coefficients du polynôe inial»ade sur 7 ; bornes en teres de et 8 seuleent ais»aest à coefficients dans, ce qui iplique qu il n y a qu un nobre fini de possibilités pour»a, donc þ Õ þ Õ pour V/W 612 Corollaire Le noyau de² Ö* ú ü -< õ est fini, et ü est discret dans^ þ Õ wë 613 Lee å2t ² Ö ØÏ ÌwÍÎ ü Preuve L inclusion Få2T ² Ö Þ³Ï vient du corollaire Si est dansï, est entier sur (car racine d un $ H avec 9 H L«, et ² ) ² yh pour tout ) Coe est discret dans^, est libre de rang au plus 8 8 $ H Pour teriner, il suffit donc de ontrer que contient 8 8 $ H éléents -linéaireent indépendants Donc, en fait, nous ontrons quelque chose plus fort que ce qui est deandé dans le théorèe : est un réseau dans^ Pour siplifier la notation dans ce qui suit, nous ne traiterons que le cas où 8 ; (et 8 H ) On a alors : 8 ú@µ, +, et 8 8 $ H% $ H Nous notons Qþñ* ² GDV 1E2T (on a Qþñ H car ú 7 ; voir les exercices) ü tel que : 614 Proposition Pour tout il existe un ~ dans ú Lw L ² ² LÒ è ² ²}Ä Ùsi ` ñ 40 ) est le nobre de facteurs V-W

41 ; ` ~ c ~ Ü ~ ~ ² 9à Ê 3 ~ Ê þ Ê þ è Ê þ ) 3 ~ Ä L þ þ Ê þ ) þ µ þ þ ½ þ 3 +Ê Ü Ý@ À8Þ`ÎÜ ÝÄ 10 >2 [ ~+Ê sont -liné- ½ Donc est dans On écrit ØÚ 8, avecú la partie diagonale de, et 8 la partie hors diagonale Pour FÙ ÀÞ`ÎÜ Ý Adettons pour l instant cette proposition, et ontrons que aireent indépendants dans + Notons * LÒ è 2 pour H dans +Ê on a alors : Ü Ý $ $ ` d où ; l ne reste aintenant qu à prouver la proposition Preuve (De la proposition) Par syétrie, on peut supposer que $ H Pour 3ƒ ñ; etï ;, nous définissons : /%àß* jo ± +² ² L ²Ä H si $ H, ² +Ê ²Ä 3, ² +²QÄ ÏRQ Coe /%àßest un produit d intervalles, le calcul de son volue est iédiat, et donne : S /%àßf +3Ï S [ L arguent de inkowski dit que si /+àß@ + úßü, alors /+àßcontient un éléent non nul S< 1 de úøü Par les calculs déjà faits, on sait que + úßü S, et /%àßf 3Ï Nous prendrons donc toujours 3 etïtel que 3σ, et nous noterons /%àß 9 S sipleent par /%à Nous prendrons en fait des 3 de plus en plus grand Pour non nul dans /%à úßü on sait : H Äl² ² ² ) bbb6)+ ²Ä 3σ L«² ) ² 9 þ si $ H ² )+Ê ² 9 ÏÊ 35 Prenons ñ; assez grand ( 9 þù+ê suffira, par exeple) On prend 3 *, par exeple Cela nous donne dans /%àvc úøü On prend 3 Cela nous donne On prend 3, etc Cela nous donne une suite A >> dans úßü, avec, pour tout, ² L ²+Ä ais, pour tout /Ç y;, l enseble des idéaux de úøü d indice au plus / est fini (un idéal d indice contient úßü, donc provient d un idéal du quotient fini úøü úøü ) Nous prenons tel que úøü L úøü è ais alors ~ƒ* è2 L est dans ú ü Vérifions que ce ~ satisfait aux conditions de la proposition On sait : On a donc : On veut : pour ùº $ S@C $ ² )+Ê Ùç9 H * ) ) è2[ ) LÒ0 2 ² 0 ² )+Ê è 1 0 )+Ê LÒ ² 9 3 $ L ² ²QÄ Ù si ñ $ ² +Ê 2 S@C $ 9 Ù+Ê qui équivaut à 41 Äl² ) è2[ ) L ²QÄ H

42 { ~ Ê ú 8 Ê Ê ` $ Å & Z Ê & ~ ú ~ Ê Ê Å Ê Ê Z ± Ê Ê ~ Z ` H 615 Rearques 1 Le cas 8, 8 ; est bien plus facile, et déjà bien intéressant 2 Coparer à la sphère de Rieann Y & ON R Si on enlève 8 points de cette sphère, l anneau des fonctions éroorphes sur la sphère et holoorphe en dehors des points enlevés est isoorphe à &, le facteur & correspond aux fonctions constantes, et le facteur esure les pôles et zéros l paraît donc que les corps de nobres se coportent coe Y : si, en 8 points, on n ipose pas de condition, alors l anneau qui résulte a coe groupe des unités, odulo les unités triviales, rang 8 $ H 3 L analogue du théorèe des unités est vrai pour les courbes algébriques non singulières et projectives 4 Si Þ úøü est un sous-anneau d indice fini, alors 8 $ H (sans preuve) Ï est encore libre de rang 5 Avec les outils dont on dispose aintenant, on peut résoudre certaines équations, par exeple l équation de Ferat en degré 5 En effet, on ontre que l anneau des entiers de 7 est r, que le groupe des classes d idéaux de r est trivial, et que r X est engendré par $% et le nobre d or ç Ê Ensuite, on regarde dans [Swin] 62 Les corps quadratiques réels Soit Í H sans facteur carré, úì* Å 7 Nous rappelons que úßü r Å si od, et úøü r H Å [@ si H { od Coe tout corps qui adet un plongeent dans, Ï joqh $ HFR F Le théorèe des unités dit donc que ú ü est isoorphe à 621 Définition On appelle unité fondaentale de úßü un éléent de ú ü qui, enseble avec $ H, engendre ú ü { l y a donc exacteent de telles unités : si ~ en est un, les autres sont $ ~, et $ ~ Voici coent on peut procéder pour trouver les unités fondaentales Si ~ À ³¼ Å ` p H (avec et dans p s il le faut) est dans ú ü, $ ~, ~ et $ ~ sont des unités, et ce sont les quatre éléents p Å Exacteent un d entre ~, $ ~, ~ et $ ~, appelons le, est tel que ) H ; c est celui avec _; et _; Pour le plongeent logarithique ß* ú ü - b H $ H Þ ˆ, on a $ ~, et $ ~ $ l en résulte que ~ Å dans ú ü avec ñ; et ; est fondaentale si et seuleent si Å est inial pari les ~ avec ~ƒ ñ; et Í ; tels que ~ úøü et ~5 $ K p H Par exeple, H Å est une unité fondaentale de r Å, et H est une unité fondaentale de r HF l y a une façon intéressante de calculer des unités fondaentales avec des fractions continues, ce qui n est pas surprenant, car si $ p H, ² $ Å ² est petit ; voir la section suivante pour quelques détails Pour coparer ú ü à r Å X, déontrons la proposition suivante 622 Proposition Si š odá, alors r Å X ü Si $ š odá, r Å w H ou š dans ú ü Dans tous les cas, r est isoorphe à 42 est d indice

43 ` H ± Å Ë ü Ë Preuve Si { od, úøü r Å, donc ú r Å w Supposons donc que H Le polynôe inial de H Å [@ sur 7 est ' $ ' $ $ H Donc '( D ' úßü en tant qu anneau, à Ë $ ' $ $ H 1 {Q Si H odácela donne Ë ZË odácela donne Ë µ D autre part, *¹úøü - úßü úßü la réduction odulo Coe Å dans úøü, r Å contient úøü, et on a donc r Å l» Ê» r Å, et» r dans úøü úøü Coe» est une Ë -sous-algèbre de úøü úøü,» r Å qui est déjà d indice ; on conclut que» r Å Ë On a donc r Å :» Ê $ { od úßü est isoorphe,, et si est d indice est d indice contient Ë, (Bien sûr, on peut déontrer ceci égaleent par un calcul) Considérons aintenant la suite de orphises de groupes : Å $ - ú ü - úßü úøü l est clair que r Å Z w - ú ü est injectif ontrons que cette suite est exacte Soit dans r Å w ; alors l iage dans úßü úøü est dans Ë, donc H Soit dans ú ü avec iage dans úßü úøü ; alors est dans» Ê r Å, et de êe pour Ê, ce qui donne ±r Å X Coe Ë Ë est trivial, et Ë µ d ordre š, on obtient ce qu il faut Pour trouver une unité fondaentale de r Å Å on peut procéder coe pour 7 ü, ais en fait, c est plus siple Coe dans le cas précédent, on voit qu il existe une unité fondaentale ~ : ß¼ Å avec ; et ; ( et entiers, aintenant) ais on constate alors que si on écrit ~ y, alors pour ¼ H l en résulte que pour trouver ~ on teste pour ÕH A } 2> si p H est un carré, et on arrête si tel est le cas, avec disons $ p H Alors ß Å est une unité fondaentale Nous soes aintenant en esure de dire quelque chose sur l équation de Pell (ou de Pell- Ferat, en France) Cette équation est la suivante : $ :^, avec coe en haut ( H, sans facteur carré) et ^ dans donné L enseble des solutions dans est un hyperbole S il y a une solution dans 7Æ, on obtient toutes les solutions dans 7Æ en intersectant avec des droites passant par la solution de départ Ce qui nous intéresse ici, est l enseble des solutions dans Coençons par une rearque iédiate Pour ± avec $ ^, ß Å est un éléent de nore ^ de Å, et l application : O ± ² $ :^FR $ - O ± Å ² ^FR ¾ - Å est une bijection 623 Théorèe Soit ~ une unité fondaentale de r Å 1 Les p solutions de l équation $ p H correspondent alors, via la bijection ci-dessus, aux ~, 2 Pour ^ ` ; dans, r Å opère libreent sur l enseble O ±r Å ² p ^FR Deux éléents et de cet enseble sont dans la êe orbite si et seuleent si r Å Å l enseble des idéaux de Å Ainsi, l enseble des orbites de cette action est en bijection avec qui sont d indice ² ^ ² et principaux š 43

44 Å H H H H H H Å Ã H Z 63 Fractions continues Soit H sans facteur carré Nous avons vu que r Å est isoorphe à En pratique, pour trouver une unité fondaentale, on utilise le développeent de Å en fraction continue ci, je veux juste donner quelques indications et un exeple de coent cela arche Pour des détails, on est invité à consulter les livres [HW] et [Hua] 631 Définition Soient À9ÿ; Kû un entier, et >2 des variables La fraction continue associée est la fraction : Kû0 >2 * Kû 632 Lee Avec ces notations, on a : Kû>0 2> Kû H H ; H bbb ; Ê Kû H H Ê ; H bbb ; Ú ; â+ où les atrices opèrent par hoographies : º [D ß 633 Définition Soit Kû un nobre réel non rationnel Le développeent de en fraction continue est défini par : * * H D $ KûA, * ãx ä, * H D $ D1, etc Si est rationnel, on applique le êe algorithe, ais on s arrête quand est entier 634 Proposition Soit KûA réel et irrationnel Soit >> la suite associée à par la définition précédente Ecrivons KûA >> z à Alors ²z à $ ² H à Si z et à ; sont des entiers preiers entre eux et ²z à $ ² Ã, alors il existe tel que z z à La si Î ) si et seuleent si est algébrique et de degré deux sur 7 Si t avec ƒ H sans facteur carrés, il existe tel que z $ p Kà H, et le preier tel donne une unité fondaentale z à de r Å ãx ¾ä, suite KûA >2 devient périodique (dans le sens qu il existe et  9 H tels que W 44

45 L L L L ú å L L L L L ` L L L L 7 La réciprocité quadratique 71 Décoposition des nobres preiers +Z Soit ú un corps de nobres, et z un nobre preier L anneau * úßü une ËÖ -algèbre de diension * GDVXW@% nobre fini d idéaux axiaux, disons  A >2 Â, et que le orphise canonique -  bbbz + {Š  est un isoorphise de ËÖ -algèbres Définissons des entiers ñ; par :  {ŠÊ  Notonså  L l iage inverse de  L dans úøü via úøü -<:-<  L 711 Proposition Avec ces notations, on a l égalité suivante d idéaux de úøü : z úøü  VbbbNå  Preuve ontrons d abord queå V VbbbNå V Â Þ z5úßü En effet, coe  bbb   c c bbb  ; dans, l iage deå  VbbbNå  { dans que z5úøü etåå  VbbbNå,å å  { ont å êe nore La nore de z úøü est ² ² z+ Notons ù  L úßü  L Alors, pour tout, et pour tout t9 ;  L  L Ẅ est un ù diension un Le théorèe Chinois dit que l application canonique : úßü  Vbbb1å å VZ å  $ - úøü  bbbz å úøü  æt est un isoorphise l suffit donc de ontrer que úßü  L {Šest de êe cardinal que ais les deux sont de cardinal ² ù ²ÏŠ: pour pour le deuxièe, il faut utiliser que les inclusions  LtÎbbbt {Š  z5úßü est alors Nous avons vu dans un exercice que n a qu un {ŠẄ  L est nulle D où l inclusion l ne reste qu à ontrer le corps -espace vectoriel de {Š  L le preier, cela est êe vrai pour tout exposant, sont strictes 712 Proposition Avec les êes notations, les conditions suivantes sont équivalentes : 1 z ne divise pas GDV 1E2T úßü ; 2 est réduit, ie, ; est le seul nilpotent de ; ÂÏŠ 3 tous les sont H {Š {Š ÂÏŠ {Š  qui est dans  LÒ Â L est réduit si et seuleent si xh Coe est le produit des  Preuve L équivalence des conditions 1 et 2 a déjà été notée dans la proposition 4111 ontrons l équivalence des deux dernières Tout éléent de est nilpotent Donc, est réduit si et seuleent si tous les les sont 713 Définition On dit que z est raifié dans ú, ou dans úßü, si la ËÖ -algèbre úøü pas réduite Dans la section suivante, nous utiliserons le résultat suivant 45 z5úøü n est

46 ` ` 7 7 des induit Proposition Soient 7P- úk- raifié dans ú, il l est dans Preuve dans ú Nous savons donc queü extensions finies, et z un nobre preier Si z est Supposons que z soit non raifié dans l nous faut ontrer que z est non raifié zü est réduit, et il nous faut ontrer que úßü z5úßü l est égaleent Alors, le orphise ú_- un orphise úßü - ü Supposons que dans úøü soit dans le noyau de úøüa- ü - ü zü Cela veut dire que l iage de dansü est de la fore z, avec dansü ais alors z est entier sur, donc est dans z5úßü l en résulte que le orphise úßüß- ü induit une injection úøü z5úøü - ü zü Cela ontre que úøü z5úßü est réduit 715 Définition Soit ú une extension de degré deux de 7, et soit z un nobre preier On dit que z est inerte dans ú si úøü z5úøü est un corps, ou, ce qui revient au êe, si z est preier dans úøü On dit que z est scindé, ou décoposé dans ú si úøü z5úßü est isoorphe à ËÖZËÖ, ou, ce qui revient au êe, si z5úøü   avec  et  deux idéaux axiaux distincts de úßü 716 Proposition Soit jh un entier sans facteur carré, et ú Å 7 On a úßü r D» avec»gž $ si ÕH { od, et avec»ž $ $ $ H [{ si H { od Notons» l iage de» dans ËÖ Alors : 1 z est décoposé dans ú si et seuleent si» a deux racines distinctes dans ËÖ ; 2 z est inerte dans ú si et seuleent si» n a pas de racine dans ËÖ ; 3 z est raifié dans ú si et seuleent si» a exacteent une racine dans ËÖ A l aide de la réciprocité quadratique nous pourrons ontrer que la condition que z soit scindé, inerte ou raifié ne dépend que de la classe de z odulo le discriinant de ú, 72 Quel est le sous-corps quadratique de ç èéê Pour la preuve de la réciprocité quadratique que nous allons donner dans la section suivante, il nous faut un renseigneent dont nous nous occupons dans cette section 721 Proposition Soit z un nobre preier Soit 7 Ö l extension de 7 racine de l unité d ordre z (dans &, par exeple) Alors le polynôe inial de Ö sur 7 YÖº* Ö $ H 1D $ H L extension 7ÿ- 7 Ö groupes» *g N [ Ö $ - Ë Ö tout$dansg < tel que, pour 1 Ö,$ Ö LëÙBì2Ü Ö engendrée par une est est galoisienne, et on a un isoorphise de Preuve Notons 7ÿ- ú une extension de décoposition de Ö $ H, et Ö une de ses racines Coe les racines de Ö $ H sont des puissances de Ö, on a ú 7 Ö Le polynôeyö ³:H est irréductible par le critère d Eisenstein (on applique ce critère àyö et z ) L extension 46

47 z ` z ú ú Ä 7 ` ú 7 z z 7 ú H 7 ú Ë ` ` 7 ú ú ü 7Ï- ú est donc de degré z $ H Notonsí le groupe de Galois de ú sur 7 Tout éléent deí induit un autoorphise du sous-groupeïö * xo ± ² Ö jhfr de ú CoeÏÖ est d ordre z, c est un espace vectoriel de diension un sur ËÖ, donc son groupe d autoorphises est Ë Ö Nous avons donc un orphise de groupes» *íõ- Ö tel que pour tout$ dansí, et tout dansïö :$ ëùkì Ü l reste à ontrer que» est un isoorphise Coe les deux sont d ordre z $ H, il suffit de ontrer que» est injectif ais cela est clair, car coe ú est engendré par Ö, tout$dansí est déteriné par$ Ö 722 Théorèe Soit z un nobre preier et 7 Ö coe en haut Alors l inclusion de r Ö dans 7 Ö ü est une égalité Tout nobre preier différent de z est non raifié dans 7 Ö Preuve Nous allons appliquer le critère 4113 Coe Ö est entier sur, r Ö Þ 7 Ö ü Le fait que la dérivée de Ö $ H soit z Ö Ê iplique que dans n iporte quel corps de caractéristique différente de z, Ö $ H n a pas de racines ultiples l en résulte que le discriinant deyöest, à un signe près, une puissance de z Par ce que nous avons vu dans les exercices, cela iplique que r GDV 1E2T Ö est, à un signe près, une puissance de z, et que par conséquent, GV 1E T Ö est, à un signe près, une puissance de z Donc tout preier différent de z est non raifié dans 7 Ö Pour finir, il nous faut ontrer que pour tout idéal axial  de r Ö contenant z, on a GDV]W   H Ecrivons r Ö r YÖ (avec s envoyant vers Ö ) Cela ontre que r r Ö Ö est isoorphe à ËÖ D $ H Ö Ê, et on en déduit que Ö a un unique idéal axial  contenant z, et qu on a Â Ö $ H Posons $ H Alors on a : Ö YÖ $ H Ô H Ö $ Ö Ê $ H z Ö Ê bbb z qui est un polynôe d Eisenstein pour le preier z On voit que z est dans Â, ce qui iplique que   est engendré par, donc de diension au plus un 723 Proposition Soit z un nobre preier Alors 7 Ö quadratique ú de 7 On a ú 7 Å si z jh { od, et ú 7 Å $ z si z $ H { od Preuve Le groupegi< [ Ö est isoorphe à Ë Ö, qui est cyclique d ordre z $ H Coe, z $ H est pair Par conséquent,gi< 1 Ö a un unique sous-groupe d indice Par la correspondance de Galois, 7 Ö a un unique sous-corps ú de degré 2 sur 7 Les extensions quadratiques de 7 correspondent aux entiers ÕH Å sans facteur carré Pour voir pour quel on a ú î 7, nous allons utiliser un arguent de raification Dans les contient un unique extension exercices on verra une autre éthode (soes de Gauss) pour résoudre ce problèe Par la proposition 714 et le théorèe 722, ú est non raifié en tous les preiers différents de z Donc GDV 1E2T est, à signe près, une puissance de z Si yh { od, on a GDV 1E2T {, et si jh od {, on a GV 1E T 47

48 Ö Ë Ö ` Ù Ã Ü 7 7 ` bò ; à ` ï Ü Ë Ö Ö Þ Ë Ã 73 Réciprocité quadratique 731 Proposition Soit z un nobre preier Le sous-groupe Ë Ö * _O g± ² Ö R est d ordre z $ H 1@ Pour dans ËKÖ, z ð>ñ on définit : H ± si Ë Ö, * ; si ;, $ H a` ± si Ë Ö *DËÖ - O $ H HR Þ z s appelle le sybole de Legendre Pour dans ËÖ on a : Ù Ö Ê dans ËÖ " L application Ë Ö -, ¾ - ÖÚ est un orphise de groupes Preuve Considérons le orphise de groupes» *DË Ö - Ö, ¾ - Son noyau est OQH $ HFR, donc d ordre ( H $ H car z ) L iage de» est Ë, qui est donc d indice Le quotient Ë est donc isoorphe, et cela de anière unique, à " Considérons le orphise d*ë Ö -ÌË Ö, ¾ - Ö Ê Son noyau est d ordre z $ H 1@, donc son iage d ordre et égale à OQH $ HFR Pour dans Ë Ö, on a Ö Ê äh On a donc Ë å2t, et êe égalité car les deux ont êe cardinal Pour conclure : pour dans Ë Ö on a H si et seuleent si est dans Ë Ö La fonction Ö 732 Théorèe (Réciprocité quadratique, Gauss) Soient z et à deux nobres preiers, différents de et distincts Alors à on a : z z $ H à $ H z b à $ H { ò Preuve D après la Proposition 723, l unique sous-corps quadratique de 7 est 7 Å, avec à Êò à Nous avons donc un diagrae coutatif : ó$d$ $r DYò $ $ $ - ËÖ DYò Å ô ô ô ô ô ô uó$d$ $r D» $ $ $ - ËÖ D» 7 ó$d$ $ $ $ $ - ËÖ avec»º $ $ $ H 1{ L application de ËÖ D» vers ËÖ DYÖ que r DYÖ et r D» est une inclusion par un arguent que nous avons déjà utilisé dans la preuve de la proposition 714 (nous utilisons ici sont les anneaux d entiers dans leurs corps de fractions) 48

49 7 à à H 7 7 z Ã Ü ò H à bò[ Par la Proposition 721,g < s identifie, via l isoorphise» gi<, à Ëò D autre part, Å 1 adet un unique isoorphise avec N Ceci Ù{õ nous donne un diagrae coutatif : g N bò[ 2 öòü g < Å 1 $ $ $ - deg < Notons$KÖ l éléent bò[ qui correspond à l iage de z dans Ëò Alors$KÖ induit l endoorphise de Frobenius de ËÖ DYò, car$kö Ö (oduloyò) Donc$KÖ induit le Frobenius de ËÖ D» Notons aintenant que$kö Å est soit égal à Å Ã, soit à $ Å On a alors les équivalences : Öò yhø $KÖ VXG z est scindé dans r» yh@ à z ØlV z Donc : Ê z ò à $ H ÙòÊ Aà à z õ à ë $ $ $ - 2 Ë ž òõ Ö $ H úùlv õ Pour calculer des syboles de Legendre, il est utile de copléter le théorèe ci-dessus par les deux résultats suivants, qui ont été ontrés dans le cours et les exercices ` 733 Proposition Pour z un nobre preier on z á a : H z $ $ $ H z $ et $ H z Concrèteent, la réciprocité quadratique se résue en le résultat suivant, qui n est que la cobinaison des deux résultats qui précèdent ` 734 Proposition 1 Si z à ` et à z z à sont preiers, on a : z à z si H Ò{Q ou H {Q ; $ à sinon 49

50 jh š 2 Si z ` est preier, on a : Ã Áz jh û z jh $H z si z $ H si z si z $ H si z p H á p á H {K ; $ H Ò{Q ; ; ; 50

51 ` í ` ù ù ² H ² 8 Le théorèe de Wedderburn Le théorèe en question n est pas telleent un théorèe concernant la théorie des nobres, ais plutôt la théorie des corps finis La preuve que nous donnons ne nécessite qu un petit peu de théorie sur les groupes opérant sur des ensebles, un peu d algèbre linéaire non coutative (que nous faisons dans un lee), et le fait que les polynôes cyclotoiquesy ont coefficients dans (nous n avons pas besoin de leur irréductibilité) Donc si l on veut, ce théorèe pourrait être traité au début du cours Dans cette section, on ne suppose pas que les anneaux sont coutatifs ; les anneaux sont encore suppposés unitaires Nous rappelons qu un corps est par hypothèse un anneau coutatif avec H ; dans lequel tout éléent non nul est inversible Un anneau (non nécessaireent coutatif) dans avec H ; dans lequel tout éléent non nul est inversible est appelé une algèbre à division Un exeple d une algèbre à division non coutative est donné par les quaternions (sur 7 ou sur ) Les 7 -algèbres à division de diension finie en tant que 7 -espace vectoriel jouent un rôle iportant en théorie des nobres 81 Théorèe Soit un anneau fini intègre (non nécessaireent coutatif) Alors est coutatif, et donc un corps De façon équivalente : toutes les algèbres à division de diension finie sur un corps fini sont des corps Preuve Soit donc un anneau fini intègre Soit ù le centre de : ù est l enseble des dans tel que 5 Ì pour tout dans Alors ù est feré pour l addition, la ultiplication, inversion et opposition ( ñ¾ - $ ) Donc ù est un corps fini, disons de cardinal à (qui est une puissance d un nobre preier), et est une ù -algèbre de diension finie Notons GDV]W On a donc ² ² à Notonsí le groupe ultiplicatif des éléents non nul de ; doncí est un groupe de cardinal à Ô$ H On fait agirí par conjugaison sur lui-êe : ¾ - 5Q Ê Considérons la décoposition deí en orbites pour cette action Ces orbites sont les classes de conjugaison dansí Les orbites à un éléents sont exacteent les O ÁR avec dans ù Soitü un systèe de représentants pour les orbites restantes (celles dansí í $ Ê ) Pour chaque dansí, notons AÏO4 5 ² ± ír dý ý sa classe de conjugaison et ÏO4 ± 5 Î ÁR son centralisateur dansí Pour ²í dansí, on a une bijection :í - A, ¾ - Q 5 Ê On a alors : Az{þ A ² à $ Hd Azoþà $ ² Pour dans, notons jo4 ± ² Q º 55R le centralisateur de dans Alors est une sous-ù -algèbre de, et est donc lui aussi une algèbre à division et Notons GDVXW, on a donc ² ² à ٠A0Ü, et ² ² à ٠A0Ü $ H La ultiplication à gauche sur par des éléents de induit une structure de - odule sur ontrons que est libre en tant que -odule 82 Lee Soit une algèbre à division et un -odule de type fini Alors est libre 51

52 à à ` Â Ã Ê 3 à ü à L Ú `  Preuve Soit ÂÕ Â A >>  un systèe de générateurs de, avec inial l suffit de ontrer que ce systèe est libre Supposons que ce n est pas le cas, et soit 3  bbb 3 ; une relation non triviale Quitte à renuéroter les  L nous avons 3 ;, donc : $ 3  bbb 3 Ê Â Ê ì Ceci iplique que  A >> Â Ê [ est un systèe générateur de, donc contredit la inialité de Pour dans, notons 8 T <DCÙ A0Ü On a alors : Ã Ý ² ² ² ÙBA0Ü ² ² ² ÙBA0Ü Ã Ù A0Ü Ù A0Ü Ã Ù A0Ü Ù A0Ü ce qui ontre que les divisent (Une autre façon de voir que ² est de noter que BDC@E G Ã Ú $ H Ã$ H Ãâ$ H si 56 BDCFE2G, en regardant l algorite d Euclide) '( Nous entrons aintenant dans la dernière étape de la preuve Dans 7 ' $ H+ œ+» Y+F ' 0, nous avons avecy+le polynôe unitaire dont les racines (dans & disons) sont les racines d unité d ordre ' '( Par la théorie de Galois, on sait que lesy sont en effet dans 7, et coe les racines de ' l unité sont entiers sur, on voit que lesy à sont dans '( Pour dansü, on a `, car n est pas dans le centre ù de Pour tout entier  ;, nous avons : $ Y+F En appliquant ceci à l identité : on obtient quey trouve que ²Y divise à $ ²QÄ Ã $ H ais on a : ²Y H+ œ+» à $ H% à $ H H, cary ² œ ÚzÙ A z{þ à $ H Ã Ê ÙBA0Ü divise tous les autres teres En particulier, on {ÿÿüõ² ^ «ª Si H, tout facteur dans ce produit est plus grand que à $ H (faire un dessin de l axe des réels et le cercle unité dans & ) Donc jh, et ù 83 Exercice Soit " U½ ù la -algèbre des quaternions standard ( ½ $ H, w½ $ ½K ù ) Pour z preier il est clair que z n est pas coutatif, donc ne peut pas être intègre par le théorèe de Wedderburn Pour autant de z que vous voulez, trouvez expliciteent des diviseurs de zéro non nuls dans z $ H ² 52

53 ,þ $ Z une est 9 Copléents et rappels 91 Produit tensoriel d algèbres sur un corps Le produit tensoriel de odules sur un anneau a été défini dans le cours Algèbre 3, en preier seestre Le résultat est sipleent que pour un anneau et et des -odules, il existe une fore -bilinéaire universelle : $,, J,, -, Â ¾ - Â Si / J et sont des -algèbres, alors /,ß a une structure naturelle de -algèbre (pour tous et dans / J 2 J et et dans, on a A J 0 J ), et a la propriété universelle H sont des orphises de -algèbres, et si est une, -algèbre et» *Á/ - etd*, í- sont des orphises de -algèbres, alors il existe un unique orphise de - algèbres /,ß Î- qui fait couter le diagrae que l on devine Avec cette propriété universelle, on voit que pour un anneau et / une -algèbre, il existe un unique orphise de / -algèbres, /y- / qui envoie H vers De êe façon, on voit, en utilisant des propriétés universelles, que D»,â/ est la êe chose que / D» Nous utiliserons ceci si - / est une extension de corps 911 Théorèe Soit ú - extension de corps, et» dans ú, irréductible, tels que» soit scindé sur, avec des racines siples Notons le degré de», 8 >> A, et ) >2 )+les plongeents correspondants de ú D» ú -algèbres :,þ ú D» $ + - ¾ - 0 ) 0 >2 )+ [, est un isoorphise de-algèbres En particulier, si úèon note le cardinal deí, eta >2 ses éléents, on a un isoorphise de-algèbres : - ß¾ >> 1 D» D» H,, suivante : les orphises de -odules /l- /,ø et y- /,ø donnés par ¾ - et ¾ - 8+ses racines dans dans Alors le orphise de galoisienne, de groupeí, et si Preuve Coençons par rearquer que,þ ú et+sont tous les deux de diension en tant que-espace vectoriels l suffit donc de ontrer que le orphise en question est soit injectif, soit surjectif En fait, les deux sont assez faciles La surjectivité résulte de l interpolation de Lagrange, et l injectivité du fait que le noyau de LÒ - +est l intersection, donc» des $ 8 Le deuxièe énoncé s obtient du preier en choisissant un éléent priitif de sur ú 92 odules de type fini sur les anneaux principaux Ceci se trouve dans [Sauel, o 15], ais expliqué d une façon plus abstraite D autre part, cette théorie est dans le prograe du cours d algèbre du seestre précédent Pour ces raisons, nous irons assez vite 53

54 L 921 Théorèe Soit un anneau principal et soit À9ÿ; Tout sous-odule de est libre de rang au plus En fait, si est un sous-odule de, il existe une base ^ 0 >> ^ de A, un entier 8 tel que ; Ä 8 Ä et des éléents >2 de tels que ² ² bbb ² et ^ 0 >> ^ 0 soit une base de La suite des des idéaux ³t ³tÎbbbt zd l est zd coordonnée L iage est Supposons donc que est de rang H, de base z suite exacte n est pas forcéent unique, ais la suite Preuve Nous ontrons d abord, par récurrence sur, que est libre de rang au plus Pour ; rien à faire Supposons 9 H Considérer zæ*¹ -, projection sur la dernière un sous-odule de, donc un idéal ; coe est principal, est libre de rang ; ou H Si c est ;, est en fait contenu dans Ê et on a teriné par récurrence  pour un  dans convenable Alors la ; $ - å2t z ² $ - $ -Èz $ - ; est scindée par le orphise z -, z  ¾ -  (coe z  est une base de z, il suffit de donner l iage de z  c ) Donc est isoorphe à Ê, et on a teriné par récurrence Pour ontrer l existence des bases de et de coe dans l énoncé, on choisit un nobre fini de générateurs de, que l on exprie en teres de la base usuelle de Ensuite, on fait des opérations éléentaires A sur les lignes et les colonnes de la atrice obtenue, pour la >> '( rendre de la fore GDVFC avec ² ² bbb Dans le cas de ËÖ, on trouve dans aple une fonction Sith qui fait le calcul (et qui est d ailleurs au prograe pour l option odélisation de l oral de l agreg) Dans le cas, aple a la fonction isith Avec ce théorèe, on déontre facileent la classification des odules de type fini sur un anneau principal 54

55 10 Exercices 1 Donner toutes les solutions dans et dans 7 des équations : $ 5r $ H ÀÑ :Ñ $ $ HF ndications : congruences odulo des puissances de deux ; paraétrisation de courbes de degré deux avec un point rationnel 2 (a) Soit un triplet pythagoricien { priitif En considérant les carrés dans, ontrer que, quitte à échanger et, on a ; et ontrer qu alors $ 02 0, et que BC@E2G $ 0 yh (ndication : l idéal de engendré par $ et F F contient et ) En déduire qu il existe des entiers ~ et avec ;ß ~ƒ, ipairs, preier entre eux, tels que $ ~5 et (b) Conclure que 4 2 tout triplet pythagoricien priitif avec pair s écrit sous la fore ~5 $ [@ }4 ~5 ~¹, avec ;ƒ x~g x dans s preier entre eux et ipairs (c) ontrer que pour ~ et dans s preier entre eux, ipairs et tel que ~ : 4 ~5 $ 1F }4 ~ ~ est un triplet pythagoricien priitif Conclure que les triplets pythagoriciens priitifs 4 avec pair sont les triplets ~5 $ [@ }4 ~ ~, avec ~ preier entre eux et ~5 ipair 3 ontrer que l anneau r r est euclidien pour la fonction Z* - s, ¾ - 4 (Plus difficile) Soit ú un corps, et un entier plus grand ou égal à 3 et inversible dans ú '( ontrer que toutes les solutions dans ú de l équation : avec, et preiers entre eux, sont en fait des solutions dans ú ndication : étendre la éthode donnée en cours, donc : par contradiction ; considérer une solution non constante avec le axiu des degrés de et et inial pari toutes les solutions pour tous les corps ú (l faudra donc peut-être changer de corps pendant la déonstration) Question : est-elle nécessaire Plus préciséent : en fonc- l hypothèse que soit inversible dans ú tion de la caractéristique de ú, donner la liste des pour lesquels il existe des solutions non triviales 5 ontrer qu il existe une infinité de nobres preiers z qui sont $ H { odulo 6 Soit z un nobre preier ontrer que ÎH a une racine dans ËÖ si et seuleent si z n est pas congru à $ H { odulo (indication : le groupe Ë Ö est cyclique, et d ordre z $ H ) ontrer que pour dans, tout preier ipair qui divise H est congru à H { odulo ontrer qu il y a une infinité de nobres preiers qui sont H { odulo 7 (Pour ceux qui veulent) Variante des deux questions précédentes, ais pour les classes odulo š 55

56 ; O š 8 ; ; ` L Ê 8 Factoriser en irréductibles : ÑÆ dans r, et ½ dans ½@ 9 Cherchez un nobre preier z qui est congru à 1 odulo 4 et raisonnableent grand (disons au oins 1000), et écrivez le coe soe de deux carrés 10 Coe la définition de la notion d anneau euclidien n est pas la êe dans tous les textes, nous donnons une définition ici, et ontrons qu elle est équivalente à une autre que l on rencontre souvent Voici donc la définition Soit un anneau intègre, et» *,_- une fonction Alors» est dite euclidienne si son iage est borné inférieureent et si pour tout dans avec ß` 56 ; il existe à et 8 dans avec à 8 et»» 0 Un anneau est dit euclidien s il existe une fonction euclidienne sur (a) (Juste pour éoire) ontrer a` qu un anneau euclidien est principal (b) ontrer que pour tout ; dans on a»» (c) ontrer que la fonction» * -, ¾ - ² ², est euclidienne $ (d) Soit ú un corps ontrer que la fonction» *5ú -, ¾ -<GDå C est euclidienne ci on convient que GDå C $ H Si on veut que Gå2C, on pourrait introduire l enseble ordonné $ R, et la notion de fonction euclidienne à valeurs dansˆ O $ R (e) Soit un anneau intègre, et» *¹Î- une fonction ontrer que» est euclidienne si et seuleent si»ø H (la fonction donnée par ¾ -» H ) l est (f) (Plus difficile) Soit un anneau intègre et )+* Ì- une fonction euclidienne ontrer que la fonction» *5j-, ¾ - W³V O ) ² ; x ± R, est euclidienne, et a la propriété suppléentaire que» Q0 9» pour tous et avec non nul 11 ontrer directeent que Å Å Å } Å š dans 7 est entier sur ontrer aussi que H F dans 7 n est pas entier sur ontrer aussi que dans H ;@; H est entier sur q 12 Calculer le orphise trace et la fore trace pour 7-7, disons en teres de ½ atrices par rapport à une base que vous avez choisie Pareil pour 7y- 7 et 7j- 7 ' D ' 13 Calculer le orphise trace et la fore trace pour 7j Calculer la fore trace pour 7j- 7 D $ $ ñh Cette fore bilinéaire est-elle non dégénérée Le déduire aussi de la décoposition de $ $ lh en facteurs irréductibles 15 Le but de cet exercice est de ontrer qu il y a un algorithe efficace pour trouver, pour un nobre preier z qui est congru à 1 odulo 4, des entiers et tels que z Soit donc z preier, et 1 od 4 (a) Ecrivons z $ Hƒ  avec  ipair (notez que x9 ) Pour dans Ë Ö, est d ordre divisant On peut donc espérer trouver un éléent d ordre 4 dans Ë Ö en calculant, pour pris au hasard dans Ë Ö, *, 6L et ensuite les * Š, 9 ; p, jusqu à ce que ` H En effet, si ùâ ñ;, alors $ H Ê et est d ordre 4 Calculez la probabilité que p H 56

57 ý ú Ä une z z z z z ý z ú z (b) Expliquez-vous 6L à vous-êe que pour calculer, pour dans ËÖ donné, *, et ensuite les, ne prend au plus qu environ S@C Â S@C [ ultiplications dans ËÖ, si on s y prend intelligeent (c) Expliquez-vous à vous-êe que les opérations éléentaires (, $,, ) dans ËÖ S@C [ SFC [ SFC S@C se font en au plus ý, ý, ý et ý opérations binaires (c est à dire, sur des ; et H ), respectiveent En fait, il existe des éthodes plus efficaces : par exeple, la ultiplication de deux nobres Ä S@C 1[ peut se faire en S@C S@C opérations binaires (voir [Cohen]) F (d) Soit dans, ² ² z, tel que dans Ë Ö { soit d ordre, et notons» r * - ËÖ le orphise tel que» ontrez que z et $ engendrent le noyau de», en tant que -odule En appliquant l algorithe d Euclide dans r à z et $, on trouve un générateur de Få2T» (e) L algorithe obtenu est probabiliste, et le teps oyen qu il prend est ý S@C (Le nobre oyen de à essayer est au plus 2, et le nobre d étapes dans l algorithe d Euclide dans 1, à effectuer est au plus ý S@C ) deux et_ ú -espaces vectoriels, de diensions et, respective- et ~ des endoorphises de_ et_ (a) ontrer que les polynôes caractéristiques de ~ et ~ déterinent celui de l endoorphise ~ ~ ndication : utiliser une extension de ú sur laquelle 16 Soit ú un corps,_ ent Soient ~ de_,þ _ les polynôes caractéristiques de ~ et ~ sont scindés (b) Donner des forules explicites en teres des coefficients dans les deux cas où et H Ä 17 Le produit tensoriel est bien utile pour ontrer le fait que deux corps de décoposition pour un polynôe sur un corps sont isoorphes (de façon non unique) En effet, soit ú un corps, et» dans ú non nul Soient ú - ú et ú - ú deux extensions de décoposition, c est à dire, sur chacune,» est scindé, et chacune est engendrée par les racines de» (a) ontrer que ú,þ"ú est une ú -algèbre non nulle, et qu elle a des idéaux axiaux (sans utiliser le lee de Zorn, si vous le connaissez) (b) ontrer que la ú -algèbre ú,þ ú est engendrée par des racines de» (c) Soit ú un quotient de ú,þ ú qui est un corps ontrer que ú - ú est un corps de décoposition, et que les deux orphises de ú -algèbres ú - ú et - ú sont des isoorphises Cela ontre donc que ú et ú sont isoorphes en tant que ú -algèbres 18 Soit ú un corps, ú - extension de diension finie, et úè- ú et úè- deux sous-extensions Soit ú la sous-extension de engendrée par ú et ú (a) Supposons que GDVXWøþâú GDV]Wøþâú GDVXWßþâú ontrer que le orphise de ú - algèbres» *5ú,þtú ñ 5, est injectif, et d iage ú -, donné par», (b) Donner un exeple où le orphise» n est pas injectif 57

58 7 EDDDDDDC ' š J Ü 19 Lesquels des anneaux suivants sont des corps : (a) &,µý&, Å (b) 7 Å (c) 7 Å, Å 7 Å $ H (d) &,% & 20 Calculer les r D en tant que -odule, pour des votre choix Par exeple, pour ceux avec ² ²QÄ š, ² ²QÄ š 21 Soit$ l autoorphise non trivial de 7 ü r Å r Å Soit Z* - s la fonction donnée par :, ( et dans ) de Evideent,$ préserve le sous-anneau ² $ ² ontrer que est une fonction euclidienne Pour ceux qui veulent : quels sont les corps quadratiques dont l anneau des entiers est euclidien pour la nore ainsi définie 22 Dessiner l iage de Å dans par l application Å ¾ - Å } $ Å F, avec et dans Dessiner aussi la courbe de niveau H pour la nore : ² 5 ² H Faire l analogue pour 7 ü 23 Soit ú un corps, 9 ; Kû un entier, et 2> Ê dans ú ontrer que : Kû GDå0æ $ H ' $ H ' $ H ' Ê GHHHHHH ' Ê ' Ê bbb Qû ndication : on peut procéder de deux façons au oins Développer suivant la preière ligne et faire récurrence sur, ou dire qu il s agit d une identité polynoiale en que l on déontre en notant que le polynôe en question annule l endoorphise en question et que si sont des variables, alors le polynôe en question est irréductible 24 Soit Ç9 ; entier, et dans ontrer que } ` est fini si et seuleent si GDå0æ ;, et que, dans ce cas, on a ² F ² ² GDå æ ² 25 Soit ú un corps de nobres Soit ` ; dans úøü, et considérons l endoorphise b du -odule libre úøü donné par ¾ - 5 ontrer que : ² úøü úøü ² ² GDå æ b ² Kû ¼+ ² ² Ù5 6879þ où Kû et sont le degré et le tere constant du polynôe inial de sur 7 26 Soit 9 H ontrer que si 0 >2 +dans & satisfont à ² L ² alors les définis par : ' $ ì ' bbb $ +0 '+ ]+Ê '+Ê bbb ' satisfont à ² ² H 27 Soit un anneau factoriel (donc intègre) ontrer que est intégraleent clos 58

59 ù ½ Ê Ê 28 Donner un exeple d un anneau intègre non intégraleent clos 29 ontrer les iplications non déontrées en cours dans la proposition qui donne les conditions équivalentes pour qu un odule soit noethérien 30 ontrer que l anneau r 6 >> de polynôes en un nobre infini de variables n est pas noethérien Pareil pour la clôture intégrale de dans 7 31 Un sous-anneau d un anneau noethérien, est-il nécessaireent noethérien Et un quotient Et un sous-odule d un odule noethérien 32 Soit un anneau, et des idéaux ontrer que Q Þ ßce A-t-on toujours égalité (Pour ceux qui veulent : quels sont les anneaux où c est toujours vrai ) (b) ontrer qu il existe une suite de sous- -odules ûtê 33 Soit ù un corps, ñ9 H, et ÿ* ù 0 >> Soit  l idéal de, engendré par les L ontrer que pour chaque Í9 ;,  +est de diension finie en tant que ù -espace vectoriel ontrez que cette diension est le coefficient binoial W+Ê 34 Est-ce que l anneau 7 est de Dedekind Z 35 ontrez que tout anneau principal est de Dedekind 36 Soit ù un corps, et une ù -algèbre de diension finie en tant que ù -espace vectoriel (a) ontrer que le nobre d idéaux axiaux de est au plus (Si  0 >2  sont des idéaux axiaux distincts, alors le orphise -  bbbz  est surjectif, par le théorèe Chinois) è2 bbbžtê s è Ẅ ; tel que les avec ; Ä soient siples, et qu alors Ä (c) Soient  0 >>  les idéaux axiaux distincts de ontrer que tout -odule siple est isoorphe à l un des  L (d) Soient 0 >> dans l intersection des  L ontrer que bbb ; ndication : ontrer que bbb L Þ L (e) ontrer que -  Z bbbz  est un isoorphise Notez que les résultats de cet exercice s appliquent au sous-ù -algèbres coutatives des, donc généralisent la décoposition en sous-espaces caractéristiques pour un endoorphise au cas d endoorphises coutant entre eux, et sans que les polynôes caractéristiques soient scindés 37 Soit ú une extension finie de 7 Soit  un idéal axial de úøü Soit z la caractéristique de úøü  (rappelons que ce dernier est fini) Soit  J l enseble des dans ú tels que 5Â Þ úßü En appliquant l exercice précédent à la ËQÖ -algèbre úøü z5úøü, ontrer que  J ` úßü ndication : il suffit de voir qu il existe un éléent non nul de z úøü úøü annulé par  La ultiplication par z induit un isoorphise de úøü -odules de z úøü úøü vers úßü z5úßü Ceci donne donc une déonstration plus directe que celle du cours du fait que les idéaux axiaux de úßü sont inversibles dans le onoïde des idéaux fractionnaires 38 Dans cet exercice nous nous intéressons aux idéaux de l anneau des entiers y* r Å $ de ú * Å 7 Nous avons déjà vu que cet anneau n est pas factoriel ( se factorise 59

60 š ; z š ËQÖ coe bëš, ais aussi coe H% Å H $ Å ) La preière chose à étudier est coent se factorisent les idéaux z avec z dans s preier Nous allons regarder en détail d où vient le problèe avec les deux factorisations en irréductibles de En êe teps, nous anticipons la suite de ce cours : borne pour le groupe, et réciprocité quadratique Notons» *, dans r Z (a) Soit z dans s preier ontrer que la ËÖ -algèbre z est isoorphe à '( ' ËÖ à Ë Ö õ ou à ËÖ suivant le cas où» se décopose dans ËÖ distincts, est irréductible, ou un carré ndication : considérer r D» (b) ontrer que le discriinant de» est $ l exercice précédent se produit seuleent pour z et z, en deux facteurs ; Conclure que le dernier des trois cas de (c) Calculer aussi le déterinant de la atrice donnant la fore trace de ú sur 7, par rapport à une -base de Le résultat n est pas une coïncidence, et ontre que ce preier, différent de et de La réciprocité quadratique, que nous ontrerons plus tard, dit que la condition $ est un carré dans ËÖ dépend unique- êe plus fort, il existe un orphise de nobre $ ; est un invariant iportant de, coe illustre l exercice suivant $ (d) Soit z dans s ent de l iage dans ; groupesd* - OQH $ HFR tel que la condition ÌH équivaut est un carré dans ËÖ Calculez ce, et vérifiez ce résultat dans quelques cas (ie, prendre quelques z et z avec êe iage dans ;, et vérifiez que $ est un carré odulo z si et seuleent s il est un carré odulo z (e) En regardant de qui, ontrer qu il existe un unique idéal axial  contient ontrer que  } Ĥ Å $ K, et que  (f) ontrer que les idéaux axiaux de qui contiennent š sont  * $ H¹ Å $ F et  $ H $ Å Vérifiez que šf   (g) Donner la factorisation de l idéal F en idéaux axiaux de ontrer que Â,  et  ne sont pas principaux, ais que   et   le sont, ainsi que  et   Ceci explique les différentes factorisations de (h) Calculer des -bases de tous les idéaux axiaux de qui contiennent un preier z dans s avec z Ä H Ó Lesquels sont principaux ontrer que si deux d entre eux ne sont pas principaux, alors leur produit l est, en calculant cas par cas Coent cela pourrait s expliquer en teres du groupe 39 Soit ƒ Î; un entier sans facteur carré, et ú 7 Å $ le corps quadratique iaginaire correspondant (a) Calculer le volue de & úøü ndication : quelque soit { odulo, il est recoandé r Å de calculer d abord le volue de & $, et de faire ensuite le nécessaire pour obtenir le volue de & úøü (Bien sûr, on peut aussi calculer directeent avec une -base de úßü ) (b) Calculer le discriinant GDV 1E2T úßü de ú (par définition, c est le déterinant de la atrice de la fore trace par rapport à n iporte quelle -base de úßü ) ndication : 60

61 Ó { ² ú LKè ² coe dans la partie précédente : il est plus siple de faire d abord le calcul pour Å $ (c) Avec la éthode que vous avez vue en cours, ontrer que tout idéal non nul de úßü contient un éléent non nul tel que ² Ê Ê ²}Ä ² GDV 1E T úßü È 1 (d) ontrer Ê que tout éléent de úøü plus ² GDV 1E T úßü 40 Notons * Å 7 $ H ÓK ü ontrer que est représenté par un idéal de úßü de nore au est principal ndication : utiliser l exercice précédent pour trouver un entier tel qu il suffit de ontrer que les idéaux de nore au plus sont principaux ; ensuite, calculer tous les idéaux de nore au plus 41 Soit un anneau intègre { tel que ` a au plus deux éléents, et tel que tout idéal est d indice au oins ontrer que n est pas euclidien ndication : supposer que )+* $ O ; R -<s soit une fonction euclidienne ; soit dans F non nul et non inversible tel que ) soit inial pour de tels éléents ; ontrer que consiste des classes de ;, H et $ H, car H et $ H sont les seuls inversibles de ; contradiction 42 ontrer que x* Å 7 $ H ÓK üfn est pas euclidien ndication : ontrer que pour tout idéal de différent de on a ² ² ñš ; utiliser l exercice précédent 43 Pour ceux qui veulent : ontrer que j* Å 7 $ ü est principal Ceci est directeent lié au fait que le polynôe» * $ É { H a la propriété que» est preier pour $ š Ä Ä ; (On sait, depuis le début des années 70, que les seuls corps quadratiques Å iaginaires ú avec úøü principal sont les 7 $ avec pari 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, et 163 Voir par exeple le livre [Serre1]) 44 ontrer que l équation $ n a pas š de solution dans 45 Soit ú une extension finie de 7 Notons e* GDVXW% son degré et É* discriinant ontrer que l on a : Ê ² ² 9 { š ndication : utiliser la borne donnée dans le cours pour l existence de petits représentants pour les éléents de úøü Conclure que si H, alors ² ² 9 š Donner un exeple d un ú avec ² ² š En existe-t-il d autres (En fait, pour chaque entier, il n existe (à isoorphise près) qu un nobre fini d extensions finies ú de 7 avec ² GDV 1E T úøü ²QÄ ; c est le théorèe d Herite ; voir [Sauel, V, Th 3]) 46 Soit» dans unitaire, disons de degré Notons 0 >> dans &, avec ultiplicités  0 >2  (a) ontrer que la fore trace de & D» sur & les L sont des racines siples (c est à dire, si  L yh pour tout ) GDV [E2T úøü son les racines distinctes de» est non dégénérée si et seuleent si (b) Supposons à partir de aintenant que les racines de» sont siples On rappelle que le discriinant de» est défini par : GDV [E2T» x ce dernier produit ne dépend pas de la nuérotation des racines 61 L $ è2 ontrer qu en effet

62 ú ` / Z Ö Ó š (c) ontrer que : GDV [E2T ndication : GDV [E2T est le déteri-, par rapport à la & -base ; le théorèe Chinois donne un isoorphise de & vers & ; avec la base canonique» r GDV 1E2T D» nant de la atrice de la fore trace de la & -algèbre & H 2> Ê coparer l iage de la base H >> Ê r»»» 47 Soit ú un corps de nobres, Þ / deux sous-anneaux d indice fini de úßü ontrer que GDV 1E T ² / ² GDV [E2T ndication : et / sont des -odules libres de êe rang fini ; utiliser ce que vous avez appris 48 Soit» dans r unitaire, irréductible, et de degré au oins 2 ontrer que ² GDV 1E2T» ² 9 š Pouvez-vous donner des exeples de» unitaires de degré 2, 3, etc avec ² GDV 1E T» ² jh 49 Avec la éthode donnée en cours, ontrer que r š est l anneau des entiers de 7 Donner des -bases des anneaux d entiers des 7 {, Ä Ä 50 Soit ú un corps de nobres ontrer que ú n est pas de type fini 51 Soit ^ ` ; dans (a) ontrer que l équation $ x^ a des solutions dans si et seuleent si, pour tout preier z tel que 0Ö ^ jh od, est un carré dans ËÖ (b) Pouvez vous conjecturer quels sont les z tel Å que F est un carré dans ËÖ (Pensez aux congruences odulo le discriinant de 7 ) 52 Adettons que x* r q soit l anneau des entiers de (a) ontrer que est isoorphe à (b) Trouver une unité fondaentale dans (c) Quelle équation sait-on aintenant résoudre 53 Donner une preuve du théorèe des unités dans le cas où 8 veulent : 8 ; et 8 quelconque 54 Soit z preier, zƒ ; et 8 Pour ceux qui (a) ontrer que ' µ ih est scindé sur Ë Ö õ (ndication : les racines de ' µ ih dans un corps de caractéristique différente de sont les éléents d ordreáde ú ) (b) Soit une racine de ' µq H dans Ë Ö õ ontrer que, $, H et $ H sont des racines distinctes de ' µ H (c) ontrer que H (d) ontrer que ƒïh est dans ËÖ si et seuleent si z p H odá (ndication : H ± ËÖ équivaut à H Ö H ),,, ( ( ( ( en nobre preier, ú un corps, et Ö d ordre z dans ú Notons la soe É* AzÕ z A Ø 55 Calculer les syboles de Legendre suivants, par exeple en utilisant la réciprocité quadratique : 56 Soit z de Gauss : 62

63 7 Ö z Ö ú ontrer que Ê z Vérifiez ce résultat à la ain pour z š,, et Ñ Ceci donne Ö est donc une déonstration très explicite du fait que le corps quadratique dans 7 Ê 57 Soit ú un corps quadratique ontrer que les conditions qu un preier z soit décoposé, inerte ou raifié dans ú sont données par des congruences odulo GDV 1E T 58 Calculer les preiers trois ou quatre approxiations rationnelles de données par la fraction continue associée à 59 Soient et  des entiers Constatez que le développeent en fraction continue de  reproduit ce que l on trouve avec l algorithe d Euclide pour calculer le pgcd de et de  60 Soit un réel irrationnel tel que la fraction continue associée à devient périodique, dans le sens du cours ontrez que est quadratique sur 7 61 Calculer une unité fondaentale de r Å H {, avec la éthode des fractions continues 63

64 11 Exaens, partiels, etc Exeple d un partiel (printeps 2000) Durée : 2 heures Docuents autorisés : aucun Calculettes non autorisées Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés Justifiez vos réponses 1 (a) Donner 5 solutions différentes de l équation $ H, avec ; et Õ; dans 7 (b) Donner 5 solutions différentes de l équation $, avec, et dans, avec ;, ñ;, ñ;, et BDC@E2G jh (c) L enseble des solutions dans de $ H est-il fini 2 (a) Soit le sous-anneau r Å $ Ñ euclidienne (b) Est-ce que l anneau est euclidien (c) Est-ce que l anneau /ä* r HZ Å $ Ñ 1@ de & La fonction À* k- s, x¾ - ² ² est-elle est euclidien 3 Soit un entier sans facteurs carrés, différent de H, et congru à H { odulo Posons ú * Å 7 (a) Donner une -base de l anneau des entiers úßü de ú (b) Donner la atrice, par rapport à votre base, de la fore trace : ¾, - 'T1þ des et_ ù -espaces vectoriels de diension finie, ~ et ~, respectiveent Si et_ ~ et ~ ~ de_, _ l est des en- sont diagonalisables, est-ce que 4 Soit ù un corps,_ doorphises de_ l endoorphise ~ % 5 64

65 ù ú J Partiel du cours théorie algébrique des nobres, 17/03/2000 Durée : 2 heures Docuents autorisés : aucun Calculettes non autorisées Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés Justifiez vos réponses 1 (a) Donner toutes les solutions dans 7 de l équation š (b) Existe-t-il un dans 7 tel que l équation e e, ais pas dans 7 2 Soit le sous-anneau r ì du sous-corps úk* q 7 de & (a) Donner le polynôe inial de sur 7 (b) Donner une -base de (c) Calculer 8 9Î;, H : que -odule, à ß` ² bbb ² ; tels que bbb D $ š (d) Calculer la fore trace de ú sur 7 par rapport à votre base (e) Donner une ajoration du cardinal du -odule úøü adet des solutions dans est isoorphe, en tant 3 Soit z un nobre preier, ù un corps de caractéristique z, et ' dans ù Soit ú la ù -algèbre D Ö $ ' (a) Supposons que ' est une puissance z èe dans ù ontrer alors que la fore trace de sur ù est nulle (b) Supposons seuleent que ' est une puissance z èe dans une extension ù de ù ontrer alors que la fore trace de ú sur ù est nulle (c) Ne supposons plus rien sur ' ontrer que la fore trace de ú sur ù est nulle (d) Existe-t-il une extension finie de corps telle que sa fore trace soit nulle 65

66 ù J Ö ' š L š J ù ú Corrigé du partiel du 17/03/ (a) Supposons que A dans 7 soit une solution Ecrivons F et 0F avec, et dans et BDC@E2G lh On a : { ais dans les seuls carrés sont ; et H, donc, { et ont iage zéro dans, ce qui contredit BC@E2G jh á (b) Oui, on peut prendre ÕÑ Coe Ñ 9 ;, il y a des solutions dans Pour voir qu il 5646 n y en a pas dans 7, il suffit de voir qu il n y a pas de,, et dans avec BC@E2G yh et ÀÑ K Cela se voit en notant que les seuls carrés dans sont ;, H { et 2 (a) Le polynôe $ dans 7 annule et est irréductible (Eisenstein avec z, ou noter qu il est de degré trois et n a pas de racine dans 7 ) ; c est donc le polynôe inial de sur 7 (b) On peut prendre H A (c) On calcule la atrice de la ultiplication par $ š sur par rapport à la base que l on a, et F on fait des opérations éléentaires sur les lignes et les colonnes, ce qui donne Une autre façon de faire dans ce cas : D D, donc $ š r D $ } $ š D (d) Calcul standard (e) Soit dans úøü Ecrivons º 0 %q 'Tþ % et't1þ sont dans On en conclut que ² úøü ²QÄ š}bk b xh ; á % avec, et dans 7 Alors'T þ º±, ݱ et ±,, ce qui donne š Notons que cette éthode est la êe par laquelle nous avons ontré que les úøü sont des -odules libres de rang GDVXW@% 3 (a) On a donc ' pour un dans ù Alors ú ù D Ö $ Ö D[ $ Ö, Ö La trace de la ultiplication par L, avec ÿ;, ce qui est isoorphe à ù est nulle, car est nilpotent, donc ses valeurs propres sont nulles La trace de la ultiplication par H est l éléent z de ù, qui est nul car ù est de caractéristique z * J ù D Ö $ ' par rapport à la base H >> Ö Ê sur ù par rapport à la base H >> Ö Ê (b) Nous avons vu en cours que la atrice de la fore trace de ú sur est la êe de celle de la fore trace de ú Par la preière partie, cette atrice est nulle adet une racine dans une extension convenable de ù (une clôture algébrique, ou un corps de décoposition ou de rupture, par exeple) Une autre éthode est de calculer les atrices des b, ; Ä :z, par rapport à la base H >> Ö Ê ; cela donne en un seul coup les trois preières parties de cet exercice ' ' (d) Oui, par exeple Ë - Ë D $ ' (c) l suffit de rearquer que Ö $ 66

67 š { á Ó { û ; Quelques rearques sur la correction 1 Le correcteur a été surpris par la longueur de certaines copies l conseille viveent de faire une version brouillon avant de rédiger la version 2 Le correcteur tient à préciser que š ÿh"àh { :H {, que HÆ {K@ ÀH F, et que { { ; ; 3 C est vrai qu une -base de est une 7 -base de ú, ais il n est pas vrai que toute 7 -base de ú est une -base de 4 Rearque iportante : s il s agit de faire des opérations éléentaires sur les lignes et les colonnes qui doivent être inversibles sur, il faut surtout pas ultiplier des lignes ou des colonnes par un entier ûˆ non inversible Plus préciséent : la atrice n est pas ûˆ inversible sur, ais l est 5 La ajoration ² úßü ²KÄŽ² ú ² ne seble pas très utile 6 Si Þ / est une inclusion de -odules, avec et / isoorphes (par exeple, les deux libre de êe rang), on n a pas nécessaireent / 7 Une puissance z èe n est pas la êe chose qu une puissance de z 8 Rearque iportante : il existe des extensions finies de corps qui ne sont pas séparables 9 Le barèe appliqué pendant la correction est : 1 : 3+3, 2 : , 3 : Ce barèe a été choisi avant la correction, en observant que les parties 1a, 2a, 2b, 2c, et 2d donnent déjà 9 points, et n a pas été odifié depuis ; H Ñ ; ; H ; H { { 10 La répartition des notes est coe suite : La oyenne des notes est 9,26 H H Há H ; H@H H H š H { H4Ñ H Ó { { { H ; ; ; ; ; 67

68 š Ó ú Exeple d un exaen Durée : 3 heures Docuents autorisés : tous Calculettes non autorisées Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés Justifiez vos réponses 1 Soit ú un corps de nobres, et  un idéal axial de son anneau des entiers úøü ontrer que la nore de  est de la fore z+avec z un nobre preier, et Ä GVXW% (ndication : utilisez ce que vous savez de úøü en tant que 2 Donner des exeples d entiers tels que l anneau D $ (a) non réduit ; (b) intègre, ais non intégraleent clos ; (c) euclidien, et avec groupe ultiplicatif infini ; (d) euclidien, et avec groupe ultiplicatif fini 3 Notons le sous-anneau r Å H ; de (a) Cobien d idéaux de nore 2 y a-t-il dans (b) Cobien d idéaux de nore 3 y a-t-il dans -odule) soit : un entier (c) Cobien d idéaux de nore 6 y a-t-il dans (ndication : les questions précédentes peuvent être utiles) (d) Existe-t-il dans avec p Avec } p š Et avec p (ndication : la réduction odulo 5 peut être utile) (e) Calculer l ordre du groupe de classes d idéaux (f) Donner les quatre unités fondaentales de (g) Donner trois solutions de l équation $ H ;, avec et des entiers positifs 4 Est-ce que š@; est un carré Et Ó@Ó 68

69 Exaen théorie algébrique des nobres, 22/05/2000 Durée : 3 heures Docuents autorisés : tous Calculettes non autorisées Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés Justifiez vos réponses 1 Est-ce que H est un carré { Ñ Et < H 2 Donner des exeples d entiers tels que l anneau D $ (a) réduit, ais non intègre ; (b) de Dedekind, ais non principal 3 (a) Soit le sous-anneau r Å $ euclidienne (b) Soit / euclidienne le sous-anneau r Å $ š (c) Est-ce que l anneau / est euclidien soit : de & La fonction À* k- s, x¾ - ² ² est-elle de & La fonction À* - s, x¾ - ² ² est-elle 4 (a) Existe-t-il un corps de nobres ú de degré au oins š tel que tout éléent de ú soit un cube dans úøü (b) Existe-t-il un corps de nobres ú dans úøü 5 Notons l anneau D $ H (a) Donner une -base de de degré tel que tout éléent de ú ü ü soit un cube (b) Calculer la atrice de la fore trace de sur, et son déterinant, qui est donc le discriinant de (c) Pour dans s, calculer le discriinant de l anneau r D %$ (d) Pour z preier, calculer le discriinant de l anneau D Ö Ê H bbb H 69

70 L ² E ; ; ; ; Ù Corrigé de l exaen du 22/05/ Tout H { d abord, on décopose Ñ H et en et, est preier car non divisible par tout preier H Par le théorèe Chinois, H { un carré dans Ñ si et seuleent si H est un carré dans H š et dans H Ó Coe H est égal à dans H š, et que H š p n est pas H { on sait que H n est pas un carré odulo H š Conclusion : H n est pas un carré dans Ñ Pour voir si H est un carré H, on considère le sybole de Legendre En utilisant la réciprocité quadratique, on voit que : $ Ê yh@ facteurs preiers Cela donne : { ÑÍ H šb H Ó 2 2 Pour la preière partie on peut prendre jh, et pour la deuxièe $ 3 (a) Oui, le calcul standard le ontre (b) Non, car dans (c) on ontre que l anneau en question n est pas euclidien (c) Non, car il n est pas intégraleent clos (sa clôture intégrale est HU Å $ š 4 (a) Le théorèe des unités de Dirichlet iplique que le groupe ú Dans dans ú ü ne l est pas non plus (b) Oui, par exeple : 7 [@ ) ü se surjecte sur, la ultiplication par š n est pas surjective, donc l élévation à la puissance š 5 (a) On peut prendre H µ (b) Pour dans, la ultiplication par L de vers agit sur notre base par un 5-cycle si CDDDD n est pas ultiple de 5, et par l indentité si est ultiple de 5 Donc la trace de b est zéro si º` et est 5 si ² La atrice de la fore trace par rapport à notre base est donc : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; On calcule que le déterinant de cette atrice est $ (c) En reprenant le êe arguent que dans la partie précédente, on voit que ce discriinant est $ H Ù Ê ÜwÙ Ê Ü 0 (d) Ceci est plus copliqué Nous avons vu dans les exercices de TD que pour» dans r unitaire, on a GDV [E2T D» 1 GDV 1E2T» Donc : GV 1E T Ö $ H $ H Ö Ê JGHHHH ÜuÙ Ö Ê Ü z Ö 70

71 x š { á Ó š š Ù ; x Ecrivons Ö x $ H $ H La définition du discriinant en teres de différences de racines donne que GDV 1E T Ö $ H GDV 1E2T H $ 8, où 8 parcourt l enseble de racines de(dans &, disons) Coe» $ 8 dans &, on a H $ 8 H z On trouve donc : GDV 1E2T $ H Ö Ê ÜuÙ Ö Ê Ü z Ö Ê ci, nous n avons pas utilisé que z soit preier ; la forule est vraie pour z 9 H H H Há ; H Ñ H ; H@H H H š H { H4Ñ H Ó { ; š š Ñ { H ; ; ; La répartition des notes est coe suite : La oyenne de ces notes est environá Ó 71

72 Ø Ø Ø Exaen théorie algébrique des nobres, 11/09/2000 Durée : 3 heures Docuents autorisés : tous Calculettes non autorisées Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés Justifiez vos réponses 1 Adettons que z yh ;@;F; Ñ soit preier Est-ce que š est un carré odulo z 2 Notons b H šb H4Ñ FÓ b 0 Cobien de couples dans existe-t-il tel que 3 Notons le sous-anneau r Å H de C est l anneau des entiers de 7 (a) Cobien d idéaux de nore 2 y a-t-il dans (b) Cobien d idéaux de nore 3 y a-t-il dans Å H F (c) Cobien d idéaux de nore 6 y a-t-il dans (ndication : les questions précédentes peuvent être utiles) (d) Existe-t-il dans avec ² ² Avec ² } (ndication : la réduction odulo 5 peut être utile) (e) Calculer l ordre du groupe de classes d idéaux (f) Donner un exeple d une factorisation en irréductibles dans à des unités près (g) Donner les quatre unités fondaentales de ² š Et avec ² ² qui n est pas unique (h) Donner trois solutions de l équation $ H $, avec et des entiers positifs 4 Soit z un nobre preier, i9 un entier, et ËÖø- Ë une extension de corps de degré On sait qu une telle extension est unique à isoorphise près, car c est un corps de décoposition de Ö Ÿ $ (a) Quel est le cardinal de Ë (b) Quelle est la diension de la ËÖ -algèbre Ë, (c) Soití le groupe d autoorphises de la ËÖ -algèbre Ë, Ë Est-ce queí est cyclique (d) Est-ce que Ë, Ë est un corps (e) Quel est le cardinal deí Ë 72

73 š Ø { Ø á Ó Ø Ø Ö dansí, ; Corrigé de l exaen du 11/09/2000 š H ;@;@; Ñ H ;@;F; Ñ Ñ H ;@;@; Ñ 1 Coe z est preier, on peut appliquer la réciprocité quadratique On calcule : b { $ H Donc š est un carré odulo z b Ñ jhf 2 Pour z pari, H š, H4Ñ FÓ et, prenons Ö preier dans r tel que z Ö (noter que z est 1 odulo 4) La question est cobien de on a dans r avec la factorisation dans r de, on voit qu il y a µ { { de tels choisir entre Ö et Ö, et tout produit ainsi obtenu peut encore être ultiplié par H,, $ H ou $ ) 3 Coe dans l exeple d un exaen à la page 68 4 (a) Coe Ë est isoorphe à Ë Ö en tant que ËÖ -espace vectoriel, ² Ë ² z a$, diensions Donc la diension de Ë, Ë est (c) Notons$l endoorphise de Frobenius de Ë, donc$ j Ö Alors$n est pas l identité car 9 ais alors on V]G et V]G, $ En regardant (pour chaque z il faut (b) La diension du produit tensoriel de deux espaces vectoriels est le produit des deux pour tout dans Ë qui sont tous les deux d ordre, ais qui ne sont pas puissances l un de l autre Cela iplique queí n est pas cyclique ² H H Há ; H Ñ H ; H@H H H š H { H4Ñ H Ó ; ; ; ; H ; ; š H ; H H ; ; ; ; ; ; ; ; (d) Non, car si c était un corps, son groupe d autoorphises serait cyclique, donc aussi son sous-groupeí l y a bien d autres façons de voir que Ë, Ë n est pas un corps (trop de racines du polynôe f Ö Ÿ ²í $ f, par exeple, ou le résultat du cours qui dit que Ë, Ë est isoorphe, en tant que Ë -algèbre, à Ë (e) Utilisant que Ë, Ë est isoorphe, en tant qu anneau, à Ë, on voit que La répartition des notes est coe suite : bë ½ 73

74 Partiel du cours théorie algébrique des nobres, 26/03/2001 Durée : 2 heures Docuents autorisés : tous Calculettes autorisées Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés Justifiez vos réponses Les exercices avec un astérisque sont probableent plus difficiles Bonne chance Rappel : un éléent d un anneau 1 Factoriser en irréductibles les éléents FÓ, š H et š Ñ est dit preier si l idéal qu il engendre est preier de r 2 Posons» * H dans r, et Î* r D» Notons ~ la classe de dans (a) Donner une -base de, calculer la atrice de la fore trace par rapport à cette base, et le discriinant de (b) Calculer la atrice de la ultiplication sur par ~ ~ $ H par rapport à votre base, et calculer les entiers positifs ² ² D tels que ~ ~ $ H soit isoorphe à en tant que -odule (c)* L éléent ~5 ~ $ H de est-il preier (d)* Est-ce que est intégraleent clos 3 Soit ú * 7 Å $ et j* r Å $ son anneau des entiers (a) Donner des générateurs pour les idéaux axiaux de contenant (b) Donner des générateurs pour les idéaux axiaux de contenant š (c) Donner la factorisation en idéaux axiaux de l idéal Å $ (d) Donner un exeple d un éléent irréductible non preier dans (e) Donner un exeple d un éléent de de ce en irréductibles et de deux factorisations non équivalentes 74

75 b š š š š ~ ~ ~ š Corrigé du Ó partiel du 11/04/ Coe jh {Q Ó et est preier dans, la théorie dit que se factorise en deux facteurs preiers dans r FÓ, et, en effet, on a 2 $ Coe š H est preier dans et $ H { odulo, š H est preier (et donc irréductible) dans r La nore de š ÐÑ FÓ est á Coe $ Hç, š ÐÑ est divisible par Hç, et on trouve š Ñ Hd 2-2 (a) Coe -base on peut prendre H ~5 par ~ et ~5 par rapport à cette base on trouve que't utilisant que ~ $ ~ $ H et ~ µ $ ~ $ ~, on obtient :'T Le déterinant de la atrice de la fore trace est $ š H En écrivant les atrices de la ultiplication ; et't ~¹ $ En $ š et't ~ µ (b) Le calcul de la atrice est directe, et les opérations éléentaires sur lignes et colonnes donnent : jh, D š Donc ~ ~ $ H est isoorphe à š en tant que -odule D (c)* Coe š annule ~5 ~ $ H (par la partie précédente), on sait que š est dans ~ ~ $ H Donc : D ~ ~ $ H D ~ ~ $ H Ë º $ H» Ë D É $ H 0 la dernière égalité résultant du fait que»é $ H 2 i $ H dans Ë Coe i $ H est irréductible dans Ë, ~5 ~ $ H Ó est un corps (à éléents), et ~5 ~ $ H est donc preier dans (d)* Coe pour aucun preier z on a z ² GDV 1E2T, est intégraleent clos par un 3 (a) On a théorèe du r D } Ë D Par la correspondance des idéaux d un anneau et d un quotient, le seul idéal axial de contenant est  * q } Å $ (b) On a šf r D Ë D Le seul idéal axial de contenant š est donc  * Å $ (c) On calcule :   Š$ Å $ $ Å $ (d) Coe À Š$ Â, il n y a pas d éléent de nore, š ou dans, et öyoqh $ HFR Å Coe $ bëš, Å $ est irréductible Par la partie précédente, il n est par preier (e) On a bëš $ H Å b $ Les 4 facteurs sont bien irréductibles, et les deux factorisations non équivalentes Quelques rearques sur la correction 1 Dans le 2(c), on veut connaître la structure d anneau de se réaliser que 2(b) ne donne que la structure de -odule D ~5 ~ $ H, ais il faut bien 75

76 š { á Ó ; 2 Quand on deande des exeples, donner le plus siple possible C est plus agréable pour le correcteur Exeple : dans le 3(d), on peut prendre Å $, et dans 3(e), deux factorisations de 6 3 En faisant des opérations sur lignes et colonnes d une atrice, n écrivez pas de signes entre les atrices, car elles ne sont pas égales La prochaine fois cela coûtera des points 4 Dans un anneau quelconque, un éléent preier non nul est irréductible ; c est dans l autre sens qu il faut utiliser que l anneau en question est factoriel 5 Pour des erreurs énores (résultat non entier quand il doit être entier, ou arguent qui arche dans des cas où l on sait que la conclusion est fausse) j ai attribué quelques points négatifs (des $ H ) 6 Le barèe appliqué pendant la correction est : 1 : 4, 2 : , 3 : Ce barèe avait été choisi avant la H H Há correction, et n a pas été odifié depuis 7 La répartition des notes est coe suite : ; H Ñ H ; H@H H H š H { H4Ñ H Ó H ; ; H š ; H H š H H { ; H { ; ; ; La oyenne des notes est H ; á 76

77 ; ; š { á Ó H@H Ñ š ; Exaen théorie algébrique des nobres, 21/05/2001 Durée : 3 heures Docuents autorisés : tous Calculettes autorisées Les résultats du cours peuvent être utilisés sans déonstration Justifiez vos réponses Bonne chance 1 Factoriser en irréductibles Ñ, { $ ½ 2 (a) Calculer une unité fondaentale de 7 et FÓ dans r ½@ (avec ½ $ Hd Å Å HFH (b) Donner deux solutions dans de l équation $ H@H2 jh avec ; et H (c) Calculer à la ain les quatre preières approxiations z à de Å H@H données par développeent en fraction continue (d) Écrire la fraction continue de Å HFH sous la fore KûA 2>, en indiquant la si 9 ) 3 Soit l anneau r et notons ~ la classe de dans Notons ú le corps des périodicité (  ; et tels que W fractions de (a) Calculer le discriinant de (b) Donner des générateurs pour les idéaux axiaux de contenant š (c) Donner des générateurs pour les idéaux axiaux de contenant (d) ontrer que úßü (ndication : pour traiter les idéaux axiaux contenant š, faites la substitution º ) (e) ontrer que tout éléent du groupe de classes d idéaux idéal de nore au plus Ñ ² ü 1F ) est représenté par un (f) Donner une ajoration de ² (g) Est-ce que l équation F F $ H FQA jh a des solutions dans, autres que H Å 4 Soit ú le corps 7 H š (a) ontrer que la condition qu un nobre preier z soit décoposé dans ú ne dépend que de la classe de z odulo H š (b) Donner la liste des éléents de H š tel qu il existe un nobre preier z décoposé dans ú d iage dans H š H H Há La répartition des notes était coe suite : ; H Ñ H ; H@H H H š H { H4Ñ H Ó š H H H ; H H H H H ; ; ; ; ; La oyenne des notes est H ; H 77

78 Ó J z { Ó Exaen théorie algébrique des nobres, 13/09/2001 š Durée : 3 heures Docuents autorisés : tous Calculettes autorisées Les résultats du cours peuvent être utilisés sans déonstration Justifiez vos réponses Bonne chance 1 On adet que z yh ;@;Fš est preier Est-ce que š est un carré odulo z Est-ce que est un carré odulo z 2 (a) Calculer une unité fondaentale de r Å H en indiquant la périodicité (  ; et tels que W (b) Donner trois solutions dans de l équation $ H jh avec ñ; et ñ; (c) Y a-t-il des solutions dans de l équation $ H $ H (d) Y a-t-il des solutions dans 7 de l équation $ H $ H (e) Calculer de façon exacte la fraction continue de Å H sous la fore Kû0 >>, si 9 ) (f) Calculez, pour H Ä Ä, les approxiations z à de Å H obtenues par le développeent en fraction continue (l utilisation d hoographies est conseillée) 3 Soit l anneau intègre r D µ $ $ H, et notons ~ la classe de dans Notons ú le corps des VZ fractions de (a) Calculer le discriinant de et vérifiez que, à un signe près, il est preier (b) ontrer que úßü (c) Calculez les entiers 8 et 8 tels que la -algèbre D µ $ $ H soit isoorphe à & õ (d) ontrer que tout éléent du groupe des classes d idéaux idéal de nore au plus (e) ontrer que est principal est représenté par un (f) Vérifiez que $ š divise µ $ $ H dans Ë } Est-ce qu il existe dans tel que ² ² jñ, où À*5ú - 7 est } la nore Et si oui, y en a-t-il une infinité, et est-ce qu il y a un dans avec Ñ 4 Soient 8 9 H entier, et z l anneau z bbbz 0 2> (a) Cobien de y a-t-il dans tel que xh (b) Cobien de y a-t-il dans tel que ñ (c) êes questions pour * zd bbbzd des nobres preiers distincts et différents de Notons Les notes étaient : 5, 8, 11 et 12 78

79 Références [Cohen] [CSS] [HW] H Cohen A course in coputational algebraic nuber theory Graduate Texts in atheatics, 138 Springer-Verlag, Berlin, 1993 odular Fors and Ferat s Last Theore G Cornell, J Silveran and Glenn Stevens, editors Springer-Verlag, 1997 GH Hardy and E Wright An introduction to the theory of nubers Fifth edition The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979 [Hua] LK Hua ntroduction to nuber theory Springer-Verlag, Berlin New York, 1982 [-R] [KKS] [Sauel] K reland and Rosen A classical introduction to odern nuber theory 2nd edition Graduate Texts in atheatics 84, 1990 K Kato, N Kurokawa, T Saito Nuber Theory, Ferat s drea Translations of atheatical onographs AS, 2000 P Sauel Théorie algébrique des nobres Herann, Paris, deuxièe édition, 1971 [Serre1] J-P Serre Lectures on the ordell-weil theore Apects of atheatics, E15, Vieweg, 1990 (2nd edition) [Serre2] [Serre3] [Swin] J-P Serre Cours d arithétique Deuxièe édition revue et corrigée Le athéaticien, No 2 Presses Universitaires de France, Paris, 1977 J-P Serre Corps Locaux Troisièe édition Publications de l université de Nancago, No V, Herann, Paris, 1968 HPF Swinnerton-Dyer A Brief guide to algebraic nuber theory London atheatical Society Student Texts, 50 Cabridge University Press, Cabridge,