Compléments de trigonométrie

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1 IUT Orsay Mesures Physiques Cours du er semestre Compléments de trigonométrie A. Les outils A-I. Notion de bijection, bijection réciproque Une application de E vers F est une bijection lorsque : tout élément de E possède une image et une seule dans F tout élément de F possède un antécédent et un seul dans E Eemples : R R Si on appelle f l application définie par : f :, cette application n est pas une bijection car le réel 4 (dans l ensemble d arrivée) possède deu antécédents et le réel - (toujours dans l ensemble d arrivée) n en possède aucun. R R Si on appelle f l application définie par : f :, cette application n est toujours pas une bijection car le réel 4 (qui est dans l ensemble d arrivée) possède encore deu antécédents. R R Si on appelle f l application définie par : f :, cette application n est toujours pas une bijection car le réel -4 (qui est dans l ensemble d arrivée) n a aucun antécédent. R R Si on appelle f l application définie par : f :, cette application est une bijection car tout réel possède un carré unique (ce qui correspond à «tout élément de E possède une image et une seule dans F») et d autre part, tout réel positif est le carré d un unique réel positif (ce qui correspond à «tout élément de F possède un antécédent et un seul dans E»). Remarque : Il faut avoir bien compris que la même façon de calculer peut correspondre à l idée de bijection ou non suivant les ensembles de départ et d arrivée envisagés. On ne peut pas dire si une fonction est ou n est pas une bijection tant que ses ensembles de départ et d arrivée ne sont pas clairement précisés. Réciproque d une bijection Dans le cas où on utilise une bijection, si f est l application initiale (appelée directe) on peut définir une nouvelle application g (appelée réciproque) telle que : g( y) f ( ) y. Notation : Si f est une bijection de E vers F, la réciproque est notée f et va de F vers E. Remarque : Attention à cette notation, elle est etrêmement trompeuse car elle n a aucun rapport avec les eposants usuels n a rien à voir avec la notion d inverse. f Eercice type : Soit f la fonction de R vers R telle que f ( ) 0 3. Quelle est la réciproque de f? On suppose que f ( ) y 3 y c est à dire 0 3 y et on essaye d isoler 0 y 3 puis On en déduit f ( y) et 0 Cas particuliers remarquables déjà connus : y 3. 0 f va encore de R vers R mais «à l envers». Page 3

2 R R. Si on pose f ( ) : R R que : * R R. Si on pose ln( ) : ln( ) * R R telle que ep( ) : e Remarque : Si f est une bijection de E vers F et si vers E) on a alors et f f Id F on a une bijection dont la réciproque est notée et est telle on a une bijection dont la réciproque est notée ep() et est f f Id E f Attention, en général est sa réciproque (de F f f et f f sont donc des applications différentes même si pour l une comme pour l autre, l image de est. A-II. Théorème de la bijection Théorème : Si f est une application de R vers R continue et strictement monotone dans un intervalle I de R, alors l ensemble des images des éléments de I forme un intervalle J et f réalise une bijection de I vers J. Propriété : Pour que f soit strictement monotone dans I, il suffit qu elle soit dérivable dans I et que sa dérivée reste strictement positive (ou strictement négative) sauf éventuellement en un nombre fini de points Attention, c est une condition suffisante mais pas nécessaire. A-III. Si f et d où : f Fonction dérivée d une réciproque sont dérivables, comme on sait que et que Id ( ), on obtient : f f Id F ( ) ( f f '( ) f )'( ). f '( f ( ) ) ce qui donne ( f ) f ( f ) Eemples «simples» : ( f ) ( ) ( ) f ' f ( ) F '( ). ' ( ) On sait que si f ( ) et si on réduit l ensemble de définition à R alors f possède une réciproque car elle est strictement monotone(croissante) et dérivable. Si on note Rac () cette fonction, quelle est sa dérivée? Puisque f '( )., on doit avoir Rac '( ) et on retrouve bien la formule connue. Rac( ) (et mal écrite) : ( ) On rappelle qu un intervalle est une partie de R «d un seul tenant» avec des bornes comprises ou non et finies ou infinies. d( ) c est à dire (en utilisant l écriture différentielle) :. d On sait que si f ( ) ln( ) l ensemble de définition étant R alors f possède une réciproque car elle est strictement monotone (croissante) et dérivable. Si on note ep() cette fonction, quelle est sa dérivée? Page 4

3 Puisque ln'( truc), on doit avoir ep'( ) et on retrouve bien la truc ln'(ep( )) ep( ) dérivée connue : ep ( ) c est à dire : ep d(ep( )) ( ) ep( ) ou encore ep( ). d ep( ) Si f ( ) 4 alors f possède une réciproque car elle est strictement monotone (décroissante) et dérivable. Si on note g( ) cette fonction, quelle est sa dérivée? Puisque f '( truc ) 4, on doit avoir g '( ) f '( g( )) 4 qui est bien le résultat attendu puisque y 4 donne ( y ) c est à dire g( y) ( y ) et alors g '( y ) B. Réciproques en trigonométrie circulaire B-I. Le principe général On sait que les fonctions trigonométriques ne sont pas monotones et que, par conséquent, on ne peut pas définir immédiatement leurs réciproques La méthode consistera systématiquement à restreindre l ensemble de départ à un intervalle I de sorte que la fonction directe devienne continue et strictement monotone pour que le théorème de la bijection puisse s appliquer. En contrepartie, la réciproque aura pour ensemble d arrivée l intervalle I et ces réciproques ne seront évidemment pas périodiques. B-II. Fonction Arcsinus a. Définition On restreint la fonction sin() à l intervalle ;. Dans cet intervalle, la fonction est définie, continue, dérivable, monotone croissante on peut lui appliquer le théorème de la bijection. Les images forment l intervalle [ ; ] et la fonction réalise donc une bijection entre ; et [ ; ] elle possède une réciproque que l on note Arcsin() ou parfois sin- (). Attention : Arcsin( y) b. Etude de la fonction Arcsin() équivaut à Arcsin :[ ; ] [ ; ], fonction impaire, non-périodique. Dérivée : Arcsin ( ) sin (Arcsin( )) cos(arcsin( )) sin( ) y ; sin( y) Si on pose y Arcsin( ) alors on a donc cos( y) y [ ; ] et on obtient : Page 5

4 c. Tableau de variation Arcsin ( ) - Arcsin () Arcsin() d. Représentation graphique yarcsin() ysin() Puisque B-III. e. Application au intégrales (primitives) Arcsin ( ), on a aussi Fonction Arccosinus a. Définition. d Arcsin( ) Cste On restreint la fonction cos() à l intervalle [ 0; ]. Dans cet intervalle, la fonction est définie, continue, dérivable, monotone décroissante on peut lui appliquer le théorème de la bijection. Les images forment l intervalle [ ; ] et la fonction réalise donc une bijection entre [ 0; ] et [ ; ] elle possède une réciproque que l on note Arccos() ou parfois cos - (). Attention : Arc cos( y) b. Etude de la fonction Arccos() équivaut à cos( ) y [ 0; ] Arccos :[ ; ] [0; ], fonction ni paire ni impaire, non-périodique. Page 6

5 Dérivée : Arccos ( ) cos (Arccos( )) sin(arccos( )) Si on pose y Arccos( ) alors on a c. Tableau de variation cos( y) donc sin( y) et on obtient : y [0; ] Arccos ( ) - Arccos () - - Arccos() 0 d. Représentation graphique yarccos() y ycos() e. Application au intégrales Puisque Arccos ( ), on a aussi. d Arccos( ) Cste mais ce n est pas très utile puisque la fonction Arcsin() faisait déjà le travail B-IV. Fonction Arctangente a. Définition On restreint la fonction tan() à l intervalle ;. Dans cet intervalle, la fonction est définie, continue, dérivable, monotone croissante on peut lui appliquer le théorème de la bijection. Les images forment l intervalle ] ; [ et la fonction réalise donc une bijection entre ; et ] ; [ elle possède une réciproque que l on note Arctan() ou parfois tan- (). Page 7

6 Attention : Arctan( y) b. Etude de la fonction Arctan() équivaut à tan( ) y ] ; [ Arctan : R ] ; [, fonction impaire, non-périodique. Dérivée : Arctan ( ) tan (Arctan( )) tan (Arc tan( )) c. Tableau de variation Arctan ( ) Arctan () Arctan() d. Représentation graphique e. Application au intégrales Puisque Arctan ( ), on a aussi. d Arctan( ) Cste et c est un résultat très utilisé dans de très nombreu domaines B-V. Eemples d eercices typiques ytan() y yarctan() a. Peut-on trouver α tel que Arctan( α ) Arctan(4) Arctan(5)? Si deu nombres sont égau, alors ils ont la même tangente (mais la réciproque est fausse) donc tan( a b)? SI Arctan( α ) Arctan(4) Arctan(5) ALORS α Reste à savoir s il est possible d avoir Arctan( α ) Arctan(4) Arctan(5) et on sait que, d une part 4 > Arctan(4) > et d autre part 5 > Arctan(5) >, si bien que, en additionnant, 4 4 membre à membre, on obtient : Arctan(4) Arctan(5) >. Comme un résultat d Arctan() est toujours dans ] ; [ on est sûr que jamais on n aura Arctan( α ) Arctan(4) Arctan(5)!!! Page 8

7 b. A-t-on Arctan( ) Arctan( ) Arctan( )? Les deu nombres n ont pas la même tangente : on trouve 3 8 dans un cas 3 dans 8 l autre... donc ces nombres sont différents. c. A-t-on Arctan( ) Arctan( ) Arctan( )? Les deu nombres ont la même tangente : 3 8 égau car l un est supérieur à et l autre est inférieur à. d. A-t-on Arctan( ) Arctan( ) Arctan( )? dans les deu cas. Pourtant ils ne sont pas Les deu nombres ont la même tangente : 3 dans les deu cas. Ils sont tous les deu 8 3 entre et or, dans cet intervalle, la fonction tangente est bijective donc ils sont égau Arctan( ) Arctan( ) Arctan( ) C. Trigonométrie hyperbolique C-I. «Rappel» sur les équations d hyperboles Outil «translation» : Si pour tout on a En seconde, on apprend à représenter (point par point) la fonction g( ) f ( a) b h : puis, en seconde toujours, on apprend à utiliser le tau alors, dans le repère d accroissement d une fonction et les translations de courbes : c est ( O, i, j ) la représentation l application de l outil «translation» vu en seconde. de g se déduit de celle de En première, on apprend à utiliser les fonctions dérivées et les f par la translation de vecteur changements de repère pour en arriver à la représentation de toutes les ai b j a b fonctions «homographiques» c est à dire telles que h :. Les c d représentations de ces fonctions sont appelées des hyperboles : les aes du repère sont des parallèles au asymptotes. En terminale, on apprend ce qu est une équation cartésienne de courbe et en particulier on y y apprend à représenter les courbes d équation et Ces courbes sont a b b a encore des hyperboles mais les aes du repère sont les aes de symétrie. y Eemple : On veut représenter la courbe d équation On observe que ne peut pas être nul (la courbe ne coupe pas l ae des ordonnées). On observe que si y 0 alors ± 3 (la courbe passe par (3 ;0) et (-3 ;0)) Page 9

8 y 3. On observe que l égalité 4. fait que, si 9 y 4, alors Les deu asymptotes 9 obliques (dont l eistence est admise) ont pour équation y et y On trace la courbe «à main levée» : C-II. Décomposition en partie paire et partie impaire f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Si f est une fonction définie dans R, en posant p( ) et i( ) on obtient deu fonctions, elles aussi définies dans R, l une paire et l autre impaire vérifiant la relation p( ) i( ) f ( ). On dit que p et i sont respectivement la partie paire et la partie impaire de f. Remarque : Lorsque f ( ) est un polynôme, il est très simple de voir ce que sont p( ) et i( ) Par eemple, que valent p( ) et i( ) lorsque C-III. 4 3 f ( ) 5 8 3? L eponentielle : cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique Par définition, la partie paire et la partie impaire de l eponentielle sont telles que : e e e e p( ) et i( ) On les appelle cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, et on les note ch( ) et sh( ) : e e e ch( ) et sh( ) e Mais pourquoi dit-on «hyperbolique»? Parce que si on place les points de coordonnées X et Y tels que X ch( ) et X Y Y sh( ) on a alors et cette dernière équation est une équation d hyperbole. On pose aussi sh( ) e e th( ) ch( ) e e asymptote y hyperbole : points tels que M(ch(),sh()) C-IV. Etude de ch() e ch( ) e asymptote y - Définie dans R, paire par définition. e e Dérivée : ch ( ) sh( ) étude de signe élémentaire limites aussi. Tableau de variation : 0 Page 0

9 --- 0 ch ( ) ch Représentation graphique : min Courbe ych() min C-V. Etude de sh() sh( ) Définie dans R, impaire par définition. e e Dérivée : sh ( ) ch( ) étude de signe élémentaire limites aussi. Tableau de variation : e e 0 sh ( ) sh Représentation graphique Courbe ysh() Centre symétrie de Tangente y Page

10 C-VI. Etude de th() sh( ) e e th( ) ch( ) e e Définie dans R, impaire par définition. sh( ) Dérivée : th ( ) th ( ) étude de signe élémentaire limites aussi. ch( ) ch ( ) Tableau de variation : 0 th ( ) sh - Représentation graphique : Centre de symétrie Tangente y Asymptote y Courbe yth() Asymptote y - Centre de symétrie D. Réciproques en trigonométrie hyperbolique D-I. Etude de Argch() Pour pouvoir appliquer le théorème de la bijection, on réduit l ensemble de départ de ch () à R et l intervalle d arrivée devient [; [. La réciproque est nommée Argch ou parfois Argch :[; [ R ch. On démontre «sans peine» que sa dérivée est telle que Argch ( ) Page

11 D-II. Etude de Argsh() Le théorème de la bijection s applique sans réduire l ensemble de départ l intervalle de départ comme celui d arrivée est donc R. La réciproque est nommée Argsh ou parfois Argsh : R R sh. On démontre «sans peine» que sa dérivée est telle que : Argsh ( ) D-III. Etude de Argth() A vous de faire. Vous devez obtenir : d une part : Argth :[ ; ] ] ; [ et d autre part : Argth ( ) ych() ysh() yargsh() yargch() yth() yargth() Centre de symétrie Page 3

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