Etude des fonctions trigonométriques

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1 Chapitre Dans ce chapitre, nous continuons le travail sur les fonctions usuelles en introduisant les fonctions trigonométriques. Si celles sont définies à partir de la géométrie euclidienne, elles permettent de nombreuses applications à l analyse en raison de leurs différentes propriétés opératoires. Etude d une fonction périodique Les fonctions circulaires et leur représentation graphique. Présentation du cercle trigonométrique et premières propriétés Etude des fonctions circulaires Formules de changement de variable Les fonctions circulaires réciproques 6 3. La fonction Arccos La fonction Arcsin La fonction Arctan Représentation d une fonction mathématique 5 Etude de la trajectoire d un point mobile : la cylcoïde Liste non exhaustive des capacités attendues Etudier une fonction périodique Connaître la définition des fonctions circulaires et les représenter Transformer des expressions à l aide du formulaire trigonométrique Justifier l existence des fonctions circulaires réciproques et connaître leurs propriétés (...)

2 Chapitre Etude d une fonction périodique Définition Soit f une fonction définie sur D inclus dans R. n dit que f est périodique de période T si : x D, x + T D x D, f(x + T ) = f(x) n dit aussi que f est T -périodique. Représentation Pour une telle fonction, on peut observer que la courbe représentative associée se répète par translation de vecteur T i. Ainsi, pour étudier une fonction périodique, il suffira de se restreindre à un intervalle d amplitude T et de compléter la courbe par une simple translation. Les fonctions circulaires et leur représentation graphique. Présentation du cercle trigonométrique et premières propriétés Définition Dans un plan muni d un repère orthonormé direct, on considère le cercle trigonométrique et on note M un point du cercle tel que l angle de vecteurs ( i, M) = x : n appelle alors fonction cosinus la fonction notée cos définie sur R par cos(x) = x M. n appelle alors fonction sinus la fonction notée sin définie sur R par sin(x) = y M. n définit la fonction tangente sur R + k, k Z} par tan(x) = sin(x) cos(x) = y P. Propriété (formulaire trigonométrique). Sous réserve d existence, on retrouve à partir du cercle trigonométrique les relations suivantes : (i) cos (x) + sin (x) = les relations immédiates (ii) cos( x) = cos(x), sin( x) = sin(x), cos(x + ) = cos(x), sin(x + ) = sin(x), cos( x) = sin(x), sin( x) = cos(x)... les formules d addition (i) cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b), cos(a b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b), (ii) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a), sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) (iii) tan(a + b) = tan(a) + tan(b) tan(a) tan(b), tan(a b) = tan(a) tan(b) + tan(a) tan(b) (iv) En particulier, cos(x) = cos (x) sin (x) = cos (x) = sin (x) et sin(x) = sin(x) cos(x) (i) cos(a) = cos(b) a = b [] ou a = b [] (ii) sin(a) = sin(b) a = b [] ou a = b [] (iii) tan(a) = tan(b) a = b [] les équations trigonométriques Si les premières relations sont immédiates, on prendra soin de justifier les deux formules d addition cos(a + b) et sin(a + b) avant d en déduire les autres.

3 Chapitre Propriété (autres transformations algébriques). Sous réserve d existence, on a aussi les transformations suivantes : (i) cos(a) cos(b) = (cos(a b) + cos(a + b)) (ii) sin(a) sin(b) = (cos(a b) cos(a + b)) (iii) sin(a) cos(b) = (sin(a b) + sin(a + b)) (iv) En particulier, cos (x) = +cos(x) et sin (x) = cos(x) (i) cos(p) + cos(q) = cos( p+q p q ) cos( ) (ii) cos(p) cos(q) = sin( p+q p q ) sin( ) (iii) sin(p) + sin(q) = sin( p+q p q ) cos( ) (iv) sin(p) sin(q) = cos( p+q p q ) sin( ) les linéarisations de produit en somme les factorisations de somme en produit Les premières formules découlent du formulaire trigonométrique. Pour les suivantes, on essaiera de reconnaître des opérations en cos(a + b) et sin(a + b)... Propriété 3 (limite de référence). n a : sin(x) lim = x 0 x Encore une fois, on cherche à obtenir un encadrement en utilisant des considérations géométriques sur les aires.. Etude des fonctions circulaires Propriété 4 (étude de la fonction cos). La fonction cos est continue et dérivable sur R telle que pour tout x R, cos (x) = sin(x). De plus, elle est paire et -périodique de sorte que sur [0, ] : Ü Ó Üµ ½ et par -périodicité et parité, ½ En particulier, on rappelle : x 0 cos(x) Propriété 5 (étude de la fonction sin). La fonction sin est continue et dérivable sur R telle que pour tout x R, sin (x) = cos(x). De plus, elle est impaire et -périodique de sorte que sur [0, ] : Ü Ò Üµ ¾ ½ et par -périodicité et imparité, En particulier, on rappelle : x 0 sin(x)

4 Chapitre Pour étudier une fonction trigonométrique, on appliquera le même plan d étude que pour les autres fonctions usuelles. n oubliera pas de commencer par réduire le domaine d étude par périodicité et parité. Néanmoins, on Exemple Etudier la fonction f : x cos(x) + sin (x). Propriété 6 (étude de la fonction tan). La fonction tan est continue et dérivable sur R + k, k Z} telle que pour tout x R tan (x) = cos (x) = + tan (x). De plus, elle est impaire et -périodique de sorte que sur [0, [ : + k, k Z}, Ü Ø Ò Üµ ¾ ½ et par -périodicité et imparité, En particulier, on rappelle : x 0 tan(x) Pour cette dernière fonction, cela revient à étudier le quotient de deux fonctions connues. Exemple Etudier la fonction cotan définie par cotan(x) = cos(x) sin(x) = tan(x). Propriété 7 (formes indéterminées en 0). n pourra alors retenir : (i) cos(x) sin(x) tan(x) lim = 0 (ii) lim = (iv) lim = x 0 x x 0 x x 0 x.3 Formules de changement de variable Propriété 8 (les fonctions circulaires en fonction de la tangente du demi-angle). Sous réserve d existence et en posant t = tan( x ), on a : (i) cos(x) = t + t (ii) sin(x) = t + t (iii) tan(x) = t t Il suffit d exploiter les formules de transformations algébriques. Théorème 9 (paramétrisation du cercle trigonométrique). Soient x, y R, alors : x + y = il existe un unique θ [0, [ tel que x = cos(θ) et y = sin(θ). Ce résultat découle immédiatement de la définition des fonctions cos et sin comme abscisse et ordonnée des points du cercle. Cette dernière propriété nous permet en outre de transformer les résultats obtenus en physique : on parle de la transformation de Fresnel. Exemple 3 Soient ω R +, A, B R. Montrer qu il existe (C, φ) R tel que : t R, A sin(ωt) + B cos(ωt) = C sin(ωt + φ) 4

5 Chapitre Représentation d une fonction mathématique Pour représenter une fonction mathématique, on fera appel à la librairie pylab intégrée à Pyzo. Ce module présente l avantage de comporter toutes les fonctions mathématiques, ainsi que différentes commandes permettant l affichage de courbes représentatives. Le principe est le même qu en mathématiques, c est à dire que le logiciel représente des points donnés par des tableaux de valeurs. Par exemple, pour représenter la fonction sin, on fera appel aux fonctions plot et linspace qui détermine un nombre de points donnés dans un intervalle [a, b]. Par contre, à l importation on ajoutera un raccourci au nom de la bibliothèque pour alléger le code : import pylab as pl def representation(n): X=pl.linspace(-pl.pi,pl.pi,n) Y=[pl.sin(x) for x in X] pl.plot(x,y) pl.show() et ainsi, on obtient par un simple appel la courbe souhaitée sur [, ] : In : representation(00) Pour alléger notre programme, et s il n y a pas de risque de confusion, on peut importer le module sans être obligé de rappeler son nom à chaque fonction utilisée. De plus, les fonctions définies dans pylab permettent l évaluation d un tableau en entier, c est à dire que concrètement on peut écrire : from pylab import * def representation(n): X=linspace(-pi,pi,n) Y=sin(X) plot(x,y) show() Bien entendu, les options sont multiples, que ce soit dans la façon de représenter les points donnés, dans le choix des couleurs, l affichage d un titre ou d une légende et on n hésitera pas à regarder l aide avec la commande help. Par exemple, on peut représenter les fonctions trigonométriques dans une même fenêtre et ajuster celle-ci grâce à la commande axis : def trigo(n): X=linspace(-pi,pi,n) U=sin(X); V=cos(X); W=tan(X) plot(x,u, b,label= sin ) plot(x,v, r,label= cos ) plot(x,w, g,label= tan ) axis([-5,5,-3,3]) legend() show() Malheureusement, on pourra constater que l interpréteur ne fait que relier les points qui ont été déterminés. Il faudra donc se méfier des fonctions qui ne sont pas continues : 5

6 Chapitre In : trigo(00) 3 s in cos ta n Application 4 - Etude de la trajectoire d un point mobile : la cycloïde En physique, il n est pas rare de paramétrer la position d un point en fonction du temps, d un angle... Ainsi dans un plan muni d un repère, un tel point aura pour coordonnées (x(t), y(t)) où x, y sont deux fonctions réelles. Par exemple, si on imagine un point fixé sur un cercle de rayon qui roule le long d une ligne, on peut montrer que ses coordonnées, en fonction de l angle t vérifient : n restreindra l étude à l intervalle I = [0, ]. x(t) = t sin(t) et y(t) = cos(t). Etudier x et y, les fonctions composantes associées au point mobile, sur l intervalle I.. Dans le langage Python, définir les fonctions x et y, puis construire la fonction trajectoire qui pour des réels a, b donnés représente la trajectoire du point en fonction du paramètre t [a, b]. Ces trajectoires dépendant du seul paramètre t sont appelées des arcs paramétrés et leur étude sera approfondie l an prochain. 3 Les fonctions circulaires réciproques 3. La fonction Arccos Propriété 0 (existence de la fonction Arccos). La fonction cos réalise une bijection de [0, ] sur [, ] et admet ainsi une bijection réciproque notée Arccos définie sur [, ] telle que: y = cos(x) Arccos(y) = x x [0, ] y [, ] De plus, (i) Arccos est dérivable sur ], [ et pour tout x ], [, Arccos (x) =. x (ii) Arccos( ) =, Arccos() = 0 de sorte que : n utilise encore les mêmes propriétés sur les bijections et leur fonction réciproque... 6

7 Chapitre Remarque n fera attention aux intervalles sur lesquels ces fonctions désignent des bijections réciproques, ainsi : x [, ], cos Arccos(x) = x et x [0, ], Arccos cos(x) = x En fait, Arccos nous donne l angle associé situé dans l intervalle [0, ]. Propriété (composées remarquables). Pour tout x [, ], (i) cos Arccos(x) = x (ii) sin Arccos(x) = x x (iii) et avec x 0, tan Arccos(x) = x Si la première égalité est évidente, les autres font intervenir les formules trigonométriques courantes. 3. La fonction Arcsin Propriété (existence de la fonction Arcsin). La fonction sin réalise une bijection de [, ] sur [, ] et admet ainsi une bijection réciproque notée Arcsin définie sur [, ] telle que: y = sin(x) x [, ] De plus, Arcsin(y) = x y [, ] (i) Arcsin est dérivable sur ], [ et pour tout x ], [, Arcsin (x) = x. (ii) Arcsin( ) =, Arcsin() = de sorte que : n utilise encore les mêmes propriétés sur les bijections et leur fonction réciproque... Remarque n fera attention aux intervalles sur lesquels ces fonctions désignent des bijections réciproques, ainsi : x [, ], sin Arcsin(x) = x et x [, ], Arcsin sin(x) = x En fait, Arcsin nous donne l angle associé situé dans l intervalle [, ]. Propriété 3 (composées remarquables). Pour tout x [, ], (i) cos Arcsin(x) = x (ii) sin Arcsin(x) = x (iii) et avec x ±, tan Arcsin(x) = x x Propriété 4 (relations fondamentales). Pour tout x [, ], Arccos(x) + Arcsin(x) = n montre que la fonction x Arccos(x) + Arcsin(x) est constante sur l intervalle ], [. 7

8 Chapitre 3.3 La fonction Arctan Propriété 5 (existence de la fonction Arctan). La fonction tan réalise une bijection de ], [ sur R et admet ainsi une bijection réciproque notée Arctan définie sur R telle que: De plus, y = tan(x) x ], [ (i) Arctan est dérivable sur R et pour tout x R, Arctan (x) = Arctan(y) = x y R + x. (ii) lim x Arctan(x) =, lim x + Arctan(x) = de sorte que : n utilise encore les mêmes propriétés sur les bijections et leur fonction réciproque... Remarque n fera attention aux intervalles sur lesquels ces fonctions désignent des bijections réciproques, ainsi : x R, tan Arctan(x) = x et x ], [, Arctan tan(x) = x En fait, Arctan nous donne l angle associé situé dans l intervalle ], [. Propriété 6 (composées remarquables). Pour tout x R, (i) cos Arctan(x) = + x (ii) sin Arctan(x) = x + x (iii) tan Arctan(x) = x Propriété 7 (relations fondamentales). Pour tout x R, Arctan(x) + Arctan( x ) = si x > 0 si x < 0 n montre que la fonction x Arctan(x) + Arctan( x ) est constante sur R et sur R +. sin(x) Exemple 4 Etudier, puis représenter la fonction: x Arctan( +sin(x) ). 8