Tests d hypothèses restreintes

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1 Tests d hypothèses restreintes Céline Delmas & Jean-Louis Foulley Station de Génétique Quantitative et Appliquée I.N.R.A., Domaine de Vilvert 7835 Jouy-en-Josas Cedex {delmas,foulley}@dga.jouy.inra.fr Résumé: Nous donnons la loi asymptotique, sous l hypothèse nulle et sous l alternative, de statistiques de tests basées sur la vraisemblance, quand l espace paramétrique est restreint par un cône sphérique ou par le cône C = {t = (t 1,, t p ) T R p ; t 1,, t p }. Les résultats obtenus permettent le calcul du niveau et de la puissance de ces tests restreints. Notre étude n est pas limitée au cas d observations iid. Des calculs numériques montrent que le test du rapport de vraisemblance restreint par un cône C 1 C est uniformément plus puissant que le test du rapport de vraisemblance restreint par le cône C sur toutes les alternatives qui appartiennent à C 1. En particulier, un test restreint est uniformément plus puissant qu un test non restreint sur toutes les alternatives qui appartiennent à l espace restreint. Mots-clés: Cone, Hypothèses restreintes, Méthode de Rice, Test de score, Test du rapport de vraisemblance Abstract: We give the asymptotic distribution function, under the null and the alternative hypothesis, of statistics based on the likelihood, when the parameter space is restricted by a spherical cone or by the polyhedral cone C = {t = (t 1,, t p ) T R p ; t 1,, t p }. The results obtained ensure the calculation of threshold and power of such restricted tests. Our study is not limited to iid observations. Numerical calculations show that the likelihood ratio test restricted by a cone C 1 C is uniformly more powerful than the likelihood ratio test restricted by C on all the alternatives that belong to C 1. Particularly, a restricted test is uniformly more powerful than a non-restricted one on all the restricted alternatives. Key words: Cone, Likelihood ratio test, Projection, Restricted Hypothesis, Rice method, Score test 1 Introduction Supposons qu une maladie soit caractérisée par une sur-expression de p gènes spécifiques dans un extrait biologique d un patient. Notons Y l expression simultanée des p gènes. 1

2 Supposons que Y suit une N (µ; Σ) sur les sujets sains et une N (µ + m; Σ) avec m = (m 1,, m p ) T et m 1,, m p sur les sujets malades. Notons X = Y µ. Un patient se fait tester pour la maladie. Nous devons tester, à partir de l unique observation de X, H, X suit une N (; Σ), contre H 1, X suit une N (m; Σ), avec m et m C Ω = {m R p ; m 1,, m p }. C Ω est un cône de R p de sommet. Nous rappelons qu un cône C Ω de sommet θ dans R p satisfait: C Ω = {x R p / si x C Ω alors a(x θ ) + θ C Ω a R + }. On note P C (Z) la projection de Z sur le cône C. La statistique de test du rapport des vraisemblances, [ln(exp( 1(X ˆm)T Σ 1 (X ˆm))) ln(exp( 1 XT Σ 1 X))] avec ˆm l estimateur du maximum de vraisemblance de m sous H 1, est: S = P Σ 1/ C Ω (Σ 1/ X). Sous H, S suit une loi P Σ 1/ C Ω (Z) où Z est N (, Id). Sous H 1, S suit une loi P Σ 1/ C Ω (Z + Σ 1/ m)). De manière plus générale on peut montrer que, dans le cas d une hypothèse nulle simple, les lois asymptotiques des statistiques de test de rapport de vraisemblance se réduisent à P C (Z + λ) où C est un cône (cf Weiss (1971, 1973), Self et Liang (1987), Delmas et Foulley (article soumis)). La loi de P C (Z) peut être trouvée, quand C est un cône convexe de R p et Z N (, Id), dans Pincus (1975), Lin et Lindsay (1997) ou Takemura et Kuriki (1997). Des résultats, quand C est un cône sphérique nonconvexe, sont obtenus dans Delmas (3). La loi de P C (Z + λ) qui donne la puissance du test est inconnue. Dans la section, nous donnons l expression de la fonction de répartition de P C (Z + λ) quand C est un cône sphérique ou bien quand C = {t = (t 1,, t p ) T R p ; t 1,, t p }. Dans la section 3, des calculs numériques montrent que le test du rapport des vraisemblances restreint par un cône C 1 C est uniformément plus puissant que le test du rapport des vraisemblances restreint par C pour toutes les alternatives qui appartiennent à C 1. Résultats Soit C un cône sphérique de R de sommet caractérisé par l angle T [, π]. Théorème 1 Notons Z = (Z 1, Z ) T une variable aléatoire N (m, Id), m = (m 1, m ) T, m(t) = m 1 cos(t) + m sin(t), m (t) = m cos(t) m 1 sin(t), ϕ et Φ sont respectivement la densité et la fonction de répartition d une gaussienne standard, Φ = 1 Φ. Alors, pour v > : P [ Z v] = π ϕ(m (t))[ϕ(v m(t)) + m(t) Φ(v m(t))]dt. (1)

3 Quand T π (C est un cône convexe), pour u > : P [ P C (Z) u] = Φ(u m 1 ) + Quand T [π; π[ (C est un cône non-convexe), pour u > : ϕ(u m(t))[m (t)φ(m (t)) + ϕ(m (t))]dt. () P [ P C (Z) u] = Φ(u m 1 ) + ϕ(u m(t))[m (t)φ(m (t)) + ϕ(m (t))]dt (3) ( ) ( ) u(1 cos(t)) + sin(t)m (t) u(1 cos(t)) + sin(t)m ϕ(u m(t))[ϕ + m (t) (t)φ ]dt. π sin(t) sin(t) Remarque : Quand m =, nous avons, quand T π: et quand T [π; π[, P [ P C (Z) u] = 1 P [χ (1) u ] + T π P [χ () u ] P [ P C (Z) u] = 1 P [χ (1) u ] + T π P [χ () u ] π exp[ u (1 cos(t)) sin(t) ] π dt. Soit C un cône de R N+1 de sommet caractérisé par l angle t = (t 1,, t N ) avec t S [, π] [, π] N 1. Notons β(t) = (β 1 (t),, β N+1 (t)) T avec: β 1 (t) = sin(t N ) sin(t N 1 ) sin(t ) cos(t 1 ) β (t) = sin(t N ) sin(t N 1 ) sin(t ) sin(t 1 ) β 3 (t) = sin(t N ) sin(t N 1 ) cos(t ) Notons:. β N+1 (t) = cos(t N ). v 1 = sin (t N ) sin (t N 1 ) sin (t ) v = sin (t N ) sin (t N 1 ) sin (t 3 ). v N 1 = sin (t N ) v N = 1 Notons Z = (Z 1,, Z N+1 ) T une variable aléatoire N (m; Id), m = (m 1,, m N+1 ) T, m(t) = N+1 i=1 βi (t)m i, m j(t) = N+1 β i (t) i=1 m t j i. 3

4 Théorème Soit C le cône caractérisé par t S = [, π ]N ou par β(t) [; + [ N+1. Alors, avec p < k 1 < < k j, et en notant S p,k1,,k j = {t S : t k, pour k = 1 à p 1, fixés à une valeur arbitraire, t p =, t k 1 = t k = = t k j = π }, nous avons pour u > : P [ P C (Z) u] = p= N p j= k 1,, k j = 1 p < k 1 < < k j S p,k1,,k j dt N i = p + 1 i k 1, i k j vi + u dx xn p j exp[ (x m(t)) ] ( π) N p j+1 exp[ 1 i = p + 1 i k 1, i k j m i (t) v i ] (4) exp[ 1 p i=1 dz 1 dz (z i λ i ) ] p p π où λ = (m, m 1, m 3, m 4,, m N+1 ). Remark : Quand m = nous avons: + dy k1 + j i=1 (y ki m k i (t)) v ki ] exp[ 1 dy kj j π j, i=1 vki P [ P C (Z) u] = k= C k N+1 N+1 P [χ (N + 1 k) u ]. Nous renvoyons à Delmas et Foulley (article soumis) pour les preuves et les résultats pour un cône sphérique de R N+1 avec N > 1. 3 Calculs numériques L objectif de ces calculs numériques est de comparer la puissance de différents tests de rapport de vraisemblance restreints. Nous considérons les tests de rapport de vraisemblance restreint et non-restreint dont les lois asymptotiques sont respectivement P C (Z) et Z. Z est N (, Id) sous l hypothèse nulle et N (m, Id) sous l alternative. C est un cône sphérique. Nous considérons le cas où Z R. Alors m = (m 1, m ) T. C est le cône sphérique de R caractérisé par l angle T [; π]. Le seuil à 5% du test non-retreint est ln.5 =.448. Il a été obtenu par (1) avec m =. Les seuils à 5% des tests restreints, pour différentes valeurs de T, ont été obtenus par dichotomie à partir de () et (3) avec m =. Ils sont donnés dans la Table 1. 4

5 π π 3π 5π 3π 7π T π π Threshold Table 1 : Seuil asymptotique à 5% du test de rapport de vraisemblances restreint par le cône sphérique de R caractérisé par l angle T [; π]. La puissance asymptotique à 5% a été obtenue à partir de (1) pour le test non-retreint et par () et (3) pour les tests restreints. Les résultats, pour différentes valeurs de m 1 et m et pour T = π 4 ; π, 3π et π, sont donnés dans la Table. Nous obtenons les mêmes résultats pour le test non-restreint et le test restreint avec T = π. Nous ne donnons donc pas les résultats pour le cas non-restreint. m 1 = 1 m 1 = 1 m 1 = m = T = π/4 m = m = m = T = π/ m = m = m = T = 3π/ m = m = m = T = π m = m = Table : Puissance asymptotique à 5% pour le test du rapport de vraisemblance restreint par le cône sphérique de R caractérisé par l angle T [; π]. Pour les cônes C 1 et C caractérisés par les angles T 1 et T avec T 1 < T, nous remarquons que le test du rapport de vraisemblance restreint par C 1 est uniformément plus puissant que celui restreint par C pour toutes les alternatives qui appartiennent à C 1. Plus un test est restreint, plus grande est sa puissance. En particulier, nous remarquons qu un test restreint est uniformément plus puissant qu un test non-restreint pour toutes les alternatives qui appartiennent à l espace restreint. Bibliographie [1] Azaïs, J. M. et Delmas, C. () Asymptotic expansions for the distribution of the maximum of Gaussian random fields. Extremes,, [] Delmas, C. (3) Projections on spherical cones, maximum of Gaussian fields and Rice s method. Statistics & Probability Letters, 64, [3] Delmas, C. et Foulley, J. L. On testing restricted hypothesis. Article soumis. [3] Lin, Y. et Lindsay, B.G. (1997) Projections on cones, chi-bar squared distributions, and Weyl s formula, Statistics & Probability Letters, 3,

6 [4] Pincus, R. (1975) Testing linear hypotheses under restricted alternatives, Math. Oper. Statist., 6, [5] Self, S.G. et Liang, K.Y. (1987) Asymptotic properties of maximum likelihood estimators and likelihood ratio tests under nonstandard conditions, J. Amer. Statist. Assoc., 8, 398, [6] Takemura, A. et Kuriki, S. (1997) Weights of χ distribution for smooth or piecewise smooth cone alternatives, The Annals of Statistics, 5, 6, [7] Weiss, L. (1971, 1973) Asymptotic Properties of Maximum Likelihood Estimators in Some Nonstandard Cases. Journal of the American Statistical Association, 66, 68; 334, 34; Theory and Methods Section; ;