MATHEMATIQUES FINANCIERES

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1 MATHEMATIQUES FINANCIERES V 3.3 Marc MENOU Décembre 2008

2 TABLE DES MATIERES TABLE DES MATIERES 2 1 INTRODUCTION 7 2 DEFINITIONS CONCERNANT LE TEMPS CONCERNANT L INTERET 11 3 SOMME UNIQUE NOTATIONS : CAS DES INTERETS SIMPLES INTERET : VALEUR FINALE : TAUX D'INTERET I : DUREE N : TAUX MOYEN D UNE SERIE DE PLACEMENTS EFFECTUES SIMULTANEMENT : TAUX EFFECTIF POUR DES INTERETS PRECOMPTES : TAUX PROPORTIONNELS : ESCOMPTE EN DEDANS (OU CIVIL OU RATIONNEL) : ESCOMPTE EN DEHORS (OU ESCOMPTE COMMERCIAL) : ESCOMPTE DES EFFETS DE COMMERCE : 24 M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 2

3 TAUX REEL DE L ESCOMPTE : TAUX EFFECTIF DE L ESCOMPTE : EQUIVALENCE D EFFETS : ECHEANCE MOYENNE : TENUE D UN COMPTE COURANT ET D INTERETS : CAS DES INTERETS COMPOSES VALEUR FINALE OU ACQUISE : INTERET TAUX D'INTERET : DUREE : VALEUR INITIALE : VALEUR FINALE POUR DES DUREES NON ENTIERES : TAUX PERIODIQUES : TAUX EQUIVALENTS : TAUX NOMINAL : TAUX ACTUARIEL : EQUIVALENCE DE CAPITAUX : 46 4 LES RENTES GENERALITES DEFINITION TYPOLOGIE NOTATIONS RENTE DE BASE 51 M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 3

4 4.2.1 VALEUR FINALE D'UNE RENTE TEMPORAIRE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO VALEUR ACTUELLE D'UNE RENTE TEMPORAIRE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO ANNUITE D'UNE RENTE TEMPORAIRE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO NOMBRE DE TERMES D'UNE RENTE TEMPORAIRE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO TAUX D INTERET D'UNE RENTE TEMPORAIRE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO VALEUR D UNE RENTE TEMPORAIRE ANTICIPEE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO VALEUR D UNE RENTE TEMPORAIRE DIFFEREE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO TAUX ACTUARIEL AUTRES TYPES DE RENTE RENTE TEMPORAIRE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES PRAENUMERANDO RENTE TEMPORAIRE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET FRACTIONNES PAYABLES POSTNUMERANDO RENTE PERPETUELLE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO RENTE PERPETUELLE DIFFEREE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO RENTE PERPETUELLE ANTICIPEE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES POSTNUMERANDO 64 M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 4

5 RENTE PERPETUELLE IMMEDIATE A TERMES CONSTANTS ET ENTIERS PAYABLES PRAENUMERANDO 65 5 LES EMPRUNTS 66 GENERALITES EMPRUNT INDIVIS NOTATIONS : CAS GENERAL RELATIONS : TABLEAU : CAS PARTICULIERS EMPRUNT A RENTE PERPETUELLE Graphe : Relations : Tableau : EMPRUNT REMBOURSABLE A ECHEANCE FIXE Graphe : Relations : Tableau : EMPRUNT A AMORTISSEMENT CONSTANT Graphe : Relations : Tableau : EMPRUNT A ANNUITES CONSTANTES Graphe : 78 M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 5

6 Relations : Tableau : 79 TAUX ANNUEL EFFECTIF GLOBAL D UN EMPRUNT 82 BIBLIOGRAPHIE 83 M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 6

7 1 INTRODUCTION Le temps est une des variables économiques fondamentales puisque notre Univers, né du Big-Bang, est spatio-temporel. Or, la prise en compte de la valeur du temps s'est heurtée à des positions de principe hostiles, notamment de la part de l église catholique. C est une des raisons principale du schisme protestant. (Max WEBER : De l éthique protestante du capitalisme) Ceci explique, pour une grande part, l'ignorance en matière de mathématiques financières. Or, les mathématiques financières intéressent tout un chacun que ce soit à titre individuel ou à titre social dans le cadre de l entreprise ou de l Etat. Qui n est pas concerné, par exemple, par le simple livret de caisse d épargne, par l achat à crédit d un véhicule ou l investissement dans un logement? Pour une entreprise, il ne saurait y avoir de décisions efficaces, en matière de gestion, qui ne tiennent compte de la valeur du temps. M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 7

8 L économie met en évidence la dimension inter-temporelle du choix lorsqu elle définit l épargne comme une consommation différée. Un euro aujourd'hui n'est pas équivalent à un euro demain. La valeur qu'il faut ajouter à un euro demain pour qu'un individu préfère demain à aujourd'hui, c'est l'intérêt. Le taux d'intérêt indique la valeur du temps. Les mathématiques financières évaluent la valeur d'une ou de plusieurs sommes monétaires à un moment quelconque du temps. Les mathématiques financières, faisant intervenir des calculs comprenant des puissances et des extractions de racines, nécessitent l usage de calculettes. A défaut, des tables financières sont éditées. Il est bon de revoir les notions de : puissance, logarithme, exponentielle, suite, suite arithmétique, suite géométrique, limite d une suite, interpolation linéaire et résolution d équation par approximation. M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 8

9 Pour la résolution des exercices, il est conseillé : De faire un tableau des variables (hypothèses et conclusion) avec les valeurs connues. De faire un schéma comportant sur un axe temporel la position des diverses sommes aux différentes dates. De résoudre les exercices sous forme symbolique, l application numérique n intervenant qu à la fin. M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 9

10 2 DEFINITIONS 2.1 Concernant le temps L'année commerciale se distingue de l'année civile. Alors que l'année civile comprend 365 jours et des mois de longueur différente, pour des raisons de simplification de calcul, l'année commerciale compte 12 mois de 30 jours, soit 360 jours seulement. Toutefois, si une durée est exprimée par des dates précises, le nombre exact de jours doit être pris en compte. Dans la gestion des comptes par les établissements financiers les dates à retenir sont les dates dites de valeur et non les dates d opérations. Le temps a un sens. La flèche du temps est exprimée par le sens de l'entropie croissante. Les calculs qui vont dans le sens du temps sont dits de capitalisations, les calculs qui remontent le temps sont des actualisations. M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 10

11 2.2 Concernant l intérêt L intérêt est le prix du temps. C est la somme d argent qu il faut donner à quelqu un pour lui faire préférer le futur au temps présent. Pour cette valeur-là, soit il renonce à une consommation présente (valeur du sacrifice), soit il avance une consommation future (valeur de l avantage immédiat). L intérêt correspond donc aussi à la valeur de l argent, parfois appelé capital. Dans le cas de prêt, de mise à disposition, sorte de location, l intérêt correspond à un loyer. Les intérêts sont dits créditeurs lorsqu ils correspondent à la rémunération d une épargne et débiteurs lorsqu ils correspondent au coût d un prêt. Taux créditeurs < taux débiteurs Le taux d intérêt, concrètement, est la valeur annuelle de l intérêt pour 100. M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 11

12 L'intérêt simple concerne ce qu'apporte une somme placée pendant une période. Autrement dit, si une somme est placée pendant plusieurs périodes, les intérêts sont prélevés à chaque période. L'intérêt composé correspond au même intérêt, mais les intérêts s'ajoutent de périodes en périodes à la somme initiale et rapportent à leur tour des intérêts. Intérêt simple Intérêt composé Les intérêts sont précomptés, ou praenumerando, s'ils sont versés en début de période. Les intérêts sont postcomptés, ou postnumerando, s'ils sont versés en fin de période. M. MENOU / MATHEMATIQUES FINANCIERES 12