COURBES PARAMÉTRÉES. t + 1. c ex :]0, [ R n, t + Γ ex := c ex (I). c est une courbe paramétrée de classe C 2.

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1 COUBES PAAMÉTÉES 1 Propriétés géométriques des courbes paramétrées Soit n = 2 ou 3 et E n un espace ane associé à l'espace vectoriel n Soit une norme sur n Dénition 11 Une courbe paramétrée est une application dénie et dérivable sur un intervalle de et à valeurs dans E n Si c est une courbe paramétrée alors I c désigne l'ensemble de dénition de c Soit k N Une courbe paramétrée c est de classe C k si elle est de classe C k sur I c Si n = 2 (resp n = 3), l'image c(i) de I par l'application c s'appelle une courbe plane (resp courbe de l'espace) Exemple Soit n = 2, E 2 = 2 et c ex :]0, [ n, t t + 1 t t + 1 2t 2 Γ ex := c ex (I) c est une courbe paramétrée de classe C 2 Dans la suite, c est une courbe paramétrée de classe C k, k 1 et t 0 I c Dénition 12 Le point de paramètre t 0 est dit régulier (resp singulier) si c (t 0 ) 0 (resp c (t 0 ) = 0) La courbe paramétrée c est dite régulière si tous ses points sont réguliers Le point de paramètre t 0 est dit birégulier si c (t 0 ) et c (t 0 ) sont linéairement inépendants dans n La courbe paramétrée c est dite birégulière si tous ses points sont biréguliers Exemple Déterminer les points singuliers de c ex Tangentes Dénition 13 Soit D 0 une droite de E n, X 0 D 0 et {D(t) t I} un ensemble de droites de n passant par X 0 On dit que D(t) tend vers D 0 lorsque t t 0 s'il existe un vecteur directeur u de D 0 et u(t) n un vecteur directeur de D(t) tel que u(t) u lorsque t t 0 Dénition 14 Soit D 0 une droite de E n passant par c(t 0 ) On dit que D 0 est la tangente à c en t 0 si (1) il existe δ > 0 tel que t I c, 0 < t t 0 < δ, on a c(t) c(t 0 ), (2) la droite c(t)c(t 0 ) tend vers D 0 lorsque t t 0 Proposition 11 Si c (t 0 ) 0 alors la droite passant par c(t 0 ) et parallèle à c (t 0 ) est la tangente à c en t 0 1

2 Proposition 12 Soit p N, 1 p k Si c (p) (t 0 ) 0 et c (i) (t 0 ) = 0, i = 1,, p 1 alors la droite passant par c(t 0 ) et de vecteur directeur c (p) (t 0 ) est la tangente à c en t 0 Exemple Pour tout t > 0, déterminer une équation de la tangente à c ex en t > 0 Changements de paramètre Arcs géométriques Dénition 15 Soint I et J deux intervalles de Une application s : J I est un C k -diéomorphisme de J sur I si s est une bijection de J sur I de classe C k et son application réciproque est de classe C k sur I Dénition 16 Deux courbes paramétrées c : I c E n et d : I d E n de classe C k sont dites C k -équivalentes s'il existe un C k -diéomorphisme s de I d sur I c tel que d = c s Dans ce contexte, l'application s s'appelle un changement de paramètre Proposition 13 La relation c et d sont C k -équivalentes est une relation d'équivalence sur l'ensemble des courbes paramétrées de classe C k Dénition 17 Un arc géométrique de classe C k est une classe d'équivalence pour la relation ci-dessus Une courbe paramétrée appartenant à une classe γ s'appelle un représentant de γ Exemple Soit n = 2, c : E 2 de classe C 2 et d : E 2, t c(2t) Soit γ un arc géométrique de classe C k Dénition 18 Soit c et d des représentants γ On dit que deux points (t, c(t)) et (τ, d(τ)) appartenant aux graphes de c et d sont équivalents s'il existe un C k - diéomorphisme s de I d sur I c tel que d = c s et s(τ) = t Proposition 14 La relation (t, c(t)) et (τ, d(τ)) sont équivalents est une relation d'équivalence sur l'ensemble des points du graphe des représentants de l'arc géométrique γ Dénition 19 Un point de l'arc géométrique γ est une classe d'équivalence pour la relation ci-dessus Proposition 15 Soit c et c deux représentants d'un arc géométrique γ Soit m 0 un point de γ de représentant (t 0, c(t 0 )) et (τ 0, c(τ 0 )) Si γ est de classe C 1 alors t 0 est un point régulier de c τ 0 est un point régulier de c Si γ est de classe C 2 et c = c s où s est un changement de paramètre alors t 0 est un point birégulier de c τ 0 est un point birégulier de c 2

3 et c (τ 0 ) = s (τ 0 )c (t 0 ), (1) c (τ 0 ) = s (τ 0 )c (t 0 ) + s (τ 0 ) 2 c (t 0 ) (2) Dénition 110 Un arc géométrique de classe C 1 est dit régulier s'il admet un représentant régulier Un arc géométrique de classe C 2 est dit birégulier s'il admet un représentant birégulier arcs géométriques orientés Dénition 111 Deux courbes paramétrées c : I c E n et d : I d E n de classe C k sont dites positivement équivalentes s'il existe un C k -diéomorphisme croissant s de I d sur I c tel que d = c s Proposition 16 La relation c et d sont positivement équivalentes est une relation d'équivalence sur l'ensemble des courbes paramétrées de classe C k Dénition 112 Un arc géométrique orienté de classe C k est une classe d'équivalence pour la relation ci-dessus Courbes planes n = 2 Forme d'une courbe plane au voisinage d'un point On suppose que c est de classe C sur I Soit p le plus petit entier tel que c (p) (t 0 ) 0 et q le plus petit entier > p tel que c (p) (t 0 ) et c (q) (t 0 ) soient linéairement indépendants Le dévelopement de Taylor-Young à l'ordre q s'écrit c(t 0 + h) = c(t 0 ) + h p c(p) (t 0 ) p! + h p+1 c(p+1) (t 0 ) (p + 1)! + + h q c(q) (t 0 ) q! + o(h q ) Donc, en posant e 1 = c(p) (t 0 ), e p! 2 = c(q) (t 0 ), les coordonnées de c(t q! 0 + h) dans le repère = (c(t 0 ), e 1, e 2 ) sont h c(t 0 + h) = p + o(h p ) h p h q + o(h q ) h q On pose x = h p D'après la Proposition 12, Γ est tangent à e 1 en t 0 De plus, Si p est impair, q est pair alors x c(t 0 + h) x q/p Si p est impair, q est impair alors c(t 0 ) est un point d'inexion et ( ) x c(t 0 + h) sgn(x) x q/p Si p est pair, q est impair alors c(t 0 ) est un point de rebrousement de première espèce, x si h > 0 alors x > 0 et c(t 0 + h) x q/p 3

4 x si h < 0 alors x > 0 et c(t 0 + h) x q/p Si p est pair, ( q est pair ) alors c(t 0 ) est un point de rebrousement de seconde espèce x et c(t 0 + h) x q/p Exemple Déterminer la forme de la courbe Γ ex au voisinage de c(1) Branches innies n = 2 ou 3 Soit t I Dénition 113 On dit que Γ admet une branche innie en t si c(t) lorsque t t Dénition 114 Soit D une droite passant par 0 Si Γ admet une branche innie en t alors D est une direction asymptotique si la droite passant par 0 et c(t) tend vers D lorsque t t Exemple Etudier les branches innies de Γ ex Dénition 115 Supposons que Γ admet une direction asymptotique D lorsque t t Soit D(t) la doite passant par c(t) et parallèle à D Si D(t) s'éloigne à l'inni lorsque t t (c'est à dire X ) alors Γ présente une branche parabolique dans la direction D S'il existe une droite D telle d(c(t), D ) := alors on dit que D est asymptote à le courbe Γ inf X D(t) inf X D c(t) X t t 0 Proposition 17 Soit D : y = ax une direction asymptotique (1) Si c 2 (t) ac 1 (t) lorsque t t alors Γ présente une branche parabolique dans la direction D (2) Si c 2 (t) ac 1 (t) b alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à Γ Exemple Etudier les branches paraboliques et les asymptotes de Γ ex Courbes paramétrées en coordonnées polaires Dénition 116 La courbe paramétrée c est dite dénies en coordonnées polaires si cos θ(t) c(t) = r(t) t I, sin θ(t) où r : I et θ : I Cas Particuliers : Equations polaires : r = f(θ) Par convention, θ = t c'est à dire cos θ c(θ) = f(θ) θ I sin θ cos g(r) De même, θ = g(r) signie c(r) = r sin g(r) 4

5 Exemple La spirale d'équation polaire θ = 2π, r ]0, 1] Déterminer les directions r des tangentes aux points d'intersection avec les axes de coordonnées cartésiennes Courbes de l'espace n = 3 Plan osculateur Dénition 117 Etant donnée D 0 une droite de l'espace et u 3 non parallèle à D 0, soit P 0 le plan passant par D 0 et parallèle à u Soit {P (t) t I} un ensemble de plans de passant par D 0 On dit que P (t) tend vers P 0 lorsque t t 0 s'il existe un vecteur u(t) parallèle à P (t) tel que u(t) u lorsque t t 0 Dénition 118 Supposons que Γ admette une tangente T (t 0 ) en c(t 0 ) Etant donné P 0 un plan passant par T (t 0 ), on dit que P 0 est le plan osculateur à Γ en c(t 0 ) si (1) il existe δ > 0 tel que t I, 0 < t t 0 < δ, on a c(t) T (t 0 ), (2) le plan c(t)t (t 0 ) tend vers P 0 lorsque t t 0 emarque 1 Intuitivement, le plan osculateur à Γ en c(t 0 ) est le plan P 0 tel que c(t) P 0 lorsque t t 0 Théorème 11 Si c(t 0 ) est birégulier alors le plan passant par c(t 0 ) et parallèle à c (t 0 ), c (t 0 ) est le plan osculateur à Γ en c(t 0 ) Exemple Soit c :]0, [ 3, t t t + 1 t t + 1 2t 2 Donner une équation du plan osculateur à c(]0, [) en c(1) Allure au voisinage d'un point On suppose que (c (t 0 ), c (t 0 ), c (t 0 )) est libre Alors c(t 0 + h) = c(t 0 ) + hc (t 0 ) + h 2 c (t 0 ) 2 Donc, dans le repère = (c(t 0 ), c (t 0 ), 1 2 c (t 0 ), 1 6 c (t 0 )), c(t 0 + h) h h 2 h 3 + h 3 c (t 0 ) 6 + o(h 3 ) 2 Propriétés métriques des courbes planes Soit n = 2 Etant donné γ un arc géométrique de classe C 1, on désigne par c : I E 2 un représentant de γ et on suppose que I = [a, b] Dénition 21 La longueur de la courbe paramétrée c est {n 1 } L c = sup c(t i+1 ) c(t i ) ; n N, a = t 0 < t 1 < < t n = b i=0 Proposition 21 L c est constant pour tout représentant c de l'arc γ 5

6 Dénition 22 La longueur de l'arc géométrique γ est L γ = L c Théorème 21 L c = b a c (t) dt Dénition 23 Une fonction S : I est une abscisse curviligne s'il existe t 0 I tel que S(t) = t t 0 c (u) du t I Théorème 22 On suppose que c est une courbe paramétrée régulière Etant donnée S une abscisse curviligne, on pose c = c S 1 Alors c est une courbe paramétrée et c (τ) = 1 τ S(I) Exemple Si S(t) = t a c (u) du, pour tout t I alors S : I [0, L γ ] et c : [0, L γ ] E 2 Celà motive la dénition suivante Dénition 24 Une courbe paramétrée c est dite paramétrée par longueur d'arc si c (τ) = 1 τ I c Si, en outre, c est un représentant de γ alors c est une paramétrisation de γ par longueur d'arc Proposition 22 Deux paramétrisations de γ par longueur d'arc diérent par un changement ane de paramètre de la forme avec ε = 1 et b s(τ) = ετ + b Courbure On suppose que γ est un arc géométrique orienté, régulier et de classe C 2 Soit 2 le plan euclidien orienté positivement Dénition 25 Soit c une courbe paramétrée régulière Pour tout t I c, le repère orthonormé direct d'origine c(t), de premier vecteur e 1 (t) := c (t)/ c (t) et de second vecteur e 2 (t) s'appelle le repère de Frenet associé à la courbe paramétrée c Soit c : J 2 une paramétrisation de γ par longueur d'arc et (c(t), e 1 (t), e 2 (t)) le repère de Frenet associé à c Par dérivation, 1 2 c (t) 2 = 1 2 = c (t) c (t) = 0 Donc c (t) et e 2 (t) sont colinéaires Celà motive la dénition suivante Dénition 26 Soit c une paramétrisation de γ par longueur d'arc Pour tout point m de γ de rerprésentant (t, c(t)), le réel ρ(t) déni par c (t) = ρ(t)e 2 (t) 6

7 s'appelle la courbure de γ au point m Si ρ(t) 0 alors le réel (t) := 1 ρ(t) s'appelle le rayon de courbure de γ au point m Par convention, si ρ(t) = 0 alors (t) = emarque 2 Cette dénition est indépendante du choix d'une paramétrisation de γ par longueur d'arc Exemple Calculer la courbure de la courbe paramétrée c : 2 lorsque 3t cos(at) c(t) = et, pour positif et a, c(t) = 4t sin(at) Proposition 23 Soit γ un arc géométrique orienté, régulier de classe C 2 et c : J E 2 une paramétrisation de γ par longueur d'arc Alors il existe α C 1 (J, ) ( tel 1 que pour tout t J, α(t) est une mesure de l'angle orienté (u 1, c (t)) où u 1 = 0) De plus, et e 1 (t) = ρ(t) = α (t) t J (3) cos α(t), e sin α(t) 2 (t) = sin α(t) cos α(t) emarque 3 D'après (3), la courbure représente la vitesse de variation de la direction de la tangente Plus ρ(t) est grand, plus la courbe plane est courbée au voisinage du point c(t) Théorème 23 (Calcul pratique de la courbure) Soit c : I E 2 une paramétrisation quelconque de l'arc orienté, régulier γ de classe C 2 Alors la courbure de γ au point de représentant (t, c(t)) est ρ(t) = det( c (t), c (t) ) c (t) 3 t I Exemple Soit Γ la courbe représentative dans 2 d'une fonction f : de classe C 2 sur (1) Montrer qu'il existe un unique arc régulier γ ayant pour image Γ (2) Donner une paramétrisation non régulière de Γ (3) Calculer la courbure de γ en chacun de ses points Dénition 27 Soit c une courbe paramétrée birégulière Pour tout t I c, le point du plan p(t) := c(t) + (t)e 2 (t) s'appelle le centre de courbure de c au point de paramètre t Le cercle de centre p(t) et de rayon (t) s'appelle le cercle osculateur ou cercle de courbure de c au point de paramètre t 7

8 Dénition 28 Soit c : I 2, d : J 2 des courbes paramétrées de classe C p, p > 0 On suppose qu'il existe (t 1, t 2 ) I J tel que c(t 1 ) = d(t 2 ) Alors on dit que (1) c et d ont un contact d'ordre m (0 < m < p) au point c(t 1 ) si c (k) (t 1 ) = d (k) (t 2 ) k = 1,, m, c (m+1) (t 1 ) d (m+1) (t 2 ) (2) c et d ont un contact d'ordre au moins m (0 < m p) au point c(t 1 ) si c (k) (t 1 ) = d (k) (t 2 ) k = 1,, m Exemple Une courbe paramétrée et sa tangente ont un contact d'ordre au moins 1 Si le contact est d'ordre au moins 2 alors les repères de Frenet coïncident Si les développements de Taylor de deux courbes paramétrées coïncident en un point jusqu'à l'ordre m alors elles ont un contact d'ordre m Proposition 24 Une courbe paramétrée birégulière et son cercle osculateur ont un contact d'ordre au moins 2 Dénition 29 Sous les hypothèses de la Denition 28, soit γ l'arc géométrique associé à c Alors l'arc géométrique représenté par la courbe paramétrée I c E 2, t p(t) s'appelle la développée de γ Exemple Déterminer et étudier la développée de l'ellipse Γ d'équation x2 a 2 + y2 b 2 = 1 8

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