Le bruit des marchés financiers

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1 Le bruit des marchés financiers Xavier Brokmann Cours Bruits & Signaux - Institut d'optique - mardi 3 janvier 2012

2 Fluctuations de prix le modèle gaussien - Ses propriétés fondamentales - Deux exemples d'application Au-delà du modèle gaussien - Statistiques de prix - Théorème central limite & hasard sauvage Perspectives

3 Un peu d'histoire First commercial telegraph 1837 Silicon transistor 1954 Transatlantic optical fiber Paul Julius Reuters Telegraph Company 1971 First electronic stock market (NASDAQ) Electronic communication networks 2000 Market decimalization Paris-NY... 20ms Echantillonage des données... <1ms Temps d'accés au marché... <5ms

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5 Un peu d'histoire First commercial telegraph 1837 Silicon transistor 1954 Transatlantic optical fiber Paul Julius Reuters Telegraph Company 1971 First electronic stock market (NASDAQ) Electronic communication networks 2000 Market decimalization

6 Un peu d'histoire First commercial telegraph 1837 Silicon transistor 1954 Transatlantic optical fiber 1988 Laplace Théorie Analytique des Probabilités Paul Julius Reuters Telegraph Company Einstein Law of Brownian motion Louis Bachelier Théorie de la spéculation Gnedenko & Kolmogorov Generalized central limit theorem H. Markowitz Portfolio theory 1971 First electronic stock market (NASDAQ) Mandelbrot Fractals Black & Scholes Option pricing theory Electronic communication networks Strogatz Complex networks Market decimalization

7 1905 Albert Einstein Théorie du mouvement brownien Brown (1927) : observation du mouvement spontané de grains de pollen en suspension dans l'eau :

8 1905 Albert Einstein Théorie du mouvement brownien Brown (1927) : observation du mouvement spontané de grains de pollen en suspension dans l'eau : Einstein (1905) : trajectoire du grain = somme de variables aléatoires indépendantes, ie :

9 1905 Albert Einstein Théorie du mouvement brownien Brown (1927) : observation du mouvement spontané de grains de pollen en suspension dans l'eau : Einstein (1905) : trajectoire du grain = somme de variables aléatoires indépendentes, ie : On peut alors appliquer le théorème central limite : - La somme de T variables aléatoires indépendantes suit une loi gaussienne. - La variance de la somme est directement reliée à celle de ses termes : où

10 The central limit theorem at work

11 1905 Albert Einstein Théorie du mouvement brownien Brown (1927) : observation du mouvement spontané de grains de pollen en suspension dans de l'eau : Einstein (1905) : trajectoire du grain = somme de variables aléatoires indépendantes, ie : On peut alors appliquer le théorème central limite : - La somme de T variables aléatoires indépendantes suit une loi gaussienne. - La variance de la somme est directement reliée à celle de ses termes : où

12 1900 Louis Bachelier Théorie de la spéculation Trajectoire temporelle du prix d'une action : Bachelier (1900) : trajectoire du prix = somme de variables aléatoires indépendantes, ie : Louis Bachelier ( ) On peut alors appliquer le théorème central limite : - La somme de T variables aléatoires indépendantes suit une loi gaussienne. - La variance de la somme est directement reliée à celle de ses termes : L'incertitude sur le prix croît comme la racine carrée du temps

13 Illustration : statistique de fluctuations du prix d'une action Fluctuations microscopiques de prix de l'action QCOM Trajectoire de prix résultante

14 Illustration : statistique de fluctuations du prix d'une action Fluctuations microscopiques de prix de l'action QCOM

15 1900 Louis Bachelier Théorie de la spéculation Les données vérifient correctement l'hypothèse fondamentale de Bachelier, à savoir que les fluctuations de prix sont des variables aléatoires iid.

16 1900 Louis Bachelier Théorie de la spéculation Les données vérifient correctement l'hypothèse fondamentale de Bachelier, à savoir que les fluctuations de prix sont des variables aléatoires iid. Interprétation économique de ce résultat : Fluctuations de prix statistiquement indépendantes = Fluctuations de prix d'un jour à l'autre totalement imprévisibles

17 1900 Louis Bachelier Théorie de la spéculation Les données vérifient correctement l'hypothèse fondamentale de Bachelier, à savoir que les fluctuations de prix sont des variables aléatoires iid. Interprétation économique de ce résultat : Fluctuations de prix statistiquement indépendantes = Fluctuations de prix d'un jour à l'autre totalement imprévisibles = Les marchés agrègent instantanément et correctement toute l'information disponible qui se retrouve intégrée dans un seul chiffre : le prix! Les marchés sont efficients Eugene Fama (1939-) Un fondement théorique de l'ultra-libéralisme

18 Prix gaussiens : les raisons d'un succès Finance statistique 1900 Physique statistique 1905 Mouvement brownien

19 Modèle de Bachelier domination des tendances Fluctuations de prix = variables aléatoires iid - Autocorrélation des fluctuations : - Théorème de Wiener-Khintchine le spectre de puissance des fluctuations est plat La trajectoire de prix a un spectre de puissance S(ω) = 1/ω 2 - Domination de composantes très basse fréquence dans la trajectoire de prix!

20 Modèle de Bachelier domination des tendances Fluctuations de prix = variables aléatoires iid - Autocorrélation des fluctuations : - Théorème de Wiener-Khintchine le spectre de puissance des fluctuations est plat La trajectoire de prix a un spectre de puissance S(ω) = 1/ω 2 - Domination de composantes très basse fréquence dans la trajectoire de prix!

21 The Bachelier model self-similarity properties Fluctuations de prix = variables aléatoires iid - Autocorrélation des fluctuations : - Théorème de Wiener-Khintchine le spectre de puissance des fluctuations est plat La trajectoire de prix a un spectre de puissance S(ω) = 1/ω 2 - La trajectoire de prix est fractale!

22 The Bachelier model self-similarity properties Fluctuations de prix = variables aléatoires iid - Autocorrélation des fluctuations : - Théorème de Wiener-Khintchine le spectre de puissance des fluctuations est plat La trajectoire de prix a un spectre de puissance S(ω) = 1/ω 2 - La trajectoire de prix est fractale! Rappel : TF Zoom sur la trajectoire d'un facteur k : S(ω) ~ 1/ω 2 S'(ω) ~ 1/ω 2

23 The Bachelier model self-similarity properties Benoit Mandebrot ( )

24 Application I - calcul de risque Gestion du risque d'un portefeuille d'actions - Quantité de chaque action i - Fluctuations de la valeur W P du portefeuille entre t et t+δt

25 Application I - calcul de risque Gestion du risque d'un portefeuille d'actions - Quantité de chaque action i - Fluctuations de la valeur W P du portefeuille entre t et t+δt Bachelier : gestion du risque de P calcul de la variance de où = matrice de corrélation de fluctuations de prix

26 Matrice de corrélation Matrice de corrélation des fluctuations de prix : CAC 40

27 Matrice de corrélation effet de diversification Portefeuille de taille N : comment sa variance évolue-t-elle avec N? - Hypothèses : matrice de corrélation de la forme portefeuille équi-réparti : chaque action a un poids q i de l'ordre de 1/N

28 Matrice de corrélation effet de diversification Portefeuille de taille N : comment sa variance évolue-t-elle avec N? - Hypothèses : matrice de corrélation de la forme portefeuille équi-réparti : chaque action a un poids q i de l'ordre de 1/N Variance du portefeuille :

29 Matrice de corrélation effet de diversification Portefeuille de taille N : comment sa variance évolue-t-elle avec N? - Hypothèses : matrice de corrélation de la forme portefeuille équi-réparti : chaque action a un poids q i de l'ordre de 1/N Variance du portefeuille : Actions totalement décorrélées : variance réduite d'un facteur N Actions corrélées à 60% : variance réduite d'un facteur ~ 1.6

30 Matrice de corrélation structure physique Matrice de corrélation entre actions Matrice de distance entre actions

31 Matrice de corrélation structure mathématique Matrice de corrélations des fluctuations - Réelle & symétrique diagonalisable, base orthonormée de vecteurs propres valeurs propres réelles positives - Signification physique : Les vecteurs propres forment la base des portefeuilles statistiquement décorrélés Les fluctuations de la valeur W k de chacun de ces portefeuilles on une variance Preuve : Les sont les modes propres du marché.

32 Valeurs propres de la matrice de corrélation du CAC40

33 Modes propres du CAC40 : mode de risque maximal Risque = = 19

34 Modes propres du CAC40 : second mode Risque = = 2.4

35 Modes propres du CAC40 : second mode Risque = = 2.4

36 Modes propres du CAC40 : stabilité temporelle Stabilité mesurée par l'autocorrélation du mode d'ordre k : Plus l'ordre du mode est élevé, plus son risque est faible, et plus il est dynamique.

37 Spéculation dans un monde à la Bachelier Trading = gestion d'une position dans le temps : Espérance de gain :

38 Spéculation dans un monde à la Bachelier Trading = gestion d'une position dans le temps : Espérance de gain : La performance de toute stratégie de trading est... une marche aléatoire!

39 Application II distribution des gains Gains distribués selon une gaussienne... - Moyenne de la gaussienne = gain de la stratégie - Ecart type de la gaussienne = risque de la stratégie - Rapport signal à bruit de la stratégie = Sharpe ratio

40 Application II distribution des gains Gains distribués selon une gaussienne... - Moyenne de la gaussienne = gain de la stratégie - Ecart type de la gaussienne = risque de la stratégie - Rapport signal à bruit de la stratégie = Sharpe ratio Ordres de grandeur Investissement statique sur une société dont la croissance annuelle est de 10% : - Gain annuel de la stratégie = 10% - Risque annuel de la stratégie lié aux fluctuations quotidiennes du marché (2%) = 2% x sqrt(n=250) = 30% - 10 réalisations de cette stratégie sur 10 ans...

41 10 réalisations sur 10 ans d'une stratégie de Sharpe Ventus 0.3 µ... avec le Sharpe (rapport S/B) de chaque réalisation

42 Bachelier distribution des gains Fluctuations statistiques du rapport signal à bruit de la stratégie - Rapport signal à bruit annuel : - Rapport signal à bruit sur N années : - Bruit de mesure sur le rapport signal à bruit annuel après N années :

43 Bachelier distribution des gains Fluctuations statistiques du rapport signal à bruit de la stratégie - Rapport signal à bruit annuel : - Rapport signal à bruit sur N années : - Bruit de mesure sur le rapport signal à bruit annuel après N années : S= 0.3 : il faut attendre 9 années pour tout juste sortir du bruit! De la difficulté de savoir si la performance réalisée d'une stratégie n'est pas due au hasard seul...

44 Prix gaussiens : les raisons d'un succès Des paramètres simples - moyenne m = signal = gain attendu - écart type σ = bruit = risque Des calculs simples Z = X + Y m Z = m X + m Y σ Z 2 = σ X 2 + σ Y 2 Une rupture historique, un modèle simple & fecond Première approche physique purement statistique de la finance. Décrit un monde gaussien, point de référence en physique statistique. Ce qui n'est pas gaussien le deviendra... Théorème central limite : toutes les distributions macroscopiques sont gaussiennes.... et ce qui l'est le restera... Toute combinaison linéaire de variables aléatoires gaussiennes est une variable aléatoire gaussienne.

45 Fluctuations de prix le modèle gaussien - Ses propriétés fondamentales - Deux exemples d'application Au-delà du modèle gaussien - Statistiques de prix - Théorème central limite & hasard sauvage Perspectives

46 Au-delà du modèle gaussien Bachelier : - Absence de stratégies gagnantes? - Prix gaussiens?

47 Au-delà du modèle gaussien Bachelier : - Absence de stratégies gagnantes? En pratique, l'information n'est pas intégrée instantanément dans les prix Les agents n'ont pas tous accès a l'information (coût d'accés, données privées) Les agents peuvent pas tous intégrer l'information au prix (arbitrage) Les agents qui utilisent l'information ne sont peut-être pas tous rationnels - Prix gaussiens?

48 Au-delà du modèle gaussien Bachelier : - Absence de stratégies gagnantes? En pratique, l'information n'est pas intégrée instantanément dans les prix Les agents n'ont pas tous accès a l'information (coût d'accés, données privées) Les agents peuvent pas tous intégrer l'information au prix (arbitrage) Les agents qui utilisent l'information ne sont peut-être pas tous rationnels Les marchés financiers possèdent une dynamique propre, déconnectée de l'économie réelle Interaction entre les agents Marché = système complexe - Prix gaussiens?

49 Les limites du modèle gaussien Le modèle gaussien sous-estime le risque d'observer de grandes variations de prix.

50 Modèle gaussien vs krach Krash de 1929 Octobre 1929 : - 20% en une journée Krach de 1987 Octobre 1987 : - 20% en une journée Prix gaussiens P(krach) < 10-16

51 Un paradoxe Théorème central limite - La somme d'un grand nombre de VA indépendantes suit une loi gaussienne. En pratique : Les fluctuations de prix sont des VA indépendantes mais leur somme ne semble pourtant pas converger vers une gaussienne

52 Le théorème central limite en action (1/3)

55 TCL : existence de limites non-gaussiennes Forme générale des lois stables par addition de VA : Paul Lévy ( ) Loi Gaussienne α = 2 : variance et moyenne définies. Loi de Cauchy α = 1 : la variance non-définie. Loi de Lévy α = 0.5 < 1 : la moyenne non-définie. Loi de puissance : Tous les moments d'ordre > α divergent.

56 Le théorème central limite généralisé aux lois larges Le théorème central limite s'applique également aux lois de puissance Loi étroite (m,σ) Loi large (exposant α,amplitude A) Z = X + Y Z = X + Y m Z = m X + m Y σ Z 2 = σ X 2 + σ Y 2 A Z = A X + A Y α Z = α

57 Fluctuations de prix & lois larges

58 Conclusion Finance et physique La finance est la discipline où le bruit est roi tout signal doit être considéré avec prudence Le modèle gaussien de Bachelier L'optique géométrique de la finance! Au-delà de Bachelier : statistiques de prix en lois larges - Le théorème central limite ne s'applique pas qu'aux gaussiennes. - L'ignorer conduit à sous-estimer gravement les effets du hasard en finance.

59 Bibiliographie Investments Sharpe, Alexander, Bailey (1999) Theory of financial risk and derivative pricing Bouchaud, Potters (2003) Fooled by randomness Taleb (2001) Base d'articles arxiv quantitative finance Investopedia.com