DM5 Miroirs sphériques et lentilles minces

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1 DM5 Miroirs sphériques et lentilles minces I Télescope à deu miroirs sphériques Soient deu miroirs concaves (M ) (de sommet S, de centre C ) et (M ) (de sommet S, de centre C ) de même ae optique. On cherche à obtenir la formation de l image d une étoile par ce système de deu miroirs dans le plan de front passant par S. On note R le rayon algébrique du miroir (M ). L étoile est vue sous le diamètre angulaire ǫ. (D) ) Onsouhaitequel imagefinale soittroisfois plus grande que l image intermédiaire (Quel doit alors être le signe du grandissement transversal G t du miroir (M ) pour l objet?) S S Déterminer la position (S S ) et le rayon algébrique (R ) du miroir (M ) en fonction de R pour avoir une telle image finale. ) Représenter sur la feuille de papier millimétrée fournie les rayons lumineu issus de l étoiles et leur chemin dans le télescope donnant l image si R = S C = 6 cm. II Télescope équivalent à une lentille mince On réalise un système optique constitué par l association de deu miroirs sphériques (M ) (concave, de sommet S centre C ) et (M ) (convee, sommet S, centre C ) de même ae optique principal, disposés comme ci-contre. Le miroir est percé en son sommet S d un petit trou permettant à la lumière de passer mais ne modifiant pas ses propriétés. Les distances focales f et f des deu miroirs (M ) et (M ) sont telles que f = 3 m et f = m. ) On note d = S S. Déterminer d pour que tout rayon incident parallèle à l ae optique et réfléchi par les deu miroirs passe par S. Vérifier le calcul par un graphique à l échelle de cm (ou carreau) pour m. Dans la suite, on conserve cette valeur de d. (M ) S S (M ) ) Déterminer la position des foyer objet et image (F et F ) de ce système. 3) Vérifier que ce système optique est équivalent à une lentille mince dont on donnera les caractéristiques (distance focale, position du centre). () III Microscope et profondeur de champ Un microscope peut être modélisé par deu lentilles minces convergentes (L ) et (L ) alignées sur le même ae optique. (L ) modélise l objectif et possède une distance focale image f = 5,00 mm. (L ) modélise l oculaire et possède une distance focale image f = 40,00 mm.

2 Optique géométrique Miroirs sphériques, lentilles, télescopes 0-03 La distance (appelée «intervalle optique») entre le foyer image F de (L ), et le foyer objet F de (L ) vaut = 45,000 mm. On rappelle que la distance minimale de vision distincte d un œil normal vaut = 5 cm. C est la plus petite distance entre l œil et un objet pour laquelle on peut voir l objet net (limite d accommodation). D autre part, un œil normal voit net sans accommoder si l objet est à l infini. On observe au microscope un petit objet, étant placé sur l ae optique et perpendiculaire à l ae optique. L œil est placé sur l ae optique après l oculaire. On s intéresse dans cet eercice à la position l objet par rapport à l objectif. ) On note (O ) PR la position de par rapport à O pour que l œil observe à travers le microscope sans accommoder. Donner l epression littérale (en fonction de f et ) et faire l application numérique. ) On considère deu rayons lumineu parallèles émergeant du microscope par (L ). Dessiner leur trajet à travers le microscope et trouver ainsi graphiquement la position de. On prendra soin de faire apparaître sur la figure les points particuliers des deu lentilles ainsi que l image intermédiaire de l objet par la lentille (L ). Pour le dessin, prendre f =,0 cm, f = 4,0 cm et = 6,0 cm et des rayons émergents peu inclinés par rapport à l ae optique. Définition : Le profondeur de champ ou latitude de mise au point désigne la distance qui sépare les positions etrêmes de l objet telles que l image se trouve dans la zone de vision distincte de l œil c est-à-dire entre le punctum proimum (PP) et le punctum remotum (PR) de l œil. 3) On suppose pour cette question qu un œil normal est placé en F. Calculer la profondeur de champ l de ce microscope. Commenter. Qadri J.-Ph. PTSI

3 0-03 Optique géométrique Miroirs sphériques, lentilles, télescopes Corrigé I Télescope à deu miroirs sphériques ) Pour que le miroir concave (M ) fasse de une image réelle agrandie, il faut que soit entre le foyer F et le centre C. lors G t = = 3 < 0. L ae du télescope étant dirigé vers une étoile, donc vers un objet à l infini on a à vérifier les deu relations suivantes : M D M F = D D = S soit : + = = () S S S F S C R G t = = 3 soit : G t = S S S F (). On déduit de () S S = 3S F = 3(S S +S F ), ce qui conduit à : S S = 3 4 R > 0 (car R = S C < 0). lors, de (), on déduit : R = 3 8 R > 0. ) Image finale M Image intermédiaire dans le plan focal de M C M S F C F S D II Télescope équivalent à une lentille mince ) Schéma de fonctionnement : (M ) F (M ) S = F La relation de conjugaison avec origine au sommet pour le miroir (M ) s écrit : S S + S F = f d + d+f = f d +(f f ).d f.f = 0 Rq : on pouvait utiliser la relation de conjugaison avec origine au() foyer(s) : F S.F F = f (F S +S S ).(F S +S S +S F ) = f Soit : ( f +d).( f +d+ ) = f d +(f f ).d f.f = 0 Qadri J.-Ph. PTSI 3

4 Optique géométrique Miroirs sphériques, lentilles, télescopes 0-03 Soit, puisque f = 3 m et f = m, d = S S est solution de : d +d 6 = 0 Le discriminant du polynôme est : = 5 ; le polynôme admet une seule racine positive (et donc physiquement acceptable) : d = + = m (M ) (M ) C F F S S F' () C (π ) ) Le foyer image a été défini à la question précédente (F = S ). Quant au foyer objet : F (M ) (M ) F (M ) (M ) C F F S C S O ' (π) =F La relation de conjugaison avec origine au sommet pour le miroir (M ) s écrit : + S F S F = f S S +S F + S F = f S F = f d+f () Soit : S F = f.(d f ) d f +f = m 3) Sur le graphe précédent, on vérifie qu un objet O placé en C = C est sa propre image par le système {M ;M }. Il s agit donc du centre optique du système : O = C (M ) C = C (M ) C = O On vérifie que O est au milieu de [F,F ] Cl : Le système est équivalent à une lentille sphérique de centre optique O = C = C, de foyers F et F, et de focale f = OF = C S = 6 m 4 Qadri J.-Ph. PTSI

5 0-03 Optique géométrique Miroirs sphériques, lentilles, télescopes III Microscope et profondeur de champ ) Schéma de fonctionnement : (L ) (L ) = F L image est à l infini (virtuelle) pour une observation à l infini (sans accommodation donc). On en déduit que l objet intermédiaire est dans le plan focal objet de la lentille oculaire (L ). Soit F. Par conséquent, la lentille objectif (L ) conjugue les points et F. On applique la relation de Newton, en introduisant = F F : F F.F = f F = f Comme F = F O +O, on en déduit, puisque la position de correspond à une image finale observée au punctum remotum d un œil «normal» : ( ) (O ) PR = f. + f = 5,7 mm ) (L ) (L ) (π ) (π' ) O F ' =F F O () ' 3) Schéma de fonctionnement : (L ) (L ) (avec au punctum proimum de l œil) La relation de Newton appliquée à la lentille (L ), pour un œil placé au foyer image F : F.F = f F = f = f F La relation de Newton appliquée à la lentille (L ) : F.F = f Comme : F = F F +F = + f la relation de Newton devient : F = f + f Comme F = F O +O, on en déduit, puisque la position de correspond à une image finale observée au punctum proimum d un œil «normal» : ( ) (O ) PP = f. f +.. +f = 5,6 mm D où la latitude de mise au point : l = (O ) PP (O ) PP = 7,4.0 3 mm = 7,7 µm Commentaire : la mise au point nécessite l utilisation une vis micrométrique. Qadri J.-Ph. PTSI 5