Algèbre Matrices Algèbre des matrices carrées

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1 Algèbre Matrices Algèbre des matrices carrées Denis Vekemans Exercice 1 On considère les matrices suivantes : et B = Calculer, lorsque cela est possible, A 2, B 2, AB, BA, A t, B t, AA t, A t A, A t 2, BB t, B t B, B t 2, A t B t et B t A t Exercice 2 Soient a et b des nombres réels On considère les matrices cosa sina cosb sinb ; B = sina cosa sinb cosb 1 Calculer AB et BA En déduire que A et B commutent 2 Montrer que A est inversible et calculer A 1 Exercice 3 On considère la matrice Déterminer A 2 et montrer que A 2 + 2I 2 2 En déduire que A est inversible et exprimer A 1 en fonction de A 3 Ecrire la matrice A 1 Exercice 4 Soit K un corps et soit D M 2 K Montrer que D AD pour tout A M 2 K si et seulement si D = λi 2 pour un λ K Exercice 5 Soit K un corps Montrer que l ensemble des matrices inversibles de M n K est un groupe pour la multiplication Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; Calais cedex ; France 1

2 Exercice 6 Soit B = e 1, e 2, e 3 la base canonique de R 3 On considère les applications linéaires f et g de R 3 dans R 3 définies par fx, y, z = x + z, 2y z, x, ge 1 = e 1 + e 3, ge 2 = 2e 2 e 3, ge 3 = e 1 1 A-t-on f = g? 2 Donner les matrices M f et M g de f et g dans la base B 3 Donner l image de B par l application linéaire h = 2f g 4 Pour tout x, y, z R 3, donner les coordonnées de hx, y, z dans la base B 5 En utilisant les trois questions précédentes, donner, par trois méthodes différentes, la matrice M h de h dans la base B Exercice 7 Soit f : R 3 R 3 une application linéaire On pose g = f Id On suppose g g 0 et g g g = 0 1 Soit v R 3 tel que g gv 0 Montrer que les vecteurs v, gv, g gv forment une base de R 3 2 Donner la matrice M g de g, puis la matrice M f de f dans cette base Exercice 8 par Soit B = e 1, e 2, e 3 la base canonique de R 3 On considère l endomorphisme φ de R 3 défini φe 1 = 0, φe 2 = e 1 e 2 e 3, φe 3 = e 1 + e 2 + e 3 1 Ecrire la matrice de φ dans la base B 2 Trouver une base de kerφ et une base de Imφ 3 Trouver un vecteur v de R 3 tel que φv 0 et montrer qu alors la famille v, φv est libre dans R 3 4 Trouver un vecteur w de kerφ tel que la famille F = v, φv, w soit une base de R 3 Ecrire la matrice de φ dans la base F Exercice 9 Calculer l inverse des matrices suivantes : B = C = Exercice 10 Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique B = e 1, e 2, e 3 est /5 Mathématiques

3 1 Montrer que f est bijectif et déterminer la matrice de f 1 dans la base B 2 On pose e 1 = e 1, e 2 = e 1 + e 2 e 3 et e 3 = e 1 + e 2 + e 3 a Montrer que B = e 1, e 2, e 3 est une base de R3 b Déterminer A la matrice de f dans la base B c Donner la matrice de passage de la base B à la base B d Calculer A n pour tout n N Exercice 11 Soit K un corps On définit dans M n K la relation par A B P M n K, inversible, P 1 BP Montrer que est une relation d équivalence Exercice 12 Juin 2005 Pour tout nombre réel m, on considère la matrice Am M 3 R suivante : 1 m m 2 Am = m m 2 m 1 0 m 1 Déterminer pour quelles valeurs de m la matrice Am est inversible 2 Déterminer le rang de la matrice Am en fonction du paramètre m Exercice 13 Soit Montrer que A est inversible et calculer son inverse 2 En déduire l expression de A n pour tout n Z Exercice 14 On considère la matrice M : M = Montrer que l on a pour tout n N : M n = a n M + b n I 3 Expliciter a n R et b n R Exercice 15 Soit U M n,1 R tel que U t U = U 2 2 = 1 3/5 Mathématiques

4 1 Montrer que S = I n 2UU t est une matrice symétrique telle que S 2 = I n, en déduire que S est inversible et calculer S 1 2 Montrer que P = I n UU t est une matrice symétrique telle que P 2 = P Montrer que P n est jamais inversible Exercice 16 Soient A et B des matrices carrées de taille n telles que I n AB soit inversible Calculer I n BAI n + BI n AB 1 A I n BA est-elle inversible? Exercice 17 Soit a i,j i {1,,n},j {1,,n} M n R On définit la trace de A que l on note tra comme égale à la somme des éléments de la diagonale principale On a donc n tr a i,i 1 Montrer que A M n R, B M n R, λ R, µ R, on a : trλa + µb = λtra + µtrb ; trab = trba i=1 2 Calculer tra t A en fonction des coefficients de A Exercice 18 Soient et B = Déterminer toutes les matrices X M 3 R telles que BX Exercice 19 Soit R 2 [X] l espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, à coefficients dans R Soit B = {1, X, X 2 } la base canonique de R 2 [X] Soit φ l endomorphisme de R 2 [X] défini par φ : PX XP X 1 2 P Donner la matrice de φ dans la base B Exercice 20 On considère C comme un R-espace vectoriel de dimension 2 C = R 2, ce qui revient à dire qu on peut se donner z = a + ıb C avec a R et b R Soit B 1 = {1, ı} la base canonique de C comme un R-espace vectoriel de dimension 2 On écrit z dans la a base B 1 : z B1 = M 2,1 R b On pose j = ı Vérifier que 1 + j + j = 0 Soit B 2 = {1, j} une autre base de C comme un R-espace vectoriel de dimension 2 4/5 Mathématiques

5 2 Ecrire z dans la base B 2 ie z B2 M 2,1 R et donner A M 2,2 R telle que z B2 = A z B1 Donner B M 2,2 R telle que z B2 = B z B1 Soit c l endomorphisme de C qui à z C associe son conjugué z C Soit C B1 M 2,2 R la matrice associée à l endomorphisme c dans la base B 1 3 Donner la matrice C B1 Soit C B2 M 2,2 R la matrice associée à l endomorphisme c dans la base B 2 4 Donner la matrice C B2 5 Donner en justifiant par des calculs ou non, l existence de l inverse de la matrice B, la matrice B 1 et la matrice B 1 C B1 B Références [1] M Gran, fiches de TD L1, Université du Littoral Côte d Opale [2] M Serfati, Exercices de mathématiques 1 Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987 [3] D Duverney, S Heumez, G Huvent, Toutes les mathématiques Cours, exercices corrigés MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, /5 Mathématiques