13. Géométrie analytique de l espace

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1 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, Géométrie analytique de l espace Expliciter les savoirs et les procédures 1 Travailler dans le repère a Plans et axes du repère Plan du repère Oxy Oxz Oyz Équation z y x Axe du repère Ox Oy Oz Équations y y b 1) π1 z = 3 ) π x= 4 = 1 c 1) d1 y = Vrai ou faux? 3) π3 z = 6 4) π4 y= 6 = 1 ) d = 4 a Faux : n est un vecteur directeur d une droite d perpendiculaire au plan π b Vrai (théorème 13, synthèse 11) c Faux Les équations données sont celles de deux plans parallèles ; en effet, les composantes des vecteurs normaux sont proportionnelles Les deux plans ayant mêmes vecteurs normaux sont parallèles (synthèse 13) d Faux Pour que deux plans soient parallèles, il faut qu ils aient une même paire de vecteurs directeurs 3 Trace d un plan a On calcule les coordonnées des points d intersection du A,0,0 plan avec chaque axe du repère Ces points sont ( ) B ( 0,3,0) et C ( 0,0,3) b Les trois points donnés ne sont pas alignés et leurs coordonnées vérifient l équation du plan En effet, en rempla- x, y, z par les coordonnées de A, on obtient 1= 1, çant ( ) par les coordonnées de B, 3 = 1 et par les coordonnées de 3 C, = 1 Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 1 x A z C B y

2 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 c Les coordonnées des points d intersection du plan avec chacun des trois axes du repère sont ( a,0,0), ( 0, b,0) et ( ) 0,0,c 4 Des formules à justifier a On sait que deux plans sont perpendiculaires ssi tout vecteur normal de l un est perpendiculaire à tout vecteur normal de l autre π + + =, le vecteur de composantes ( 1; 1; 1) même, le vecteur de composantes ( ; ; ) Si 1 a1x b1 y c1 z d1 a b c est un vecteur normal au plan ; de a b c est un vecteur normal au plan deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul, c est-à-dire ssi ( ) ( ) a ; b ; ci a ; b ; c = aa + bb + cc b Erratum (tirage 013) : il faut lire ax + by + cz P P P a + b + c d La démarche à appliquer est donnée dans la synthèse 16 1/ Équations paramétriques de d passant par P et perpendiculaire à π xp = λa d y yp = λb zp = λ c / Point de percée Q de d dans π Les coordonnées ( Q ; Q ; Q ) π On sait que x y z de Q vérifient l équation de π Donc il existe une valeur de λ telle a x +λ a + b y +λ b + c z +λ c = d que ( ) ( ) ( ) P P P d ( axp + byp + czp ) En isolant λ, on obtient λ = a + b + c 3/ distance PQ ( P Q ) ( P Q ) ( P Q ) PQ = x x + y y + z z = λ a + b + c d ( axp + byp + czp ) a + b + c = a + b + c d ( axp + byp + czp ) axp + byp + czp d = = a + b + c a + b + c c Par l exercice 3 c, on sait qu une équation cartésienne du plan comprenant ces trois points (a, b et x y z c non nuls) est + + = 1 ou bc x + ac y + ab z = abc a b c En appliquant la formule établie en 4b, on obtient h = On a donc abc ou h bc + ac + ab a b c = b c + a c + a b 1 b c + a c + a b = = + + h a b c a b c Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace

3 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Appliquer une procédure 5 Équations de droites SERIE 1 a Équation vectorielle : d AX = λu Équations paramétriques : = λ d y = 1+ λ = 3 λ y + 1 Équations cartésiennes : d x = = 3 z AB= 1;; 3 est un vecteur directeur de la droite b Le vecteur ( ) Équation vectorielle : d AX = λ AB Équations paramétriques : = 3 λ d y = 1+ λ = 3 λ y + 1 z Équations cartésiennes : d 3 x = = 3 c Équation vectorielle : d AX = λv Équations paramétriques : = λ d y = 1 = 3 + λ x + z 7 Équations cartésiennes : d y = 1 d Équation vectorielle : d AX = λw Équations paramétriques : Équations cartésiennes : SERIE a Équations cartésiennes = + λ d y = 1 = 3 y = 1 d = 3 3x y + z = 1 d Les points A( 1;1;0 ) et B ( 3;4;0 ) sont des points de la droite et le vecteur AB( ;3;0) en est un vecteur directeur On peut alors écrire une équation vectorielle et des équations paramétriques de la droite Équation vectorielle : d AX = λ AB Équations paramétriques : = 1 + λ d y = 1 + 3λ Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 3

4 b Le vecteur u( ; 1;3 ) CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 perpendiculaire au plan Équation vectorielle : d M X = λu = 1+ λ Équations paramétriques : d y = λ = λ + y = 1 Équations cartésiennes : d 3y + z = 1 6 Équations de plans SERIE 1 a Équation vectorielle : α BX =λ u +µ v Équations paramétriques : est un vecteur normal au plan et donc un vecteur directeur de toute droite = 4 + 3λ µ α y = 1 λ + µ = 1 4 λ + 4 µ Équation cartésienne : α 4 x 8 y + 5z 19 b Équation vectorielle : π AX = λ w+µ v Équations paramétriques : = 1+ λ µ π y = + µ = 3 + λ + 4 µ Équation cartésienne : π x + 5 y z 14 c On détermine un e vecteur directeur du plan : u = BC ; u ( 1;4; ) Équation vectorielle : α AX = λ u +µ w Équations paramétriques : = 1+ λ + µ α y = + 4λ = 3 λ + µ Équation cartésienne : α 4x 3 y 4 z d Les plans sont parallèles et ont donc mêmes vecteurs directeurs Les vecteurs u ( ;5; 1) v ( 5;1; 1) sont deux vecteurs de π et donc de α Équation vectorielle : α AX = λ u +µ v Équations paramétriques : = + λ 5µ α y = 1+ 5λ + µ = 4 λ µ Équation cartésienne : α 4 x + 7 y + 7 z 107 et Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 4

5 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 e Le plan contient l axe Ox, il comprend donc le point ( 0;0;0 ) Deux vecteurs directeurs du plan sont u ( 1;0;0) et v = OP Équation vectorielle : α OX = λ u +µ v = λ µ Équations paramétriques : α y = µ = 3 µ Équation cartésienne : α 3y z = f Des vecteurs directeurs de ce plan sont u AB ( 1;;1) Équation vectorielle : α AX = λ u +µ v = + λ Équations paramétriques : α y = 1+ λ + µ = 1 + λ Équation cartésienne : α x z = 1 et v ( 0;1;0) SERIE a Les trois points ne sont pas alignés : en effet AB k AC car ( 1;0; 3) k ( 1;1;0) Les vecteurs u ( 1;0; 3) et v ( 1;1;0 ) sont deux vecteurs directeurs du plan Équation vectorielle : α AX = λ u +µ v Équations paramétriques : = 3+ λ µ α y = 1+ µ = 3 λ Équation cartésienne : α 3x + 3 y + z 8 b La donnée d un vecteur normal et d un point du plan permet d écrire directement une équation cartésienne du plan : ( ) ( ) α x + z + 1 ou α x + z 1 Des vecteurs directeurs du plan sont des vecteurs non parallèles, orthogonaux au vecteur normal donné, soit par exemple les vecteurs u( 1;1; 1) et v ( 0;1;0) Équation vectorielle : α AX = λ u +µ v Équations paramétriques : = + λ α y = 1+ λ + µ = 1 λ Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 5

6 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 c Le vecteur directeur de la droite est un vecteur normal au plan α 3 x y z 3 ou α 3x y 4z + 5 Équation cartésienne : ( ) ( ) ( ) Vecteurs directeurs du plan : v ( 4;0;3) et w ( 1;3;0) Équation vectorielle : α AX =λ v+µ w Équations paramétriques : = + 4λ +µ α y = 1+ 3µ = λ ; 3;5 est un vecteur normal du plan d Le vecteur de composantes ( ) Équation cartésienne : ( ) ( ) ( ) Des vecteurs directeurs non parallèles du plan sont, par exemple, u ( 1;1;1 ) Équation vectorielle : α AX = λ u +µ v Équations paramétriques : α x 1 3 y z + ou α x 3y + 5z = 5 = 1 λ + 3µ α y = 1+ λ + µ = + λ e Le vecteur directeur de la droite est un vecteur normal du plan, donc n ( 1; ;3) Équation cartésienne : ( ) ( ) ( ) Des vecteurs directeurs non parallèles du plan sont, par exemple, u( 1; 1;1) Équation vectorielle : α AX = λ u +µ v = 7 + λ + µ Équations paramétriques : α y = 9 λ +µ = 3 + λ ; ; et v ( 3;;0) α x 7 + y z + 3 ou α x + y + 3z et v ( ;1;0) f Un vecteur de composantes ( a b c ) normal au plan est orthogonal au vecteur n( ; 3;5) (vecteur normal au plan donné) et au vecteur directeur de la droite donnée ; on a donc : ( ) i ( ) ( ) i ( ) a; b; c ; 3;5 = a 3b + 5c a; b; c ;5; 1 = a + 5b c Les solutions du système a 3b + 5c sont de la forme a + 5b c Une solution particulière non nulle est, par exemple, ( a; b; c ) = ( 11; 6; 8) Équation cartésienne : ( ) ( ) ( ) 6r 8r r; ; ou( ) r; 6 r; 8r α 11 x 1 6 y 8 z 3 ou α 11x 6y 8z + 5 Des vecteurs directeurs du plan sont, par exemple, u ( 0;4; 3) et v ( ;5; 1) Équation vectorielle : α AX = λ u +µ v Équations paramétriques : = 1+ µ α y = + 4λ + 5µ = 3 3 λ µ Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 6

7 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, Vecteur normal a Soit ( a; b; c ) les composantes d un vecteur normal au plan α ; ce vecteur est alors orthogonal aux vecteurs directeurs du plan, ce qui entraine ( ) i ( ) a; b; c 4;3; 1 ou 4a + 3b c ( ) i ( ) a; b; c ; 1;1 ou a b+ c Il faut donc résoudre le système 4 a + 3 b c = 0 ; les solutions de ce système sont de la a b + c forme ( r ; 3 r; 5r ) Un vecteur normal au plan α est par exemple le vecteur n( 1; 3; 5) b Soit ( a; b; c ) les composantes d un vecteur normal au plan β ; ce vecteur est alors orthogonal aux vecteurs directeurs du plan, ce qui entraine ( ) i ( ) a; b; c ;5; 1 ou a + 5b c ( ) i ( ) a; b; c 4;1; ou 4a + b+ c Il faut donc résoudre le système a + 5 b c = 0 4a + b + c 8r 18r Les solutions de ce système sont de la forme r ; ; Un vecteur normal au plan β est n 11; 8; 18 par exemple le vecteur ( ) 8 Intersections a L équation du plan est vérifiée par les coordonnées du point commun au plan et à la droite, donc 4( λ + 3) 3( 4λ + ) + ( λ 1) 1, ce qui donne λ = 7 En remplaçant λ par cette valeur dans les équations paramétriques de la droite, on obtient les coordonnées du point d intersection de la droite et du plan 19 3 d γ = ; ; λ = d γ = ; ; = λ c Des équations paramétriques de AB sont, par exemple, AB y = 3 + λ = En remplaçant x, y et z par ces expressions dans l équation de π, on obtient b ( 4λ 5) + 5( 5λ + 4) ( 3λ ) = ce qui donne λ ( 3+ λ ) + 6, ce qui implique {( 1;;) } AB π = 1 λ = Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 7

8 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 d On écrit des équations paramétriques de chacune des droites : d 1 = 1+ λ y = 1+ λ = λ = + µ et d y = 3+µ = µ Si les deux droites ont un point commun, le système unique ; on obtient λ = 1 et µ Le seul point commun aux deux droites est le point P ( ;3;4) 1 + λ = + µ 1 + λ = 3 + µ doit avoir une solution λ = µ e Si P appartient au plan α, les coordonnées de P vérifient l équation de α, c est à dire 1 8a + 3a + + a 3 ; donc a = 1 Le point P appartient au plan α si 1 a =, c est-à-dire si P ; ; f Les droites d1 et d ne sont pas parallèles car les composantes de leurs vecteurs directeurs ne sont pas proportionnelles Il faut donc vérifier si elles ont un point commun Dans les équations paramétriques de d, on remplace le paramètre λ par µ, pour distinguer les équations paramétriques de chacune des droites Si elles ont un point commun, on a, pour une valeur de λ et une valeur de µ, ce qui est équivalent à dernières équations) 3 + λ = 1+ µ λ = µ λ = µ µ = 4+ λ 3 λ = 6 (par substitution, en remplaçant µ par 4 + λ dans les deux 0 λ = 15 Le système est impossible ; les droites d1 et d sont gauches 9 Plans parallèles? Plans perpendiculaires? Pour déterminer si des plans sont parallèles, on vérifie si les coefficients des équations sont proportionnels : on a π π6 et π4 π7 Pour déterminer si des plans sont perpendiculaires, on effectue le produit scalaire des vecteurs normaux à ces plans Si les produits scalaires sont nuls, les plans sont perpendiculaires On a 1 3 π4 π 5 et π5 π 7 π π, Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 8

9 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, Parallélisme Des équations paramétriques de d sont = 4+ 5λ d y = 3+ λ = 1 4 λ En isolant λ, on obtient des équations cartésiennes de d : 4 x 3 y z + 1 d = = 5 4 b La droite d est parallèle au plan π si tout vecteur directeur de d est orthogonal à tout vecteur normal à π u 3; 4;4 n 4; 3; 6 vecteur normal au plan Il faut On a ( ) vecteur directeur de la droite et ( ) vérifier que leur produit scalaire est nul : ( 3) + 4 ( 6) La droite d est bien parallèle au plan π c On peut, par exemple, chercher les coordonnées de deux points de la droite d et vérifier qu ils appartiennent au plan π 1 er point : on choisit x et on résout le système 3y + z 5 ; on obtient y z 1 7 z = Les coordonnées du premier point sont 0; ; On vérifie qu il appartient au plan π : e 5x + z 5 point : on choisit y et on résout le système ; on obtient x z Les coordonnées du second point sont ;0; y = et 5 7 x = et 9 5 z = 9 On vérifie qu il appartient au plan : Deux points distincts de la droite appartiennent au plan La droite est donc incluse dans le plan nor- d Le vecteur directeur u ( 3; 4;4) de la droite d doit être orthogonal au vecteur n ( s; 3;1) mal au plan π Il faut donc que ( 3; 4;4 ) ( s; 3;1) 16 La droite d est parallèle au plan π si s = 3 i ou en d autres termes que 3s = 16 a Les vecteurs directeurs de droites parallèles sont parallèles Leurs composantes sont proportionnelles Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 9

10 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014, de composantes ( 1;;3 ) Les vecteurs ( ) ( ) e 1) On détermine deux points distincts de la droite d ; ces points définissent un vecteur directeur du plan π, un second vecteur directeur étant celui de la droite f (pour autant que ces deux vecteurs directeurs ne soient pas parallèles) Soient les points A( ; 3;1) et B( 3; 1;4) deux points de la droite d ; ces points définissent le vecteur u = AB u 1;;3 et v 1;4; ne sont pas parallèles, ils forment donc un couple de vecteurs directeurs du plan π On écrit des équations paramétriques du plan π y = 3+ λ + 4µ = + λ + µ = λ + µ On en déduit une équation cartésienne π 8x + y + z + 17 ) Soient α le plan mené par la droite d, parallèlement à la droite f et β le plan mené par la droite e parallèlement à la droite f ; la droite g cherchée est l intersection des plans α et β Équation cartésienne de α : Équation cartésienne de β : x 1 1 y z 1 3 x y z, ce qui donne α 8 x y z = 17, ce qui donne β x y + 5z = 0 8x y z = 17 On a donc : g x y + 5z = 0 Pour vérifier que g est bien parallèle à f, on écrit des équations paramétriques de g Soit x = λ ; 17 8 on résout alors le système y z = λ, ce qui donne y + 5z = 0 + λ x = λ 15 On peut alors écrire g y = + 4λ 9 14 z = + λ 9 vecteur directeur de g // f y = + 4λ et z = + λ 9 9 ; un vecteur directeur de g est ( 1;4; ) qui est aussi Les droites d et g sont coplanaires et non parallèles ; elles sont donc sécantes Il en va de même pour les droites e et g La droite g est donc parallèle à la droite f et s appuie sur les droites d et e 11 Orthogonalité a Les droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux Vecteur directeur de d 1 : u ( 3,,1) Vecteur directeur de d : v (,1, m) Le produit scalaire des vecteurs directeurs doit être nul : u i v = m, ce qui est vérifié pour m = 8 Les droites d 1 et d sont orthogonales si m = 8 Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 10

11 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 b Les plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Vecteur normal à π 1 : n 1 ( 1, m, 1 ) Vecteur normal à π : n ( m, 1, ) Le produit scalaire des vecteurs normaux doit être nul : n1i n = m m On obtient m = Les plans sont perpendiculaires si m = c Pour résoudre le problème, on peut reprendre la démarche exposée en géométrie synthétique (manuel p 86) Voici une autre démarche dans laquelle on utilise les vecteurs directeurs et les propriétés du produit scalaire Les équations données permettent d écrire un d 1 vecteur directeur de chacune des droites ; pour d 1, on a le vecteur u d3 ( 3;;1) et pour d 3, le vec- v 3; ; 4 Les composantes de ces vec- P teur ( ) teurs ne sont pas proportionnelles donc les droites ne sont pas parallèles ; de plus elles n ont aucun point commun car le système + 3µ = 4 + 3λ µ = 1 λ µ = 5 4 λ est impossible (les valeurs obtenues pour λ et µ à partir des deux dernières équations ne vérifient pas la première équation) Un vecteur directeur ( a; b; c ) de la perpendiculaire commune est orthogonal aux vecteurs directeurs des droites d 1 et d 3 ; on a donc ( a; b; c) i ( 3;;1) = 3a + b + c et ( ) ( ) Une solution du système 3a + b + c 3a b 4c a; b; ci 3; ; 4 = 3a b 4c est ( a; b; c ) = ( ; 5;4) d et d, Supposons le problème résolu et la droite PQ, perpendiculaire commune aux droites 1 3 avec P d1 et Q d3 On a donc ( x ; y ; z ) = ( + 3 µ ; µ ; 1+µ ) et ( ; ; ) ( 4 3 ;1 ; 5 4 ) P P P xq yq z Q = + λ λ λ On en déduit PQ ( 6 + 3λ 3 µ ;1 λ µ ; 4 4λ µ ) Comme la droite PQ est perpendiculaire aux droites d1 et d 3, on a PQi u et PQi v En remplaçant les vecteurs par leurs composantes, on obtient le système λ 14µ dont la solution est ( λ ; µ ) = ; 9λ µ Coordonnées de P : ( x y z ) ; ; = ; ; P P P Coordonnées de Q : ( xq yq zq ) ; ; = ; ; Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 11 Q

12 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Remarque 4 On vérifie aisément que les composantes ;1; 5 5 sont multiples de ( ; 5;4) de PQ Équations paramétriques de PQ : Équations cartésiennes de PQ : 1 Distances 6 x = λ 5 3 PQ y = + 5 λ 15 1 z = 4 λ 15 6x 3z = 7 PQ 154 5x + y = 15 a La cote du point A est A donc dist( A, π ) = z = ; ce point est donc situé à une distance du plan π = Oxy ; on a b Tout vecteur normal au plan π est un vecteur directeur des droites perpendiculaires à ce plan On peut donc écrire des équations paramétriques de la droite menée par B perpendiculairement au plan α = + r y = 4 r = 3 + r Il faut chercher les coordonnées du point de percée P de cette droite dans le plan ( + r) ( 4 r) + (3 + r) + 3, ce qui donne r = 1 P 4, 3,1 Les coordonnées du point d intersection sont ( ) La distance du point B au plan est la distance du point B au point d intersection P c Le vecteur n(,3, 1), normal à chacun des plans, est un vecteur directeur des droites perpendiculaires aux deux plans Soit la droite = r d y = 3r = r dist( B, α ) = BP = ( 4 + ) + ( 3 + 4) + (1 3) = 3 une droite perpendiculaire à ces plans Les coordonnées du point de percée A de d dans α sont,, Celles du point de percée B de d dans β sont,, dist ( α, β ) = AB = = 7 7 Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 1

13 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 d On écrit une équation cartésienne du plan π passant par C et orthogonal à droite d π 3( x ) + ( y 3) ( z + 1) π 3x + y z 14 (1) On détermine les coordonnées du point de percée P de d dans le plan π en remplaçant x, y et z dans (1) par les coordonnées d un point de la droite d : 3(5 + 3 r) + ( r) ( 5 r) 14, ce qui donne 3 r = Les coordonnées du point P sont ( 4, 6, 19) ( ) CP dist C, d = = = 441 = 1 e Par P, on mène un plan π orthogonal à la droite d : π 3( x 4) 4( y 3) + 4( z ) ou π 3x 4 y + 4 z 8 (1) On détermine les coordonnées du point de percée Q de d dans le plan π : 3( + 3 r) 4(1 4 r) + 4( r) ce qui donne r = et Q ; ; La distance du point P à la droite d est la distance entre les points P et Q : 1 1 dist( P, d ) = PQ = = , f Par Q, on mène un plan π orthogonal à la droite e : π 3( x 5) 7( y + 3) + ( z 1) ou π 3x 7 y + z 37 On détermine les coordonnées du point de percée P de e dans le plan π : 3(4 + 3 r) 7(5 7 r) r ce qui donne r = et P ; ; La distance du point Q à la droite e est la distance entre les points P et Q : 1 dist( Q, e) = PQ = ,37 59 g Le vecteur u ( 3;;1) est un vecteur directeur de la droite f et donc un vecteur normal à tout plan orthogonal à cette droite Par R, on mène un plan π orthogonal à la droite f : π 3( x 4) + ( y + 1) + ( z + ) ou π 3x + y + z 8 On détermine les coordonnées du point de percée P de f dans le plan π : 3( + 3 r) + ( 1 + r) + ( 1 + r) 8 17 Ce qui donne r = et P ; ; La distance du point R à la droite f est la distance entre les points P et R : 1 dist( R, f ) = PR = 306 4, Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 13

14 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 h On peut utiliser la formule établie dans l exercice 4b : la distance du point ( ; ; ) plan π ax + by + cz = d est donnée par i En appliquant la même formule, on a ax + by + cz d P P P a + b + c dist ( S, π ) = = 5, dist T (, ) α = = = j Une équation cartésienne du plan donné est β x + y + 4z + k Milieu du segment [ WX ] : Le vecteur WX ( 1;; ) Plan médiateur de [ WX ] : dist ( U, β ) = = M 3 ;3; P x y z au P P P est un vecteur normal au plan médiateur du segment [ WX ] 3 π x + ( y 3) ( z ) ou Distance du point V au plan médiateur de [ WX ] : dist V (, ) ,5 8,5 17 π = = = π x + y z Résoudre un problème z 13 Section plane d un cube a Voir figure ci-contre b Voir figure ci-contre c Voir figure ci-contre d On détermine les coordonnées des points P, Q et R en utilisant les données de l énoncé : P ( 3,,0), A x B P Q ( 1,3,3) et R ( 0,1,3) Soit n( a, b, c) un vecteur normal au plan ( PQR ) ; les produits scalaires de ce vecteur avec des vecteurs directeurs du plan sont nuls : n i PQ = a + b+ 3c et n i RQ = a+ b n 6, 3,5 Une équation cartésienne du plan PQR est 6x 3 y + 5z 1 Soit ( ) Il faut déterminer les coordonnées des points S et T Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 14 E T S O D R F U Q G C y

15 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Coordonnées de S Coordonnées de T y 6x 3y + 5z 1 6x 3y + 5z 1 y S 1 0,0, 5 T (,0,0) Les coordonnées du point de percée de l axe Oy dans le plan sont ( 0, 4,0) Ce point n est pas représenté sur la figure 14 Trois perpendiculaires Le point O appartient aux trois droites cherchées ; en effet chacune d entre elles doit être perpendiculaire à une droite passant par le point O et être située dans un plan comprenant O Équations de d 1 Tout point de d 1 appartient au plan OPQ et doit donc vérifier les équations paramétriques de ce = λ + µ plan : OPQ y = 3λ + µ (1) = µ Le vecteur de composantes ( λ+µ ;3λ+ µ ;µ) est un vecteur directeur de d 1 ; il est orthogonal au vecteur de composantes ( 1;0;0 ) qui est vecteur directeur de la droite OM, donc ce qui entraîne µ = λ ( λ+µ ;3λ+ µ ;µ) ( 1;0;0) = λ+µ En remplaçant µ par cette valeur dans (1), on obtient des équations paramétriques de d 1 : d 1 y = λ = 4 λ Équations de d = σ + µ Tout point de d doit vérifier les équations paramétriques du plan OMQ : OMQ y = µ = µ On a d OP, donc ( ; ; ) ( ;3;0) 6 0 σ+µ µ µ = σ+ µ+ µ =, ce qui entraine σ = 4µ = 3µ On a donc d y = µ = µ Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 15

16 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Équations de d 3 Tout point de d3 doit vérifier les équations paramétriques du plan OMP : On a d3 OQ, donc ( ;3 ;0) ( 1;;) 6 0 = σ+ ρ OMP y = 3ρ σ+ ρ ρ = σ+ ρ+ ρ =, ce qui entraine σ = 8ρ = 6ρ On a donc d3 y = 3ρ Les trois droites sont coplanaires Les trois droites ont un point commun, le point O ; il faut montrer (par exemple) que tout point de la droite d3 est situé dans le plan α = ( d1 ; d ) Les vecteurs directeurs de d1 et d sont vecteurs directeurs du plan α, qui contient le point O On a = 3µ α y = λ + µ = 4 λ + µ ou α 6x + 1 y 3z () En remplaçant x, y et z dans () par les coordonnées d un point de d 3, on obtient 36ρ + 36ρ ; les coordonnées de tout point de d 3 vérifient l équation du plan α ; les trois droites sont donc coplanaires Une équation cartésienne de ce plan est α 6x + 1 y 3z 15 Perpendicularité dans un cube z Le cube est représenté dans le repère choisi sur la figure ci-contre ; les arêtes du cube sont de longueur L Les coordonnées des différents sommets sont donc A( L ;0;0), B( L; L ;0), C( 0; L ;0), D ( 0;0;0) A' ( L;0; L ), B' ( L; L; L ), C' ( 0; L; L ), '( 0;0; ) D L A D D B C C y a Les plans AB D et C DB sont parallèles si un couple de vecteurs directeurs de l un est couple de vecteurs directeurs de l autre Vecteurs directeurs de AB D : AB 0; L; L B D L; L;0 ( ) et ( ) Vecteurs directeurs de C DB : DC 0; L; L BD L; L;0 ( ) et ( ) Les deux plans ont un même couple de vecteurs directeurs ; ils sont donc parallèles Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 16 x A B

17 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 b Il faut vérifier qu un vecteur normal au plan AB D est un vecteur directeur de la droite A C Équation cartésienne du plan AB D : x L 0 1 AB D y 1 1 ou AB D x y + z L (1) z 1 0 Le vecteur de composantes ( 1; 1;1) On a A C ( L; L; L) = λ A C y = L λ = λ est un vecteur normal au plan AB D ; les composantes de ce vecteur directeur sont proportionnelles aux composantes du vecteur normal, donc A C est perpendiculaire à AB D c Les coordonnées du point T vérifient les équations de la perpendiculaire A C et l équation cartésienne (1) du plan AB D Pour écrire des équations paramétriques de A C, on considère le point C et le vecteur directeur ( 1; 1;1) En remplaçant x, y et z dans (1) par les coordonnées d un point de la droite, on obtient On a λ + λ L + λ L ou 3L L 3 L L L L λ =, ce qui donne T ; ; A T = = et A C = 3L = L 3 ce qui entraîne 9 3 A C A T = 3 16 Tétraèdre a On représente le tétraèdre OABC dans un repère orthonormé de l espace (figure ci-contre) b Il faut vérifier que les 6 arêtes du tétraèdre sont de même longueur Elles sont toutes de longueur 18 = 3 u 0;1; 1 c Les vecteurs ( ) et v ( 1;1;0 ) sont des vecteurs directeurs du plan ABC Une équation cartésienne du plan ABC est x y 1 1 z x + y + z 6 ce qui revient à Le vecteur n ( 1,1,1) est un vecteur normal au plan ABC = t La perpendiculaire au plan ABC, issue de l origine a pour équations y = t = t La distance de l origine au plan ABC est Elle perce le plan ABC au point D (,,) A(3;0;3) x O z B (3;3;0) C (0;3;3) y dist ( O, D ) = = 1 = 3 Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 17

18 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 On peut aussi utiliser la formule de distance d un point à un plan établie dans l exercice 4 b : 17 Encore un tétraèdre 6 dist ( O, ABC ) = = 3 3 a Plan ABC : vecteurs directeurs AB ( 3; 3;3) ou u( 1; 1;1) x 1 ABC y z 1 16 = 6+ 3λ On écrit des équations paramétriques de cette hauteur hd y = + λ = 1 λ Les coordonnées du point de percée de la hauteur dans le plan doivent vérifier l équation du 1 plan, donc 3(6 + 3 λ ) + ( + λ) (1 λ) 6, donc λ = 9 3 Le point de percée de h Ddans le plan ABC a pour coordonnées ; 1; et 5 AC 1; ; 8 ou, après simplification, ABC 3x + y z 6 ou v ( ;5;16) b La hauteur issue de D a pour vecteur directeur un vecteur normal au plan ABC, soit n( 3;; 1) c Le point H est le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet C sur la droite AB dans le triangle ABC H = λ H AB λ R : yh = 4 λ H = + λ 5 Le vecteur CH λ + 1; λ ;8+ λ est donc nul : ( ) est orthogonal au vecteur AB ( 3; 3;3) 5 λ + 1; λ ;8+ λ 3; 3;3 i et donc 13 λ = Les coordonnées du point H sont ; ; ; leur produit scalaire d Hauteur issue de A Équation cartésienne du plan BCD : BCD 10x + 14 y 3z dist( A; BCD) = = x y 1 0,5 3 z ou, après simplifications, Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 18

19 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Hauteur issue de B Équation cartésienne du plan ACD : ACD 13x + 14 y 6 z dist( B; ACD) = = x 1 6 y 4,5 6 z 8 1 ou, après simplifications, Hauteur issue de C Équation cartésienne du plan ABD : ABD x + y ,5 4 7 dist( C; ABD) = = x 1 6 y z 1 1 ou, après simplifications, Hauteur issue de D Équation cartésienne du plan ABC (voir a) : ABC 3x + y z dist( D; ABC) = = La plus petite des hauteurs du tétraèdre est la hauteur issue du sommet B On peut comparer les longueurs en transformant les fractions, ce qui permet de les ordonner Puisque = = et = =, on a > > > Lieu de pieds a Le vecteur n( ; a; a) est un vecteur normal au plan π et donc un vecteur directeur de toute perpendiculaire à ce plan Soit p la perpendiculaire abaissée de W sur ce plan = a + λ On a p y = a + 1+ aλ = a 1 + a λ Les coordonnées du point Q, pied de la perpendiculaire abaissée de W sur π, sont obtenues pour ( a + λ ) + a a aλ + a( a 1 + aλ ) + a + 4 la valeur de λ qui vérifie l équation du plan : ( ) 3 On obtient λ = ( a + ) ( a + ) ( a + ) a + = Les coordonnées de Q sont a a ;1 ; 1 Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 19

20 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 b On peut écrire les coordonnées des différents points Q sous la forme x = a y = 1 a z = 1 Ces points x = appartiennent tous à une droite d dont un système d équations paramétriques est λ y = 1, λ z = 1 car tous les points Q sont obtenus en remplaçant λ par a dans ces équations paramétriques En éliminant λ entre les équations, on obtient des équations cartésiennes de la droite : = d y z = c Comme on remplace λ par a, on obtient les points de la droite correspondant à une valeur positive de λ (on suppose que a est un réel quelconque) Il s agit des points de d situés sur la demidroite d extrémité P( ;1; 1) et comprenant les points dont la cote est inférieure à 1 19 Cerf-volant a Pour calculer les longueurs des côtés du quadrilatère, il faut connaitre les coordonnées des points E, F et G Équation du plan π DB ;; Le vecteur ( ) passe par l origine On a donc π x + y z et ses multiples non nuls sont des vecteurs normaux au plan π Ce plan Équations des arêtes = r = r DA y DB y = r = r = r DC y = r = r Coordonnées des points d intersection E ( 1;0;1) F 4 ; ; G ( 0;1;1) Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 0

21 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Longueur des côtés (en unité de longueur) EF 4 = =, FG = + + = OE = = = 1, 414 OG = Le quadrilatère OEFG a deux paires de côtés adjacents de même longueur ; c est un cerf-volant b Vecteur directeur de la diagonale OF : OF 4 ; ; Vecteur directeur de la diagonale EG : EG ( 1;1;0) 4 OFi EG = ( 1) Le produit scalaire est nul, donc les diagonales OF et EG sont perpendiculaires c On calcule la longueur d une des diagonales, par exemple celle de OF On a OF = + + = = = 1, Si on choisit une unité de cm, la longueur de la diagonale sera de 3,66 cm, et les longueurs des côtés seront 1,63 cm et,88 cm On trace la diagonale ; chaque extrémité est le centre d un arc de cercle ayant pour rayon la longueur des côtés On dessine le cerf-volant en reliant les extrémités de la diagonale aux points d intersection des arcs de cercle G 0 F E Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 1

22 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, Sélection a Les points P associés aux notes obtenues par les candidats sont situés dans un cube dont la longueur de l arête est égale à 0 ; en effet, pour chaque matière, le candidat peut obtenir une cote comprise entre 0 et 0 b La note totale d un candidat est donnée par l expression x + y + z Si cette note vaut 50, on a x + y + z = 50 C est l équation d un plan Les points P associés aux candidats ayant obtenu un total de 50 points sont situés sur la section du cube par ce plan (représentée en couleur sur la fig 6) c Les notes obtenues par les candidats représentés par des points situés sur les côtés du polygone sont données dans le tableau suivant Soit un point P situé sur le côté N T (face avant du cube) Ce candidat a obtenu 0 points en histoire des sciences et des techniques et a donc 40 points dans sa note globale ; sa note globale doit encore augmenter de 10 points, soit y + z = 10 pour atteindre un total de 50 Histoire des sciences et des techniques X Géographie de l Europe y Culture générale z MN 0 x + z = 5 N T 0 y + z = 10 TQ 0 x + y = 50 QR 0 x + z = 15 R S 0 y + z = 50 SM 0 x + y = 10 d Les candidats qui ont réussi la sélection sont représentés par des points situés sur le plan de section et en avant de ce plan dans le cube de côté 0 e Il faut déterminer la section du cube par le plan α x + y + z = 40 Intersection du plan α et de l axe Oz x + y + z = 40 x y Intersection du plan α et de l axe Ox x + y + z = 40 y D ( 0;0;0) A ( 0;0;0) Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace

23 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Intersection du plan α et du côté B C x + y + z = 40 y = 0 H ( 10;0;0) Intersection du plan α et du côté C G x + y + z = 40 x y = 0 1 L usine de Karim Choix du repère : voir figure Sortie S du réservoir : S ( 5,75;3,50;9 ) J ( 0; 0;10) Extrémité Q du premier tuyau : Q ( 10,75;6,15;,5 ) z U x T P J α Q,5 S Ι V 10,75 R 5,75 y 1,30 6,15 3,50 a Tuyau SQ Vecteur directeur : ( 5;,65; 6,75 ) Equations de la droite : = 5,75 + 5λ SQ y = 3,50 +,65λ = 9 6,75 λ Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 3

24 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Tuyau SR (il faut déterminer le point R) Le vecteur P T est un vecteur directeur de SR ; on a P ( 0;6,15;8,75 ) et T ( 0;1,30;6,0 ) donc PT ( 0; 6,15;,55) et Équations de la droite : = 5,75 SR y = 3,50 + 6,15µ = 9,55 µ Toiture percée par les tuyaux : plan PUV PV 0;6,15;,55 (car parallèle à l axe Ox) et ( ) π = avec V ( 0;0;6,0) de vecteurs directeurs ( 1;0;0 ) x 1 0 π y 0 6,15 z 6, 0,55, ce qui donne π 55 y 615z Point de percée I du premier tuyau dans le toit : c est l intersection de π et SQ 55( 3,50 +,65λ ) 615( 9 6,75λ ) λ = 89, λ = Ce qui donne I = 5, ;3,50 +,65 ;9 6,75 ( 6,61;3,96;7,84 ) Le point de percée du premier tuyau dans le toit se trouve environ à 6,61 m du pignon, à 3,96 m du (plan du) mur latéral et à 7,84 m de hauteur Point de percée J du second tuyau dans le toit : il faut déterminer { J} 55( 3,50 + 6,15µ ) 615( 9,55µ ) , 5µ = 89, 5 89,5 553 µ = = 3136, = SR π On en déduit J = 5,75;3,50 + 6,15 ;9,55 = ( 5,75;5,13;8,33 ) Le point de percée du second tuyau dans la toiture se trouve environ à 5,75 m du pignon, à 5,13 m du (plan du) mur latéral et 8,33 m de haut Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 4

25 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Extrémité R du second tuyau On sait que ce point est à 1m du sol, donc z = 9,55µ = 1, ce qui donne R On a donc = 5,75;3,50 + 6,15 ;1 = ( 5,75;,79;1 ) µ = =,55 51 L extrémité du second tuyau se trouve environ à 5,75 m du pignon, à,79 m du (plan du) mur latéral et à une hauteur de 1 m b Angle entre les deux tuyaux SQiSR SQiPT cos α = = SQ SR SQ PT = α = 55,15 ( 5;,65; 6,75) i( 0;6,15;,55) 5 +, , 75 6,15 +,55 L angle entre les deux tuyaux est de 55 0,57 Droites gauches et distance Pour déterminer la perpendiculaire commune, on peut procéder comme dans l exercice 11 c ou utiliser la méthode décrite ci-dessous : 1 on détermine un vecteur directeur de chacune des droites données, soient u et v on cherche un vecteur n orthogonal aux vecteurs u et v 3 on écrit une équation du plan π contenant d 1 et de vecteur directeur n 4 on détermine le point de percée P de d dans π 5 on écrit les équations de la droite passant par P et de vecteur directeur n ; c est la perpendiculaire commune cherchée a On utilise la méthode décrite ci-dessus 1 vecteur directeur de 1 u 3; ;4 d : ( ) ; vecteur directeur de d : v ( 1; ;1) Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 5 ; les deux droites ne sont ni parallèles (vecteurs directeurs non multiples) ni sécantes (aucun point de d 1 ne vérifie les équations de d ) Soit n( a; b; c) n i u = ( a; b; c) i ( 3; ;4) = 3a b + 4c n i v = a; b; c i 1; ;1 = a b + c ( ) ( ) Le vecteur n( 6;1; 4) 3 x 3 6 π y 1 1 z 4 4 est une solution particulière du système ou π 4x + 36 y + 15z 36 3a b + 4c a b + c

26 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, Pour déterminer les coordonnées de P d, on écrit des équations paramétriques de d puis on cherche la valeur de λ qui vérifie l équation du plan π = 1+ λ Équations paramétriques : d y = 3 λ = 1 + λ On remplace dans l équation de π : 4(1 + λ ) + 36(3 λ ) + 15(1 + λ) 36 On obtient 91 λ = et P ; ; x = + 6µ Équations de la perpendiculaire commune p y = +µ z = 4 µ 53 Pour calculer la distance entre les droites, il faut d abord déterminer le point Q commun entre p et d 1, c est-à-dire déterminer les valeurs de µ et ρ qui vérifient les équations suivantes : ρ = + 6 µ ρ = + µ ρ = 4 µ 53 dont la solution est ( ) 40 4 ρ ; µ = ; Les coordonnées du point Q sont ; ; La distance entre les deux droites est la norme du vecteur PQ ; ; dist ( d1, d ) = PQ = = b On utilise ici la même méthode que dans l exercice 11 c On écrit des équations paramétriques des droites données On détermine un vecteur directeur de chacune des droites ; soit ( ) = 3λ d1 y = 8λ et d y = µ = 1 λ = µ Ces droites ne sont pas parallèles et on peut vérifier qu elles ne sont pas sécantes u 3; 8;1 un vecteur directeur de 1 d et ( 0;1;3) v un vecteur directeur de d Soit P le point d intersection de la perpendiculaire commune p et de d 1 : ( ) ( ) P d1 λ R : xp ; yp ; zp = 3 λ; 8 λ;1λ Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 6

27 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 Soit Q le point commun de la perpendiculaire commune p et de d : ( Q Q Q ) ( ) Q d µ R : x ; y ; z ; µ ; 5 + 3µ PQ 3 λ ; µ + 8 λ; 5 + 3µ 1λ est orthogonal aux vecteurs u et v, donc Le vecteur ( ) ( ) i ( ) ( 3 λ ; µ+ 8 λ; 5+ 3µ 1λ ) i ( 0;1;3) 3 λ ; µ+ 8 λ; 5+ 3µ 1λ 3; 8;1 8µ 17λ = 60 Les réels λ et µ doivent vérifier le système ; la solution du système est 10 µ 8 λ = µ ; λ = ; 77 ( ) Les coordonnées de P sont ; ; et celles de Q : ; ; Le vecteur PQ ; ; est un vecteur directeur de la perpendiculaire commune p ; on peut prendre comme vecteur directeur un vecteur multiple de PQ, de composantes plus w 1;3; 1 simples, par exemple ( ) On écrit des équations paramétriques de p : x = 1ρ 5 p y = + 3ρ 35 z = ρ La distance entre les deux droites est la longueur du vecteur PQ : 3 Courbes de niveau a La section de la surface conique donnée par un plan perpendiculaire à la base et comprenant le sommet est un triangle isocèle (figure ci-joint) ; les traces des plans équidistants sont les diamètres des courbes de niveau de forme circulaire Par le théorème de Thalès, on a AA SA 1 = = BB SB car les plans horizontaux sont équidistants On a donc BB = AA De la même manière, on montre que PQ = 3850 = CC = 3 AA, DD = 4AA, Les rayons des cercles «courbes de niveau» forment une suite arithmétique ; les cercles sont donc équidistants Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 7 E D C B A S A B C D E

28 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 b Courbes de niveau d une sphère : cercles concentriques (figures réduites à 40 %) Courbes de niveau d un cylindre droit de 5 cm de rayon : les courbes de niveau sont confondues avec un cercle de 5 cm de rayon c Les zones entre deux courbes correspondent aux interprétations de l IMC par l Organisation mondiale de la Santé Ainsi, une personne mesurant 1,9 m et pesant 95 kg est en surpoids, taille (en cm) IMC=16,5 IMC=18,5 IMC=5,1 maigreur 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 dénutrution corpulence normale surpoids obésité modérée obésité sévère obésité morbide IMC=30 IMC=35 IMC=40 1, masse (en kg) Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 8

29 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Education sa, 014 On peut aussi présenter le graphique en plaçant la taille en abscisse et le poids (masse) en ordonnée masse (en kg) obésité morbide IMC=40 obésité sévère obésité modérée IMC=35 surpoids corpulence normale maigreur IMC=30 IMC=5 IMC=18,5 IMC=16,5 50 dénutrition ,4 1,5 taille (en m) 1,6 1,7 1,8 1,9,1 Chapitre 13 Géométrie analytique de l espace 9