Fonctions exponentielles de base q et logarithme décimal

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1 Fonctions eponentielles de base q et logarithme décimal I) Fonctions eponentielles de base q : 1) Définition : q étant un nombre strictement positif différent de 1 Toute fonction qui à tout nombre réel q fait correspondre q est appelée fonction eponentielle de base q. ) Eemples : Les fonctions f() = ; g() = 0,5 et h() = ( 1 ) sont des fonctions eponentielles de bases respectives ; 0,5 et 1. 3) Qu est ce qu une fonction eponentielle de base 10? Sur la calculatrice on utilise les touches pour la casio et pour la TI afin déterminer leurs valeurs. a) On considère le tableau suivant qu il faut compléter : -3 -,5 - -1,5-1 -0, ,5 1 1,5,5 3 3,5 10 b) Vérifier que les nombres de la deuième ligne sont les termes consécutifs d une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison. U 1 = q = (arrondir au centième) c) Vérifier que les nombres de la deuième ligne sont les termes consécutifs d une suite géométrique dont le premier terme est 0,001 et de raison 10. d) A l aide de la calculatrice, tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur [-3 ; 3,5] par f() = 10. Fenêtre : X min = -3 ; X ma = 3,5 ; Pas = 1 Y min = 0 ; Y ma = ; Pas = 100. e) Compléter le tableau de variation de f() = Fonctions eponentielle et logarithme décimal Page 1 /6

2 4) Propriétés opératoires des fonctions eponentielles de base 10 : Quels que soient les nombres a et b : 10 a 10 b = a 10 b = b = (10 a ) b = ) Étude du sens de variation de la fonction eponentielle de base 0,5 : a) On considère le tableau suivant qu il faut compléter : -3 -,5 - -1,5-1 -0,5 0 0,5 0,5 1 1,5,5 3 3,5 0,5 b) A l aide de la calculatrice, tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur [-3 ; 3,5] par f() = 10. Fenêtre : X min = -3 ; X ma = 3,5 ; Pas = 1 Y min = 0 ; Y ma = 10 ; Pas = 1. c) Compléter le tableau de variation de f() = 0,5. 0,5 d) Courbe représentative de la fonction eponentielle de base q : Si q > 1 La fonction f : q est. Si 0 < q < 1 La fonction f : q est. y y Y = q Y = q 0 0 6) Eercices : Eercice N 1 : Pour chacun des nombres donnés, l écrire sous la forme 10 n, puis sans calculatrice, donner sa valeur décimale = = = = (10 ) 3 = = Fonctions eponentielle et logarithme décimal Page /6

3 = = = = (10-3 ) = = Eercice N : Pour chacun des nombres suivants, l écrire sous la forme n, puis, avec la calculatrice, donner une valeur décimale. 3 4 = = ( 3 ) = = ( - ) = = 4 = = 4 7 = = -3 7 = = Eercice N 3 : Eprimer en fonction de les nombres suivants : 3 = = = 3 = = 4 II) Fonction logarithme décimal : 1) Définition : La fonction logarithme décimal est définie pour tout strictement positif par f() = log() log(1) = 0 log(10) = 1 ) Qu est ce qu une fonction logarithme décimal? A l écran de la calculatrice, on a tracé la courbe d équation y 1 = 10 et la droite d équation y = 0,5. Fenêtre : X min = -1 ; X ma = 1 ; Pas = 0,5 Y min = -1 ; Y ma = 4 ; Pas = 1. On observe que l équation 10 = 0,5 a une solution. Donner une valeur approchée 1 de cette solution en utilisant la fonction trace de la calculatrice. 1 De la même manière, résoudre graphiquement 10 = 1 et 10 = 3. On appelle et 3 leurs solutions. = 3 = Calculer log(0,5), log(1) et log(3) (arrondir au centième). log(0,5) = log(1) = log(3) = On peut dire que l équation 10 = 0,5 a pour solution = 10 = 1 a pour solution = 10 = 3 a pour solution = Plus généralement : Pour a > 0, l équation 10 = a a une solution unique ; cette solution est appelée ; on la note =. 3) Étude de la fonction logarithme décimal : Fonctions eponentielle et logarithme décimal Page 3 /6

4 La fonction logarithme décimal est la fonction f définie pour tout > 0 par f() = log(). Sur la calculatrice on utilise les touches pour la casio et pour la TI. A l écran de la calculatrice, tracer la courbe représentative de f. Fenêtre : X min = 0 ; X ma = 0 ; Pas = 1 Y min = -1 ; Y ma = ; Pas = 0,5. A partir de l observation du graphique, compléter le sens de variation de f. Log() 4) Propriétés opératoires de la fonction logarithme décimal : Quels que soient les nombres a et b strictement positifs. log (ab) = log(a n ) = log ( a b ) = log( 1 b ) = Quelque soit le nombre, log(10 ) =. 5) Eercices : Eercice N 1 : Compléter le tableau de valeurs après avoir écrit les nombres du tableau sous la forme d une puissance de 10. 0,001 0,01 0, log() Pour chaque écriture obtenue, comparer l eposant et le logarithme décimal. Sachant que, pour n entier positif ou négatif, on a log(a n ) = nlog(a). Montrer que log(10 n ) = n Eercice N : Eprimer en fonction de log() et de log(3) les nombres suivants : Fonctions eponentielle et logarithme décimal Page 4 /6

5 log(4) = log( 7 ) = log(108) = Eercice N 3 : Mettre sous la forme d un seul logarithme les epressions suivantes, puis les calculer en donnant les résultats arrondis au millième X = log( ) + log( ) = Y = log( ) log(3) = 9 Eercice N 4 : Sachant que ( 10 ) 1 = 10, montrer que log( 10 ) = III) Équations inéquations : 1) Résoudre l équation q = a : Attention pour résoudre cette équation, il faut que a > 0. En effet, on va utiliser la fonction logarithme décimal et le log d une valeur négative n eiste pas. q = a On prend le logarithme décimal de chaque membre. log(q ) = log(a) On utilise les propriétés opératoires des logarithmes. log(q) = log(a) log(q) = log(a) Eercice : Résoudre les équations suivantes, donner une valeur approchée du résultat au centième : (1,3) = (,5) = 0,1 ) Résoudre une inéquation du type q b avec b > 0 : Fonctions eponentielle et logarithme décimal Page 5 /6

6 q b On prend le logarithme décimal de chaque membre et puisque la fonction logarithme est croissante, on peut écrire : Log(q ) On utilise les propriétés opératoires des logarithmes. log(q) On distingue alors deu cas : Si q > 1 alors log(q) > 0 Si 0 < q < 1 alors log(q) < 0 On obtient On obtient log(q) log(q) S = [ ; + [ log(q) S = ] - ; ] log(q) On résout de la même manière l inéquation q b. Eercice : Résoudre les inéquations suivantes : (1,09) (0,7) 0,4 3) Résoudre une équation du type log() = a avec > 0 : log() = a Puisque a = log(10 a ), on peut écrire : log() = log(10 a ) et donc = 10 a. Eercice : Résoudre les équations suivantes (donner une valeur approchée du résultat au centième): log() =,5 log() = - 1,3 On peut résoudre une inéquation du même type. Fonctions eponentielle et logarithme décimal Page 6 /6