OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES

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1 ACADEMIE DE LA MARTINIQUE ET AEFE ZONE AMERIQUE DU NORD OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES Session de 2012 Le mercredi 21 mars 2012 Durée : 4 heures Ce sujet comporte 8 pages y compris celle-ci. NB : il est conseillé de laisser sur votre copie la trace de votre recherche. Le jury valorisera toute démarche pertinente, même non aboutie. Page 1 sur 8

2 Exercice 1 Un organisateur de spectacle organise un concert dans une salle de 800 places. Il souhaite fixer le prix du billet pour optimiser sa recette. Une étude du marché lui apprend que : Si le prix du billet est de 50, il vend 300 billets. Chaque baisse de 0,06 sur le prix du billet lui permet de vendre un billet supplémentaire. Déterminer le prix du billet pour que la recette soit maximale. Exercice 2 Partie I - Sur un tétraèdre. Deux billes se trouvent sur deux sommets d un tétraèdre. A chaque étape d un jeu, les deux billes se déplacent simultanément, de façons aléatoires et indépendantes d un sommet à un autre en suivant une arrête. Les déplacements possibles sont équiprobables. A la première étape : Si au cours du déplacement, les deux billes se rencontrent sur une arrête, alors le jeu s arrête et le joueur à perdu. Si à l issue du déplacement, les deux billes se retrouvent sur un même sommet, alors le jeu s arrête et le joueur a gagné. Sinon, le jeu continue, et à la deuxième étape, les règles sont les mêmes qu à la première. Si le jeu continue à l issue de la deuxième étape, la troisième étape sera la dernière et la règle est la suivante : le joueur a gagné si à l issue du déplacement des deux billes, elles se retrouvent sur un même sommet. Le joueur a perdu dans tous les autres cas a. Démontrer que la probabilité que le joueur perde après une seule étape est égale à. 9 b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne après une seule étape? 2. a. Quelle est la probabilité que le jeu s arrête à l issue de la seconde étape? b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne à l issue de la 3 ème étape? 3. Quelle est la probabilité que le joueur gagne? Page 2 sur 8

3 Partie II Sur une pyramide. Dans cette nouvelle version du jeu, les deux billes sont initialement placées sur deux sommets d une pyramide à base carrée. Par ailleurs, les règles du jeu sont identiques. On peut alors facilement se convaincre que, tant que le jeu continue, à l issue d une étape, les deux billes sont nécessairement placées dans l une des trois configurations ci-dessous : Configuration A : Les deux billes sont situées sur la base de la pyramide, aux deux extrémités d une même arrête. Par exemple : Configuration D : Les deux billes sont situées sur la base de la pyramide et diagonalement opposées. Par exemple : Configuration S : L une des deux billes est située sur le sommet de la pyramide. Par exemple : + Page 3 sur 8

4 On considère les évènements : A 1 : A l issue de la première étape, les billes sont en configuration A. D 1 : A l issue de la première étape, les billes sont en configuration D. S 1 : A l issue de la première étape les billes sont en configuration S. G 1 : A l issue de première étape, le joueur a gagné. F 1 : A l issue de première étape, le joueur a perdu. 1. Les deux billes sont placées initialement dans l une des trois configurations A, D ou S. Compléter le tableau ci-dessous. Les résultats seront donnés sans justification. Billes initialement en configuration A Billes initialement en configuration D Billes initialement en configuration S P(A 1) P(D 1) P(S 1) P(G 1) P(F 1) 2. Les billes sont placés initialement dans la configuration A. Quelle est la probabilité que le joueur gagne? Page 4 sur 8

5 Exercice 3 (Les différentes parties sont indépendantes) Partie I Rappels : Aire d un trapèze : A B b h 2 Dans la figure ci-contre, si le rayon du disque est R, et si l angle du secteur angulaire grisé mesure α (en degrés), alors l aire de la portion de disque grisée vaut παr 2 /360. Une pizza rectangulaire ABCD comporte de la croûte sur deux côtés consécutifs, [DA] et [AB]. On cherche comment partager la pizza en trois morceaux équitables : chaque part doit avoir la même longueur de croûte et la même aire. Dans chaque situation, on fixe la longueur du petit côté AD = Dans le cas particulier ci-contre, on suppose que le partage réalisé est équitable. Quelle est la longueur AB? Déterminer les longueurs DF, FH et HC. Page 5 sur 8

6 2. On généralise la situation en posant AB = L (et en supposant toujours que AD = 1). Déterminer, pour chaque situation ci-dessous, les longueurs utiles permettant de découper équitablement la pizza. Situation 1 : L > 2 Situation 2 : L < 2 Partie II On souhaite partager une portion de disque de centre O en deux parties ayant même aire, et telles que l arc de cercle AB soit inclus dans une seule de ces parties. 1. On suppose que OA = OB = 1, et que l angle AOB est droit. Déterminer OC pour que les deux parts aient la même aire dans les deux cas suivants : Cas 1 : OA est un rayon Cas 2 : OD = OC 2. On souhaite généraliser ce problème dans le cas où l angle AOB est aigu et mesure degrés. Déterminer OC en fonction de dans chacun des cas suivants. α α Remarque : pour le cas 2, on pourra utiliser la formule suivante : 2sin cos sin α 2 2 Cas 1 : OA est un rayon Cas 2 : OC = OD Page 6 sur 8

7 3. Les formules obtenues au 2. permettent également d obtenir la solution dans le cas d un angle obtus «pas trop grand». Justifier que si la mesure de l angle AOB est supérieure à une valeur particulière, un découpage équitable est impossible. Décrire la situation limite à l aide d une équation et déterminer une valeur approchée de (à l aide d une calculatrice). Exercice 4 On dit qu un entier naturel non nul n est éligible lorsque le carré de côté n peut-être partagé en n carrés à côtés entiers. Les figures ci-dessous montrent que les entiers n = 6 ; n = 9 et n = 11 sont éligibles (l entier écrit à l intérieur de chaque carré indique la longueur du côté). Figure a Le carré de coté 6 est partagé en 6 carrés Figure b Le carré de coté 9 est partagé en 9 carrés Page 7 sur 8

8 Figure c Le carré de coté 11 est partagé en 11 carrés 1. Expliquer pourquoi 3 n est pas éligible. 2. a. Justifier par une figure que 4 éligible. b. Démontrer que tout nombre de la forme p 2, où p est un entier non nul, est éligible. 3. a. En s inspirant de la figure a ci-dessus, justifier par une figure que 8 est éligible. b. Montrer que, pour tout p 1, (2p)² = (2p 2)² + 4 (2p 1). c. En déduire que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est éligible. 4. a. Montrer que, pour tout p 1, (3p)²= (3p 3)² + 9 (2p 1). b. Trouver une construction prouvant que 15 est éligible. Page 8 sur 8