Transformations du plan ( isométries ) A et A sont symétriques par rapport à la droite d si et seulement si d est la médiatrice de [AA ].

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1 I. La symétrie axiale : Transformations du plan ( isométries ) A et A sont symétriques par rapport à la droite d si et seulement si d est la médiatrice de [AA ]. Par conséquent, d est perpendiculaire à [AA ] et coupe [AA ] en son milieu. L élément caractéristique d une symétrie orthogonale est son axe. Notations : S d désigne la symétrie d axe d S d (A) désigne l image de A par la symétrie d axe d S d (A) = A Remarques : une symétrie échange un point avec son symétrique dans une symétrie axiale, les points de l axe sont fixes une symétrie orthogonale est une transformation du plan - tout point a un seul symétrique - tout point est le symétrique d un seul point Invariants de le symétrie axiale : La symétrie axiale conserve : l alignement des points la longueur des segments ( on dit qu elle conserve les distances ) l amplitude des angles le parallélisme et la perpendicularité des droites l aire des figures le milieu. Un axe de symétrie d une figure est une droite qui partage la figure en deux parties superposables. 1

2 Symétrie axiale et plan cartésien : Les points A, B et C sont donnés dans le plan cartésien. Donner leurs coordonnées ; construire les symétriques demandés et déterminer les coordonnées de ces derniers. A image de A par la symétrie orthogonale d axe des x B image de B par la symétrie orthogonale d axe des y C image de C par la symétrie orthogonale d axe des x D image de D par la symétrie orthogonale d axe des y. Si les coordonnées du point A sont ( 3, 4 ) : quelles sont les coordonnées de son symétrique par rapport à l axe X? quelles sont les coordonnées de son symétrique par rapport à l axe Y? Généralisation : Si A ( x, y ) alors son symétrique par rapport à l axe des x est A ( ; ) son symétrique par rapport à l axe des y est A ( ; ) 2

3 II. La symétrie centrale : A et A sont symétriques par rapport au point C si et seulement si C est le milieu de [AA ]. L élément caractéristique d une symétrie centrale est son centre. Notations : S C désigne la symétrie de centre C S C (A) désigne l image de A par la symétrie de centre C S C (A)= A Remarques : une symétrie échange un point avec son symétrique dans une symétrie centrale, seul le centre est fixe une symétrie centrale est une transformation du plan - tout point a un seul symétrique - tout point est le symétrique d un seul point Invariants de la symétrie centrale : La symétrie centrale conserve : l alignement des points la longueur des segments ( on dit qu elle conserve les distances ) l amplitude des angles le parallélisme et la perpendicularité des droites l aire des figures le milieu. Lorsque le symétrique d une figure F, par rapport à un point C est la figure F elle-même, on dit que C est un centre de symétrie de cette figure F. Symétrie centrale et plan cartésien : A est l image de A par la symétrie centrale de centre O. Construire A Comparer les coordonnées de A et A. Construire l image de B par cette symétrie. Quelles seraient les coordonnées de l image du point P ( 123, -702 ) par cette même symétrie? Généraliser le résultat. 3

4 Généralisation : Si A ( x, y ) alors son symétrique par rapport à l origine O du repère est A ( ; ) III. Translations : Activité : Décalquer la droite (OU) et marquer O sur le calque. Décalquer la figure F, puis faire glisser la figure décalquée suivant (OU), dans le sens de O vers U, de façon que le point O vienne se superposer au point U. Reproduire alors la figure F. I H G F F E A B C D O U 4

5 Est-il nécessaire de décalquer toute la figure F, pour la reproduire?... On donne trois points A, B et C. Si l on fait glisser le point C parallèlement à la droite AB, dans le sens de A vers B, sur une distance égale à la longueur de [AB], on obtient un point D. Un tel glissement parallèle dans le plan, donne naissance à la translation qui applique le point A sur le point B. On parle aussi de translation de couple ( A, B ). L élément caractéristique d une translation est son couple. Notation : t désigne la translation de couple ( A, B ) AB t AB (C) désigne l image de C par la translation de couple ( A, B ) C = t AB (C ) D = t AB (D) E = t AB (E) On parle aussi de vecteur d une translation, dans notre exemple AB, il s agit d un segment de droite orienté. Il est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Remarques: une translation est un déplacement du plan dans une translation, il n y a AUCUN point fixe. SAUF si le couple de la translation est le couple ( A, A ), auquel cas TOUS les points sont fixes. une translation est une transformation du plan - tout point a un seul «translaté» - tout point est le «translaté» d un seul point. 5

6 Invariants d une translation : La translation conserve : l alignement des points la longueur des segments ( on dit qu elle conserve les distances ) l amplitude des angles le parallélisme et la perpendicularité des droites l aire des figures le milieu. Translations et plan cartésien. Soit le triangle ABC donné dans le plan cartésien. Construire le triangle 2, image de ABC par t ; le triangle 3, image de ABC par t RS PQ. Déterminer les coordonnées des sommets de chacun des triangles. Soit le triangle MNP donné dans le plan cartésien(voir page suivante ). Construire le triangle 2, image de MNP par t UV ; le triangle 3, image de MNP par t RS. Déterminer les coordonnées des sommets des trois triangles. Que constate-t-on? Si une translation s effectue parallèlement à un des axes du plan cartésien, quel lien peuton établir entre les coordonnées d un point et celles de son image par cette translation? 6

7 IV. La rotation : Si dans le plan de la feuille on fait tourner une figure autour d un point O, on peut réaliser une rotation, mais cette rotation peut s effectuer dans deux sens contraires l un de l autre : le sens des aiguilles d une montre appelé sens indirect et le sens contraire appelé sens direct. Dans le premier cas on parle de rotation d amplitude négative, dans le second de rotation d amplitude positive. Le triangle A B C est l image du triangle ABC par la rotation de centre O et d amplitude 60 (sens direct) Le triangle A B C est l image du triangle ABC par la rotation de centre O et d amplitude -60 (sens indirect) 7

8 Les éléments caractéristiques d une rotation sont : le centre l amplitude ( positive ou négative ) de l angle Notations : On note une rotation par la lettre R en précisant son centre et son amplitude R O,α désigne la rotation de centre O et d angle α R O,α (A) désigne l image du point A par la rotation de centre O et d angle α. Image d un point par une rotation : Pour déterminer l image de A par la rotation de centre O et d angle 30 : - on trace la demi-droite [OA) - on trace un arc de cercle de centre O et passant par A - on trace un angle de 30 dans le sens adéquat ( ici dans le sens direct puisque l amplitude est positive) Remarques : Une rotation est un déplacement. Une rotation admet un SEUL point fixe, son centre sauf si l angle de la rotation est nul auquel cas tous les points sont fixes. Une rotation est une transformation : - tout point a une image et une seule par une rotation donnée - tout point est l image d un seul point par une rotation donnée. 8

9 Invariants d une rotation : La rotation conserve : l alignement des points la longueur des segments ( on dit qu elle conserve les distances ) l amplitude des angles le parallélisme et la perpendicularité des droites l aire des figures le milieu. 9

10 Rotation et plan cartésien : On considère le triangle ABC représenté ci-dessous. Noter les coordonnées des sommets de ce triangle. Représenter en bleu, l image de ABC par la R 0,90 et en vert l image de ABC par la R 0,-90. Noter les coordonnées des points images dans chaque cas. Que constate-t-on? Si un point a pour coordonnées ( -55, 36), quelles seront alors les coordonnées de ses images par ces rotations? Généraliser. 10

11 Quelques conclusions : Effet de ces isométries sur les coordonnées d un point dans le plan cartésien: 1. Effet d une symétrie orthogonale par rapport à l axe X par rapport à l axe Y ( x, y ) (..,..) ( x, y ) (..,..) D 1 E 1 F 1 est l image d un triangle DEF par la symétrie d axe X et D 2 E 2 F 2 est l image de ce même triangle par la symétrie d axe Y. Sans les dessiner, compléter le tableau suivant : coordonnées des points D(-8 ;4) E(6 ;5) F(-4 ;-7) coordonnées des points images par S X coordonnées des points images par S Y 11

12 2. Effet d une symétrie centrale de centre O ( origine des axes ) ( x, y ) (..,..) R 1S1T1 est l image du triangle RST par la symétrie centrale de centre O. Complétez le tableau suivant, sans effectuer de schéma : Coordonnées des points R ( 6, 2 ) S ( 3, -5 ) T ( -4, 7 ) Coordonnées des points images par S O 3. Effet d une translation Considérons la translation qui applique O ( 0, 0 ) sur P ( a, b ) ( x, y ) (.,.) D 1E1F1 est l image du triangle DEF par la translation qui applique O ( 0, 0 ) sur P ( -2, -1 ). Compléter le tableau ci-après : Coordonnées des points D ( 2, 3 ) E ( 4, -2 ) F ( -2, -1 ) Coordonnées des points images par t OP 4. Effet d une rotation de centre O et d amplitude 90 ( x, y ) (..,..) de centre O et d amplitude -90 ( x, y ) (..,..) D 1E1F1 est l image du triangle DEF par la rotation O,90 triangle par la rotation O, 90 R et D 2E2F2 est l image de ce même R. Sans dessiner, compléter le tableau suivant : Coordonnées des points D ( 3, 5 ) E ( -2, -4 ) F ( -5, 3 ) Coordonnées des points images par R O,90 Coordonnées des points images par R O, 90 12