Géométrie Analytique : Projections

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1 Géométrie Analytique : Projections T.Liénart. Déterminer la matrice de projection parallèle sur OXY dans la direction du vecteur (a b c) T. Déterminer cette matrice lorsque les données sont : f, le rapport de réduction d'une perpendiculaire au plan de projection θ, l'angle OX et la projection d'une perpendiculaire au plan de projection Appliquer au cube unité (Sommet O, côtés suivant les axes, situé dans le premier trièdre) avec (f, θ) (.5, deg). Soit P X Y Z T P X Y Z T C'est une projection de direction (a b c) T et on sait que Z (étant donné que l'on projette sur OXY). On peut donc réécrire : P X Y Z T α a b c + β X Y Z T. Or, on sait que : αc + βz Z α βz c On peut donc encore réécrire : P X Y Z T αa + βx αb + βy βt βz c a + βx βz c b + βy βt

2 On réécrit cette matrice sous forme d'une matrice 4 4 ayant pour colonne les termes respectivement en X, Y, Z, T et pour lignes les termes en X', Y', Z', T'. Ainsi par exemple, à la première ligne de la matrice ci-dessus, on voit que le coecient de X est β par conséquent la première case (XX') prend β pour valeur. On obtient alors la matrice suivante : T P P β βa / c β βb / c β On peut mettre en évidence (et donc ignorer) le β et on obtient : T P P a / c b / c On nous dit dans l'énoncé que f est le rapport de réduction d'une perpendiculaire au plan de projection. Il faut imaginer la projection du vecteur (a b c) sur OXY, cette projection est f et l'angle entre l'axe X et f est θ. On travaille donc avec un triangle de côté f et c (-). On a donc : a f cos θ b f sin θ c T (f, θ) f cos θ f sin θ

3 On voudrait appliquer sur un cube avec (f, θ) (.5, deg). On a : T (.5, deg) f cos θ f sin θ / 4 / 4 Comme on veut appliquer cette transformation à un cube, on multiplie la matrice de transformation cidessus par ce cube sous sa forme matricielle avec les coordonnées de chacun de ses 8 sommets pour colonne: C / 4 / 4 Et cela donne nalement: C / 4 + / 4 / 4 + / 4 / 4 / 4 5 / 4 / 4. Déterminer la matrice de projection orthogonale sur le plan OXY Il sut d'imaginer la projection d'un vecteur perpendiculaire à OXY orthogonalement sur OXY. Il est évident que f vaudra. On reprend donc la matrice T (f, θ) trouvée plus haut pour obtenir : T

4 . Pour la projection centrale standard (plan de projection OXY, pôle en ( d ) T : a. Etablir la matrice T p b. Déterminer l'image des points du plan π Z + dt c. Etudier la projection du segment joignant les points P ( d ) T et P ( ) T d. Un cube a un sommet en O et ses arêtes dans le demi-espace Z > avec des directions ( ) T, ( ) T, ( ) T ; déterminer les points de fuite principaux de l'objet. (a) La matrice de projection centrale standard avec un pôle tel qu'il est donné est aimablement mise à notre disposition dans le syllabus : T p d d d Néanmoins il est intéressant de voir comment on y arrive, il s'agit d'une combinaison linéaire du point originel et du pôle : P X Y Z T α X Y Z T + β d αx αy αz βd αt + β Cet adjectif n'est pas entièrement approprié, disons plutôt : utile. 4

5 La projection se faisant sur le plan OXY, il est évident que Z αz βd β αz d.on peut donc réecrire : P X Y Z T αx αy αt + αz d Comme souvent, on peut mettre α en évidence (et donc l'ignorer), de même, on peut multiplier la matrice par d an d'obtenir nalement : P dx dy dt + Z d'où on tire : T p d d d (b) De l'expression de P' on tire (si π dt + Z ): P dx dy On voit immédiatement que T, et l'image des points du plan π est donc la droite à l'inni dans le plan OXY (puisque Z) : D OXY. (c) On applique la transformation au deux points : P & P d d d d d d d d d d 5

6 En mettant pour P : -d en évidence et pour P : d, on obtient : P et P On peut donc dénir l'image de tout point du segment de droite : P α + β α + β α β α + β Quand α β on obtient le point impropre : P i (d) Il sut d'appliquer la transformation aux directions données : P F T p d d ; P F T p d Et nalement : P F T p d d N'oubliez pas le signe - devant la matrice. 6

7 4. Soit un triangle ABC appartenant au plan π contenant la droite Y + bt du plan OXY, et incliné de 45 degrés sur ce même plan. a.etablir l'équation du plan π b.la projection orthogonale A B C du triangle ABC sur OXY étant telle que A ( ) T ; B ( ) T et C ( 4 ) T. Déterminer la projection centrale standard A'B'C' avec d. c.trouver la matrice de passage entre les coordonnées D des gures A B C et A'B'C'. (a) Il s'agit d'un plan passant par la droite D Y bt et incliné à 45 degrés, on le dénit comme suit : π Z tan θ(y + bt ) Y + T (avec θ π / 4 et b ). (b) On utilise la relation trouvée précédemment (à savoir : Z Y + T) et on trouve les points initiaux ABC : A B A et C 4 5. Similairement, on trouve: On nous dit après d'appliquer sur ces points ABC, la transformation T p avec d pour obtenir A'B'C'. 7

8 A B C T p ABC Ce qui donne : A B C (c) On demande de trouver la matrice de passage M p entre les coordonnées D des gures A B C et A'B'C'. C'est à dire : M p A B C A B C ou encore : a b c d e f g h i On trouvera : M p Construire une matrice correspondant à une projection axonométrique-isométrique Il faut le savoir, cela correspond à un basculement (T BAS (θ, φ)) suivi d'une projection orthogonale (T ). T iso T T BAS (θ, φ) c'est à dire : T iso cos φ sin φ sin θ sin φ cos θ cosθ sin θ sin φ cosφ sin θ cos φ cos θ 8

9 Ce qui donne : T iso cos φ sin φ sin θ sin φ cos θ cosθ sin θ Dans une projection axonométrique - isométrique, les rapport de longeurs sont conservés. Ainsi, la transformation des trois vecteurs unitaires doit envoyer vers des vecteurs de même longueur. ˆX Ŷ Ẑ T iso ˆXŶ Ẑ que l'on écrit : ˆX Ŷ Ẑ Ce qui nous donne : ˆX cos φ cos φ sin φ sin θ sin φ cos θ cosθ sin θ ; Ŷ sin φ sin θ cos θ ; Ẑ sin φ cos θ sin θ Comme dit précédemment la longueur des segments formés par ces points et l'origine doit être la même. cos φ sin φ sin θ + cos θ sin φ cos θ + sin θ On peut choisir un angle θ, on prend 45 degrés par simplicité. Cela implique que cos φ et que sin φ +. 9

10 On peut donc réécrire T iso : T iso