Chapitre 3 : Étude de fonctions; Rappels

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1 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04 Chapitre 3 : Étude de fonctions; Rappels Objectifs : Connaître toutes les notions du lycée (parité, monotonie, périodicité) Connaître les fonctions de référence (l étude des fonctions que vous ne connaissez pas encore sera menée au cours de l année). Le but de ce chapitre est de rappeler les propriétés essentielles des fonctions «classiques». I désigne un intervalle de R et f une fonction définie sur I, à valeurs réelles. Propriétés globales des fonctions. Protocole d étude d une fonction Rappelons les principales propriétés éventuelles des fonctions en vu par exemple du tracé d un esquisse de graphe. Rappelons que si le plan est muni d un repère, la courbe (représentative) de f est l ensemble des points du plan dont les coordonnée sont (x, f(x)) pour x I. Lorsque l on étudie une fonction, il est impératif de commencer par préciser son domaine de définition, c est-à-dire la partie de I sur laquelle f est bien définie; lorsque f est connue explicitement par une expression du type f(x), c est l ensemble des x I tels que f(x) existe. Lorsque le domaine de définition de f est l intervalle I tout entier, on dit que f est une application. Exemple. x + x est définie sur R mais x + x n est définie que sur R { }. Ensuite, il est bon de se demander quelles propriétés sont satisfaites parmi les suivantes : Définition.. Soit f une fonction définie sur I. Alors f est : paire sur I si et seulement si I est symétrique par rapport à 0 et x I, f( x) = f(x) impaire sur I si et seulement si I est symétrique par rapport à 0 et x I, f( x) = f(x) périodique de période T > 0 sur I si et seulement si majorée sur I si et seulement si x I, x + T I f(x + T) = f(x) M R, x I, f(x) M Un tel réel M est appelé majorant de f. J. Gärtner.

2 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04 minorée sur I si et seulement si m R, x I, f(x) m Un tel réel m est appelé minorant de f. bornée sur I si et seulement si f est majorée et minorée sur I. croissante (resp. strictement croissante) sur I si et seulement si x,y I, x < y f(x) f(y) (resp. f(x) < f(y)) décroissante (resp. strictement décroissante) sur I si et seulement si x,y I, x < y f(x) f(y) (resp. f(x) > f(y)) monotone (resp. strictement monotone) sur I si et seulement si f est croissante (resp. strictement croissante) sur I ou décroissante (resp. strictement décroissante) sur I. Définition.. (Autres symétries) Soit f une fonction définie sur I. Alors f est : symétrique par rapport à la droite d équation x = a si et seulement si x R, a + x I a x I et f(a + x) = f(a x) symétrique par rapport au point A(a,b) si et seulement si x R, a + x I a x I et f(a + x) + f(a x) = b Enfin, après l étude des variations et des symétries, on peut passer à une étude locale plus fine :. Limites (y compris asymptotes, branches infinies).. Régularité : la fonction est-elle continue? dérivable? de classe C? 3. Quelles sont les tangentes en des points particuliers? Tout ces points vont être abordés dans les chapitres à venir.. Remarques, exemples Remarque. Il ne faut pas confondre une fonction f (qui associe des réels à des réels) et le nombre réel f(x) pour x I. En particulier, il n y a pas de notion de nombre croissant! Alors attention, une phrase du type «f(x) est monotone» sera très lourdement sanctionnée! Remarque. Si f : R R est périodique, elle admet une infinité de périodes ; si T est une période, kt en est une aussi pour tout k N. On s intéresse souvent à la plus petite période possible. Remarque. Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l axe des ordonnées et une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport au centre O du repère. Enfin rappelons la définition des opérations sur les fonctions. J. Gärtner.

3 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04 Définition.. Soit f : I R et g : I R deux applications et λ R.. f + g : I R est définie par x I, (f + g)(x) = f(x) + g(x).. fg : I R est définie par x I, (fg)(x) = f(x) g(x). 3. λf : I R est définie par x I, (λf)(x) = λ f(x). 4. Si f ne s annule pas sur I, f : I R est définie par f (x) = f(x). Enfin si f : I R et g : J K avec f(i) J alors g f est l application définie par x I, g f(x) = g(f(x)). Remarque. Les règles de calcul usuelles seront supposées connues. On fera l abus de notation consistant à écrire 0 ou pour les fonctions constantes à 0 et à respectivement. Rappelons enfin que deux fonctions f et g définies sur un même intervalle I sont égales si et seulement si pour tout x de I, leurs expressions sont les mêmes (f(x) = g(x)). Proposition.. Soit f : I R et g : I R. Si f et g sont croissantes (resp. décroissantes) alors f + g est croissante (resp. décroissante). Si g : J R est telle que f(i) J alors si f et g ont même monotonie, g f est croissante. Si f et g sont monotones de sens contraire, g f est décroissante. Démonstration: Exercice! Une dernière remarque : il est nécessaire de savoir calculer lorsqu elles existent les dérivées de fonctions dérivées. Il faut connaître l équation de la tangente à la courbe représentative en un point. C.f. votre cours de terminale, tout sera revu un peu plus tard. Fonctions de référence Toutes les propriétés rappelées dans cette section sont admises pour le moment. Il est essentiel d avoir les courbes représentatives en tête y compris les tangentes : elles fournissent les principales propriétés des fonctions.... Puissance entière Les fonction puissance entière x x n (n N) sont définies, continues et dérivables sur R, croissantes sur R +. x x n est paire (resp. impaire) si et seulement si n est pair (resp. impair). On a lim x n = +. + Si n < 0 alors x x n est définie et dérivable sur R, décroissante sur R +, paire si n est pair, impaire si n est impair. De plus lim x + xn = 0 et lim f(x) = +. + x 0 J. Gärtner. 3

4 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04. Trinôme Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ax + bx + c où a,b,c R. Alors la courbe de f a des allures différentes suivant le signe de a et celui du discriminant : J. Gärtner. 4

5 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04.3 Racine carrée La fonction x x est définie, continue et croissante sur R +. Elle n est dérivable que sur R +. On a lim x = +. x +.4 Racine cubique On admet pour le moment qu il existe une fonction «racine cubique» notée x x /3 définie sur R qui est croissante, impaire, et telle que lim x + x/3 = +. Les calculs avec cette fonction suivent les rêgles connues sur les puissances. C est juste une puissance rationnelle (comme d ailleurs x = x / ). La courbe représentative de cette fonction est symétrique de x x 3 par rapport à la première bissectrice (droite d équation y = x)..5 Inverse La fonction x x et sur R. est définie, continue, dérivable et strictement décroissante sur R+ J. Gärtner. 5

6 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04.6 Fonction trigonométrique Les fonctions cosinus et sinus sont définies, continues et dérivables sur R. Elles sont π-périodiques, cosinus est paire et sinus impaire. Cosinus est décroissante sur [0,π] et sinus est croissante sur [ π, π ]. x sin x π x cos x π La fonction tangente x sin x cos x est définie sur R {π, k Z}. Elle est π-périodique, continue, dérivable, impaire et strictement croissante sur ] π + kπ, π + kπ[ pour tout k Z. Sa dérivée est l application x cos x = +tan x. De plus lim = + et lim = x π x π +. J. Gärtner. 6

7 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04 4 y x - -4 Quelle est l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 0?.7 Exponentielle On admet qu il existe une unique fonction f dérivable sur R qui est sa propre dérivée et qui vaut en 0. On la note exponentielle et on la note x e x. Elle vérifie x R, e x x+ (car y = x + est l équation de la tangente en x = 0 à la courbe représentative de l exponentielle) et est strictement croissante sur R. lim e x = 0 et lim x x + ex = +. On rappelle que e x+y = e x e y et que e x = e x. Plus généralement, la fonction exponentielle en base a R + est la fonction x a x = e x ln a Par exemple le dessin suivant montre la position relative de x x (rouge) et x e x. J. Gärtner. 7

8 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04.8 Logarithme La fonction exponentielle admet une fonction réciproque, que l on appelle fonction logarithme (néperien) et que l on note ln. On a donc par définition y = ln x ssi x = e y. La fonction logarithme est définie sur R + et y est continue, dérivable, strictement croissante. De plus x > 0, ln x x (qui est l équation de la tangente en à la courbe représentative du logarithme). On a lim x + R + de dérivée x x. ln x = + et lim lnx =. La fonction logarithme est dérivable sur x 0 + On rappelle que la fonction logarithme vérifie, pour x,y > 0 ln xy = ln x + lny et ln x = ln x ln y. y La fonction logarithme en base a R + est la fonction x ln x ln a. Géométriquement, les courbes représentatives de l exponentielle et du logarithme sont symétriques par rapport à la première bissectrice. J. Gärtner. 8

9 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04.9 Puissance quelconque Rappelons que pour α R et x R +, x α = e αln x. Sauf cas particulier (que l on a décrit ci-dessus : α N, α Z et on verra plus tard α Q) cette fonction x x α est définie et dérivable sur R +. Sa dérivée est la fonction x αx α. Les limites et monotonies etc se retrouvent à l aide des limites et monotonies classiques et de l expression x α = e α lnx. Les opérations sur les puissances apprises au collège (du type (a p ) q = a pq ) sont toujours valable. C est pour cela qu on a noté les fonctions racine carrée et cubique avec des puissances / et /3..0 Valeur absolue Il faut connaitre l allure de la fonction x x qui est paire, non dérivable en 0. J. Gärtner. 9

10 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04. Partie entière Il faut connaitre l allure de la fonction x [x] qui est croissante et continue à droite sur R. y x - -. Arctangente Cette est nouvelle pour vous, ne vous y attardez pas : son étude sera menée ultérieurement. Elle n est mentionnée que pour être (presque) exhaustif sur les fonctions «classiques» au programme. La restriction de la fonction tangente à ] π, π [ est continue et strictement croissante. Il existe une fonction réciproque, que l on appelle arctangente, notée Arctan (l existence de cette fonction découle du théorème de la bijection). Ainsi x R, tan(arctan (x)) = x et Arctan x ] π, π [. Proposition.. La fonction Arctan est définie sur R, à valeurs dans ] π, π [, strictement croissante, impaire. La droite d équation y = ± π est asymptote à la courbe en ±. Elle est dérivable sur R, de dérivée x Arctan (x) = + x. La fonction Arctan est croissante sur R, impaire, lim Arctan = π +, lim Arctan = π. On a Arctan () = π. La tangente en x = 0 a pour équation y = x. 4 J. Gärtner. 0

11 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04 Dressez le tableau de variations : π π Il est bon de connaître les faits suivants :. a R, tan x = a k Z, x = Arctan a + kπ.. Arctan (0) = 0, Arctan () = π 4 3. x > 0, Arctan x + Arctan x = π. 3 Limites classiques, dérivation : rappels 3. Taux d accroissement, croissance comparée Donnons pour finir les limites classiques que vous connaissez déjà ln x e x = et lim =. x x 0 x lim x Si a >, b > 0 et c > 0 alors lim lim xln x = 0. x 0 3. Opérations. lim (f(x) + g(x)) x + a x = +, lim xb x + x b ln c = + et lim x x + lim g(x) lim f(x) l R + F.I. l R l + l + + F.I. + + a x ln c x = +. J. Gärtner.

12 ECSB Carnot Chapitre 3 03/04. lim (f(x)g(x)) lim g(x) lim f(x) l < 0 0 l > F.I. l < 0 l l > 0 0 l l < F.I. l > 0 l l > lim g(x) 4. lim f(x) g(x) lim g(x) l R + lim /g(x) F.I. + /l lim g(x) lim f(x) l < l > 0 + F.I. + + F.I. F.I. l < l/l > 0 + F.I. l/l < F.I. F.I. F.I F.I. F.I. F.I l > 0 0 l/l < 0 F.I. + l/l > F.I. F.I. + + F.I. J. Gärtner.

13 ECSB Carnot Chapitre 3 03/ Opérations sur les dérivées f f I x k x 0 R x k x k R x x n, n N x nx n R x x n n N x n x n+ x x x x R R + x ln x x x R + x e αx, α R x αe αx R x x α = e α lnx x αx α R + x sin x x cos x R x cos x x sin x R x tan x x + tan x = cos x ] π + kπ, π + kπ[ x Arctan x x + x R Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et v dérivable sur u(i). u n (n N) nu u n u α (α R ) αu u α u > 0 u u u u ne s annule pas u n nu u n+ u ne s annule pas u u u > 0 u ln u e u v u u u u e u u v u u ne s annule pas J. Gärtner. 3

14 ECSB Carnot Chapitre 3 03/ Opérations sur les primitives f F I x k x kx + C R x x n, n N x xn+ n + + C x n N {0,} x xn n x n + C x x x x + C R + R R x x x ln x + C R x e αx, α R x eαx α + C x sinx x cos x + C R x cos x x sin x + C R R x + tan x x tan x + C ] π + kπ, π + kπ[ x + x x Arctan x + C R Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I. u u n (n N ) u u α (α R ) u u u u n+ n + u α+ α + u > 0 u u n n u n u u u > 0 u u u u e u ln u e u u ne s annule pas u ne s annule pas u ne s annule pas J. Gärtner. 4