CH I POURCENTAGES. 1 / 6

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Arlette Vinet
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1 CH I POURCENTAGES. 1 / 6 Objectifs : Expression en pourcentage d'une augmentation ou d'une baisse. Augmentations et baisses successives. Variation en pourcentages Indices. Addition et comparaison de pourcentages. I. Pourcentages instantanés.(rapport de la partie au tout) 1. DÉFINITION : 1. Soit E un ensemble de référence d'effectif non nul et A une partie de E. Définition : On appelle pourcentage instantané (ou part en pourcentage) de A par rapport à E, le nombre t = effectif de A effectif de E 100. On appelle expression décimale du pourcentage t le nombre t 100 =effectif de A effectif de E En 1 ES, il y a 35 élèves dont 21 filles. Quel est le pourcentage de filles de cette classe? Dans cette même classe, seulement 5 filles ont choisi l'option math. Parmi les filles de la classe,déterminer le pourcentage de celles qui ont choisi l'option math. Quel est le pourcentage de filles ayant choisi l'option math? Remarque : Un pourcentage est suivi du signe %, ce qui signifie ici que s'il y avait 100 élèves dans la classe, il y aurait... filles. L'expression décimale de t est alors..., ce qui correspond à la proportion de filles (... fille pour 1 élève). On aurait pu aussi donner cette proportion à l'aide de fraction (cela est souvent plus «réaliste» que l'expression décimale). Dans cet exemple on peut dire que... des élèves sont des filles.

Définition : On appelle pourcentage instantané (ou part en pourcentage) de A par rapport à E, le nombre t = effectif de A effectif de E 100.

2 CH I POURCENTAGES. 2 / 6 2. POURCENTAGE DE POURCENTAGE : Soit E un ensemble de référence d'effectif non nul, A une partie de E et B une partie de A. Propriété : Si N représente le pourcentage de A par rapport à E, et P celui de B par rapport à A, alors le pourcentage de N la partie B par rapport à E est le nombre 100 P Démonstration : Soit x l'effectif de E. N Alors l'effectif de A est 100 x, et l'effectif de B est P 100 N 100 x. Le pourcentage de B par rapport à E est alors T = effectif de A effectif de E 100 = N 100 P Dans la pratique, il est conseillé d'utiliser l'expression décimale des pourcentages. Propriété : Si n représente l'expression décimale du pourcentage de A par rapport à E, et p celui de B par rapport à A, alors l'expression décimale du pourcentage de la partie B par rapport à E est le nombre n p. Au 1 er janvier 1995, la France comptait médecins dont 49,2% de spécialistes, parmi lesquels 25,1% de chirurgiens. Quel est le pourcentage de chirurgiens parmi les médecins français? Dans un lycée de 750 élèves, 58% sont des filles. 44% des filles sont externes, et 65% des garçons sont Demipensionnaires. Quel est le pourcentage de filles DP, de garçons DP et de DP? Solution : Représentation à l'aide d'un arbre. Lycée 750 Filles Garçons Externes D.P Externes D.P Calcul du nombre de filles demi-pensionnaires : Calcul du nombre de garçons demi-pensionnaires : Calcul du pourcentage de demi-pensionnaires parmi les élèves du lycée : II. Pourcentages d'évolution.

Démonstration : Soit x l'effectif de E. N Alors l'effectif de A est 100 x, et l'effectif de B est P 100 N 100 x.

3 CH I POURCENTAGES. 3 / 6 Soit une variable numérique V, de valeur initiale (non nulle) et de valeur finale V 1. Définition : On appelle pourcentage d'évolution le nombre p= V Remarque : On note parfois : valeur finale dev valeur initialede V p= 100 valeurinitiale dev Au 1er janvier 1968, une estimation de la population française était de milliers d'habitants. Au 1er janvier 1988, elle était de milliers d'habitants. Déterminer l'évolution en pourcentage de la population française entre 1968 et Définition : On appelle coefficient multiplicateur de V, et on note CM V, le nombre CM V = V 1. Remarque : si CM V < 1, cela signifie que V 1 <, et cela correspond à une baisse. si CM V > 1, cela signifie que V 1 >, et cela correspond à une hausse. Propriété : On a CM V = 1 p 100 Démonstration : On a p= V p 100 =V p 100 =CM V Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 13 % est... Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 13 % est... Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 2,5 % est... Le coefficient multiplicateur associé à une... % est 1,17. Le coefficient multiplicateur associé à une... % est 0,825. Le coefficient multiplicateur associé à une... % est 1,051. Le prix TTC d'un objet est de 55. Sachant que pour cet objet, la TVA est de 19,6 %, calculer le prix HT de cet objet. Le prix du baril de pétrole a augmenté de 15% le mois dernier. Ce mois-ci, le prix du baril a baissé et est revenu à son prix initial. Déterminer la variation, en pourcentage, du prix du baril ce mois-ci.

Au 1er janvier 1988, elle était de 55 966 milliers d'habitants. Déterminer l'évolution en pourcentage de la population française entre 1968 et 1988.

4 CH I POURCENTAGES. 4 / 6 Soit une variable numérique V qui subit plusieurs évolutions (baisses ou hausses ) successives. Propriété : Le coefficient multiplicateur global est alors égal au produit des coefficients multiplicateurs de chacune des évolutions. Autrement dit, CM global = CM 1 CM 2... Cm p. Démonstration : Soient, V 1,..., V p les valeurs successives de la variable V. On a alors V p = CM p V p-1 = CM p CM p-1 V p-2 =... = CM p CM p-1... CM 1. D'où CM global = CM 1 CM 2... Cm p. Lors du calcul de l'impôt sur le revenu, on retranche 10 % (déduction ou frais réels) aux traitements et salaires, puis 20% de la somme restantes (abattement). On obtient alors les revenus nets. Peut on dire que cette double baisse représente, en fait, une réduction de 30 % des traitements et salaires? Justifier. Remarque : Il ne faut pas ajouter ou soustraire les pourcentages successifs d'une variable pour obtenir le pourcentage de variation globale. Il faut utiliser les coefficients multiplicateurs. Vrai faux (justifier votre réponse) Une hausse de 25 % suivie d'une baisse de 15 % correspond à une hausse globale de 10 %. Une baisse de 24 % suivie d'une hausse de 27 % correspond à une baisse de 3,48 %. Une baisse de 32 % suivie d'une hausse de 48 % correspond à une hausse de 6,4 %. Si tous les ans une population augmente de 5 %, au bout de 4 ans, elle a augmenté de 20 %.

Démonstration : Soient, V 1,..., V p les valeurs successives de la variable V. On a alors V p = CM p V p-1 = CM p CM p-1 V p-2 =... = CM p CM p-1... CM 1. D'où CM global = CM 1 CM 2... Cm p.

5 CH I POURCENTAGES. 5 / 6 Une hausse de 30 % suivie de deux baisses de 15 % et de 10 % correspond à une hausse de 0,55 %. Une baisse de 12 % suivie d'une hausse de 23 % est équivalent à une hausse de 23 % suivie d'une baisse de 12 %. III. Indices. Soit V une variable numérique positive prenant successivement les valeurs, V 1,..., V n. Définition : On appelle indice de la variable V base 100 en p, la série I 0, I 1,..., I n proportionnelle à, V 1,..., V n avec I p = 100. Autrement dit, on peut construire et compléter le tableau de proportionnalité suivant : t 0 t 1... t p... t n Variable V V 1... V p... V n Indice I I 0 I I n Le tableau suivant donne le taux de chômage selon le diplôme à différentes dates. Diplôme Brevet 9,7 10,5 11,6 10,7 Baccalauréat 7 9,5 11,2 10,1 Supérieur 4,6 5,9 6,4 6,9 En prenant pour base 100 les taux en 1992, déterminer les indices affectés à chacune des autres années. Conclure. Solution : 1992 a été choisie comme base 100. Pour déterminer les autres indices de la variable «brevet», il suffit de multiplier les 100 taux de chômages par. 9,7 brevet Taux de chômage 9,7 10,5 11,6 10,7 Indice 100 Quelle est l'évolution du taux de chômage entre 1992 et1995 parmi les personnes n'ayant que le brevet. De la même manière on obtient :

Soit V une variable numérique positive prenant successivement les valeurs, V 1,..., V n. Définition : On appelle indice de la variable V base 100 en p, la série I 0, I 1,.

6 CH I POURCENTAGES. 6 / 6 baccalauréat Taux de chômage Indice Quelle est l'évolution du taux de chômage entre 1994 et1995 parmi les personnes n'ayant que le baccalauréat. supérieur Taux de chômage Indice Quelle est l'évolution du taux de chômage entre 1993 et1994 parmi les personnes ayant un niveau d'étude supérieur. Conclusion : Bien que, sur cette période, le taux de chômage des personnes n'ayant que le brevet est supérieur aux autres, c'est pour ceux ayant un niveau d'études supérieurs que le taux de chômage a le plus augmenté. (+ 50 %)

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