Brevet Blanc de Mathématiques avril 2012

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1 Brevet Blanc de Mathématiques avril 2012 Le soin, l orthographe et la clarté des raisonnements seront notés sur 4 points Les calculatrices sont autorisées ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice n 1 : 1. Un achat de 1542 est payé de la façon suivante : 1 - du prix sera versé à la commande ; 3-25% de ce qui reste à payer sera versé à la livraison ; - Le solde sera payé à crédit. a. Quel est le montant versé à la commande? b. Quel est le montant versé à la livraison? c. La somme restant à payer est de 771. Elle est augmentée de 8% et payée en quatre mensualités équivalentes. Calculer le montant d une mensualité. 2. Un article qui valait 200 il y a deux mois, a subi il y a un mois une hausse de 20% et dernièrement une baisse de 20%. Quel est son prix actuel? Exercice n 2 : 1. Eric dit à Zoé : «Choisis un nombre x ; ajoute 1 au triple de x ; calcule le carré du nombre obtenu et retranche-lui le nombre 4.» Quel résultat trouvera Zoé si elle choisit : x = 5? 2. Eric propose à Zoé quatre expressions dont l une correspond au calcul qu il lui a fait faire. Voici ces quatre expressions : A = 3 ( x + 1 )² 4 B = 4 ( 3x + 1 ) ² C = ( 3x + 1 ) ² 4 D = ( x + 3 ) ² 4 Quelle expression Zoé doit-elle choisir? 3. a. Factoriser ( 3x + 1 ) ² 4. b. Résoudre ( 3x 1 )( 3x + 3 ) = 0. c. Zoé rejoue, elle choisit un nombre négatif et elle trouve zéro. Quel nombre a-t-elle choisi? Vérifier alors le calcul. Exercice n 3 : On considère la fraction Quelle fraction obtient-on si on enlève 2 au numérateur et au dénominateur de cette fraction? 2. Pierre, en enlevant le nombre x au numérateur et au dénominateur de la fraction 4, a obtenu la 5 fraction 5. Quel est ce nombre x? 4

2 ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice n 1 : Tracer un triangle OAC isocèle en O et tel que CO = 5,5cm et COA = 54. Construire B le symétrique du point C par rapport à O. 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. 2. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC? tracer ce cercle. Exercice n 2 : Le dessin ci-contre représente la coupe d une maison. Le triangle MAI est isocèle, de sommet principal M. La droite perpendiculaire à la droite (AI), passant par M, coupe (AI) en S. L unité de longueur est le mètre. On sait que : MS = 2,5 et AI = a. Justifier que AS = 5,5. b. Calculer la valeur arrondie à 0,1 degré près de la mesure de l angle AMS. 2. Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait une tache en O, sur le plafond. La droite (NO) est perpendiculaire à la droite (AI). AO = 4,5. Pour effectuer les calculs, on prendra : OAN = 24. Calculer AN. On donnera la valeur arrondie à 0,1 près. Exercice n 3 : 1. Construire un triangle RAS tel que : RA = 8 cm, RS = 6,4 cm et AS = 4,8 cm. 2. Prouver que le triangle RAS est rectangle. 3. a. Placer le point M du segment [RS] tel que RM = 4,8 cm et le point N du segment [RA] tel que RN = 6 cm. b. Prouver que les droites (MN) et (AS) sont parallèles. c. Calculer MN.

3 PROBLEME (12 points) Partie A Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17 kilomètres. 1. Le premier départ de CatamaranExpress est à 5 h 45 min pour une arrivée à 6 h 15 min. Calculer sa vitesse moyenne en km/h. 2. La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20 km/h. A quelle heure est prévue son arrivée s il quitte le quai à 6 h? Partie B On donne en document annexe les représentations graphiques C 1 et C 2 de deux fonctions. L une d entre elles est la représentation graphique de la fonction affine g définie par : g(x) = 10x + 60 A l aide du graphique, répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique : 1. Lire les coordonnées du point E. 2. Quelles sont les abscisses des points d intersection des deux représentations graphiques? 3. Laquelle de ces représentations graphiques est celle de g? Justifier. 4. Quelle est l image de 12 par la fonction g? Vérifier la réponse par un calcul. 5. Quel est l antécédent de 150 par la fonction g? Retrouver ce résultat en résolvant une équation. Partie C La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage, quel que soit le bateau choisi : Tarif M : on paie 25 euros à chaque voyage. Tarif N : on paie une carte mensuelle à 60 euros auxquels s ajoute 10 euros pour chaque voyage. Tarif P : on paie 30 euros par voyage jusqu au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres traversées jusqu à la fin du mois. 1. Les prix à payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont représentés par les courbes C 1 et C 2. Indiquer sur votre copie pour chaque courbe le tarif associé. (Aucune justification n est attendue) 2. Sur le document annexe (à rendre avec la copie) où figurent C 1 et C 2, construire la représentation graphique de la fonction f définie par : f : x 25x. 3. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles sur le document annexe, trouver pour combien de voyages le tarif N est plus avantageux que les deux autres.

4 Nom : N de candidat :. Prix à payer Annexe à rendre avec la copie C E 200 C Nombre de voyages

5 Corrigé du brevet blanc Partie numérique. Exercice 1 : (4pts) 1. a. Je paie 1 3 du prix à la commande soit , soit b. Je paie 25% de ce qui reste à payer à la livraison soit 25% des deux tiers du prix soit = , soit c. Il me reste à payer en quatre mensualités le solde augmenté de 8% soit 771 1,08 soit 832,68. Chaque mensualité sera donc de 832,68 4, soit 208, le prix de l article est donc de , soit 200 0,96, soit192. La baisse effective est de 4% (non demandé). Exercice 2 : (5pts) 1. Si Zoé choisit 5 et lui applique le programme de calcul d Eric, elle obtient 252. En effet j ajoute 1 au triple de 5, j obtiens = = 16 ; Je calcule le carré du nombre obtenu soit 16² = 256 ; Je lui retranche 4, j obtiens donc = Zoé doit choisir l expression C. En effet si je choisis un nombre x, le triple de x augmenté de 1 est 3x + 1, le carré de ce nombre est ( 3x + 1 ) ² et si je retranche 4 à ce résultat j obtiens C avec C = ( 3x + 1 ) ² a. C = ( 3x + 1 ) ² 4 // C = ( 3x + 1 ) ² 2² // C = [ ( 3x + 1 ) + 2 ][ ( 3x + 1 ) 2 ] C =( 3x + 3 )( 3x 1 ) b. ( 3x + 3 )( 3x 1 ) = 0 si un produit est nul alors l un au moins de ses facteurs est nul donc 3x + 3 = 0 ou 3x 1 = 0 3x = 3 3x = 1 x = -1 x = 1 3 (-1) et 1 sont donc solutions de l équation. 3 c. Si Zoé a trouvé 0 pour résultat, C = 0 et dans ce cas la solution négative est (-1). En effet ( 3 (-1) + 1 )² - 4 = ( )² - 4 = ( - 2 )² -4 = 4 4 = 0 Exercice 3 : (3pts) J obtiens donc Je cherche un nombre x tel que 4 x 5 x = 5 d où ( 4 - x) 4 = 5 ( 5 - x) 4 D où 16-4x = 25-5x // 5x 4x = // x = 9 Vérification = -5-4 = 5. Le nombre x est 9. 4

6 PARTIE GEOMETRIQUE. Exercice 1 : (2pts) 1. Le triangle ACO est isocèle en O donc OA = OC. B est le symétrique de C par rapport à O donc O est le milieu de [BC] et OB = OC. Finalement OA = OC = OB. Dans le triangle ABC, le milieu O de [BC] est équidistant des trois sommets du triangle d où le triangle ABC est rectangle en A. ou ABC est un triangle O est le milieu de [BC] et OA = OC = AB/2. Si dans un triangle la médiane issue d un sommet mesure la moitié du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet. Donc ABC est un triangle rectangle en A. 2. ABC est un triangle rectangle en A et O est le milieu de [BC]. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est O, milieu de [BC]. ou OA = OB = OC donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Exercice 2 : (4pts) 1. a. La droite (MS) passe par le sommet M du triangle MAI et coupe le côté opposé [AI] perpendiculairement, (MS) est la hauteur issue de M du triangle MAI. Dans tout triangle isocèle la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane d où S milieu de [AI] dans le triangle MAI isocèle en M donc AS = 1 2 AI. AS = 5,5m. b. Dans le triangle MAS rectangle en S, on a : tan AMS = MS AS // tan AMS = 5,5 2,5 = = 11 5 donc AMS 65,6. 2. Dans le triangle ANO rectangle en O, on a : cosnao = AO AN // AN cos NAO = AO AO AN = cosnao // AN = 4,5 // AN 4,9m. cos24 Exercice 3 : (6pts) 1. et 3.a. 2. Dans le triangle RAS on a : RS² + RA² = 6,4² + 4,8² = 64 et AS² = 8² = 64 On remarque que RS² + RA² = AS² d où d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle RAS est rectangle en R. 3.b. On a : RM RS = 4,8 6,4 = = 6 8 = 3 RN et 4 RA = 6 8 = 3 4 Les droites (MS) et (NA) sont sécantes en R, de plus les points R, M et S sont alignés dans le même ordre que les points R, N et A, de plus on a RM RS = RN d où d après la RA réciproque du théorème de Thalès les droites (MN) et (AS) sont parallèles. c. Les droites (MS) et (NA) sont sécantes en R telles que (MN)//(SA) d où d après le théorème de Thalès, on a : RM RS = RN RA = MN MN d où SA SA = 3 MN // 4 4,8 = 3 4 // MN = 4,8 3 MN = 3,6cm. 4

7 PROBLÈME Partie A Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17 kilomètres h 15 min 5 h 45 min = 30 min ou 0,5 h. Vitesse moyenne en km/h : 17 km en une demi-heure donc 34 km/h. 17 km 2. Durée de la traversée : = 0,85 h = 0,85 60 min = 51 min. 20 km/h ou 20km/h correspond à 20km parcourus en 1 heure c'est-à-dire 1 km en 3 minutes. Donc 17 km en 17 3=51 minutes. Heure d arrivée prévue : 6 h + 51 min = 6 h 51 min. Partie B On donne en document annexe les représentations graphiques C 1 et C 2 de deux fonctions. L une d entre elles est la représentation graphique de la fonction affine g définie par : Lectures graphiques : voir les tracés. g(x) = 10x Coordonnées du point E : (7 ; 210 ). 2. Les coordonnées des points d intersection des deux représentations graphiques sont (3 ; 90) et (15 ; 210), donc les abscisses sont 3 et La représentation graphique de g est C 2 car g est une fonction affine dont l ordonnée à l origine est L image de 12 par la fonction g est 180. Vérification par un calcul : g(12) = = = L antécédent de 150 par la fonction g est 9. Equation à résoudre pour vérifier par calcul : 150 = 10x = 10x 10x = 90 x = 90 x = 9 10 Partie C La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage, quel que soit le bateau choisi : Tarif M : on paie 25 euros à chaque voyage. Tarif N : on paie une carte mensuelle à 60 euros auxquels s ajoute 10 euros pour chaque voyage. Tarif P : on paie 30 euros par voyage jusqu au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres traversées jusqu à la fin du mois. 1. C 1 correspond au tarif P et C 2 correspond au tarif N. 2. Soit C 3 la représentation graphique de la fonction f définie par : f : x 25x. (Fonction linéaire donc droite passant par l origine et par exemple par le point de coordonnées (10 ; 250) : voir le graphique) 3. Sur le graphique, on constate que le tarif N est plus avantageux que les deux autres au-delà de 4 voyages et moins de 15 voyages. (Voir page suivante sous le graphique)

8 Prix à payer C C E C Nombre de voyages Tarif le plus avantageux M N C 3 est «sous» C 2 et C 1 C 2 est «sous» C 1 et C 3 P C 1 est «sous» C 2 et C 3