EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

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1 SESSION 215 PSIMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES Durée : 4 heures NB : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre Les calculatrices sont autorisées 1/7

2 Notations R désigne l ensemble des réels et R + désigne l intervalle [, + [ Si I est un intervalle réel non réduit à un point, on note C 1 (I) l espace vectoriel des fonctions de classe C 1 définies sur I à valeurs dans R Soit K l ensemble R ou C Pour tout entier naturel non nul, M n (K) désigne le K-espace vectoriel des matrices à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K Un vecteur de K n est noté: X =(x k ) 1 k n = Une matrice A de M n (K) est notée : x 1 x 2 x n A = ((a j,k )) 1 j,k n où a j,k est le coefficient de A situé en ligne j et colonne k On dit qu une application : M : I M n (K) t M (t) =((a j,k (t))) 1 j,k n est de classe C 1 sur I, si pour tout couple (j, k) la fonction t a j,k (t) est de classe C 1 sur I et dans ce cas, on note M (t) la matrice a j,k (t) 1 j,k n Soient I un intervalle réel non réduit à un point et A : I M n (C) une fonction continue Dans ce problème, on s intéresse au système différentiel : X (t) =A (t) X (t) (E) où X : I C n est une application de classe C 1 A l exception de la question I2 utilisée tout au long du sujet, les trois parties sont indépendantes 2/7

3 Partie I Quelques exemples d étude d un système différentiel I1 Qu affirme le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire quant à la structure de l ensemble des solutions de (E)? I2 Vecteurs propres communs On suppose qu il existe un vecteur non nul V C n et une fonction continue λ : I C tels que pour tout t I on ait : A (t) V = λ (t) V Montrer que la fonction : X : I C n t α (t) V est solution de (E) si, et seulement si, la fonction α est solution d une équation différentielle linéaire du premier ordre que l on précisera et pour laquelle on donnera une expression des solutions I3 Un premier exemple On suppose pour cette question que n =2 Soient a et b deux complexes tels que a 1 b = On suppose que, pour tout t I = R,ona: ( ) a 1 a A (t) = b 1 b Déterminer une base de l espace vectoriel des solutions de (E) I4 Un deuxième exemple On suppose également pour cette question que n =2 Soient μ une constante complexe et a, b des fonctions continues de I dans C, la fonction b ne s annulant jamais sur I On suppose que pour tout réel t I, ona: ( ) a (t) μb (t) A (t) = b (t) a (t)+(μ 1) b (t) I41 Traiter le cas particulier où μ =1 I42 Montrer qu il existe deux vecteurs non nuls V 1 et V 2 dans C 2 et deux fonctions continues λ 1 et λ 2 de I dans C tels que pour tout t I on ait : A (t) V 1 = λ 1 (t) V 1 et A (t) V 2 = λ 2 (t) V 2 3/7

4 I43 Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur μ pour que l on ait : t I, λ 1 (t) = λ 2 (t) On supposera cette condition vérifiée pour la question suivante I44 Déterminer une base de l espace vectoriel des solutions de (E) Partie II Développement en série entière des solutions pour A constante II1 Norme matricielle induite On se donne une norme vectorielle X X sur C n et on lui associe la fonction N définie sur M n (C) par : A M n (C),N(A) = AX sup X C n \{} X II11 Montrer que l application N définit une norme sur M n (C) II12 Montrer que, pour toutes matrices A et B dans M n (C), ona: N (AB) N (A) N (B) II2 Développement en série entière des solutions II21 On suppose pour cette question, que I = R et que la fonction A est constante Montrer que si X est solution de (E), elle est alors de classe C sur I et que pour tout entier naturel k,ona: X (k) (t) =A k X (t) (avec la convention que X () = X et A = I n ) II22 On note X = X() Montrer que pour tout entier naturel p et tout réel t I, ona: ( p ) t k t (t u) p X (t) = k! Ak X + A p+1 X (u) du p! II23 Montrer que : k= X (t) = lim p + ( p k= ) t k k! Ak X et en déduire que les coordonnées de X sont développables en série entière sur R 4/7

5 II3 Un exemple On suppose pour cette question, que n =4, que I = R et que la fonction t A (t) est constante et égale à: A = M 4 (C) 1 II31 Calculer le polynôme caractéristique P A (X) de A II32 Soit k un entier naturel non nul Montrer que la famille 1,X,X(X 1),X(X 1) 2 est une base de C 3 [X], puis exprimer le reste de la division euclidienne de X k par P A (X) dans cette base II33 En déduire, pour tout entier k 1, une expression de A k en fonction de A, A (A I 4 ) et A (A I 4 ) 2 II34 Calculer A (A I 4 ) et A (A I 4 ) 2 II35 Préciser le rayon de convergence de la série entière : ainsi que sa somme + n=1 t n (n 1) n! II36 Soit X = 1 1 C4 Déterminer la solution du problème de Cauchy linéaire X = AX X () = X 5/7

6 Partie III Etude de deux fonctions III1 L intégrale de Gauss III11 Montrer que l intégrale de la fonction f : t e t2 est convergente sur R + III12 Montrer que les fonctions F et G définies sur R + par : ( x 2 1 x R + e,f(x) = e dt) x2 (t 2 +1) t2,g(x) = t 2 +1 dt sont de classe C 1 sur R +, puis préciser les dérivées d ordre 1 de F et de G III13 Montrer que : x R +,F (x)+g (x) = et en déduire la valeur de F + G III14 Montrer que : lim G (x) =et lim x + F (x) =π x + 4 III15 En déduire que : III2 Les fonctions u et v + e t2 dt = π 2 III21 Montrer que les fonctions : u (t) = + sont bien définies et de classe C 1 sur R e x cos(tx) x dx et v (t) = + e x sin(tx) dx x III22 Montrer que la fonction w = u + iv est solution d une équation différentielle, puis en déduire que : ( ) u (t) X (t) = v (t) est solution d un système différentiel du premier ordre X (t) =A (t) X (t) (E 1 ) où la fonction matricielle A : R M 2 (C) est àdéterminer 6/7

7 III23 de A (t) Déterminer, pour tout réel t, les valeurs propres complexes et les sous-espaces propres III24 Déterminer une base de l espace vectoriel des solutions sur C du système (E 1 ) et en déduire la solution générale de (E 1 ) III25 Calculer u (),v() et en déduire l expression réelle de u et de v Fin de l énoncé 7/7

8 IMPRIMERIE NATIONALE D après documents fournis