Etude des fonctions rationnelles, asymptotes

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1 Etude des fonctions rationnelles, asymptotes - Thème TM1-1011G 1 er septembre Fonction rationnelle Définition 1.1 (Fonction rationnelle). Une fonction rationnelle est une fonction de la forme = P(x) où P(x) et sont des fonctions polynomiales. est définie partout où 0. Les pôles de la fonctions sont définis comme étant la(les) valeur(s) de x pour la(les)quelle(s) s annule. 1.1 Division euclidienne de deux polynômes Pour se rafraîchir la mémoire, voilà un exemple de division euclidienne dans l ensemble Q : 1 = = + 5 La division euclidienne polynomiale permet d écrire une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est plus grand que celui du dénominateur sous la forme d une somme d un polynôme (le quotient de la division) et d une fraction rationnelle (le reste divisé par le diviseur) dont le degré du dénominateur est supérieur a celui du numérateur. Exemple: x 3 +x+1 = (x+1)(x x+)+( 1) x3 +x+1 x+1 = (x x+)+( 1 x+1 ) Ensemble de définition d une fonction rationnelle, asymptotes verticales Soit la fonction rationnelle = P(x) Il est clair que si possèdent des valeurs nulles, la fonction n aura aucune valeur définie (division par zéro). Les valeurs de x pour lesquelles s annule sont appelée 1

2 pôles de. Les pôles de la fonction nous donnent les asymptotes verticales. L ensemble de définition de sera donné par ED = R\{ pôles } et les asymptotes de la fonction par les droites d équation x = pôle(s). Exemple: Soit la fonction rationnelle f a (x) = x 3 7x x+5 En posant 7x x + 5 = 0, on obtient les racines de cette équation et de ce fait les pôles de la fonction. Les valeurs sont x = 1 et x = 5. ED = R \ { 1, 5 }. Le graphe 7 7 nous confirme bien que nous avons deux asymptotes d équations x = 1 et x = Figure 1 Graphe de f a (x) = x 3 7x x+5 3 Asymptotes horizontales et obliques Soit les fonctions f c (x) = 3x+ 1 x +5 et f d(x) = 3x 4x+36 x dont les graphes sont représentés ci-dessous.(figure et 3) On remarque que lorsque x tends vers les courbes s approchent d une droite oblique dans le cas de f c et d une droite horizontale pour f d. Pour calculer l équation de ces droites nous allons faire le raisonnement suivant :

3 Figure Graphe de f c (x) = 3x+ 1 x Figure 3 Graphe de f d = 3x 4x+36 x La fonction générale de la droite est ax + b (a est la pente et b l ordonnée à l origine), donc si une fonction s approche d une droite quand x tends vers alors la distance entre les points de cette courbe et la droite va tendre vers zéro, ce qui se traduit mathématiquement par lim ( (ax+b)) = 0 En transformant un peu et en utilisant les propriétés des limites, lim( (ax+b)) = lim lim ax lim b = 0 mais lim b = b donc, b = lim + lim ax b = lim ( ax) Il ne reste plus qu à trouver une formule pour le calcul de a. En utilisant à nouveau la propriété des limites, lim lim ax lim b = 0 lim a lim x lim b = 0 b lim x x lim b x 3

4 b mais lim = 0 et finalement x x Nous avons à présent les deux formules recherchées : b = lim ( ax) et x Pour ceux qui savent déjà calculer une dérivée, a peut également être calculé en calculant f (x) et en prenant pour a la valeur de la dérivée quand x tends vers l infini. f (x) Exemple: Calculons a et b pour la fonction f c (x) = 3x+ 1 x +5 Calcul de a : x Calcul de b : ( 3x x + 1 x + 5 x ) a = 3 b = lim ( ax) b = lim (3x+ 1 x +5 3x) = 5 L asymptote est oblique (a est différent de zéro) et son équation est d(x) = 3x+5 comme on le voit sur le graphe de la figure. Exemple: Calculons a et b pour la fonction f d (x) = 3x 4x+36 x Calcul de a : x ( 3 x + 4 x + 36 x 3) a = 0 La pente étant de zéro, l asymptote sera une asymptote horizontale. Calcul de b : b = lim ( ax) b = lim ( 3x 4x+36 x ) 0 = 3 L asymptote horizontale est la droite d équation y = 3, comme on le voit sur le graphe. 4

5 4 Graphe d une fonction rationnelle Pour tracer le graphe d une fonction rationnelle, on peut suivre la démarche suivante : 1. Il faut trouver le domaine de définition ED, en cherchant pour quelle(s) valeur(s) de x le dénominateur s annule, ce qui nous donne par la même occasion les asymptotes verticales.. On calcul les asymptotes horizontales et obliques afin de connaître le comportement de la fonction lorsque x tends vers 3. On regarde en quelle(s) point(s) le numérateur s annule, cela nous donnera les changements de signes de la fonction. 4. En cas de doutes on peut toujours faire un tableau des signes ou calculer l image de quelques points qui paraissent cruciaux. Cette liste n est pas exhaustive, mais en général, ces quelques points suffisent à tracer le graphe d une fonction rationnelle. 5 Exemples, trucs et astuces Pour ceux qui ont quelques problèmes avec le calcul des limites et qui ne connaissent pas les propriétés de celles-ci, je vais donner ci-dessous des exemples n utilisant que la division euclidienne. Chaque fraction de la forme = P(x) va être mise sous la forme de la somme d un polynôme et d une fraction rationnelle dont le le degré du dénominateur est supérieur à celui du numérateur (une telle fraction va tendre vers zéro lorsque x va tendre vers l infini). = P(x) = T(x)+ R(x) T(x) est le quotient de la division. Supposons que l égalité suivante soit vraie. lim ( T(x)) = 0 Cela signifie que pour x tendant vers l infini, le reste de la division polynomiale R(x) tends vers zéro, donc que la courbe de la fonction T(x) s approche de celle de la fonction. Si la fonction T(x) est une constante ou une droite, on aura, dans le premier cas une asymptote horizontale et dans le deuxième cas une asymptote oblique. Si T(x) a un degré supérieur à 1, alors cette fonction n a pas de nom spécial, mais tendra toujours vers celle-ci quand x tendra vers l infini. Cela peut-être utile pour tracer le graphe de. 5.1 Exemple 1 f a (x) = x 3 7x x+5 5

6 Les racines du dénominateur sont 1 et 5, les asymptotes verticales sont donc les droites 7 x = 1 et x = 5. 7 L ensemble de définition est ED = R\{ 1, 5 }. 7 La division polynomiale nous donne : x 3 7x x+5 = 0+ x 3 7x x+5 On remarquera que lorsque x tends vers, tends vers zéro et s approche de plus en plus de l axe Ox. qui est de ce fait l asymptote horizontale. La racine du numérateur est 3, donc la fonction change de signe à ce point Figure 4 Graphe de f a (x) = x 3 7x x+5 5. Exemple f f (x) = x 9 x 10 La racine du dénominateur est 5, l asymptote verticale est donc la droite x = 5. L ensemble de définition est ED = R\{5}. La division polynomiale nous donne : x 9 x 10 = (x + 5 )+( 16 x 10 ) 16 tends vers zéro lorsque x tends vers. Ne "laissant" que la partie x + 5 x 10 l asymptote oblique. qui est Démonstration: Si on démontre que (f f (x) ( x + 5 ) ) = 0 lim 6

7 alors f f (x) tend vers la droite x + 5. QED ( lim ( x 9 x 10 ) (x + 5 ) ( ) 8 ) = lim = 0 x 5 Les racines du numérateur sont 3 et 3, la fonction change de signe à ces points. En remarquant que f f (0) = 0.9 on peut aisément tracer le graphe suivant Figure 5 Graphe de f f (x) = x 9 x Exemple 3 f h (x) = x4 +1 x Le dénominateur est nul pourx = 0 donc il y a une asymptote verticalex = 0 et l ensemble de définition est R\{0} La division polynomiale nous donne : x 4 +1 x = ( 1 x )+( 1 x ) 1 tends vers zéro lorsque x tends vers. Ne "laissant" que la partie 1 x x. Cette dernière n est pas une droite, il n y a donc pas d asymptote oblique et la fonction tends vers l infini lorsque x tends vers l infini. Cependant on est en droit de se demander si la fonction f n (x) va tendre vers la fonction 1 x. On voit que c est le cas en remarquant que la différence avec f h (x) tends vers zéro lorsque x tends vers l infini Démonstration: lim (f h (x) 1 ) ( x 4 +1 x = lim 1 ) ( ) 1 x x = lim = 0 x 7

8 QED En traçant la fonction 1 x et en calculant un ou deux points, il est facile de trouver le graphe de f h (figure 6) Figure 6 Graphe de f h (x) = x4 +1 x 5.4 Exemple 4 f j (x) = x x x Le dénominateur est nul pour x = donc l ensemble de définition est R\{}. On devrait donc avoir une asymptote verticale à x =. La division polynomiale nous donne f j (x) = x x x = (x+1)+0 = x+1 Autrement dit, la fonction f j (x) est identiquement égale à x + 1 sauf au point x = où f j (x) n est pas définie. Il n y aura pas d asymptote verticale en x =, car on peut s approché aussi près que l on veut de, la valeur de la fonction f j ne tendra pas vers l infini mais vers 3 (figure 7). Nous avons ici une discontinuité de premier espèce, que l on peut facilement contourné en donnant pour f j (x) la définition suivante : x x si x f j (x) = x 3 si x = 8

9 Figure 7 Graphe de f j (x) = x x x 9