2. Repère du plan Coordonnées d un. point Configurations planes

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1 . Repère du plan oordonnées d un point onfigurations planes ctivité introductive : Démonter avec les milieu D est le trapèze ci-contre telle que ( D )//() D et sont les milieu respectifs des segments [] et [D]. a) Démontrer que les droites () et (D) sont parallèles, ainsi que () et (). b) En déduire que la droite () coupe le segment [D] en son milieu lgorithme : Programmation du calcul des coordonnés du milieu d un segment.1. repère du plan 1. Définition d un repère orthonormé Définition : Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O,,) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O. O Remarques : On peut définir un repère orthogonal. Dans ce cas, le triangle est seulement rectangle en O. On rencontre aussi la notation vectorielle pour définir un repère. r j O i r savoir Un vecteur est défini par : Une direction Un sens Une longueur Se référer au thème sur les vecteurs ours de Seconde 009/010 EPoulin009 Page 8

2 .. oordonnées d un point du plan 1. Propriété définition Propriété : Dans un repère orthonormé (O,,) tout point M du plan est repéré par un unique couple ( M, M ) de réels, appelé couple de coordonnées de M X M est l abscisse de M et M est l ordonnée de M.,. On note M ( ) M M Eemple : Déterminer les coordonnées de,, dans le repère ( O,, ) Placer les points de coordonnées suivantes : P ( ;3), Q ( 0;( 5) ; R ( 1;,5). Propriétés Propriété : Soit ( O, ) respectives (, ) et (, ). ppelons le milieu du segment [ ] ( ), sont telles que :, un repère orthonormé du plan, et les points de coordonnées + et +. Ses coordonnées Démonstration : 1 er cas : ou On suppose que et >. est le milieu de [] si et seulement si, [] et, c est à dire + + et, ce qui donne et. ours de Seconde 009/010 EPoulin009 Page 9

3 ème cas : et On note le point tel que et Le triangle est rectangle. On note K le milieu de [] ; d après le théorème des + milieu, la droite (K) est parallèle à (). Donc K (Voir 1 er cas), soit +. + On procèderait de même avec le milieu L de [] pour établir que O,, un repère orthonormé du plan, et les points de coordonnées Propriétés : Soit ( ) respectives (, ) et ( ) ( ) ( ) +,. La distance entre les points et est : Démonstration. On suppose comme sur la figure que > et >. On note le point tel que et On utilise dans le triangle rectangle en le théorème de Pthagore pour obtenir : Eemple. + ( ) + ( ). Donc ( ) + ( ) K..3. onfigurations du plan 1. Les triangles Propriétés : Les médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes au centre O de son cercle circonscrit. Les médianes d un triangle sont courantes au centre de gravité du triangle. Les hauteurs d un triangle sont concourantes en l orthocentre H du triangle Les bissectrices des angles d un triangle sont concourantes au centre de son cercle inscrit. Médiatrice Médiane Hauteur issectrice ours de Seconde 009/010 EPoulin009 Page 10

4 Propriétés : Un triangle isocèle a un ae de smétrie : la médiatrice de sa base. Un triangle équilatéral a trois aes de smétrie : les médiatrices de ses côtés. Propriétés du triangle rectangle : Un triangle est rectangle en si, et seulement si, le côté [] est le diamètre de son cercle circonscrit. Dans un triangle rectangle en, cos ˆ sin ˆ Théorème de Pthagore : Si est un triangle rectangle en, alors + Réciproquement, si +, alors est un triangle rectangle en Théorème de Thalès Soit, et trois points alignés,, et trois points alignés dans le même ordre, distincts à deu. Si ( )//( ), alors Réciproquement, si, alors ( )//( ) ngles alternes internes Deu angles alternes internes définis par deu droites parallèles et une sécante sont de même mesure. ours de Seconde 009/010 EPoulin009 Page 11

5 . Les quadrilatères Un parallélogramme est un Un rectangle est un Un losange est un Un carré est un quadrilatère qui a Définitions Ses côtés opposés égau deu à deu Quatre angles droits Quatre côtés de même longueur Quatre angles droits et quatre côtés de même longueur Propriétés caractéristiques milieu. milieu et qui sont de même longueur. milieu et qui sont perpendiculaires. milieu, la même longueur et qui sont perpendiculaires. Propriétés : Un parallélogramme a un centre de smétrie : le point d intersection de ses diagonales. Un rectangle a deu aes de smétrie (les médiatrices de ses côtés) et un centre de smétrie (le point d intersection de ses diagonales). Un losange a deu aes de smétrie (ses diagonales) et un centre de smétrie (le point d intersection de ses diagonales). 3. onjecturer, démontrer TTENTON o Vérifier une affirmation sur quelques eemples n est pas démontrer o Voir sur une figure n est pas démontrer onjecturer, c est émettre des hpothèses (deviner) onstruire, c est dessiner, en justifiant par des définitions et/ou des propriétés, la figure eécutée Prouver, montrer, démontrer, c est réaliser un raisonnement rédigé à partir des données du problème, grâce au outils du cours (définitions ou propriétés) En déduire que c est utiliser impérativement le résultat de la question précédente dans un nouveau raisonnement omment organiser une démonstration? ❶ Enoncer les Hpothèses On sait que ❷ iter le théorème ou la propriété utilisée Or, d après ❸ onclure Donc, ours de Seconde 009/010 EPoulin009 Page 1