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1 Vous venez de terminer votre scolarité en Lycée et entrez maintenant dans l enseignement supérieur, en classe préparatoire ECS. À partir de septembre, c est près de h par semaine que vous passerez en cours de mathématiques. Afin de bien vivre le début de l année en partant sur de bonnes bases, il est peut-être nécessaire de faire le point sur vos connaissances. Ce document est là pour vous aider à organiser vos révisions, mais ne contient pas de support de cours : à vous de retrouver dans vos documents les notions listées ci-après. I. Notations et raisonnements Symboles,,,, A La signification des symboles quel que soit et il existe est maintenant exigible. Distinguer, dans le cadre d une proposition conditionnelle du type "A implique B", la proposition directe A = B, la réciproque B = A, la contraposée non B = non A, sa négation A et non B. Formuler avec des mots la négation d une proposition Utiliser un contre-exemple Raisonner par l absurde Raisonner par récurrence [terminale] II. Calcul algébrique e x Limites de fonctions ; en particulier les croissances comparées lim x sin x e x ln x lim x x [terminale] ; en particulier les taux d accroissement lim x x, lim x x x, lim xe x, x, lim x ln+ x x Dérivées des fonctions usuelles, formules de calculs. En particulier, l expression générale des dérivées composées est maintenant à connaître [terminale] Intégrales : connaître les primitives usuelles [terminale] IV. Probabilités Probabilité conditionnelle, indépendance de deux événements, arbres : manipulation des concepts [terminale] Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité, espérance, variance : formules de calculs [première] Lois usuelles : loi de Bernoulli, loi binomiale [première] Propriétés des coefficients binomiaux : formule de Pascal [première] V. Algorithmique Affectation d une valeur à une variable Instruction conditionnelle : SI...ALORS...SINON Instructions répétitives : boucles FOR nombre d itérations fixé, boucles WHILE avec fin de boucle conditionnelle Propriétés des fractions, des puissances, utilisation de parenthèses [collège] Trigonométrie : utilisation du cercle trigonométrique, formules [première] cosa+ b=cos a cosb sin a sinb cosa b=cos a cosb+ sin a sinb sina+ b=sin a cosb+ cos a sinb sina b=sin a cosb cos a sinb Nombres complexes : calculs avec des complexes, module, argument, forme trigonométrique, notation exponentielle, résolution d une équation du second degré à coefficients réels [terminale] III. Analyse Suites : arithmétiques, géométriques, sommes des n premiers termes de ces suites, calculs de limites [première] N hésitez pas à me contacter à l adresse : [email protected] /6

2 I. Exercices de calcul algébrique et d études de fonctions Exercice. Simplifier les expressions suivantes sous forme de fractions irréductibles ou de puissances de nombres premiers : a. d. g a + b + a b a + b b. e. a+ b + h. a b + c. nn n n n n nn 6 f a+ a b a a b a a b a+ i. n + n a b j. n n k. n+ n l. n n m. p. s n. 5 ln ab ln a+ lnb q. [ 3 5 ] 3 o ab 3 c b + acb bc a3 b cb 3 r. a a t. ln + ln a a u. 5 5 nn+ n n [ ]3 [ ]3 a b 5 ab c c b 3 c ab ln a+ lnb ab ln e On pourra au besoin discuter suivant les valeurs de x. a. A= 5 et B = 9 5 n n b. A= et B = 5 c. A= x+ x et B = x x d. A= ln x et B = ln x e. A= x + x+ et B = 3 3x + x Résoudre les inéquations suivantes : a. x 5x+ b. x x 5 f. A= ln x +ln x et B = c. 5x x< 6 d. 3x + 5x 3 e. 9x + x 6< f x+ x g. x 3 + x x > h. x x> x5 x i. xx+ 3 x xx x j. 3+xx < x xx+ k. n 3 Exercice 3. Étudier les fonctions suivantes domaine de définition, parité, dérivée, tableau de variations, limites, asymptotes, tangentes remarquables, courbe représentative :. f x= x 3. f x=x+ 3. f x=x +. f x=lnx 5. f x=ln x 6. f x=lnx v. ln a n + ln a a ln a n w. e a e a e 3a x. e a b e b e a e b a e b e a 7. f x=e x 8. f x=e x e x 9. f x=e x + e x. f x= e x. f x=x ln x. f x=lnx+ + x Exercice. 3. f x= x. f x=ln x 5. f x= ln x. Résoudre les équations suivantes : a. x + 6x 3= b. x 3x = c. 5x + x+ 8= d. 3x = 3x 75 e. 6x 9x+ 5= f. 5x + 3x+ 7= g. x+ x 3+x 6x = h. 3x x= xx. Pour les expressions A et B suivantes, dire si on a A B ou A B. /6

3 II. Solutions des exercices Exercice. a. b. 5 9 c. 5 3 d. aa+ b e. n+ 3 f. 3 nn+ g. ab h. a a b b i. n+ j. n k. n l. n+ m n o p q. a 3 c b + a c r. a 9 b 7 c 5 s. a t. ln a u. v. n+ a ln a n w. e a x.. D f =Ê. f est impaire. Pour tout x Ê, f x=3x. x f x + + ր f ր f s annule en x = Exercice 5.. a. x= 3 6 ou x = 3+ 6 b. Pas de solution. c. x = 5 d. x = 5 e. x = 3 ou x = 5 3 f. Pas de solution. g. x = ou x = 3. a. A B =. Donc A B. n n b. A B = = 5 n 5 n n. Donc A B. h. x= 3 ou x = + 3 c. A B = x x+. Donc A B si x [,] et A B si x ], ] [,[ D f =Ê. Pas de parité. Pour tout x Ê, f x=x+. d. A B = ln xln x. Donc A B si x [,e] et A B si x ],] [e,[. e. A B = 5x x + x+ x+ 33x+. Donc A B si x ], 3] [ 3,] et A B si x [ 3, 3 ] [,[. x f x + f s annule en x = f. A B = ln x ln x+. Donc A B si x [ e,e] et A B si x ], e ] [e,[. 3. a. x [ ; ] ] b. x ; ] [ + [ ; { e. x Ê\ 3} f. x = 5 c. Pas de solution. x Ê d. g. x ] ; [ ] ; [ h. x ] ; [ 3 3 Exercice 6. i. x ] ; ] [ ; 5 3 k. n [ ln ln3 ln,[ ] j. x ] ; 3 3 [ ] 3+ 3 ; [ 3. D f =Ê. f est paire. Pour tout x Ê, f x=x. x f x + 3/6

4 3 3. D f =],[. Pas de parité. Pour tout x ],[, f x= x. x f x + f ր 6 f s annule en x = 6. D f =], [ ],[. f est paire. Pour tout x ], [ ],[, f x= x x. x f x f s annule en x = et x= D f =Ê. Pas de parité. Pour tout x Ê, f x= e x. x f x f ց 5. D f =Ê +. Pas de parité. Pour tout x Ê +, f x= x. x f x + f ր 6 f s annule en x = e D f =Ê. f est impaire. Pour tout x Ê, f x=e x + e x. x f x + f ր f s annule en x = /6

5 . D f =Ê +. Pas de parité. Pour tout x Ê, f x=+ln x x /e f x + /e f s annule en x = 9. D f =Ê. f est paire. Pour tout x Ê, f x=e x e x = e x e x. x f x D =Ê f. Pas de parité. Pour tout x Ê, f x= e x e x. x + f x f ց ց. D f =],[ ],[. Pas de parité. Pour tout x ],[ ],[, f x= xx 3 x x+. x + 3 f x + + f ր ց ց ր f 3 On a : f 3= ln+,7+,5=, Méthode : Si une fonction est définie avec des valeurs absolues, on commence par "enlever les valeurs absolues", puis on étudie et trace la fonction sur les sous-intervalles ainsi obtenus. 3. D f =Ê. On a f x= x si x et f x= x si x. 5/6

6 D f =Ê. On a f x=ln x si x> et f x=ln x si x < D f =Ê +. On a f x=ln x si x et f x= ln x si < x /6