Géométrie euclidienne - corrigé. Exercice 1 : ABCD est un rectangle. F et G sont respectivement des points de [CD] et [AD] tels que
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- Germaine Savard
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1 Géométrie euclidienne - corrigé Exercice 1 : ABCD est un rectangle. F et G sont respectivement des points de [CD] et [AD] tels que DAF=ÂBG. 1. Prouver que FAB et ÂBG sont complémentaires. 2. En déduire que les droites (AF) et (BG) sont perpendiculaires. 3. Démontrer que les points D, F, G et H sont cocycliques. 1. ABCD étant un rectangle, l'angle DAB est droit. De plus, FAB et FAD sont adjacents et leur somme vaut DAB : ils sont donc complémentaires. Or DAF= ÂBG, d'après l'énoncé. Donc FAB et ÂBG sont complémentaires. 2. Or FAB= ĤAB et ÂBG=ÂBH Les angles en A et en B du triangle ABH sont donc complémentaires. On en déduit que le triangle ABH est rectangle en H. Autrement dit, (AF) (BG). 3. Les triangles FGH et FGD, rectangles respectivement en H et D, sont inscrits dans dans le cercle de diamètre leur hypoténuse commune [FG]. Les points D, F, G et H sont donc cocycliques. Démonstration à l'aide d'un repère (géométrie analytique) : Soit (D ; DI, DA) un repère orthonormé. On pose l'abscisse de F et b l'abscisse de B. ABG et DAF sont rectangles et DAF= ÂBG donc ces deux rectangles sont semblables et DA peut aussi remarquer que ce rapport est la tangente commune de DFA et de BGA ). Donc 1 = b AG et y G =1 b (la condition y G 0 impose à d'être inérieur à 1 b ) DF = AB AG (on La droite (AF) a pour coeicient directeur : a (AF) = 1 ; et la droite (BG) : a (BG) = b b =. a (AF) a (BG) = 1 donc : (AF) (BG). (AF) : y= 1 x+1 et (BG) : y= x+1 b Les coordonnées du point H, point d'intersection de (AF) et (BG), vériient donc le système { y= 1 x+1 On trouve H( b 2 b ; ) 2 Soit I le milieu de [FG] : I ( 2 ; 1 b 2 ) IF 2 = ( 2 ) 2 + ( 1 b 2 ) 2 = ( 2 ) 2 + ( 1 b 2 ) 2 = b +b ID 2 = ( 2 ) 2 + ( 1 b 2 ) 2 = ( 2 ) 2 + ( 1 b 2 ) 2 = b +b On a bien : IF=IG=ID y= x+1 b.
2 Il resterait à montrer que IH 2 =IF 2, peut-être en montrant que IH 2 IF 2 =0, mais c'est sûrement un calcul monstrueux... IH =( 2 b ) + ( 1 b b 2 2 ) On est, devant un tel calcul, autorisé à utiliser un logiciel de calcul ormel! Voici ce que propose Xcas : On retrouve bien : IH 2 = b +b Finalement, IF=IG=ID=IH : les points D, F, G et H sont cocycliques. Remarque : l'utilisation de la géométrie analytique, ici, n'était certainement pas judicieuse... Quoi que, avec un bon logiciel de calcul ormel à l'appui, c'est alors assez eicace. Bre, passons à l'exercice 2... Exercice 2 : c est un cercle de centre O et de diamètre [AB]. c ' est le cercle de diamètre [AO]. M est un point de c distinct de A et B. Les droites (MA) et (MO) coupent c ' respectivement en C et D. On trace la perpendiculaire (d) à (AB) passant par M. Elle coupe (AD) en E. 1. Que représente O pour le triangle AME? Justiier. 2. En déduire que O, C et E sont alignés. 1. Le triangle AOD est inscrit dans le cercle de diamètre [AO]. Il est donc rectangle en D. Dans le triangle AME, (MD) est donc la hauteur issue de M. (AB) (ME) : (AB) est la hauteur issue de A du triangle AME. (MD) et (AB) sont sécantes en O. O est donc l'orthocentre du triangle AME. 2. O étant l'orthocentre du triangle AME, (OE) est la troisième hauteur de ce triangle : (OE) (AM). De plus, AOC est inscrit dans le cercle de diamètre [AO] donc (AC) (OC). A, C et M étant alignés, (AM) (OC). (OE) ( AM) (OC) (AM) } donc C, E et O sont alignés.
3 Exercice 3 : 1. Déterminer la valeur de sachant que A et B sont les centres des deux cercles et que ceux-ci ont le même rayon. D On nomme C et D les points indiqués sur la igure. ABC est équilatéral donc BAC=60. BAC et ĈAD sont supplémentaires donc ĈAD=120. Le triangle ACD est isocèle en A donc α= 180 DAC 2 α=60 C 2. Démontrer que et sont isométriques, sachant que O est le centre des deux cercles. Dans le grand cercle, l'angle inscrit DBC et l'angle au centre DOC interceptent le même arc. Donc, DBC= 1 2 DOC. De même, dans le petit cercle, l'angle inscrit FAG et l'angle au centre FOG interceptent le même arc. Donc, FAG= 1 2 FOG. Or, DOC= FOG. Finalement, DBC= FAG. Autrement dit, α=β Exercice 4 : (d) et (d') sont deux droites sécantes en O. A est un point n'appartenant ni à (d) ni à (d'). Construire un point M sur la droite (d) et un point N sur la droite (d') tels que A soit le milieu du segment [MN]. Un problème de construction... C'est souvent assez diicile (d'autant qu'on y est peu habitué). Une chose à retenir : on cherche ici à construire un point (M ou N : quand on a l'un, on a l'autre...). Un point peut être déini comme l'intersection de deux lignes. M, ici, est sur la droite (d). On se pose alors la question de savoir sur quelle autre ligne (à déinir...) il se trouve. Première phase : l'analyse du problème. On construction le dessin «à l'envers», en partant de la igure «réalisée» ain d'en dégager les caractéristiques.
4 On trace un segment [MN] et on place A son milieu, puis on trace deux droites sécantes passant respectivement par M et par N (et ne contenant pas A). M et N sont symétriques autour de A. N est sur (d') donc M est sur l'image de (d') par la symétrie de centre A. Voilà : l'analyse est inie. On peut déinir le point M comme point d'intersection de (d) et de l'image par s A de (d'). Deuxième phase : la synthèse. On reprend le dessin initial (construit «à l'endroit»...) Il s'agit de montrer qu'il est eectivement possible de déinir le point M comme indiqué dans l'analyse : (d) et (d') sont sécantes et s A (d ') // (d '), donc s A (d ') et (d) sont sécantes. Soit M leur point d'intersection.
5 Il ne reste plus qu'à construire N comme symétrique de M par rapport à A (ou comme point d'intersection de (MA) et (d')) et à vériier qu'il répond bien à la question, autrement dit qu'il est bien sur (d') (ou que A est bien le milieu de [MN]). Déinissons N comme symétrique de M par rapport à A et montrons qu'il est sur (d'). Soit (d'') la droite s A (d '). M est sur (d'') donc s A (M) est sur s A (d ' '). Or, s A (M)=N et s A (d ' ')=(d'). Donc N appartient bien à (d'). Un autre solution, grâce à la géométrie analytique : On déinit un repère du plan comme sur la igure ci-contre. On cherche alors M(0; m) et N(n; 0) tels que A (1;1) soit le milieu de [MN]. On a donc m=2 et n=2 et c'est ini... (Là, la géométrie analytique, c'est pratique, n'est-ce pas?)
6 Exercice 5 : EFG est un triangle rectangle en F. K est le milieu du segment [EG]. La droite passant par K et perpendiculaire à (EF) coupe [EF] en L. 1. a. Démontrer que les droites (LK) et (FG) sont parallèles. b. Démontrer que L est le milieu du segment [EF] 2. Les droites (FK) et (GL) se coupent en M. Que représentent les droites (FK) et (GL) pour le triangle EFG? En déduire que la droite (EM) coupe le segment [FG] en son milieu. 1. a. (KL) et (FG) sont perpendiculaires à la même troisième droite (EF). Elles sont parallèles entre elles. b. Dans le triangle EFG, K est le milieu de [EG] et la parallèle (KL) au côté [FG] coupe le troisième côté [EF] en L. Donc, L est le milieu de [EF] (droite des milieux dans un triangle). 2. Les droites (FK) et (GL) sont deux médianes du triangle EFG. Elles sont sécantes en M, qui est donc le centre de gravité du triangle EFG. Et (EM) est la troisième médiane du triangle EFG. (EM) coupe donc le segment [FG] en son milieu.
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