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1 Exercice p 97, n 4 : SABCD est une pyramide dont la base est le rectangle ABCD. On place sur sa hauteur [ SA ] le point A tel que SA = 6cm. En coupant la pyramide SABCD par un plan passant par le point A et parallèle à sa base, on obtient une pyramide réduite SA B C D. SA = 9 cm ; AB = 8 cm ; BC = 6 cm. 1) Calculer le rapport de réduction. ) a) Calculer l aire du rectangle ABCD. b) En déduire l aire du quadrilatère A B C D. ) a) Calculer le volume de la pyramide SABCD. b) En déduire le volume de la pyramide SA B C D. Correction : 1) Rapport de réduction : SA k = SA 6 k = 9 k =. ) a) Aire A du rectangle ABCD : A A A = AB BC = 8 6 = 48 cm². L aire du rectangle ABCD mesure 48 cm². b) Aire A du quadrilatère A B C D : Le quadrilatère A B C D est la section de la pyramide SABCD par le plan passant par A et parallèle à sa base. Or, la section d une pyramide par un plan parallèle à sa base est un rectangle. Donc le quadrilatère A B C D est un rectangle, réduction du rectangle ABCD de rapport Or, dans une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par D où : A = A k A = A = 64 A = cm² A 1, cm². k =. L aire du rectangle A B C D mesure 64 cm², soit environ 1, cm².

2 ) a) Volume V de la pyramide SABCD : AB BC SA cm. Le volume de la pyramide SABCD mesure 144 cm. b) Volume V de la pyramide SA B C D : La pyramide SA B C D est une réduction de la pyramide SABCD de rapport Or, dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliées par D où : V = V k V = V = 9 18 V = cm V 4,667 cm. Le volume de la pyramide SA B C D mesure 18 cm, soit environ 4,667 cm. k =. Exercice p 97, n 4 : En coupant un cône de révolution ( C ) par un plan parallèle à sa base, on obtient un cône de révolution ( ) réduction du cône ( C ). SO = 7 cm ; SI = 4 cm ; OA = cm. Calculer le volume du cône ( ) C. C,

3 Correction : SI 4 Le cône ( C ) est une réduction du cône ( C ) de rapport k = =. SO 7 Or, dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliées par Le volume V du cône ( C ) s obtient donc en multipliant le volume V du cône ( ) V = V k avec π 7 4 V = 7 π 7 4 V = π V = cm 49 V 1,10 cm. Le volume du cône ( ) V = π OA SO C mesure 19 π cm, soit environ 1,10 cm. 49 C par Exercice p 00, n 66 : SABCD est une pyramide régulière dont la base est un carré ABCD de centre O. SA = 1 cm ; AB = 6cm. 1) a) Calculer SO et l exprimer sous la forme a b où a et b sont deux nombres entiers avec b le plus petit possible. b) Calculer le volume de la pyramide SABCD. SA tel que SA = 9 cm. ) On appelle A le point du segment [ ] On coupe la pyramide par le plan qui passe par le point A et qui est parallèle à sa base. On obtient une petite pyramide réduite SA B C D, réduction de la pyramide SABCD. Calculer le volume de la pyramide SA B C D. ) Le solide A B C D ABCD s appelle un tronc de pyramide. Calculer le volume de ce solide. Correction : 1) a) Longueur SO : ABCD est un carré de centre O, donc le triangle AOB est rectangle et isocèle en O. D après le théorème de Pythagore, on a : AB = OA + OB avec OA = OB AB donc OA = 6 OA = OA = 18.

4 Dès lors, la pyramide SABCD étant régulière, la droite ( SO ) est perpendiculaire au plan ( ) triangle SOA est rectangle en O, et d après le théorème de Pythagore, on a : SA = OS + OA donc SO = SA OA SO = 1 18 SO = SO =. D où : SO = SO = 9 14 SO = 14 cm. b) Volume V de la pyramide SABCD : ABCD, donc le V V AB SO = 6 14 = 6 14 cm V 14,700 cm. Le volume de la pyramide SABCD mesure 6 14 cm, soit environ 14,700 cm. ) Volume V de la pyramide SA B C D : La pyramide SA B C D est une réduction de la pyramide SABCD de rapport Or, dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliées par D où : V = V k V = V = V = cm V 56,86 cm. Le volume de la pyramide SA B C D mesure 4 14 cm, soit environ 56,86 cm. SA 9 k = = =. SA 1 4

5 ) Volume V du tronc de pyramide A B C D ABCD : V = V V 4 14 V = V = V = V = V = cm V 77,87 cm. Le volume du tronc de pyramide mesure 14 cm, soit environ 77,87 cm. Exercice p 00, n 67 : ( C ) est un cône de révolution de sommet S et de base un disque de centre O et de rayon OM. Le point M appartient à la génératrice [ SM ]. On coupe ce cône par un plan passant par le point M et parallèle à sa base. On obtient alors un cône ( C ), réduction du cône ( C ). SM = 8 cm ; SM = 5 cm ; OM = cm. 1) Calculer le volume du cône ( C ). ) Calculer le volume du cône ( C ). ) Calculer le volume du tronc de cône vert. Correction : 1) Volume V du cône ( C ) : Dans le triangle SOM rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore : SM = OS + OM donc SO = SM OM SO = 8 SO = 64 9 SO =. D où : SO = cm.

6 Dès lors : π OM SO π π cm V 69,896 cm. Le volume du cône mesure π cm, soit environ 69,896 cm. ) Volume V du cône ( ) C : SM 5 Le cône ( C ) est une réduction du cône ( C ) de rapport k = =. SM 8 Or, dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliées par Le volume V = V k 5 V = π 8 75π V = cm 51 V 17,064 cm. V du cône ( C ) s obtient donc en multipliant le volume V du cône ( ) Le volume du cône ( C ) mesure 75π 51 ) Volume V du tronc de cône vert : V = V V 75π V = π V = 1 π V = π V = π 51 11π V = cm 51 V 5,8 cm. cm, soit environ 17,064 cm. C par Le volume du tronc de cône mesure 11π 51 cm, soit environ 5,8 cm.

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