Géométrie dans l espace

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1 6 H I T R E Géométrie dans l espace René escartes : En 1637 dans son appendice au iscours de la méthode, escartes présente sa méthode pour obtenir des idées claires sur n importe quel sujet. La Géométrie et deux autres appendices la ioptrique (l optique) et les Météores (hénomènes naturels), ont été publiés avec le iscours pour donner des exemples de succès qu il a obtenus en suivant sa méthode. Son ouvrage est le premier à proposer l idée d unir l algèbre et la géométrie dans une même discipline. escartes invente une géométrie algébrique, plus tard appelée géométrie analytique. ela signifie qu il réduit les problèmes de géométrie à des calculs de longueur et qu il traduit les questions de géométrie en équations algébriques. On attribue à escartes l invention des repères appelés de nos jours «repères cartésiens» Le rapport entre les coordonnées d un point permet à escartes d écrire l équation de courbes classiques comme les coniques, les ovales et des courbes du troisième ou quatrième degré.

2 Sommaire 0 Généralités 0.1 rogramme de la classe de remière S 0.2 rogramme de la classe de Terminale S 0.3 rogramme libanais de la classe de Terminale série SG 1 roites et plans de l espace 1.1 aractérisation d un plan dans l espace 1.2 osition relative de droites et de plans a) osition relative d une droite et d un plan b) osition relative de deux plans c) osition relative de deux droites 1.3 arallélisme dans l espace a) arallélisme de droites et de plans b) pplications à l étude de sections de solides c) Théorème du toit 1.4 Orthogonalité dans l espace a) Orthogonalité de deux droites b) Orthogonalité d un plan et d une droite c) Orthogonalité de deux plans 2 alcul vectoriel dans l espace 2.1 Généralisation de la notion de vecteur 2.2 Vecteurs colinéaires a) éfinition b) pplication :aractérisation vectorielle d une droite de l espace 2.3 Vecteurs coplanaires a) éfinition b) pplication :aractérisation vectorielle d un plan de l espace c) pplication :aractérisation vectorielle du parallélisme 3 Géométrie analytique dans l espace 3.1 Repères de l espace a) éfinitions b) ropriétés c) Exercices 3.2 Équations paramétriques dans l espace a) Équations paramétriques d une droite dans l espace b) Équation paramétrique d un plan dans l espace 3.3 Étude de quelques positions relatives a) osition relative de deux droites b) osition relative d un plan et d une droite 4 Résumé du cours 5 émonstrations du cours 6 Exercices 266 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

3 0 Généralités 0 1 rogramme de la classe de remière S La géométrie dans l espace est source de situations permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de l analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des problèmes d optimisation. 0 2 rogramme de la classe de Terminale S Il s agit de renforcer la vision dans l espace entretenue en classe de première et de faire percevoir toute l importance de la notion de direction de droite ou de plan. La décomposition d un vecteur d un plan suivant deux vecteurs non colinéaires de ce plan, puis celle d un vecteur de l espace suivant trois vecteurs non coplanaires, sensibilisent aux concepts de liberté et de dépendance en algèbre linéaire. Le repérage permet à la fois de placer des objets dans l espace et de se donner un moyen de traiter des problèmes d intersection d un point de vue algébrique. L objectif est de rendre les élèves capables d étudier des problèmes d intersection de droites et de plans, en choisissant un cadre adapté, vectoriel ou non, repéré ou non. ONTENUS ITÉS TTENUES OMMENTIRES roites et plans ositions relatives de droites et de plans : intersection et parallélisme, et orthogonalité. de deux droites ; d une droite et d un plan. Étudier les positions relatives de droites et de plans. Établir l orthogonalité d une droite et d un plan. Le cube est une figure de référence pour la représentation des positions relatives de droites et de plans. On étudie quelques exemples de sections planes du cube. e travail est facilité par l utilisation d un logiciel de géométrie dynamique. Géométrie vectorielle aractérisation d un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires. On étend à l espace la notion de vecteur et les opérations associées. On fait observer que des plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème dit «du toit». Vecteurs coplanaires. écomposition d un vecteur en fonction de trois vecteurs non coplanaires. Repérage. Représentation paramétrique d une droite. hoisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes d alignement ou de coplanarité. Utiliser les coordonnées pour : traduire la colinéarité, caractériser l alignement et déterminer une décomposition de vecteurs. On fait percevoir les notions de liberté et de dépendance. On ne se limite pas à des repères orthogonaux. La caractérisation d un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires conduit à une représentation paramétrique de ce plan. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 267

4 0 3 rogramme libanais de la classe de Terminale série SG rogramme correspondant aux chapitres VI et VIII du présent cours. Équation vectorielle d une droite, d un plan. 1. aractériser vectoriellement une droite, un plan. Reconnaître un vecteur normal d un plan. Reconnaître un vecteur directeur d une droite. aractériser un plan de vecteur normal v et passant par un point comme étant l ensemble des points M tels que : M. v = 0 La caractérisation vectorielle des figures géométriques est utilisée comme moyen pour passer aux expressions analytiques. Étude analytique. La géométrie analytique, dans le programme de cette année, est utilisée comme terrain pour investir les acquis de géométrie dans l espace, de la géométrie plane, du produit scalaire et du produit vectoriel. L outil vectoriel sera utilisé pour mettre en place les équations d un plan et d une droite. Une utilisation des deux outils analytique set vectoriel sera exigée afin d étudier l alignement, le parallélisme et l orthogonalité dans l espace. L étude analytique se fera dans un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ). Équation d un plan et d une droite dans l espace. éterminer l équation cartésienne d un plan et d une droite définis par des éléments géométriques dans un repère orthonormé. Reconnaître l équation ux + v y + w z + r = 0 comme étant celle d un plan perpendiculaire au vecteur non nul V(u, v, w). onner l équation du plan passant par un point et orthogonal à un vecteur donné non nul. éterminer une équation d un plan passant par trois points non alignés. éterminer une équation d un plan passant par un point donné et parallèle à deux directions données non parallèles. Savoir que la droite de vecteur directeur non nul V(a,b,c) et passant par le point (x 0, y 0, z 0 ) est l ensemble des points M(x, y, z) vérifiant le système d équations paramétriques : x = at + x 0 y = bt + y 0 z = ct + z 0 ans le cas où a b c 0, ce système s écrit sous la forme x x 0 a où le paramètre ne figure pas explicitement. = y y 0 b = z z 0 c éterminer un système d équations paramétriques d une droite passant par deux points donnés. Il est important de noter la non unicité du vecteur normal à un plan et du vecteur directeur d une droite. On traitera avec soin les cas particuliers des équations des plans de vecteurs normaux admettant une ou deux composantes nulles. 268 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

5 Orthogonalité de deux droites, d une droite et d un plan ; plans perpendiculaires. aractériser l orthogonalité de deux droites, d une droite et d un plan et de deux plans, connaissant leurs équations, dans un repère orthonormé. Savoir que deux droites de vecteurs directeurs respectifs V(a,b,c) et V (a,b,c ) sont orthogonales si et seulement si aa + bb + cc = 0. Savoir qu une droite de vecteur directeur V et un plan de vecteur normal V sont orthogonaux si et seulement si V et V sont colinéaires. Savoir que deux plans de vecteurs normaux respectifs V(u, v, w) et V(u, v, w ) sont orthogonaux si et seulement si uu + v v + w w = 0 arallélisme des droites et des plans Étudier les positions relatives de deux plans, deux droites et d une droite et d un plan, connaissant leurs équations, dans un repère orthonormé. Savoir que deux droites de vecteurs directeurs respectifs V et V sont parallèles (ou confondues) si et seulement si V et V sont colinéaires. Savoir qu une droite de vecteur directeur V et un plan de vecteur normal V sont parallèles si et seulement si V et V sont orthogonaux. Savoir que deux plans de vecteurs normaux respectifs V et V sont parallèles (ou confondues) si et seulement si V et V sont colinéaires. éterminer un système d équations paramétriques de la droite d intersection de eux plans sécants. éterminer l intersection de deux droites sécantes. éterminer l intersection d une droite et d un plan. omme dans l orthogonalité, on aura recours à l outil vectoriel pour démontrer le parallélisme de droites et de plans. On notera le lien qui existe entre l intersection de deux droites, de deux plans ou d une droite et d un plan avec la résolution d un système d équations à plusieurs inconnues. Signalons aussi que, comme dans le cas d une droite dans le plan, une droite de l espace a une infinité de systèmes d équations paramétriques. Il est alors important d initier l élève à passer d un système à un autre équivalent. titre d activités, il est conseillé d étudier analytiquement les cas suivants : un plan passant par un point donné et parallèle à un plan donné ; une droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée. On habituera l élève à retenir la méthode plutôt que le résultat. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 269

6 1 roites et plans de l espace 1 1 aractérisation d un plan dans l espace ans l espace un plan est caractérisé par la donnée de trois points non alignés :trois points non alignés déterminent un unique plan. On peut également caractériser un plan par deux droites sécantes ou strictement parallèles. Un plan passant par trois points, et, sera noté (,, ). Si un quatrième point appartient à ce plan, on dira que ces quatre points sont coplanaires. u même titre que deux points sont toujours alignés dans le plan, trois points seront toujours coplanaires dans l espace, mais pas nécessairement quatre. 1 2 osition relative de droites et de plans a) osition relative d une droite et d un plan ans le cas d une droite et d un plan, on peut avoir Une droite et un plan sécants Une droite et un plan strictement parallèles Une droite incluse dans un plan On peut visualiser ces trois cas en prenant comme support un cube I Une droite et un plan sécants Une droite et un plan strictement parallèles Une droite incluse dans un plan Exercice 1 ans un pavé droit EFGH, on place les points I, J et K respectivement sur les arêtes [, ], [, ] et [G, H] tels que : I = J = HK 1. e quelle nature est le quadrilatère IKH? 2. Que peut-on dire des droites (K) et (IH)? 3. En déduire que la droite (K) est parallèle au plan (HIJ). 270 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

7 H + K G E F + J + I Solution 1. omme HK = I et comme (HK) et (I) sont parallèles, le quadrilatère IKH a deux côtés parallèles et de même longueur : c est un parallélogramme. 2. IKH est un parallélogramme, donc (K) et (IH) sont parallèles 3. (K) est parallèle à une droite du plan (HIJ), elle est donc parallèle au plan (HIJ). Exercice 2 On considère un cube EFGH et soient I et J les points situés respectivement sur [, ] et sur [, H] tels que : I = 1 4 et J = 1 4 H émontrer que (IJ) (FH) Solution H G E F J I omme I = J H = 1 4 après le théorème de THLES appliqué au triangle H, on conclut que (IJ) (H) La droite (IJ) est parallèle à une droite du plan (FH), elle est donc parallèle à ce plan. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 271

8 b) osition relative de deux plans ropriété 1 eux plans qui ne sont pas confondus sont soient sécants selon une droite, soient strictement parallèles. eux plans sécants eux plans strictement parallèles Exercice 3 On considère un cube EFGH. Soient I, J, K, L, M et N les centres respectifs des face du cube (voir ci-dessous). Le solide IJKLMN est un octaèdre régulier (toutes ses faces sont des triangles équilatéraux). On veut démontrer que les faces opposées de l octaèdre sont parallèles. 1. émontrer que la droite (IK) est parallèle à la droite (H). 2. émontrer que la droite (IK) est parallèle à la droite (MN). 3. émontrer que les plans (IKL) et (JMN) sont parallèles. H I G M L J K E N F Solution 1. ans le triangle HF : I est le milieu de [H, F] et K celui de [F, ], d après le théorème des milieux, on en déduit que (IK) (H) 2. ans le triangle H : N est le milieu de [, ] et M celui de [, H], d après le théorème des milieux, on en déduit que (MN) (H) eux droites parallèles à une même troisième étant parallèles entre elles, il en résulte que (IK) (MN) 3. e la même manière, on démontre que (JN) et (IL) sont parallèles. insi, dans le plan (IKL), se trouvent deux droites sécantes, qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan (JMN) : on en déduit que les plans (IJK) et (JMN) sont parallèles. e résultat reste vrai pour toute paire de faces opposées de l octaèdre. 272 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

9 c) osition relative de deux droites ropriété 2 eux droites de l espace sont : a. Soient non coplanaires, auquel cas elles sont ni sécantes ni parallèles. b. Soient coplanaires et elles peuvent être alors sécantes ou parallèles. c. eux droites sécantes sont forcément coplanaires. d. eux droites qui ne sont pas sécantes sont soient parallèles, soient non coplanaires. FIGURE 1 eux droites non coplanaires I eux droites sécantes eux droites parallèles eux droites parallèles FIGURE 2 eux droites coplanaires eux droites parallèles eux droites non coplanaires eux droites parallèles Francis ORTO Sommaire chapitre 6 273

10 1 3 arallélisme dans l espace a) arallélisme de droites et de plans ropriété 3 a. eux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. b. eux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. c. Si un plan contient deux droites sécantes parallèles à deux autres droites sécantes d un second plan, alors ces deux plans et sont parallèles. d. Si deux plans et sont parallèles, tout plan Q qui coupe l un coupe l autre, et les deux droites d intersection et sont parallèles. =Q =Q Q Figure c. Figure d. Remarque. Si deux droites sont parallèles à un même plan, elles ne sont pas forcément parallèles entre elles. b) pplications à l étude de sections de solides our trouver l intersection d un solide avec un plan, il faut déterminer et tracer les intersections de ce plan avec toutes les faces du solide. chaque étape, on doit se poser les questions suivantes dans cet ordre onnait-on deux points de sur une même face du solide? ans ce cas, on les relie et on prolonge le segment jusqu aux arêtes de la face concernée. On obtient deux nouveau points et on revient à la première question. Si l on connait l intersection de avec une face du solide, connait-on un point de sur l éventuelle face du solide parallèle à la première? ans ce cas, on utilise la troisième propriété, et on trace la parallèle à l intersection connue passant par le point connu. On s arrête aux arêtes de la face concernée. On obtient deux nouveaux points et on revient à la première question. Si l on n est pas dans l un des cas précédents, on doit construire un point à l extérieur du solide, qui est commun à et à l un des plans portés par l une des face du solide. Exercice 4 On considère un parallélépipède rectangle EFGH. Soient N et M deux points respectivement situés sur les arêtes [, ] et [, ]. Tracer la section du parallélépipède rectangle EFGH par le plan (MNG). 274 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

11 Solution Voici les différentes étapes : 1. Trace du plan (MNG) sur la face M et N sont deux points communs aux plans () et (MGN). L intersection de ces deux plans est donc la droite (MN), et la trace du plan (MGN) sur la face est donc le segment [MN], en pointillés rouge sur la figure. H G E F +N + M 2. Trace du plan (MNG) sur les faces GF et FE. Le point G est commun aux plans (MNG) et (G), il suffit de trouver un second point commun aux deux plans. La droite (MN)appartient au plan (MGN)et la droite()au plan (G) donc le point d intersection L de ces deux droites et appartient aux deux plans (MNG) et (G) et donc à leur intersection qui est une droite. omme le point G appartient aussi à cette intersection, cela signifie que l intersection des plans (MNG) et (G) est la droite (GL). Soit I le point d intersection de (GL) et (F), alors les segments [G, I] et [M, I] sont les traces du plan (MNG) sur les faces GF et FE respectivement. H G E F I N M L Francis ORTO Sommaire chapitre 6 275

12 3. Traces du plan (MNG) sur les faces GH et HE Les plans (H) et (G) étant parallèles, l intersection du plan (MGN)avec le plan (H) est une droite parallèle à (GI). Or le point N appartient à cette intersection, on en déduit donc que l intersection de ces deux plans est la droite parallèle à (GI) passant par N. ette droite coupe l arête [, H] en un point J : les segments [N, J] et [J, G] sont donc les traces du plan (MNG) sur les faces HE et GH respectivement (en traits pointillés bordeaux sur la figure). H G E F J+ + I +N + M 4. Section du pavé EFGH par le plan (MGN). La section du pavé par le plan (MGN) est donc le pentagone MIGJN (voir figure 3 pour une représentation à l aide de GEOGER). G J + + I +N + M Exercice 5 Soit un tétraèdre et soient M un point de la face, N un point du segment [, ] et R un point du segment [, ]. onstruire la section du tétraèdre par le plan (MNR) Solution Le segment [N, R] appartient au plan (MNR) ainsi qu à la face du tétraèdre, c est donc l intersection des deux. Les deux droites (NR) et () sont coplanaires dans le plan (), ces deux droites n étant pas parallèles, elles sont donc sécantes en un point I. e point I, appartenant à la droite () est donc un point du plan (), la droite (IM) est donc contenue dans les plans () et (MNR). Elle coupe les arêtes [, ] et [, ] en U et V. Le segment [U, V] est donc l intersection du plan (MNR) avec la face. e façon évidente, le segment [V, N] est la section du plan (MNR) avec la face. En conclusion, la section du tétraèdre avec le plan (MNR) est le quadrilatère NRUV. 276 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

13 FIGURE 3 figure obtenue par GeoGebra 5.0 V M N R U I c) Théorème du toit Théorème 1 Théorème du toit Si deux plans sécants et contiennent deux droites parallèles et, alors l intersection de ces deux plans est parallèle aux droites et Francis ORTO Sommaire chapitre 6 277

14 = émonstration. uisque est parallèle à, si on montre que est parallèle à, alors sera aussi parallèle à. Raisonnons par l absurde en supposant que et soient sécantes mais non confondues et notons M leur point d intersection. e qui entraine que M appartient à et donc à et. Or et sont strictement parallèles, M qui appartient à la droite ne peut donc pas appartenir à la droite. M est donc un point de non situé sur. Mais puisque est parallèle à et passe par M alors est dans. e qui signifie que la droite est à la fois dans et dans. et contiennent donc deux droites sécantes et ce qui implique que ces deux plans soient confondus, ce qui est contraire à l hypothèse. En conclusion et sont parallèles. Exercice 6 Soit S une pyramide régulière de sommet S à base carrée et soit I le milieu de l arête [S, ]. 1. Le plan (I) coupe le plan (S) selon une droite d. émontrer que d est parallèle à (). 2. éterminer l intersection des plans (S) et (S) S d I Solution 1. Les plans (I) et (S) sont sécants selon la droite d. Le plan (I) contient la droite () et le plan (S) contient la droite (). Les deux droites () et () sont parallèles (comme supports des côtés du carré de base de la pyramide). après le théorème du toit, la droite d est donc parallèle à la droite (). 278 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

15 2. es deux plans ont le point S en commun, comme ils ne sont pas confondus ils sont donc sécants selon une droite ( ) qui passe par S. omme la droite () du plan (S) est parallèle à la droite () du plan (S), d après le théorème du toit, la droite ( ) sera parallèle aux deux droites () et (). L intersection des deux plans (S) et (S) est la droite parallèle à () passant par le point S. 1 4 Orthogonalité dans l espace a) Orthogonalité de deux droites éfinition 1 eux droites sont orthogonales si les droites parallèles à ces deux droites passant par un même point sont deux droites perpendiculaires dans le plan qu elles définissent. éfinition 2 eux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes. eux droites perpendiculaires sont donc orthogonales et coplanaires. Exemple. Les droites () et (F) sont perpendiculaires, donc orthogonales. Les droites () et (GF) sont orthogonales mais non perpendiculaires, car non coplanaires H G E F b) Orthogonalité d un plan et d une droite éfinition 3 Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. ropriété 4 Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. () ( ) ( ) () ( ) figure 1. figure 2. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 279

16 Exemple. onsidérons le cube de l exemple de la définition 2. La droite (FG) est orthogonale au plan (F) car elle est orthogonale aux deux droites sécantes (F) et () du plan (F) La droite (FG) est orthogonale à la droite (E), car (FG) est orthogonale au plan (F), et (E) est incluse dans le plan (F) Exercice 7 On considère un cube EFGH. émontrer que la droite (G) est orthogonale au plan (EH) H G E F Solution Les droites (E) et (H) sont parallèles, or (G) et (H) sont perpendiculaires, il en résulte que les droites (G) et (E) sont orthogonales. La droite () est orthogonale au plan (G), car elle est perpendiculaire aux deux droite sécantes () et (H) de ce plan. Il s ensuit que cette droite () est orthogonale (et même perpendiculaire) à la droite (G). Or () est parallèle à (EH), il en résulte que (EH) est orthogonale à (G). Nous avons donc montré que (G) et (E) sont orthogonales ainsi que (G) et (EH). La droite (G) est donc orthogonale à deux droites sécantes (E) et (EH) du plan (EH), elle est donc orthogonale à ce plan. c) Orthogonalité de deux plans éfinition 4 eux plans sont orthogonaux si une droite orthogonale à l un sera orthogonale à une droite orthogonale à ce plan Remarque. La notion de produit scalaire dans l espace développée ultérieurement, donnera une caractérisation plus commode de deux plans orthogonaux. 2 alcul vectoriel dans l espace 2 1 Généralisation de la notion de vecteur La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise sans difficulté à l espace. On étend ainsi à l espace la définition d un vecteur, le cas d égalité de deux vecteurs et les opérations associées : multiplication par un réel, somme de vecteurs et la relation de hasles. ar exemple : 280 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

17 ropriété 5 eux vecteurs non nuls et sont égaux si et seulement si est un parallélogramme (éventuellement aplati) Remarque. ela signifie que les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur. Exercice 8 Soit EFGH un cube et soit I le milieu de l arête [FG]. 1. éterminer le point M tel que : + E + FI = M 2. émontrer que + F = F + Solution H G E F 1. + E + FI = F + FI = I Le point M est donc confondu avec le point I. 2. une part + F = + F = F autre part En conclusion 2 2 Vecteurs colinéaires a) éfinition F + = F + = F + F = F + éfinition 5 eux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires lorsqu ils ont la même direction. Théorème 2 Les vecteurs non nuls, u, v sont colinéaires si et seulement si il existe k R tel que u = k v. Remarque. ar convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur u. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 281

18 La colinéarité est utile pour démontrer que : eux droites sont parallèles : onséquences 1 et sont colinéaires les droites () et () sont parallèles. Trois points sont alignés : et sont colinéaires si, et sont alignés. ropriété 6 Soit u un vecteur quelconque et un point de l espace. lors il existe un unique point M tel que M = u Exercice 9 Soit IJKL un parallélépipède et G le centre de gravité du triangle IK. émontrer que J, et G sont alignés. L F K I G J H E Solution On constate que J = JF + F + = JF + 3 FG + JL = JF + 3 FG + 2JF = 3 JF + 3 FG = 3 JG onc les vecteurs J et JF sont colinéaires. Les points J, G, et sont alignés. b) pplication:aractérisation vectorielle d une droite de l espace Théorème 3 Soient et deux points distincts de l espace. La droite () est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs M et sont colinéaires. La droite () est l ensemble des points M tels qu il existe un réel t tel que M = t Remarque. On dit que est un vecteur directeur de la droite (). 282 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

19 2 3 Vecteurs coplanaires a) éfinition éfinition 6 es vecteurs sont dits coplanaires lorsque l on peut trouver des représentants de ces vecteurs situées dans un même plan. H G E F ans le cas du cube ci-dessus, on peut affirmer que une façon évidente, les vecteurs, et sont coplanaires. Les vecteurs, F et H sont coplanaires, car H = E et les quatre points,, F et E sont coplanaires. Les vecteurs, et F ne sont pas coplanaires, car sinon le sommet F serait dans le plan (), ce qui est contraire à la définition d un cube. Remarque. eux vecteurs sont toujours coplanaires, car trois points le sont toujours. Le fait que les premiers représentants choisis ne soient pas dans un même plan n empêche absolument pas les vecteurs d être coplanaires. ela signifie seulement que l on n a pas choisi les "bons" représentants. ar exemple, dans un cube, EFGH, les points,,, G, et H ne sont pas coplanaires mais les vecteurs, et GH sont coplanaires. Il suffit pour s en apercevoir de changer de représentant pour le vecteur GH et prendre le vecteur. En revanche, si on a utilisé 4 points seulement, pour écrire des représentants des trois vecteurs, les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si les quatre points sont coplanaires. Exercice 10 On considère le cube EFGH ci-dessus. 1. Les droites (E), () est (H) sont-elles coplanaires? 2. ensez-vous que les vecteurs E, et H le soient? ourquoi? 3. eut-on exprimer le vecteur E en fonction des et H? ans l affirmative, donner cette relation. Solution 1. es trois droites ne sont pas coplanaires car (E) d une part et () et (H) d autre part sont sur deux faces parallèles du cube, () et (H) étant de plus sécantes. 2. Oui, car E = G et les trois vecteurs G, et H sont dans le plan de la face du fond. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 283

20 3. Oui E = H = + H = + H b) pplication:aractérisation vectorielle d un plan de l espace Théorème 4 Soient, et trois points de l espace non alignés. a. Le plan () est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs M, et sont coplanaires. b. est l ensemble des point M tels que M = x + y x et y étant des réels quelconques Remarque. On dit alors que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan (), ou bien qu ils forment une base de ce plan émonstration. Montrons que si M () alors M = x + y omme, et ne sont pas alignés, les vecteurs et ne sont pas colinéaires et ils forment une base du plan () et donc (,, ) est un repère du plan (). ar conséquent, si M est un point du plan () il existe un unique couple de réels (x, y) tel que : M = x + y Montrons que si M = x + y alors M () uisque (,, ) est un repère du plan (), il existe dans ce plan un unique point N de coordonnées (x, y) tel que N = x + y d où et donc M () M = N M = N Théorème 5 On considère deux vecteurs u et v non colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que : w = x u + y v émonstration. hoisissons un point M et considérons les points, et tels que : M = u M = v M = w uisque u et v ne sont pas colinéaires, ce sont des vecteurs directeurs du plan (M). omme les vecteurs u, v et w sont coplanaires, il existe M tel que (M), ce qui est équivalent d après le théorème précédent, au fait qu il existe des réels a et b tels que : M = a M + b M w = a u + b v 284 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

21 Exercice 11 EFGH est un cube. I est le milieu de [E] et J le milieu de [FG]. émontrer que les vecteurs EF, G et IJ sont coplanaires. H G E F + J + I Solution Il s agit d exprimer l un des vecteurs EF, G ou IJ en fonction des deux autres. eux qui sont sur les faces du cube sont simples à visualiser. ar conséquent, essayons d exprimer IJ en fonction des EF et G. omme G est la diagonale d une face, exprimons-le en fonction de vecteurs sur des arêtes, et appuyons -nous sur le point F, on a : G = F + FG onsidérons le vecteur IJ, en s appuyant sur le point F qui nous a déjà servi pour décomposer G. On a : IJ = IF + FJ Utilisons désormais les arêtes du cube, toujours en s appuyant sur F. On a : 1 IJ = EF + 1 F + 1 FG = 1 2 EF + 1 G 2 onc les vecteurs EF, G et IJ sont coplanaires c) pplication:aractérisation vectorielle du parallélisme eux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. ropriété 7 eux plans ayant un même couple de vecteurs directeurs sont parallèles (éventuellement confondus). Une droite et un plan sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de est un vecteur du plan. Une droite d de vecteur directeur u et un plan de vecteurs directeurs v et w sont parallèles si et seulement si les vecteurs u, v et w sont coplanaires. omme application, proposons une démonstration vectorielle du théorème du toit : Francis ORTO Sommaire chapitre 6 285

22 Si deux plans sécants et contiennent deux droites parallèles et, alors l intersection de ces deux plans est parallèle aux droites et émonstration. Soit u un vecteur directeur de, puisque et sont parallèles, u dirige également.. onsidérons alors deux couples ( u, v 1 ) et ( u, v 2 ) de vecteurs directeurs de et. Soit w un vecteur directeur de, montrons que w et u sont colinéaires. omme w appartient au plan, il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v 1 (1) omme w appartient au plan, il existe deux réels c et d tels que w = c u + d v 2 (2) On soustrait membre à membre (1) et (2), il vient : O = (a c) u + b v 1 d v 2 (a c) u = d v 2 b v 1 Supposons que a c 0, alors d u = v 2 b v 1 a c a c Il en résulte que les vecteurs u, v 1 et v 2 sont coplanaires, les plans et sont donc confondus, ce qui est contraire au fait qu ils soient sécants selon la droite. En conclusion a c = 0 et donc 0 = d v 2 b v 1, soit Supposons que b 0, alors de (3), il vient b v 1 = d v 2 (3) v 1 = d v 2 b e qui signifie que les vecteurs v 1 et v 2 sont colinéaires, ce qui entraîne que les plans et sont parallèles, ce qui est contraire au fait qu ils soient sécants selon la droite. onc b = 0, d où d après (3) 0 = d v 2 Et donc d = 0, car v 2 0. En définitive, nous avons montré que a = c et que b = d = 0 e qui entraîne, d après (1) que w = a u w et u sont colinéaires, il s ensuit que les droites et, ainsi que sont parallèles. 286 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

23 3 Géométrie analytique dans l espace 3 1 Repères de l espace a) éfinitions éfinition 7 On appelle repère de l espace la donnée d un point O appelé origine et de trois vecteurs i, j et k non coplanaires z k i x O j y On peut également définir un tel repère par la donnée de quatre points O, I, J et K non coplanaires. Si les axes sont orthogonaux deux à deux et si les vecteurs i, j et k on la même norme, le repère est dit orthonormé. est un des cas les plus fréquents en pratique. Théorème 6 Soit (O; i ; j ; k ) un repère de l espace, alors pour tout point M il existe un unique triplet (x, y, z) de nombres réels appelé coordonnées du point M, tel que OM = x i + y j + z k x est l abscisse de ce point, y son ordonnée et z sa côte. Remarque. On définit de même les coordonnées d un vecteur u comme l unique triplet de nombres réels (x, y, z) tel que u = x i + y j + z k On notera M(x, y, z) ainsi que u (x, y, z) ou bien u x y z Francis ORTO Sommaire chapitre 6 287

24 b) ropriétés Tous les résultats de la géométrie plane concernant les coordonnées s étendent à l espace par l adjonction d une troisième coordonnée. Soit un repère (O, i, j, k) de l espace. a. Si deux vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives ( x, y, z ) et ( x, y, z ), alors u + v a pour coordonnées ( x + x, y + y, z + z ) λ u a pour coordonnées ( λx, λy, λz ) b. Si deux points et ont pour coordonnées (x, y, z ) et (x, y, z ) alors : le vecteur a pour coordonnées ( x x, y y, z z ) ropriété 8 Le milieu I du segment [] a pour coordonnées : ( x + x I 2, y + y 2, z + z ) 2 Si de plus a pour coordonnées (x, y, z ) alors le centre de gravité G du triangle a pour coordonnées : ( x + x + x G 3 ; y + y + y 3 ; z + z + z ) 3 ans les deux cas, on fait la moyenne des coordonnées des points concernés. c. Si le repère est orthonormé = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 et u = x 2 + y 2 + z 2 émonstration. titre d exemple, voici une démonstration d une des propriétés ci-dessus, toutes se démontrent de la même manière. = O + O = O + O = x i y j z k + x i + y j + z k = (x x ) i + (y y ) j + (z z ) k ar conséquent, le vecteur a pour coordonnées ( x x, y y, z z ) e la définition de la colinéarité de deux vecteurs, on en déduit que ropriété 9 eux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles Exercice 12 ( 1 1. Les vecteurs u (2, 3, 7) et v 3, 1 2, 7 ) sont-ils colinéaires? 6 2. Même question avec les vecteurs u (0, 3, 2) et v (1, 6, 4) 288 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

25 1. Solution = 1 6 ; 2 3 = 1 6 et = 1 6 Les coordonnées de ces deux vecteurs sont proportionnelles, ils sont donc colinéaires. 2. Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, ils ne sont donc pas colinéaires. c) Exercices Exercice 13 On considère les points (1, 2, 3), ( 1, 3, 3) et (4, 1, 2). est un point tel que soit un parallélogramme, calculer les coordonnées de, puis celles du centre I de ce parallélogramme. Solution 1. est un parallélogramme si et seulement si = Soit (x, y, z) les coordonnées du point. Les vecteurs et ont pour coordonnées respectives ( x 1, y 2, z + 3 ) et (5, 4, 1) où x 1 = 5 et y 2 = 4 et z + 3 = 1 Le point a donc pour coordonnées (6, 2, 4) 2. Soient x I, y I, z I les coordonnées du centre I du parallélogramme, alors : x I = 5 2 ; y I = 1 2 et z I = 1 2 Exercice 14 Soit IJKL un parallélépipède et soit G le centre de gravité du triangle IK. émontrer, analytiquement en choisissant un repère, que les points, G et J sont alignés. L F K I G J H E Francis ORTO Sommaire chapitre 6 289

26 Solution On considère le repère de l espace (non orthogonal) (,,, ) I ar construction, les points, I, K, et J ont pour coordonnées (1, 0, 0), I(0, 0, 1), K(1, 1, 1), (0, 1, 0), J(1, 0, 1) G étant le centre de gravité du triangle IK, ses coordonnées sont ( ) 2 Les vecteurs G et J, ont pour coordonnées ( 2 G 3, 2 3, 2 ) 3 On remarque que 3, 1 3, 2 3 et G = 2 3 J J ( 1, 1, 1 ) Les vecteurs G et J sont colinéaires, les points, G et I sont donc alignés. 3 2 Équations paramétriques dans l espace a) Équations paramétriques d une droite dans l espace Théorème 7 Soient et deux points distincts de l espace. La droite () est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs M et sont colinéaires. est l ensemble des points M tels que M = t, où t est un réel quelconque. éfinition 8 Représentation paramétrique d une droite. On considère une droite passant par ( ) x, y, z de vecteur directeur u Un point M(x, y, z) appartient à si et seulement si il existe un réel t tel que x = x + at y = y + bt z = z + ct a b c. Remarque. Un tel système est appelé, système d équations paramétriques de la droite. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques, il suffit de choisir un autre point, ou un autre vecteur directeur pour en avoir une différente. émonstration. On sait déjà que M u et M sont colinéaires. e qui équivaut à dire qu il existe un réel t tel que M = t u. Or M = t u x x y y z z = t a b c x = x + at y = y + bt z = z + ct 290 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

27 Exemple. x = 4 5t y = 2 + 2t z = 1 + 3t (4, 2, 1) et de vecteur directeur u, t R est une représentation paramétrique de la droite d passant par le point our t = 0 nous obtenons le point de coordonnées (4, 2, 1) our t = 1 nous obtenons le point (9, 4, 2). Le point ( 6, 2, 7) appartient-il à la droite d? On cherche si il existe t tel que : = 4 5t 2 = 2 + 2t 7 = 1 + 3t e système a pour solution t = 2 ce qui signifie que ce point appartient à la droite d, avec la relation = 2 u. b) Équation paramétrique d un plan dans l espace ropriété 10 ans l espace muni d un repère, on considère un plan passant par (x, y, z ) dirigé a a par les vecteurs u b c et v b c. Un point M appartient à si et seulement si il existe deux réels t et t tels que M = t u + t v x = x + at + a t y = y + bt + b t z = z + ct + c t e système, lorsque t et t décrivent R, est appelé représentation paramétrique du plan Exercice 15 réciser la nature de l ensemble des points M(x, y, z) tels que x = 3t y = 1 + 2t t z = t + 3 t Solution x = 3t y = 1 + 2t t z = t + 3 t x = 0 + 3t + 0 t y = 1 + 2t t z = 3 t + t et ensemble de points est le plan passant par le point (0, 1, 3) et dirigé par le couple de vecteurs directeurs u (3, 2, 1) et v (0, 1, 1) Exercice 16 ans un repère de l espace, on considère les points E(2, 3, 5), F(0, 1, 1), H(1, 8, 8) et la droite x = 1 + t d équation paramétrique y = 4 t z = 2 + 2t 1. Montrer que d et (EF) sont strictement parallèles. 2. Montrer que d et (EH) sont sécantes et préciser leur point d intersection K. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 291

28 3 3 Étude de quelques positions relatives a) osition relative de deux droites On rappelle que deux droite sont soit parallèles, soit sécantes, soit non coplanaires. Exercice 17 Étudier la position relative des deux droites (d 1 ) et (d 2 ) dont les équations paramétriques sont données par : t étant un paramètre réel. x = 1 + 3t y = 1 3t z = 2t et x = 4 3t y = 9 2t z = 5 + t Solution On détermine si un vecteur directeur de (d 1 ) et (d 2 ) sont colinéaires. (d 1 ) est dirigée par u 1 (3, 3,2) et (d 2 ) est dirigée par u 2 ( 3,2,1). Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires. Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont donc sécantes ou non coplanaires. our déterminer dans quel cas nous nous trouvons, résolvons le système formé par les équations paramétriques de ces deux droites. Il est important de remarquer que, s il existe un point commun à ces deux droites, il n a aucune raison d être obtenu par la même valeur du paramètre. Il faut adopter deux notations distinctes pour les paramètres, par exemple t et t : 1 + 3t = 4 3t 1 3t = 9 2t 2t = 5 + t 3t + 3t = 3 3t + 2t = 8 2t t = 5 En additionnant membres à membres les deux premières équations, nous obtenons En reportant dans la première nous obtenons 5t = 5 t = 1 3t + 3 = 3 3t = 6 t = 2 Il reste alors à vérifier que ces deux valeurs de t et de t vérifient la troisième équation : 2t t = 2 ( 2) 1 = 4 1 = 5 e qui est bien le cas. onclusion, ces deux droites sont sécantes au point I, dont les coordonnées s obtiennent en remplaçant t ou t par sa valeur, dans le système d équations paramétriques de (d 1 ) ou (d 2 ). On obtient I( 7, 7, 4). Remarque. une façon générale, si l on résout le système avant de déterminer si les droites sont ou non coplanaires, dans le cas où le système donne une solution unique on peut alors affirmer qu elles sont sécantes. ependant, si le système donne aucune solution, il ne sera pas possible de conclure de suite qu elles sont strictement parallèles ou non coplanaires. 292 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

29 b) osition relative d un plan et d une droite Exercice 18 Étudier la position relative du plan d équations paramétriques et de la droite d équations paramétriques x = 2 + 3t + t y = 1 + 2t z = 3t + 4t x = 5 + k y = 2k z = 1 5k Solution our déterminer la position relative de ce plan et cette droite, on résout le système formé par les trois équations paramétriques, dont les inconnues seront les trois paramètres t, t et k. Si ce système admet : ucune solution : la droite et le plan sont strictement parallèles ; Une infinité de solutions : la droite est incluse dans le plan ; Une solution unique : La droite et le plan sont sécants en un point I. ans notre exemple, nous obtenons 2 + 3t + t = 5 + k 1 + 2t = 2k 3t + 4t = 1 5k 3t + t k = 3 2t 2k = 1 3t + 4t + 5k = 1 On peut résoudre ce système en exprimant t en fonction de k dans la seconde équation, puis en remplaçant t par l expression dans les deux autres équations, il vient : La première équation donne t = k et 3t k k = 3 3t 2 + 4k + 5k = 1 3t = = 7 2 soit t = 7 6 ans la seconde équation, nous obtenons k = 3 soit 9k = et k = 1 18 En remplaçant k par sa valeur dans l expression de t en fonction de k, il vient t = = 5 9 En conclusion, il existe une unique valeur des paramètres t, t et k, la droite et le plan sont donc sécants. En remplaçant dans le système d équations paramétriques de la droite k par sa valeur, nous obtenons ( 89 18, 1 9, 23 ) 18 comme coordonnées du point d intersection. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 293

30 Résumé du cours roites et plans de l espace ans l espace un plan est caractérisé par la donnée de trois points non alignés, deux droites sécantes ou strictement parallèles. Un plan passant par trois points, et, sera noté (,, ). Si un quatrième point appartient à ce plan, on dira que ces quatre points sont coplanaires. Trois points seront toujours coplanaires dans l espace, mais ce n est pas le cas pour quatre. ositions relatives as d une droite et un plan : Une droite et un plan sécants Une droite et un plan strictement parallèles Une droite incluse dans un plan as de deux plans eux plans qui ne sont pas confondus sont soient sécants selon une droite, soient strictement parallèles. eux plans sécants eux plans strictement parallèles as de deux droites eux droites de l espace sont soient non coplanaires, auquel cas elles sont ni sécantes ni parallèles, soient coplanaires et elles peuvent être alors sécantes ou parallèles. eux droites sécantes sont forcément coplanaires, deux droites qui ne sont pas sécantes sont soient parallèles, soient non coplanaires. 294 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

31 FIGURE 4 eux droites non coplanaires I eux droites sécantes eux droites parallèles eux droites parallèles FIGURE 5 eux droites coplanaires arallélisme dans l espace arallélisme de droites et de plans ropriété 1 a. eux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. b. eux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. c. Soient deux plans et. Si le premier plan contient deux droites sécantes parallèles à deux autres droites sécantes du second plan, alors ces deux plans et sont parallèles. d. Si deux plans et sont parallèles, tout plan Q qui coupe l un coupe l autre, et les deux droites d intersection et sont parallèles. =Q =Q Q Figure c. Figure d. Remarque. Si deux droites sont parallèles à un même plan, elles ne sont pas forcément parallèles entre elles. Théorème 1 Théorème du toit Si deux plans sécants et contiennent deux droites parallèles et, alors l intersection de ces deux plans est parallèle aux droites et Francis ORTO Sommaire chapitre 6 295

32 = Orthogonalité dans l espace Orthogonalité de deux droites éfinition 1 a. eux droites sont orthogonales si les droites parallèles à ces deux droites passant par un même point sont deux droites perpendiculaires dans le plan qu elles définissent. b. eux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes, donc coplanaires. Orthogonalité d un plan et d une droite éfinition 2 a. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. b. Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Orthogonalité de deux plans éfinition 3 eux plans sont orthogonaux si une droite orthogonale à l un sera orthogonale à une droite orthogonale à ce plan aractérisation vectorielle d une droite et d un plan de l espace Théorème 2 On considère et deux points distincts de l espace. La droite () est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs M et sont colinéaires i.e l ensemble des points M tels que M = t, t étant un réel quelconque. Remarque. On dit que est un vecteur directeur de la droite (). Théorème 3, et sont trois ponts de l espace non alignés. Le plan () est l ensemble des points M de l espace définis par M = x + y x et y étant des réels quelconques Remarque. On dit alors que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan (), ou bien qu ils forment une base de ce plan 296 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

33 Géométrie analytique dans l espace Repères de l espace a. On appelle repère de l espace la donnée O d un point appelé origine et de trois vecteurs i, j et k non coplanaires. éfinition 4 Ou bien la donnée de quatre points O, I, J et K non coplanaires. b. Si les axes sont orthogonaux deux à deux et si les vecteurs i, j et k on la même norme, le repère est dit orthonormé. ropriété 2 Soit (O; i ; j ; k ) un repère de l espace, alors pour tout point M il existe un unique triplet (x, y, z) de nombres réels appelé coordonnées du point M, tel que OM = x i + y j + z k x est l abscisse de ce point, y son ordonnée et z sa côte. Soit un repère (O; i, j, k) de l espace. a. Si deux vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives ( x, y, z ) et ( x, y, z ), alors u + v a pour coordonnées ( x + x, y + y, z + z ) λ u a pour coordonnées ( λx, λy, λz ) b. Si deux points et ont pour coordonnées (x, y, z ) et (x, y, z ) alors : le vecteur a pour coordonnées ( x x, y y, z z ) Théorème 4 Le milieu I du segment [] a pour coordonnées : ( x + x I 2, y + y 2, z + z ) 2 Si de plus a pour coordonnées (x, y, z ) alors le centre de gravité G du triangle a pour coordonnées : ( x + x + x G 3 ; y + y + y 3 ; z + z + z ) 3 ans les deux cas, on fait la moyenne des coordonnées des points concernés. c. Si le repère est orthonormé = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 et u = x 2 + y 2 + z 2 Équations paramétriques dans l espace Théorème 5 Soient et deux points distincts de l espace. La droite () est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs M et sont colinéaires. est l ensemble des points M tels que M = t, où t est un réel quelconque. ropriété 3 eux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 297

34 éfinition 5 Représentation paramétrique d une droite. On considère une droite passant par ( ) x, y, z de vecteur directeur u Un point M(x, y, z) appartient à si et seulement si il existe un réel t tel que : M = t u x = x + at y = y + bt z = z + ct a b c. Remarque. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques, il suffit de choisir un autre point, ou un autre vecteur directeur pour en avoir une différente. Équation paramétrique d un plan dans l espace Théorème 6 Soient, et trois points de l espace non alignés. Le plan () est l ensemble des points M de l espace tels que M = x + y x et y étant des réels quelconques ropriété 4 Représentation paramétrique d un plan On considère le plan passant par le point (x ; y ; z ) et a a dirigé par les vecteurs u b c et v b c. Un point M appartient à si et seulement si il existe deux réels t et t tels que M = t u + t v x = x + at + a t y = y + bt + b t z = z + ct + c t 298 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

35 émonstrations du cours Théorème 1 émonstration vue en cours Théorème du toit Si deux plans sécants et contiennent deux droites parallèles et, alors l intersection de ces deux plans est parallèle aux droites et = émonstration. uisque est parallèle à, si on montre que est parallèle à, alors sera aussi parallèle à. Raisonnons par l absurde en supposant que et soient sécantes mais non confondues et notons M leur point d intersection. e qui entraine que M appartient à et donc à et. Or et sont strictement parallèles, M qui appartient à la droite ne peut donc pas appartenir à la droite. M est donc un point de non situé sur. Mais puisque est parallèle à et passe par M alors est dans. e qui signifie que la droite est à la fois dans et dans. et contiennent donc deux droites sécantes et ce qui implique que ces deux plans soient confondus, ce qui est contraire à l hypothèse. En conclusion et sont parallèles. Francis ORTO Sommaire chapitre 6 299

36 Exercices E H I F G 3 On considère une pyramide E. éterminer l intersection des plans () et (E). 1 On considère le cube EFGH ci-dessus. Le point I est le centre du carré. our chacune des questions suivantes, vous ferez un dessin, et vous mettrez en évidence les objets donnés. 1. réciser la position relative des plans suivants a) les plans (EH) et (E) ; b) les plans (HG) et (EF) ; c) les plans (HGE) et (EF). 2. réciser la position relative des droites et plans suivants : a) la droite (F) et le plan (EH) ; b) la droite (HF) et le plan (EFG) ; c) la droite (EG) et le plan () ; 3. réciser la position relative des droites suivantes : a) les droites (HF) et (GE) ; b) les droites (E) et (F) ; c) les droites (H) et (EF) ; 2 On considère un tétraèdre et soient E un point de [, ] et F un point de [, ]. 1. réciser la position relative des objets suivants : a) Les droites () et (EF). b) La droite (EF) et le plan (). 2. Quelle est l intersection des plans (EF) et () 4 On considère un tétraèdre. Soient I un point de [, ], J un point de [, ] et K un point de [, ]. onstruire l intersection des plans () et (IJK). I J K 5 On considère un tétraèdre IJKL. E est un point de [I, J], F est un point de [K, J] et G est un point de [J, L]. onstruire l intersection des plans (EFG) et (ILK). I E E F K E F G L J 300 Sommaire chapitre 6 Francis ORTO

37 6 On considère un tétraèdre. L est un point de [, ], M est un point de [, ] et K est un point de [, ]. onstruire la section du tétraèdre par le plan (KLM). L M K 7 On considère un tétraèdre. L est un point de [, ], M est un point de [, ] et K est un point de la face (). onstruire la section du tétraèdre par le plan (KLM). K L M 8 On considère un cube EFGH. Soit I le milieu de [, E] et J le milieu de [F, G]. 1. Faire une figure. 2. émontrer que (I) est orthogonale au plan (IJ) 9 On considère un tétraèdre. Le point I est le milieu de [, ] et J est le point de [, ] tel que J = éterminer l intersection de (IJ) avec le plan (). 2. EFGH est un cube. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des arêtes [E, F], [, F] et [F, G]. éterminer l intersection des plans (IJK) et (). 10 On considère un cube EFGH, I est le milieu de [, ], J celui de [, ] et K celui de [H, G]. éterminer la section de ce cube par le plan (IJK). 11 Soit S une pyramide régulière de sommet S à base carrée. Soit I le milieu de l arête [S]. Le plan (I) coupe le plan (S) selon une droite d. émontrer que d est parallèle à (). 12 Soit EFGH un pavé droit. Soit I un point de [EF]. éterminer et tracer l intersection des plans (EFG) et (I). 13 On considère un tétraèdre. Soient I, J et K les milieux respectifs des arêtes [, ], [, ] et [, ]. émontrer que les plans (IJK) et () sont parallèles. 14 On considère une pyramide S dont la base est un trapèze. émontrer que la droite () est parallèle au plan (S). 15 Soit le parallélépipède rectangle EFGH ci dessous et les points I, J, K tels que : J et K sont dans (FG) et I dans (H). essiner la section du parallélépipède par le plan (IJK). H G I E J K 16 Soit le parallélépipède rectangle EFGH cidessous et les points I, J, K tels que : I et J sont dans () et K dans (G). essiner la section du parallélépipède par le plan (IJK). H I E J K 17 On considère un un cube EFGH et soient I le milieu de [E, ] et J celui de [F, G]. émontrer que les vecteurs EF, G et IJ sont coplanaires. 18 On considère un tétraèdre ainsi que les points I milieu de [, ] et K tel que F G F K = Faire une figure et placer K. 2. Exprimer I puis K en fonction des vecteurs et. 3. En déduire que les points, K et I sont alignés. 19 On considère un cube EFGH et soient les points M et L sont les points tels que M = 1 4 et EL = 1 EF 4 Francis ORTO Sommaire chapitre 6 301