Fonction exponentielle TD Année

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1 Fonction exponentielle TD Année Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment les propriétés de la fonction exponentielle, donner la valeur exacte des nombres suivants : 1. ln 1 e. ln 1 e 3. e ln 4. e ln ln3 5. ln(e 3 ) Exercice 3 Déterminer l équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d abscisse 1. Exercice 4 Calculer la dérivée de chacune des fonctions suiavntes définies sur R + : 1. f (x)= e x 3. h(x)=(x+ 1)e x. g (x)= e x 4. k(x)= e x x Exercice 5 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. f 1 (x)= x e x. f (x)= x e x x 3. f 3 (x)= x e x 1 Exercice 6 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. x R f (x)=e 4 x. x R ; f (x)=e x x R\{1} f (x)=e 3x+7 x+1 4. x R + ; f (x)=e x Exercice 7 Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1

2 1. x R f (x)=(x 1)e x3. x R f (x)=e x ln(x+ 5) 3. x R f (x)=ln(e x ) 4. x ] 1;4[ f (x)=( x + 3x+ 4)e 3x Exercice 8 Résoudre les équations ci-dessous (on donnera la valeur exacte de chaque solution, puis une valeur approchée à 10 près) : 1. e x =. e x = 5 3. e x = 1 4. ln x= 5. e x 5=0 6. e x 5=0 7. ln x 5=0 8. ln5x = 3 9. lnx = (e 3x 5)(e x + )=0 11. (lnx 1)(ln x+ 3)=0 1. (ln x) 9=0 Exercice 9 Résoudre les équations suivantes :,1 x = 7,3 n = 100 ( 1 ) n 3 = 10 3 Exercice 10 Résoudre dans R l équation : x + x 6= 0. En déduire les solutions dans R des équations suivantes : e x + e x 6=0. (ln x) + ln x 6= 0. Exercice 11 Résoudre dans R les équations suivantes : e x 7e x + 3=0 ; (ln x) + 3ln x =0 ; (ln x) = ln3+ln(x+ 3) Exercice 1 Soitf la fonction définie sur R par : f (x)= x 3 x x+. 1. Calculer f (1). En déduire une factorisation de f (x).. Résoudre dans R l équation f (x) = En déduire la résolution dans R de l équation (ln x) 3 (ln x) ln x+ = 0 Exercice 13 Résoudre dans R chacune des inéquations suivantes :

3 1. e x < 3. e 4x 0 3. e x 1<0 5. ln x> 4. e x => e x 6. ln3x 4 7. ln(1 x)<0 Exercice 14 On considère la suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 = 5 et de raison Exprimer u n en fonction de u 0 et de n.. Déterminer n pour que u n soit supérieur à Exercice 15 Résoudre dans R l inéquation :(e x 1) 1 5e x. En déduire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g définies sur R par f (x)=(e x 1) et g (x)=1 5e x. Fonction exponentielle Recueil d problemes des annales Année Problème 1 On considére la fonction f définie sur R par f (x)=e x 5e x + 4. On note C sa courbe représentative dans le plan muni du repére orthogonal ( O; #» ı, #» j ) d unités graphiques cm sur l axe des abscisses et 1 cm sur l axe des ordonnées. 1. Recopier et compléter le tableau suivant, en donnant pour chaque valeur de x une valeur approchée de f (x) á 10 1 prés.. Calculer lim équation. x x ,5 f (x) f (x). En déduire que la courbe C admet une asymptote D dont on donnera une 3. a) Vérifier que pour tout réel x, f (x)=e x ( 1 5e x + 4e x). b) En déduire lim x + f (x). 4. a) On note f la fonction dérivée de f, calculer f (x) et vérifier que pour tout x réel f (x)=e x (e x 5). b) Étudier le signe de f (x). c) Dresser le tableau de variation de f. 5. a) Résoudre dans R l équation X 5X+ 4=0 d inconnue X. b) A l aide de la question a. et en posant X= e x, résoudre dans R l équation f (x)=0 d inconnue x. c) En déduire les coordonnées des points d intersection de la courbe C avec l axe des abscisses. 6. Tracer la courbe C et l asymptote D dans le repére ( O; #» ı, #» j ). 7. a) Déterminer une primitive F de la fonction f. 3

4 b) Hachurer sur le graphique la partie du plan limitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équation x= 0 et x = ln4. On appelle A cette partie du plan. c) On admet que la fonction f est négative sur l intervalle [0 ; ln4]. Calculer, en cm, la valeur exacte de l aire de A puis une valeur approchée à 10 près. Problème Partie A Soit g la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x de l intervalle ]0 ; + [, par : 1. Déterminer la limite de g en 0.. Déterminer la limite de g en +. g (x)= 1 x ln x. 3. Déterminer la fonction dérivée g de g et étudier son signe sur ]0 ; + [. 4. Établir le tableau de variations de g sur ]0 ; + [, en précisant la valeur exacte de l extremum de g. 5. a) Justifier que l équation g (x)=0 a une solution α et une seule sur l intervalle [1 ; e]. b) Donner un encadrement de α à 10 près. c) En déduire, en fonction du nombre x de ]0 ; + [, le signe de g (x). Partie B Soit f la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x de ]0 ; + [, par : f (x)= ln x e x. Soit C la représentation graphique de f dans un repère orthogonal ( O; #» ı, #» j ) (unités graphiques : cm sur l axe des abscisses, 10 cm sur l axe des ordonnées). 1. Étude du comportement de f en 0 : a) Déterminer la limite de f en 0. b) En déduire que C admet une asymptote dont on donnera une équation.. Étude du comportement de f en+ : ( ) ln x ( x ) a) Déterminer la limite de f en+. On pourra écrire f (x) sous la forme f (x)= x e x. b) En déduire que C admet une asymptote dont on donnera une équation. 3. Étude des variations de f a) Déterminer la fonction dérivée f de f. Montrer que pour tout x de ]0 ; + [, f (x)= g (x) xe x. b) Établir le tableau de variations de f sur ]0 ; + [ en fonction de α. En prenant 1,76 comme valeur approchée de α, donner une valeur approchée de f (α). c) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d abscisse Dans le repère ( O; #» ı, #» j ), tracer T, les asymptotes à C, puis la courbe C. Problème 3 Partie A : Introduction d une fonction auxiliaire Soit la fonction g définie sur l ensemble des nombres réels R par : g (x)=e x + x 1. 4

5 1. Étudier le sens de variation de la fonction g puis dresser son tableau de variations (les limites en + et en ne sont pas demandées).. a) Vérifier que g (0) = 0. b) En déduire le signe de g (x) pour x appartenant à R. Partie B : Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur R par : f (x)= x 3 xe x. On appelle C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal ( O; #» ı, #» j ) d unité graphique cm. 1. Vérifier que, pour tout x réel non nul : f (x)= x (1 3x ) e x. En déduire lim f (x). x. a) Calculer : lim f (x). x + b) Justifier que la courbe C admet pour asymptote la droite D d équation : y = x 3. c) Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D. 3. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. a) Pour tout nombre réel x, calculer f (x), puis vérifier que : f (x)= g (x)e x. b) En utilisant les résultats de la partie A, determiner le signe de f (x). c) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 4. a) à l aide d une calculatrice, donner une valeur décimale approchée à 10 près de f (3) et de f (4). b) Prouver qu il existe un nombre α, compris entre 3 et 4, tel que : f (α)=0. c) Donner une valeur approchée de α au centiéme près. 5. Tracer la courbe C et la droite D dans le plan muni du repère ( O; #» ı, #» j ). Partie C : Calcul d aire Soit la fonction h définie sur R par : h(x)= (x+ 1)e x. 1. On note h la fonction dérivée de la fonction h. Calculer h (x) pour x appartenant à R.. On appelle A la valeur, exprimée en unités d aire, de l aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, la droite D, l axe des ordonnées et la droite d équation x=. Donner la valeur exacte de A puis une valeur décimale approchée par excés à 10 prés. Problème 4 Partie A On considère la fonction h définie sur R par h(x)= x+ 1 e x. 5

6 1. Déterminer la dérivée h de h.. Résoudre dans R l équation 1 e x = 0 et l inéquation 1 e x > 0. En déduire le sens de variation de la fonction h. 3. Calculer h(0). Dresser le tableau de variations de h (on ne calculera pas les limites aux bornes de l ensemble de définition). 4. Justifier que, pour tout nombre réel x, h(x) 0. Partie B On considére la fonction f définie sur R par f (x)= ( x x+ 1 ) e x. On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repére orthonormal ( O; #» ı, #» j ) d unité graphique cm. 1. Déterminer la limite de f en.. En remarquant que, pour tout nombre réel x différent de 0, on a déterminer la limite de f en +. f (x)= ( 1x + 1x ) x e x, 3. a) Soit f la dérivée de f. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x) = ( x 3x ) e x. b) Étudier le signe de f (x) et dresser le tableau de variations de la fonction f. 4. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera les valeurs arrondies au centiéme. x 1,3 1 0,5 0 0, f (x) 5. On appelle A le point de C d abscisse 0 et T la tangente à C en A. a) Donner une équation de T ; on l écrira sous la forme y = g (x) où g est une fonction définie sur R. b) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x) g (x)=(1 x)h(x)e x, h étant la fonction étudiée dans le partie A. c) Étudier suivant les valeurs du nombre réel x, le signe de f (x) g (x). En déduire la position de C par rapport à T. 6. Tracer T et C. 7. a) Déterminer des nombres réels a, b et c pour que la fonction F définie sur R par F(x)= ( ax + bx+ c ) e x soit une primitive de la fonction f. b) Calculer, en cm 3, la valeur exacte de l aire du domaine limité par la courbe C, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x= 1. Problème 5 I. Première partie Le but de cette partie est de trouver des solutions de l équation différentielle (L) : y y = x 5 où y désigne une fonction dérivable sur l ensemble des nombres réels. 6

7 1. Soit h la fonction définie pour tout nombre réel x par h(x)= x+ 3. Montrer que h est solution de l équation (E).. Résoudre l équation différentielle (E 0 ) : y y = 0. On notera g la solution générale de (E 0 ). 3. Recherche d une solution particulière de l équation (E). On considére la fonction ϕ définie pour tout réel x par ϕ(x) = g (x) + h(x). a) Montrer que ϕ est solution de l équation différentielle (E). b) Déterminer la solution particuliére ϕ 0 de l équation (E) qui vérifie ϕ (0)=. II. Deuxième partie Étude d une fonction f On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x par f (x)= e x + x+ 3. On appelle (C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ( O; #» ı, #» j ), unités graphiques : 3 cm sur l axe des-abscisses et 1 cm sur l axe des ordonnées. 1. Étude en. a) Étudier la limite de la fonction f en. b) Montre que la droite d équation y = x+ 3 est asymptote à la courbe (C ) en. c) Étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite.. Étude en+. a) Justifier que pour tout nombre réel x non nul, b) Étudier la limite de la fonction f en+. 3. Étude des variations de f a) Calculer f (x) pour tout nombre réel x. [ e x ( f (x)= e x ) ] x. x x b) Étudier le signe de f (x) pour tout nombre réel x. c) Dresser le tableau de variations de la fonction f. Donner la valeur exacte de son maximum. 4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d abscisse Tracer dans le repère ( O; #» ı, #» j ) les droites et (T) puis la courbe (C ). III. Troisième partie Calcul d une aire. Soit a un nombre appartenant à l intervalle [ 0 ; 3 ]. 1. Déterminer en unité d aire, l aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C ), la droite et les droites d équations x= 0 et x= a.. Déterminer a pour que A = 1. Problème 6 Un club sportif confie l élaboration d un logo à une agence. Celle-ci choisit un «drapeau» pour motif. Partie A On considére la fonction f définie sur l intervalle [ 1 ; 1] par 7

8 f (x)=x 3 x+. Le plan est muni dun repère orthonormal ( O; #» ı, #» j ) d unité graphique 5 cm. On appelle C f la courbe représentative de f dans ce repère. 1. f désigne la fonction dérivée de f ; calculer f (x).. Déterminer le signe de f (x) sur [ 1 ; 1] sachant que f (x) = 3 ( x+ 1 )( x 1 ) et dresser le ta- 3 3 bleau de variations de f sur cet intervalle. ( ) ( 1 On indiquera pour f 3 et f 1 ) des valeurs apporchées décimales arrondies au centième Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : (on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centiéme). x 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 f (x),38 1,66 4. Tracer C f sur la feuille de papier millimétré. 5. Calculer l intégrale I= 1 1 f (x)dx. Partie B On considére la fonction g définie sur l intervalle [ 1 ; 1] par g (x)=(x 1)e x +. On appelle C g la courbe représentative de g dans le plan muni du repère ( O; #» ı, #» j ). 1. Montrer que pour tout réel x de l intervalle [ 1 ; 1], g (x)=xe x où g désigne la fonction dérivée de g.. Étudier le signe de g (x) sur [ 1 ; 1] et dresser le tableau de variations de g. 3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centiéme). x 1 0,8 0,4 0 0,4 0,6 0,8 1 g (x) 1,19 1,7 4. Tracer C g dans le même repère ( O; #» ı, #» j ) que précédemment. 5. On considére la fonction G définie sur l intervalle [ 1 ; 1] par G(x)=(x )e x + x. a) Montrer que G est une primitive de g sur [ 1 ; 1]. b) Calculer l intégrale J= 1 1 g (x)dx. Partie C La partie du plan A limitée par les courbes C f, C g et par la droite d équation x= 1 représente la toile du drapeau. 1. Placer les points P( 1 ; ) et Q( 1 ; 0) puis tracer le segment [PQ] pour achever le motif.. On suppose que, pour tout x de l intervalle [ 1 ; 1], f (x) g (x) et que l aire de la partie A du plan est donnée, en unités d aires, par A = 1 1 [f (x) g (x)]dx. 8

9 a) Calculer la valeur exacte de A. b) En déduire une valeur approchée à 10 près de l aire de A exprimée en cm. Problème 7 Partie A : Étude d une fonction auxiliaire On donne dans le plan muni d un repère orthonormal ( O; #» ı, #» j ) la représentation graphique Γ d une fonction g, définie, dérivable et strictement croissante sur l intervalle ]0 ; + ]. La droite T passant par O et A(1 ; 1) est tangente en A à la courbe Γ. La courbe Γ admet pour asymptote verticale l axe des ordonnées. 4 T 3 Γ 1 #» j #» i Déterminer graphiquement : -4 a. lim x 0 g (x) b. g (1) c. g (1).. On admet que, pour tout réel de l intervalle ]0 ; + ], - -3 g (x)=ln x+ a x + b, où a et b sont deux nombres réels. x a) Exprimer g (1) et g (1) en fonction de a et b. b) Déterminer a et b en utilisant les résultats précédents. 3. On suppose que g est définie sur ]0 ; + ] par g (x)=ln x+ x 1 x. a) Montrer que l équation g (x) = 0 admet une solution unique α dans l intervalle [0, ; 0,8] ; déterminer un encadrement de α d amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de α à 10 près par excès. b) En déduire, en utilisant le sens de variations de g, le signe de g (x) sur ]0 ; + ]. Partie B : Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ] par ( f (x)=e x ln x+ 1 ). x On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormal ( O; #» ı, #» j ). 9

10 1. a) Déterminer la limite de f en+. b) Vérifier que l on peut écrire, pour tout x, appartenant à l intervalle ]0 ; + ], f (x)= ex (x ln x+ 1). x c) En déduire la limite de f en 0 (on admettra que lim x 0 x ln x = 0).. a) Déterminer la fonction dérivée f de la fonction f et vérifier que, pour tout réel x de l intervalle ]0 ; + [, f (x)= g (x)e x. b) En utilisant le signe de g obtenu précédemment, étudier le sens de variations de f sur ]0 ; + [. 3. a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse 1. b) Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe C. Sur cette tigure, tracer la droite. Partie C : Calcul d une aire 1. On note a un nombre réel tel que 0< a< 1. a) Montrer que la fonction h, définie sur l intervalle ]0 ; + [ par h(x)=e x ln x est une primitive de la fonction f sur ]0 ; + [. b) En déduire que 1 a f (x)dx= e a ln a.. D désigne la partie du plan comprise entre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équations x= 1 et x = 1. a) Sur la feuille annexe, hachurer le domaine D. b) Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d aire, de l aire de D. Feuille annexe #» j #» i

11 Problème 8 Soit f la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x, par : f (x)= 1 ex + e x x. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal ( O; #» ı, #» j ) (Unité graphique cm). 1. Comportement de f en. a) Déterminer la limite de f en. b) Démontrer que la droite d équation y = x est une asymptote oblique à la courbe C. c) Étudier les positions relatives de la courbe C et de la droite.. Comportement de f en+. a) Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, on peut écrire : b) En déduire la limite de f en+. 3. Étude des variations de f. ( e x ) f (x)x x + ex x. a) Déterminer la fonction dérivée f de f et vérifier que l on a pour tout nombre réel x, f (x)= ( e x + )( e x 1 ). b) Étudier le signe de f (x), lorsque x décrit l ensemble des nombres réels. c) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 4. Tracer la droite et la courbe C dans le repère ( O; #» ı, #» j ). 5. Calcul d une aire. Soit α un nombre réel strictement négatif. a) Hachurer la partie H du plan limitée par la courbe C, la droite et les droites d équations respectives x= α et x= 0. b) Calculer, en fonction de α et en unités d aire la valeur de l aire de la partie H, que l on notera A (α). c) Déterminer la limite de A (α) quand α tend vers. Interpréter le résultat obtenu. Problème 9 Soit f la fonction définie sur R par f (x)=4 e x. On appelle C la courbe représentant f dans un repère orthogonal ( O; #» ı, #» j ) d unités graphiques 4 cm en abscisses et cm en ordonnées. Partie A : Étude d une fonction 1. a) Déterminer la limite de f en. 11

12 b) Déterminer la limite de f en +. En déduire l existence d une asymptote à la courbe C et donner son équation.. a) Déterminer la dérivée f de la fonction f et justifier son signe sur R. b) Donner le tableau de variations de f. 3. a) Résoudre sur R l équation d inconnue x, f (x) = 0. b) Déterminer le signe de f (x) suivant les valeurs de x. 4. Tracer la courbe C et la droite dans le repère ( O; #» ı, #» j ) défini ci-dessus. Partie B : Résolution d une équation Soit (E) l équation d inconnue réelle x : f (x) = x Vérifier que x= 0 est une solution de (E).. a) Tracer la droite D d équation y = x+ 3 sur le même graphique que la courbe C. b) Justifier graphiquement l existence d une deuxiéme solution notée α de l équation (E). Placer α sur l axe des abscisses. 3. À l aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d amplitude 10 3 de α. Partie C : Calcul d une aire 1. Hachurer le domaine plan limité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équation x = α et x = 0. On appelle A l aire en cm de ce domaine plan.. a) Vérifier que A = 8 0 α f (x)dx. b) Calculer A en fonction de α. c) En utilisant l équation (E) de la partie B, justifier que e α = 1 α. En déduire que A = 16α. d) À l aide du résultat obtenu dans la partie B, déterminer une valeur de A arrondie au dixième. Problème 10 Partie A Soit une fonction f définie sur l intervalle ] 1 ; + [ dont la courbe représentative C est tracée dans l annexe 1 (à remettre avec la copie). Les droites D 1 et D sont asymptotes à la courbe C. 1. Déterminer une équation de chacune des droites D 1 et D.. En déduire lim f (x) et lim f (x). x 1 x + x> 1 3. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l équation f (x)=0. Partie B La fonction de la partie A est définie sur l intervalle ] 1;+ [ par 1. a) Retrouver par le calcul lim f (x). x + b) Retrouver par le calcul lim f (x). x 1 x> 1 f (x)= x x+ 1 e x.. a) On note f la dérivée de la fonction f, déterminer f (x) et étudier son signe sur l intervalle ] 1;+ [. b) En déduire le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle. 1

13 c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A d abscisse zéro ; tracer cette tangente T sur l annexe 1 (à remettre avec la copie). 3. Montrer que l équation f (x)=0 admet dans l intervalle [0 ; 1] une solution unique α et donner une valeur du nombre réel α, arrondie à 10. Partie C 1. Montrer que pour tout x de l intervalle ] 1 ; + [ on a : f (x)= x+ 1 e x.. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l intervalle ] 1;+ [. 3. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l intervalle [0 ; ]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à Problème 11 On considére la fonction f définie sur l ensemble R des nombres réels par : f (x)=x 3+ 4 e x + 1. On appelle C sa courbe représentative dans un repére ( O; #» ı, #» j ) d unités cm en abscisses et 1 cm en ordonnées. 1. Démontrer que, pour tout nombre réel ; on a : f (x)=x+ 1 4ex e x. Dans la suite du probléme, on + 1 pourra utiliser l une ou l autre des expressions de f (x).. a) Déterminer la limite de f en. b) Démontrer que la droite D 1 d équation y = x+ 1 est une asymptote á C et préciser la position de C par rapport á D a) Déterminer la limite de f en +. b) Démontrer que la droite D d équation y = x 3 est une asymptote á C et préciser la position de C par rapport á D. 4. On désigne par f La dérivée de f. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x)= ( e x + 1 ) (e x puis étudier le sens de variations de f. + 1) 5. Écrire une équation de la tangente T á C au point d abscsse Construire D 1, D,T et C dans le repére ( O; #» ı, #» j ). 7. a) Justifier que l équation f (x) = 0 admet dans l intervalle [0 ; 1], une solution unique α, puis donner l arrondi de α au centiéme. b) En utilisant les résultats précédents, indiquer le signe de f (x) suivant les valeurs du réel x. 8. a) Donner une primitive de la fonction f sur R (on utilisera la deuxiéme expression de f (x)). b) Calculer, en cm, l aire A du domaine limité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x = 1 et x =. Donner l arrondi de A au mm. Problème 1 Soit la fonction f définie sur l ensemble des nombres réels R par f (x)=e x + x 3. Soit (C ) la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthogonal ( O; #» ı, #» j ) d unités graphiques cm en abscisse et 1 cm en ordonnée. 13

14 1. Limites aux bornes a) Déterminer la limite de la fonction f en+. b) Déterminer la limite de la fonction f en. On pourra établir au préalable que. pour tout nombre réel x, f (x)=e x (1+xe x 3e x ).. Asymptote oblique a) Montrer que la droite (D) d équation y = x 3 est asymptote à la courbe (C ). b) Étudier la position relative de la droite (D) par rapport à la courbe (C ). 3. Étude des variations de la fonctionf a) Montrer que, pour tout nombre réel x, f (x)= ex 1 e x où f est la dérivée de la fonction f. b) Résoudre dans R l équation d inconnue x, f (x) = 0. c) Étudier le signe de la dérivée f de la fonction f sur R. d) Établir le tableau de variations de la fonction f. e) Calculer f (1) et déterminer le signe de f (x) pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ; 1]. 4. Tracer la droite (D) et la courbe (C ) dans le repère ( O; #» ı, #» j ). 5. Calculer l aire (A ) en cm de la partie du plan délimitée par la courbe (C ), l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x = 1. On donnera la valeur exacte de (A ), puis la valeur arrondie à Contrôler l ordre de grandeur du résultat de la question précédente en calculant l aire en cm de la surface d un ou deux trapèzes que l on précisera. Problème 13 Partie A : Détermination d une fonction Soit f une fonction définie sur l ensemble des nombres réels R, la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonornial ( O; #» ı, #» j ) du plan et f la fonction dérivée de f. On sait de plus que : la droite d équation y = 1 est asymptote à la courbe C f en ; la courbe C f passe par le point A(0 ; 4) la courbe C f admet au point d abscisse 1 une tangente parallèle à l axe des abscisses Déterminer les nombres réels suivants en justifiant la réponse donnée : ) a. f (0) b. f ( 1 4 c. lim x f (x).. On admet que, pour tout réel x, f (x)= a+ (bx+ c)e x où a, b et c sont trois constantes réelles. a) Montrer que, pour tout réel x, f (x)=(bx+ b+ c)e x. b) Exprimer( en) fonction de a, b et c les nombres réels suivants : 1 f (0) ; f ; lim f (x) (on admet que 4 lim x x xex = 0). 3. a) Déduire des questions précédentes que les réels a, b et c sont solutions du système : a +c = 1 3 b +c = 0 a = 1 14

15 b) Résoudre ce système et donner l expression de f (x) en fonction de x. Partie B : étude et représentation d une fonction On admet que f est définie sur R par : f (x)=1+( 4x+3)e x. C f est la courbe représentative de f dans le repère ortiionormal ( O; #» ı, #» j ) d unité cm. 1. a) Déterminer la limite de f en+. b) On rappelle que la droite d équation y = l est asymptote à la courbe C f en. Étudier la position de la courbe C f par rapport à la droite.. a) Calculer f (x), f étant la fonction dérivée de la fonction f. b) Étudier les variations de la fonction f sur R et établir son tableau de variations. 3. a) Démontrer que l équation f (x)=0 admet une solution unique α dans l intervalle b) Donner un encadrement de α d amplitude 10. [ ] 1 4 ; En utilisant les résultats précédents, construire sur la feuille de papier millimétré, la droite δ puis la courbe C f dans le repère ( O; #» ı, #» j ). Partie C : calcul d une aire On considère les fonctions h et H définies sur R par : h(x)=( 4x+ 3)e x ( et H(x)= x+ 5 ) e x. 1. Vérifier que la fonction H est une primitive de la fonction h sur R.. On appelle D la partie du plan comprise entre C f,la droite d équation y = 1 et les droites d équations x= 1 et x= 0. a) Hachurer D sur le graphique. b) Calculer la valeur exacte de la mesure, en cm, de l aire A de D puis en donner une valeur approchée à 10 près. Problème 14 Soit f la fonction définie sur R par f (x)=e x x et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé ( O; #» ı, #» j ) d unité graphique cm. 1. On note f la dérivée de la fonction f a) Calculer f (x). b) Résoudre dans l ensemble R l inéquation f (x)>0, puis en déduire le signe de f (x) sur R.. Déterminer la limite de f quand x tend vers. 3. Soit la droite d équation y = x. a) Exprimer [ f (x) ( x)] en fonction de x. b) Déterminer la limite de [ f (x) ( x)] quand x tend vers. c) En déduire l existence d une asymptote oblique à la courbe C. ( e x ) 4. Vérifier que, pour tout x> 0,f (x)= x x. En déduire la limite de f quand x tend vers+. 5. Construire le tableau de variations de la fonction f 6. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à C en son point d abscisse 0. 15

16 7. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs seront arrondies au centième) : x ,7 1,5 f (x) 8. Dans le repère ( O; #» ı, #» j ), tracer la droite, la tangente T puis la courbe C représentant la fonction f. 9. Calculer 1 0 f (x) dx (on donnera la valeur exacte). 10. a) Hachurer la partie du plan limitée par l axe des abscisses, l axe des ordonnées, la droite d équation x= 1 et la courbe C. b) Déduire de la question 9 la valeur exacte, en cm, de l aire de cette partie puis en donner une valeur arrondie au centième. Problème 15 Le plan P est rapporté au repère orthonormal ( O; #» ı, #» j ). (L unité graphique est 4 cm.) Le but du problème est l étude de la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f (x)= ex + 1 e x + x. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan P. I - Étude d une fonction auxiliaire On note g la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : 1. Déterminer la limite de la fonction g en+.. Étude des variations de g g (x)=e x (x ) 1. a) Calculer la fonction dérivée g de la fonction g et étudier son signe sur l intervalle [0 ; + [. b) Dresser le tableau de variations de la fonction g sur l intervalle [0 ; + [. 3. Résolution de l équation g (x) = 0 a) Démontrer que l équation g (x)= 0 possède une unique solution, notée α, appartenant à l intervalle [1 ; 3]. b) Donner un encadrement de α d amplitude Déterminer le signe de g (x) pour x appartenant à l intervalle [0 ; + [. II - Étude de la fonction f 1. Étude de la limite en+. a) Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ; + [, f (x)= 1+e x 1+ xe x. b) En déduire la limite de f en+ et interpréter graphiquement cette limite.. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite D d équation y = 1 sur l intervalle [0 ; + [. 3. Étude des variations de f a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l intervalle [0 ; + [, f (x)= g (x) (e x où g est la fonction définie en 1. + x) 16

17 b) Déduire de la question I. 4., le sens de variations de f sur l intervalle [0 ; + [. 4. Construire la courbe C et la droite D dans le repère ( O; #» ı, #» j ). III - Calcul d aire On note B l aire, exprimée en cm du domaine limitée par la courbe C, la droite D, l axe des ordonnées et la droite d équation x = Hachurer sur le graphique le domaine B.. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. 3. En déduire la valeur exacte de B, puis une valeur approchée arrondie au mm. Problème 16 Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct ( O; #» u, #» v ) d unité graphique cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π. 1. Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équation : z 4z+ 8=0.. On considère les points A, B et C du plan d affixes respectives : z A = i ; z B = +i et z C = 4. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère ( O; #» u, #» v ). 3. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z A et z B. 4. a) Écrire z A et z B sous la forme r e iθ, où r est un réel strictement positif et θ un réel compris entre π et π. b) Montrer que le point B est l image du point A par une rotation de centre O et d angle que l on précisera. 5. Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle. 6. Déterminer la nature du quadrilatère OACB. 17