Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C)

Transcription

1 Euclide, Pythagore, Thalès et Archimède: un héritage qui perdure Journée des Mathématiques de la Zone Ibérique Filipe Oliveira

2 Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C) Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première Théorie (axiomatique) de la Géométrie. Comment Euclide construit-il une telle Théorie? 1. Il établit des «Définitions», en y incluant les «Objets Primitifs» de la Théorie. Exemples «Le point est ce dont la partie est nulle.» «Une ligne est une longueur sans largeur.» «La ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.» «Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.»

3 Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C) Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première Théorie (axiomatique) de la Géométrie. Comment Euclide construit-il une telle Théorie? 2. Il demande la validité de 5 «Notions Communes». Exemples «Des grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.» «Si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs égales, les restes demeurent égaux.»

4 Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C) Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première Théorie (axiomatique) de la Géométrie. Comment Euclide construit-il une telle Théorie? 3. Il établit 5 «Postulats».(propositionsvraiesqui n ontpasbesoind être démontrées) 1. Deux points quelconques peuvent être unis par une ligne droite. 2. Il est toujours possible de prolonger un segment de droite enunedroite. 3. Il est toujours possible de tracer un cercle de centre et rayon donné. 4. Tous les angles droits sont égaux. 5. Si deux droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

5 Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C) Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première Théorie (axiomatique) de la Géométrie. Avec ces outils, Euclide démontre ensuite les «Propositions» (les Théorèmes), en particulier tous les résultats de Géométrie connus à l Époque.

6 Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C) Les trois cas d égalité de triangles Deux triangles sont égaux s ils peuvent être superposés, c est à dire, s il est possible de les faire coincider par un déplacement rigide. (Idée moderne de figures isométriques). Cas [CAC] (Proposition 4 du Livre I) La démonstration donnée par Euclide n en est pas vraiment une... Ce résultat peut, en vérité, être considéré comme un axiome.

7 Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C) Les trois cas d égalité de triangles Deux triangles sont égaux s ils peuvent être superposés, c est à dire, s il est possible de les faire coincider par un déplacement rigide. (Idée moderne de figures isométriques). Cas [CCC] (Proposition 8 du Livre I) Ce résultat peut aussi être considéré comme un axiome. La démonstration donnée par Euclide possède les mêmes ambiguités du cas [CAC].

8 Les Éléments d Euclide (300 a.v. J-C) Les trois cas d égalité de triangles Deux triangles sont égaux s ils peuvent être superposés, c est à dire, s il est possible de les faire coincider par un déplacement rigide. (Idée moderne de figures isométriques). Cas [ACA] (Proposition 26 du Livre I) Ce résultat peut être démontré correctement.

9 Dans le Programme Portugais Des propriétés axiomatiques ou très immédiates sur les angles. Voici quelques unes: Angles Verticalment Opposés $ Angles Correspondants $! $=& (cf. Notion Commune d Euclide) &! et " sont parallèles $=& (cf. 5ème postulat d Euclide) & " Angles Internes Alternés! et " sont parallèles $=& Conséquence immédiate des deux points précédents $ &! "

10 Dans le Programme Portugais Les trois cas d egalité de triangles Les critères [CCC], [CAC] et [ACA] sont introduits comme des conséquences du critère suivant d égalité d angles: Les angles $ et &, de sommets ' et ', sont égaux si et seulement si en choisissant des points ), +, ) -. + sur leurs côtés respectifs, ') = ' / ) / -. '+ = ' / + / )+ = ) / +

11 Dans le Programme Portugais Les trois cas d egalité de triangles Les critères [CCC], [CAC] et [ACA] sont introduits comme des conséquences du critère suivant d égalité d angles: Les angles $ et &, de sommets ' et ', sont égaux si et seulement si en choisissant des points ), +, ) -. + sur leurs côtés respectifs, ') = ' / ) / -. '+ = ' / + / )+ = ) / +

12 Quelques exemples de démonstrations: La somme des angles internes d un triangle est égale à un angle plat. Les côtés opposés d un parallèlogramme sont égaux. Le Théorème de Thalès -D abord, lecas!=2; - Puis, le cas d un rapport rationnel quelconque.

13 Un dernier mot sur la similitude de triangles Un critère de similitude pour des polygones convexes Deux polygones 4 et 4 / ayant le même nombre de sommets sont semblables s il existe une constante!>0et une correspondance entre leurs sommets ( 4=[) 8 ) : ] et 4 =[$ % $ ' ] ) tels que pour tous + -,$ / $ 0 =1 $ / $ 0. En particulier, deux triangles aux côtés proportionnels sont semblables. (Critère [LLL] de similitude de triangles). Le Théorème de Thalès permet de montrer deux autres critères de similitude de triangles: le critère [AA] (deux triangles ayant les mêmes angles sont semblables) et le critère [LAL] (deux triangles qui ont un angle en commun et les côtés respectifs proportionnels sont semblables.

14 Éléments d Euclide Livre I Proposition 47 A1=a² a c b A2=b² A3=c² Théorème de Pythagore: A1+A2=A3.

15 Éléments d Euclide Livre VI Proposition 31 A1 A2 A3 Considérons trois figures semblables, construites sur les côtés d un triangle rectangle. Alors A1+A2=A3.

16 Éléments d Euclide Livre VI Proposition 31 A1 A2 A3 Considérons trois figures semblables, construites sur les côtés d un triangle rectangle. Alors A1+A2=A3.

17 Éléments d Euclide Livre VI Proposition 31 A1 A2 A3 Considérons trois figures semblables, construites sur les côtés d un triangle rectangle. Alors A1+A2=A3.

18 Remarque fondamentale: tous ces enoncés sont equivalents. Les trois figures sont semblables. 2 A1 $ % = $ 5 a b A2 $ 2 = 3 4 $ 5 c $ % +$ 2 =$ 5 1= 6 4 A3 1= $ $ 5 =$ =4 2

19 Pour prouver le Théorème de Pythagore, nous sommes donc entièrement libres de choisir ume famille spécifique de figures semblables. A A C H B

20 Nous choisissons des copies du triangle rectangle initial. A C H B

21 Nous choisissons des copies du triangle rectangle initial. A C B

22 Nous choisissons des copies du triangle rectangle initial. A A1 A2 A3=A1+A2 C A3 H B

23 Le Théorème de Pythagore apparait ici comme une conséquence du Théorème de Thalès/similitude de triangles. En vérité, et en un certain sens, le Théorème de Pythagore et le Théorème de Thalès sont le même Théorème.

24 En Géometrie Sphérique 9+:+;>= >=9+:+; = Excès sphérique Aire du triangle $=>@ 2 =(9+:+; =)@ 2

25 En Géometrie Hyperbolique 9+:+;<= >== 9+:+; Défaut sphérique Aire du triangle 2 =(= % CD (E est la courbure).

26 En um mot, La validité du Théorème de Thalès (et l existence de triangles semblables) est équivalente à la validité du Théorème de Pytagore. Un abordage du Théorème de Pythagore qui ne passe pas par la notion de similitude semble donc un mauvais abordage

27 A A 3 4 C G 6 H H B [ABC] et [ACH] sont semblables: I J = J K : MN =OP [ABC] et [ABH] sont semblables: Q R = R K : SN =OT En aditionnant: =6G+6H=6 G+H =6 2.

28 Commensurabilité Un premier abordage des nombres irrationnels Définition Deux segments de droite [AB] et [CD] sont dits «commensurables» s il existe une unité u telle que, pour cette unité, la mesure des longueurs AB et CD est un nombre naturel. C A B u D $U = V, EW = X, V, X N.

29 Exemple 1 Considère deux segments de droite, [AB] et [CD], dont la mesure de la longueur est respectivement égale à %[ 2 et à _ 2. Montre que ces segments sont commensurables. R: En prenant pour unité um segment de mesure ½, $U = 15, EW = 7. Exemple 2 Considère deux segments de droite, [AB] et [CD], dont la mesure de la longueur est respectivement égale à _ 2% et à. 5c dc Montre que ces segments sont commensurables. R: mmc (30,40)=120. EN observant que 7/30=28/120 e 21/40=63/120, en prenant pour unité um segment de mesure 1/120, $U = 28, EW = 63.

30 Exemple 3 Considère deux segments de droite, [AB] et [CD], dont la mesure de la longueur est respectivement égale à K J Q et àr j Q. Montre que ces segments sont commensurables. Conclusion fondamentale Si l on arrive à exhiber deux segments de droite incommensurables on peut conclure que les nombres rationnels ne sont pas suffisants pour mesurer toutes les distances entre points du plan.

31 Est-ce qu il existe, alors, des segments de droite incommensurables? Algorythme d Euclides Élements, Livre VII, Proposition 1 Contrairement à l algorythme d Euclide appliqué à des nombres entiers, ce processus peut ne pas s arrêter Par exemple, si les segments initiaux mesurent 1 et G, tel que les segments sont incommmensurables. Le nombre d or k est irrationnel.

32 Est-ce qu il existe, alors, des segments de droite incommensurables? Incommensurabilité du côté et de la diagonale d un carré Les exposants de la décomposition en facteurs premiers d un carré parfait sont pairs. En particulier, pour 6," $, l & egalité. / 02" / est impossible. Mais, par le Théorème de Thalès, il estr facile de voir que c est cette identité qui lie les longueurs du côté et de la diagonale d un carré, d où le résultat.