I. Vecteur normal à une droite

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1 pplications du produit scalaire I. Vecteur normal à une droite 1. Définition : n D u Dire que n ( n ) est un vecteur normal à D de vecteur directeur u signifie que n est orthogonal à u.. Caractérisation d une droite par un point et un vecteur normal n : n M M appartient à la droite passant par et de vecteur normal n si et seulement si M et n sont orthogonaux, c est-à-dire si et seulement si M. n =. 3. Vecteur normal d une droite d équation ax + by + c = : Pour toute droite d équation cartésienne ax + by + c = (avec a et b ), un vecteur normal est : n( a; b) Page 1 sur 7

2 Démonstration : Soit N( x; y ) un point de la droite D d équation ax + by + c =. On a donc ax + by + c = De même, pour tout point M ( x; y ) de D, on a ax + by + c = Donc ( ax by c) ( ax by c) = donc a x x b y y ( ) + ( ) = N et M appartiennent à D donc NM est un vecteur directeur de D. Notons n( a; b) est orthogonal à NM. L expression a( x x ) + b( y y) = signifie que n. NM =, et est par conséquent un vecteur normal à D. donc n( a; b) II. Cercle 1. Cercle défini par son centre et son rayon : Soit C le cercle de centre Ω et de rayon R. M C Ω M = R De même M C Ω M = R Ω M = R car ΩM et R. Exemple : Soient Ω(1; ) et R = Trouver l équation du cercle C de centre Ω et de rayon R. Soit M ( x; y ) M C Ω M = R ( ) M C ( x 1) + ( y + ) = M C x + y + = ( 1) ( ) M C x x y y = M C x y x y = est l équation cartésienne de C. Page sur 7

3 . Cercle défini par un diamètre : M C M C M. M = Exemple : Soient ( 1;3) et (;) Trouver l équation du cercle C de diamètre [ ]. Soit M ( x; y ) M C M. M = M ( x + 1; y 3) et M ( x ; y ) M C ( x + 1)( x ) + ( y 3)( y ) = x = est l équation cartésienne de C. M C y x y 3. Reconnaître une équation de cercle : Exemple : Quel est le centre et le rayon du cercle C d équation : x + y x 6y + 5 = x y 6y 5 x + + = (x ) + y + = 1 1 ( 3) y = ( x 1) ( 3) 5 + = ( x 1) ( y 3) 5 Le centre du cercle C est Ω (1;3) et son rayon R = 5 Page 3 sur 7

4 III. Théorème de la médiane 1. Enoncé du théorème : Soient et deux points et I le milieu de [ ]. Pour tout point M, on a : M M. M = MI I M + M = MI +. Démonstration du théorème : M. M = MI + I. MI + I M. M = MI. MI + MI. I + I. MI + I. I M. M = MI + MI.( I + I) + I. I 1 1 M. M = MI + MI.() +. 1 M. M = MI + M + M = M. M + M. M = M + M ( ) ( ) M + M = MI + I + MI + I M + M = MI + MI. I + I + MI + MI. I + I M + M = MI + MI. I + I + I + I ( ) M + M = MI + MI. + + M + M = MI + Page sur 7

5 3. Exemple d utilisation : Soient et deux points tels que =. Déterminer l ensemble (F1) des points M tels que M. M = (ligne de niveau ). Déterminer l ensemble (F) des points M tels que M. M = (ligne de niveau -). Déterminer l ensemble (F3) des points M tels que M. M = (ligne de niveau -). Déterminer l ensemble (F) des points M tels que M. M = (ligne de niveau ). Déterminer l ensemble (F5) des points M tels que M + M = 8. Déterminer l ensemble (F6) des points M tels que M + M = 16. M ( F1) signifie M. M = (F1) est le cercle de diamètre [ ]., c est-à-dire M M M ( F) signifie M. M =. Soit I le milieu de[ ]. D après le théorème de la médiane, on a : Donc ( F) MI = donc = { I}. MI =. M est le milieu de [ ] M M. = MI = M ( F3) signifie M. M =. D après le théorème de la médiane, on a : Donc ( F 3) MI = donc { } = M M MI = 16 Impossible!. = MI = M ( F) signifie M. M =. D après le théorème de la médiane, on a : M M MI Donc MI = donc MI = 6, donc MI = 6 ( MI ) ( F ) est le cercle de centre I et de rayon 6.. = = M ( F5) signifie M + M = 8. D après le théorème de la médiane, on a : M + M = MI + = 8 Page 5 sur 7

6 16 MI + = 8 donc MI = donc MI = MI =. M est le milieu de [ ] donc ( F5) = { I} M ( F5) signifie M + M = 16. D après le théorème de la médiane, on a : M + M = MI + = 16 Donc MI + 8 = 16 donc MI =, donc MI = ( MI ). ( F 5) est le cercle de centre I et de rayon. IV. Relations d l Kashi et autres formules 1. Enoncé de la relation d l Kashi : Soit le triangle C suivant, avec C = b, C = a et = c b C a On a les égalités suivantes : c a = b + c bc cos b = a + c ac cos c = a + b ab cosc. Démonstration de la relation d l Kashi : Soit un triangle C : C Page 6 sur 7

7 On a :. C = C cos C 1 1. C = + C C = + C C (cf. formules du chapitre «Produit scalaire») et ( ) ( ) Or C + C + = donc C = C 1 donc. C = ( + C C ) 1 C cos C = + C C donc ( ) donc C cos C = + C C donc C = + C C cos C On démontrerait de même les autres formules. 3. ire du triangle : Soit S l aire du triangle, on a : S = bc sin = acsin = absin C. Formule des sinus : On a : a b c = = sin sin sin C Page 7 sur 7