Partie géométrique 22 pts

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1 Exercice 1: 4 points Contrôle n 4 ème 4 2heures. Calculatrices autorisées. Partie numérique: 18 points 1. Ecrire en écriture scientifique. = 12 (10 ) (1 point) 2. Trouver la fraction irréductible égale à ( points) 270 Exercice 2: 4 points Les rennes et les lutins du père Noël ont décidé de partager leur dernier repas avant la grande tournée du 24 décembre. Par soucis d'équité, et conformément à leur régime alimentaire, les rennes se partagent 120 carottes et les lutins 48 petits pains. Extraordinaire: ils ont tous le même nombre d'aliments.. 1) Combien chacun des congénères va-t-il manger d'aliments sachant qu'il y a un minimum de lutins? 2) Combien y-a-t-il de lutins? ) Combien y a-t-il de rennes derrière Nicolas le petit renne au nez rouge? Exercice : 4 points D = ( x 8) 2 ( x 8) ( 2 x ) 1) Développer et réduire D. 2) Calculer D pour x = ) Factoriser D. 4) Résoudre ( x 8) ( x ) = 0 Exercice 4: points 1. Donner G sous forme d'une fraction irréductible. G = 1 ( ) 2. Le père Noël a vendu le tiers de son pré aux rennes en 2002 et les trois cinquièmes du reste en 200. a. Quelle fraction de la propriété a été vendue en 200? b. Quelle fraction de la propriété reste invendue à l'issue des deux années? c. Quelle était la superficie de la propriété sachant que la partie invendue au bout des deux années représente six hectares? Exercice : points Démontrer que si n est un nombre entier, alors ( n n ) est divisible à la fois par 2 et par. Exercice 1: points CD est un carré. E est le point de [D] tel que E = 1 4 D. F est le point de [] tel que F = 1 4. Partie géométrique 22 pts 1. Démontrer que les droites (EF) et (D) sont parallèles. 2. a) Par quel nombre doit-on multiplier la longueur D pour obtenir la longueur EF? Justifier la réponse donnée. b) Par quel nombre doit-on multiplier l'aire du triangle D pour obtenir l'aire du triangle EF? Justifier la réponse donnée.

2 Exercice 2: 4 pt On s'intéresse dans cet exercice au réservoir de la fusée XYZ200, nouveau prototype de fusée interplanétaire. Ce réservoir est constitué d'un cône surmonté d'un cylindre, comme le montre le dessin ci-contre. Le diamètre du réservoir est de 6 m, le cylindre mesure m de hauteur et le cône 4 m de hauteur. 1. Calculer le volume total du réservoir ; on donnera d'abord la valeur exacte en m, puis la valeur en dm, arrondie au dm. 2. Le volume de ce réservoir est-il suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes, sachant que ces moteurs consomment 100 litres de carburant par seconde? Exercice : 4 pt ur la figure ci-contre on a un cône de révolution tel que = 12 cm. Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que = cm (la figure ci-contre n est pas à l échelle) 1) Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône. 2) Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône? ) Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au cm. Exercice 4: pt Un lutin doit tailler des boules en bois de 10 cm de diamètre pour les disposer sur une rampe d'escalier menant à l'atelier du Père Noël. Il confectionne d'abord des cubes de 10 cm d'arête dans lesquels il taille chaque boule. a) Dans chaque cube, déterminer le volume ( au cm près ) de bois perdu, une fois la boule taillée. b) Il découpe ensuite la boule de centre O suivant un plan pour la coller sur un emplacement. La surface ainsi obtenue est un disque D de centre O' et de diamètre = cm. Calculer à quelle distance du centre de la boule ( h sur la figure ) il doit réaliser cette découpe. rrondir h au millimètre. D O O 1 h Exercice : 4 pt La figure suivante n est pas en vraie grandeur, elle est donnée à titre indicatif. CD est une pyramide à base carrée ; a hauteur est l arête []. On donne : = 4 cm = cm = cm D C 1. Calculer. 2. Représenter en vraie grandeur les faces et C.. Calculer le volume de cette pyramide. Exercice 6: 2 pt On considère qu'une boule de pétanque a pour volume 196 cm et que son rayon est le double de celui du cochonnet. 1. Quel est le rapport de réduction des rayons? (Donner en écriture fractionnaire ou décimale) 2. En déduire le volume du cochonnet.

3 Exercice 1: 4 points Correction du contrôle n 4 ème 4 Partie numérique: 17 points 1. = = = = Pour rendre irréductible une fraction, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD. On calcule donc le PGCD de 270 et 1890 par l'algorithme d'euclide 270 = = = Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD (270 ; 1890 ) = = 1890 : : = 9 1 Exercice 2: 4 points 1) On note n le nombre d'aliments que chacun va manger. On note l le nombre de lutins et r le nombre de rennes. n l = 48 n r = 120 Donc n est un diviseur commun à 48 et 120. Comme on veut un minimum de lutins, cela implique que chacun mange un maximum d'aliments. Donc n est le PGCD de 48 et 120. On utilise l'algorithme d'euclide 48 = = = Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD (48 ; 120) = 12. Chacun va manger 12 aliments. 2) 48 : 12 = 29. Il y a 29 lutins. ) 120 : 12 = 10. Il y a 10 rennes au total, donc 9 rennes derrière le petit Nicolas. Exercice : 4 points 1) D = 2 x 2 2 x ( 10 x 2 1 x 16 x + 24) D = 2 x 2 80 x x x 24 D = 1 x 2 49 x ) D = 1 ( ) 2 49 ( ) + 40 D = D = 22 4) ( x 8) ( x ) = 0 Un produit de facteurs est nul lorsqu'au moins l'un des facteurs est nul x 8 = 0 ou x = 0 x = 8 ou x = x = 8 ou x = L'équation a deux solutions: 8 et. ) D = ( x 8) ( x 8 ( 2 x )) D = ( x 8 ) ( x 8 2 x + ) D = ( x 8) ( x ) Exercice 4: points 1. G = 1 ( ) G = 1 11 G = a. i le Père Noël a vendu le tiers de son pré aux rennes en 2002, il en restait deux tiers. 2 = 2 Le Père Noël a vendu 2 de son terrain en 200. b. On note f cette fraction: f = f = G f = 4 4 Il reste de parcelle invendue. 1 1 c. On note x la superficie d'origine. 4 1 x = 6 donc x = 6 x = 22, 1 4 La parcelle faisait à l'origine 22, hectares. Exercice : pt n n = n ( n 2 1) n n = n ( n + 1 ) ( n 1 ) n étant entiers, n 1, n, et n + 1 sont trois entiers consécutifs. Donc n n est bien le produit de trois entiers consécutifs L'un d'entre eux est nécessairement divisible par et au moins l'un des trois est pair, donc divisible par 2..

4 Partie géométrique Exercice 1: 1. E D = 1 F 4 = 1 E Donc 4 D = F F () De plus dans le triangle D, E (D)., E et D sont rangés dans le même ordre que, F et D'après la réciproque du théorème de Thales, les droites (EF) et (D) sont parallèles. 2.a) Comme les droites (EF) et (D) sont parallèles, cela veut dire que les triangles EF et D forment une configuration de Thales. Donc EF est une réduction de D de rapport E D soit 1 4. Grâce à cette réduction, on sait qu'il faut multiplier la longueur D par 1 pour obtenir EF b) Grâce à cette réduction, on sait qu'il fait multiplier l'aire de D par ( 1 4 ) 2 soit 1 pour obtenir l'aire de EF. 16 Exercice 2: 1. Le diamètre du cylindre et du cône est de 6 m, donc le rayon mesure m. V = π π 2 4 V = 1 π + 12 π V = 27 π m V = π dm V dm 2. t = t = 600 s consommation totale de carburant: C = C = L donc C < V Le volume du réservoir est suffisamment pour alimenter la fuser pendant 10 minutes. Exercice : 1 ) Valeur exacte du volume du grand cône : Le volume d un cône se calcule avec la formule V = π r ² h π 7² 12 π 49 4 V = V = La valeur exacte du volume du cône est 196 π cm. V = 196 π 2 ) Coefficient de réduction : Il est égal au rapport, soit 12, soit 1 4. Le coefficient de réduction est 1 4 ) Valeur exacte du volume du petit cône : V = 196 π 1 V = 196 π 1 V = 196 π V = π V =,062 π La valeur exacte du volume du cône est,062 π cm. V' 10 cm Exercice 4: chaque boule a un diamètre 10 cm, donc cm de rayon a) On note le volume perdu V: V = 10 4 π. V = π V = π cm V 476 cm

5 b) D mesure cm de diamètre, donc 2, cm de rayon. OO 1 est un triangle rectangle en O 1. On peut appliquer le théorème de Pythagore. O 2 = OO O 1 2. R 2 = h 2 + O 1 2 h 2 = R 2 2, 2 h 2 = 2 2, 2 h 2 = 2 6,2 h 2 = 18,7 h est une longueur donc h > 0. h = 18,7 h 4, cm Exercice : 1. est un triangle rectangle en. On peut appliquer le théorème de Pythagore. 2 = = = = 2 est un longueur donc 0. = 2 = cm 2. C.On note V le volume de la pyramide. V = 1 2 V = V = 12 cm Exercice 6: 1. On note k le rapport de réduction pour passer de la boule de pétanque au cochonnet. Comme le rayon du cochonnet est la moitié du rayon de la boule, le rapport est donc Par une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k. Donc, si on note V le volume du cochonnet: V = ( 1 2 ) 196 V = V = 24, cm 8