Exercices choisis d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle

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1 Exercices choisis d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle Exercice On considère l espace vectorielr 2 a Montrer que toute famille de quatre vecteurs dansr 2 est liée. b Est-ce vrai aussi de toute famille de trois vecteurs? c Quel est le nombre maximal de vecteurs d une famille libre dansr 2? Exercice 2 Montrer dansr 3 que deux vecteurs orthogonaux sont linéairement indépendants. Exercice 3 a c On considère le sous-ensemble V ={ a 2b=, c R} dem b 2 2 matrices 2 sur 2. Prouver que c est un sous-espace vectoriel dem Donner sa dimension. 3 Présenter une base de ce sous-espace. Exercice 4 Trouver l intersection des 3 plans d équations respectives Π : 3+ 2z+ = Π 2 : 3x+ z 2= Π 3 : x+ + z= 2 En fonction du résultat obtenu, décider dans quel cas de figure cf. ci-dessous les 5 possibilités on se trouve. Plus précisément. Donner un argument court pour éliminer certains cas. 2. Trouver le cas approprié après calcul de l intersection. 3. Si on se trouve dans un cas différent de la figure ou 5, donner la direction des droites d i. 4. Quelle valeur donnée à la constante du planπ pour changer de cas de figure? Le seul changement de cas de figure envisageable en modifiant la constante on obtient un plan parallèle àπ est le passage au cas de figure Est-il possible de trouver pour cette constante une valeur de telle sorte que l on se retrouve dans le cas de figure 3? une réponse obtenue par tâtonnement n est pas une réponse suffisante, remplacer peut-être dans l équation deπ la constante par une variable m... Π3 Π3 Π2 d = d 2 = d 3 = d Π 3 Π2 Π d3 Π d Π 2 Figure Figure 2 Figure 3 Π

2 d Π d 2 Π 2 Π I d 3 Π 3 Π 3 d Π 2 d 2 d 3 Figure 4 Figure 5 Exercice 5 Soit une pramide dont la base est un parallélogramme ABCD et qui a pour sommet S. Les coordonnées des points connus sont A 3 ; 3 ; 3, B2 ; 4 ; 2, C ; 2 ; Le point S, lui, appartient à la droitedd équation x= t = 2+4t z= 5+ t On sait encore que le tétraèdre ABCS a pour volume 3.. Trouver les coordonnées du point D. 2. Donner les équations cartésienne et vectorielle du plan contenant le parallélogramme ABCD. 3. Déterminer la distance de ce plan à l origine. 4. Calculer l angle aigu de ce plan avec le plan Ox. 5. Déterminer les coordonnées du point S. 6. Déterminer les coordonnées du point S smétrique de S par rapport au plan ABCD si vous n avez pas trouvé les coordonnées de S au point précédent, utilisez S 2 ; 2 ; 6. D S C A B croquis Exercice 6 Est-ce que les vecteurs, 2 et 6 der 3 4 engendrent le même sous-espace que les vecteurs 2 et 6? 4 7 Exercice 7 SoitP 3 ={a + a x+ a 2 x 2 + a 3 x 3 a,...,a 3 R}, l espace vectoriel des polnômes de degré 3 ou moins. Montrer que E ={ f P 3 } x f x f x=est un sous-espace vectoriel dep 3. 2 Trouver une base à ce sous-espace. 2

3 3 Vérifier que les éléments de la base sont linéairement indépendants. Exercice 8. Soient la famille de vecteurs 2 7 {, 3, 3, 6 } 3 8 qui engendrent un espace vectoriel V. a Déterminer la dimension de V et proposer une base de V. b Déterminer les coordonnées du vecteur v= 3 dans cette base. 5 c Trouver une équation cartésienne caractérisant V. 2. Soit la famille de vecteurs s { s, s, } 2 a Déterminer r Rtelle que cette famille forme une base der 3. b Quelle est la ou les valeurs à chosir pour r pour que cette famille ne soit pas une base der 3 sans la Ti-89. Exercice 9 Déterminer sous forme matricielle la transformation linéaire der 2 dansr 2 correspondant à une rotation de centre O et d angleπ/3. Pour ce faire, chercher les images des vecteurs de la base standard der 2.. Trouver l image du vecteur Trouver l image de la droite d passant par le point ; 4 et de vecteur directeur d = x 3. Est-ce qu une translation dans le plan t : Exercice x On considère le sous-ensemble{ z x+ 2=et w= 2x+ 3} der 4. w Prouver que c est un sous-espace vectoriel der 4. 2 Donner sa dimension. 3 Présenter une base de ce sous-espace. x+ a est une application linéaire? Justifier votre réponse. + b Réponses Exercice. Pour quatre vecteurs données, on regarde si la combinaison linéaire égale à peut s obtenir avec des coefficients différents de. x x2 x3 x4 α +β +γ +δ = 2 C est un sstème de 2 équations avec 4 variables, il a donc au moins 2 variables libres pour lesquelles il est possible de choisir des valeurs différentes de. La famille est donc liée. 2. De manière semblable, on a 2 équations et 3 variables, ce qui fait une variable libre pour laquelle il est possible de choisir une valeur différente de. La famille est donc liée

4 3. On prenant deux vecteurs bien choisis non colinéaires, on peut écrire un sstème homogène de 2 équations avec 2 variables qui une fois échelonné a la forme x x2 α +β = 2 x x 2 2 D où on tire que le coefficientβ=, puis par substitutionα=. x x 2 2 Exercice 2 On sait que deux vecteurs sont orthogonaux dansr 3 seulement si leur produit scalaire est nul. Soit deux vecteurs non nuls perpendiculaires v et w. En partant de la relation linéaire c v+d w = et en multipliant chaque membre par v, on peut conclure c v 2 + d v w=, c est-à-dire c v 2 + d =. Comme v, on a c=. De manière semblable, on montre que d =. Exercice 3 C est un sous-espace vectoriel Il n est pas vide, car il contient l élément nul. a c a c clôture pour l addition : soit a+a c+ c, b b V, montrons que la somme b+b est dans V. a+a 2b+b c+c = a 2b + a } {{ 2b } R clôture pour la multiplication : montrons que le multiple d un vecteur de V est dans V : soitα αa 2αb=αa 2 b= et αc R = a c b 2 le sstème d équations se réduit à une équation a 2b = et 3 inconnues : il a donc 2 variables libres, b et c. Ainsi a=2b et avec les deux paramètres libres, la dimension est 2. a c 2 3 on a V ={ = b+ c 2 b, c R}. Une base de V est ainsi B=, b Exercice 4. Les vecteurs normaux aux trois plans sont respectivement 3 n = 3, n 2 = et n 3 = : il n a donc pas de plans parallèles, ce qui exclut les figures et z= x + z = x+ + z = Pas d intersection. Ceci correspond à la figure 4. i d i = n n 2 = j 3 = 6 = 6 ou d i = 2 k z=m 3 2 m 2 3x + z = x+ + z = m Exercice 5. Trouver les coordonnées du point D. AB= 2 3 x 5 x x= 4 DC 4 3 = 2 = 2 =3 2 3 z z z= 2. Donner les équations cartésienne et vectorielle du plan contenant le parallélogramme ABCD. Pour l équation vectorielle, on a besoin de deux vecteurs directeurs AB et 4 AC= m=4 m 4 4

5 x Π ABC : = 3 +α +β 5 z 3 3 L équation cartésienne peut se trouver de deux manière différente : x o 3 5 = x z 325 4= z 3 3 On en tire : 8x+ +29z= 3 2 o On cherche le vecteur normal n= AB AC= 5 = 3 29 Puis on utilise le point A : 8x+ +29z=d =3 3. Déterminer la distance de ce plan à l origine. Π,O= = = = Calculer l angle aigu de ce plan avec le plan Ox. On cherche l angle entre n et : cosα= D oùα=arccos o 5. Déterminer les coordonnées du point S. Vol ABC S = 6 [ BA, BC, BS] = 5 t t 4 = 2 5+ t t =3 C est-à-dire 85+65t= 8 ou 85 65t= 8, d où t = 9/3 ou 53/3. Ainsi S= +53/3 ; 2 22/3 ;5 53/3= 4/3 ; 238/3 ;2/3 ou S= 9/3 ; 2+76/3 ; 5+9/3= 32/3 ; 5/3 ;84/3 6. Déterminer les coordonnées du point S smétrique de S par rapport au plan ABCD si vous n avez pas trouvé les coordonnées de S au point précédent, utilisez S 2 ; 2 ; 6. x 2 8 On prendra S 2 ; 2 ; 6 : on cherche l intersection ded SS : = 2 +α avecπ:8x+ +29z= 3. z α+2+α α=3 α= 25/7 Dans l équation de la droited SS, siα=, on a le point S, siα= 25/7, on a le point I=D SS Π, siα= 5/7, on a le point S = ; 2 7 ; 6 7 Exercice 6 On peut chercher à savoir si les 2 familles de vecteurs engendrent le même espace : 4 4 α +β 2 +γ 6 =δ 2 +λ 6 α +β 2 +γ 6 δ 2 λ 6 = On a 2 équations et 5 variables, donc 3 variables libres. Ce qui signifie que pour toute valeur deδetγ 3 variables libres, il est possible de trouver les valeurs correspondantes pourα,βetγ, et, inversement, pour toute valeur deα,βetγ 3 variables libres, il est possible de trouver les valeurs correspondantes pourδetγ. Exercice 7 C est un sous-espace, car E n est pas vide. Par exemple f x = 3x en fait partie. clôture par combinaison linéaire, soit f, f 2 E et a,b R x a f + b f 2 a f + b f 2 = x a f + b f 2 a f + b f 2 =a x f f 5 +b x f 2 f 2 =

6 2 Soit f x=a + a x+ a 2 x 2 + a 3 x 3, on cherche les fonctions solutions de l équation différentielle. x a + a x+ a 2 x 2 + a 3 x 3 a + a x+ a 2 x 2 + a 3 x 3 = 2a 2 x+ 6a 3 x 2 a + 2a 2 x+ 3a 3 x 2 = On en tire que : 3a 3 x 3 a =, quels que soient les valeurs pour x., donc a = et a 3 =. Les fonctions appartenant à E sont de la forme f x=a + a 2 x 2 et une base de E est B= ; x 2 3 B=,x 2 est une base, car f x=et gx=x 2 sont évidemment linéairement indépendants. } Si x=, a f x+b gx= a= a=,b= Si x= 2, a f x+b gx= a+4b= Exercice 8. a Une première méthode consiste à regarder si les 4 vecteurs sont linéairement indépendants. On sait déjà qu ils ne le sont pas en raison de la dimension der 3 qui nous indique qu il a au plus 3 vecteurs linéairement indépendants. Mais en résolvant le sstème α β 3 +γ 3 +δ 6 = et en trouvant le rang de la matrice nombre de lignes non nulles après échelonnement, on trouvera du même coup la dimension de l espace vectoriel engendré par ces 4 vecteurs. Une autre méthode consiste à considérer la matrice formée par 4 colonnes constituées par les 4 vecteurs de l énoncé on remarque que finalement, c est la même chose qu avant. On cherche alors la dimension de la matrice qui sera la dimension de l espace des colonnes. On la trouve en échelonnant la matrice b La dimension de la matrice est 2, donc la famille engendre un espace vectorielle de dimension 2. On peut prendre pour base deux vecteurs non colinéaires parmi les quatre de départ :<, 3 >ou B=<, > 3 3 =α +β α= β= 4 v= 4 B c Il a deux méthodes o 2 Le sous-espace vectoriel est un plan vectoriel dont le vecteur normal est = d où l équation recherchée 2x + z= x 2 o Ce sont tous les vecteurs qui sont linéairement dépendants avec ceux de la base fabriqués par la base z x par combinaison linéaire : dét,, = 2x + z= z 2. Une base est faite d éléments linéairement indépendants s a 3 vecteurs sont linéairement indépendants, si le déterminant est non nul : dét s, s, =2r 2 4r. 2 2r 2 4r= 2rr+ 2=. On peut choisir r ou r 2 b L une de ces deux valeurs. 6

7 Exercice 9 Les images, par cette rotation, des vecteurs de base sont : t π /3 cosπ/3 = /2 sin π/3 3/2 t θ sinπ/3 cos π/3 = 3/2 sin /2 la matrice représentant la rotation est ainsi : /2 3/2. 3/2 /2 sinθ cosθ θ cosθ sinθ θ. 2. /2 3/2 /2 2 = 3 3/2 /2 4 3/2+2 /2 3/2 /2 3/2 3/2 /2 = c est la droite d équation : 3. Non, elle ne préserve pas l addition : Exercice C est un sous-espace vectoriel /2 3/2, donc 3/2+/2 3/2 /2 4 x /2 2 3 /2 = +α 3/2 3/2+2 3/2+/2 x x x+ x t + =t + = Il n est pas vide, car il contient l élément nul. x+ x + a + + b +α /2 2 3 /2 = +α 3/2 3/2+2 3/2+/2 x+ a + +b x + a + b on peut vérifier la clôture par combinaison linéaire ou tester la clôture séparément pour l addition et la multiplication. x x x+ x clôture pour l addition : soit z, + z V, montrons que la somme z+ z est dans V. w w w+w x+ x +2+ 2x+ x +3+ w+w + x + 2 = x+ 2 = 2x+ 3 w + 2x + 3 w = = clôture pour la multiplication : montrons que le multiple d un vecteur de V est dans V. 2αx 3α 2αx+3α αz =α2x 3 = =α 2x+ 3 w = 2 on résout le sstème d équations : { x+ 2+z+ w= 2x+ 3+z w= =w x= 2= 2w/7 =w/7 Deux paramètres libres, donc la dimension est 2 ou nombres de variables dimension de la matrice = 4-2. x 2/7 2 3 on a V ={ z = /7 w+ z z, w R}. Une base de V est ainsi B=,. w 7 7