Lycée Champollion. MPSI/PCSI.

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1 Lycée Champollion. MPSI/PCSI. Ce document illustre une partie des attendus en mathématiques. A lire et à relire! Plus précisément, ce document contient un paragraphe sur la rigueur et la précision en mathématiques et trois exercices corrigés tirés de sujets très récents du Bac S : nous avons ré-écrit ces exercices dans un esprit "classe préparatoire" et en avons donné un corrigé dans le même esprit. Les mathématiques du supérieur : rigueur et précision Avant de lire ce qui suit, prenez 5 minutes pour répondre à la question suivante : définir ce qu est une fonction croissante. Voici un "énoncé" : la fonction f(x) est croissante si f (x). Cet énoncé n a aucun sens...et son statut n est pas clair : est-ce une définition, un théorème? Pourquoi cet énoncé n a aucun sens. En mathématiques, les objets doivent être convenablement introduits et définis. Dans l affirmation ci-dessus, qui est x? Sans doute un réel? Qui est f(x)? Une formule? Un autre réel? Mais au fait, c est quoi une fonction? Soyons plus précis : pour un bachelier S, une fonction f (et non f(x)!!) possède un ensemble de définition qui est en général une partie A de R et associe, à chaque élément x de l ensemble A, un réel que l on note f(x). Tout ceci est résumé de la façon suivante : on dit que f est définie sur A et est à valeurs réelles. L énoncé ci-dessus commencera donc ainsi. Soient A une partie de R et f une fonction définie sur A et à valeurs réelles. L énoncé ci-dessus s intéresse aux fonctions croissantes. Qu est ce donc qu une fonction croissante? Ce n est pas une fonction dont la dérivée est positive... La définition correcte est la suivante : Définition. Soient A une partie de R et f une fonction définie sur A et à valeurs réelles. On dit que la fonction f est croissante sur A si pour tous x et y éléments de A, x y implique f(x) f(y). Ainsi, la fonction "racine carrée", définie sur R + = [,+ [, est croissante sur R +...sans que l on ne puisse dériver cette fonction sur R + = [,+ [ : cette fonction n est pas dérivable en. L énoncé ci-dessus n est donc pas une définition...c est peut-être un (embryon de) théorème? Un théorème...faux. Soient A une partie de R et f une fonction définie sur A et à valeurs réelles. Supposons que la fonction f est dérivable sur A et que pour tout élement x de A, f (x). Alors la fonction f est croissante sur A. Ce théorème est faux : considérons A = R =],[ ],+ [ et f la fonction définie par f(x) = 1/x pour tout x appartenant à R. Cette fonction f est dérivable sur R et pour tout x élément de R, on a f (x) = 1/x 2. Cette fonction vérifie donc les hypothèses du "théorème" et pourtant, f( 1) > f(1) alors que la fonction f n est donc pas croissante sur R. 1

2 Voici un vrai théorème. Théorème. Soient a et b deux réels vérifiant a < b et f une fonction définie sur [a,b] et à valeurs réelles. Supposons que la fonction f est dérivable sur [a,b] et que pour tout élement x de [a,b], f (x). Alors la fonction f est croissante sur [a,b]. La différence entre ce vrai théorème et l énoncé faux qui le précède réside dans le fait qu un domaine de définition de la forme [a,b] est un intervalle, alors que R n est pas un intervalle. Vous voyez que ce théorème (dont la preuve n est pas évidente et vous sera faite en cours de mathématiques l an prochain) a été construit progressivement, à partir d un vague énoncé faux...qui vous semblait peut-être plus clair et presque évident...ce théorème a des hypothèses précises (forme du domaine de définition de f, dérivabilité de f et signe de la dérivée)...toutes indispensables alors que seule l hypothèse f (x) vous semble peut-être essentielle! Faire des mathématiques dans l enseignement supérieur, c est adopter la démarche rigoureuse qui montre clairement la différence entre un vague énoncé plus ou moins juste...et donc complètement faux...et un vrai théorème, que l on utilisera après en avoir vérifié les hypothèses. Des énoncés plus ouverts, des arguments qui ne se limitent pas à une suite de calculs En classes préparatoires, les problèmes proposés le seront de façon beaucoup plus ouverte, vous laissant plus d initiative. Voici par exemple comment l exercice du module de skateboard (Exercice 4 du sujet de l épreuve Juin 215 du Bac S) pourrait être posé en classes préparatoires, tout en se limitant aux outils du programme de Terminale S. Exercice 4. Bac S, Métropole, Juin 215. Partie I. Etude d une fonction. Soit f la fonction définie sur l intervalle [,2] de la façon suivante : Pour tout x appartenant à [,2], f(x) = (x+1)ln(x+1) 3x Montrer que la fonction f est dérivable sur [,2] et déterminer f. 2. En déduire les variations de f sur [,2]. Tracer la courbe représentative C de f sur l intervalle [,2]. On donne les valeurs numériques f(2) 1,9 et e 2 7,4. 3. Soit B le point de C d abscisse. Calculer le coefficient directeur puis l équation de la tangente à la courbe C au point B.

3 3 4. Soit g la fonction définie sur l intervalle [,2] de la façon suivante : Pour tout x appartenant à [,2], g(x) = 1 2 (x+1)2 ln(x+1) 1 4 x2 1 2 x. a. Montrer que la fonction g est dérivable sur [,2] et déterminer g. b. En déduire une primitive F de f. c. Calculer la valeur de l intégrale I = 2 f(t)dt. Quelle est l interprétation géométrique de cette intégrale? Partie II. Une application. On considère que le graphe de f est le profil d une piste de skateboard, dont voici une perspective cavalière. B C B A C D J O I D La longueur du module OD vaut 2 mètres, sa largeur DD vaut 1 mètres. 1. a. Exprimer la différence entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste. b. Vrai ou Faux : la piste est presque deux fois plus inclinée au point B qu au point C? On donne la valeur numérique suivante : ln(21) 3,4. 2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5m 2 par litre. Déterminer le nombre de litres de peinture nécessaires. Partie I. Etude d une fonction. Une solution. 1. Le domaine de définition de la fonction ln est ],+ [. La quantité f(x) est donc définie si et seulement si x + 1 >, c est-à-dire x > 1. Le domaine de définition de la fonction f est donc l intervalle ] 1, + [. Les fonctions x x + 1, x ln(x) et x 3x + 7 sont continues et dérivables sur leur domaine de définition respectif (ce sont des fonctions dites de références en Terminale S, on vous expliquera soigneusement pourquoi ce sont des fonctions continues...après vous avoir défini proprement la continuité d une fonction!). Par composition, somme et produit de fonctions continues et dérivables sur leur domaine de définition respectif, on en déduit

4 4 que la fonction f est continue et dérivable sur son domaine de définition ] 1,+ [. Elle l est donc aussi sur l intervalle [,2]. Puis, les règles usuelles de dérivation d une somme, d un produit et d une composée de fonctions dérivables donnent, pour tout x appartenant à [,2] : f (x) = (x+1) ln(x+1) 3 = ln(x+1) 2. x+1 2. Pour x [,2], on a f (x) = si et seulement si ln(x+1) = 2, c est-à-dire si et seulement si x+1 = e 2 et donc f (x) = x = e 2 1. Puis, par croissance des fonctions exp et ln, on a f (x) ln(x+1) 2 x+1 e 2 x e 2 1. Un mot ici sur l usage du deuxième symbole : il signifie ici qu il y a bien une équivalence entre l affirmation ln(x+1) 2 et l affirmation x+1 e 2. Une équivalence signifie une double-implication : l implication ln(x + 1) 2 x + 1 e 2 est due à la croissance de la fonction exponentielle, l implication x+1 e 2 ln(x+1) 2 est due à la croissance de la fonction ln! L usage des premier et troisième symboles est plus élémentaire mais lui aussi contient un raisonnement mathématique : vous savez depuis le collège que ln(x + 1) 2 ln(x+1) 2 car on peut ajouter une même quantité aux deux membres d une inégalité. De même pour l équivalence x+1 e 2 x e 2 1. On en déduit (par application du théorème rappelé précédemment!) que la fonction f est décroissante sur [,e 2 1], croissante sur [e 2 1,2] (remarquer ici que e 2 1 6,4 appartient bien à l intervalle [, 2]). Le tracé du graphe de f découle de l étude précédente et des valeurs numériques données par l énoncé et des propriétés du logarithme : ln(1) =, ln(e) = 1, ln(a 2 ) = 2ln(a) : f() = ln(1)+7 = 7, f(e 2 1) = e 2 ln(e 2 ) 3(e 2 1)+7 = 1 e 2 2,6 et f(2) = 1,9. Voici le graphe de f D après le cours, le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B est égal à f () = 2. La tangente à la courbe C au point B est la droite passant par B et de coefficient directeur f (). La tangente en ce point B est donc la droite d équation

5 5. y = f()+f () (x ) = 7 2x 4. a. Comme pour f, la fonction g est dérivable sur [,2] comme somme, produit et composition de fonctions dérivables sur leur domaine de définition respectif. Et pour x [,2], on a g (x) = 1 2 2(x+1)ln(x+1)+ 1 2 (x+1)2 1 x x 1 2 d où g (x) = (x+1)ln(x+1)+ 1 (x+1 x 1) = (x+1)ln(x+1). 2 b. Rappelons que pour tout x [,2], on a f(x) = (x+1)ln(x+1) 3x+7. D après la question précédente, une primitive de x (x + 1) ln(x + 1) est g, il suffit donc de trouver une primitive de x 3x +7 pour avoir une primitive de f. On en déduit qu une primitive F de f est définie, pour tout x [,2], par F(x) = 1 2 (x+1)2 ln(x+1) 1 4 x2 1 2 x 3 2 x2 +7x = 1 2 (x+1)2 ln(x+1) 7 4 x x. c. D après le cours, I = 2 f(t)dt = F(2) F() = ln(21) 7+13 = ln(21) 57. Cette intégrale est l aire comprise entre C, l axe des abscisses et les droites verticales d équations x = et x = 2. Partie II. Une application. 1. a. D après la Partie I, la différence entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est égale à h = f(2) f(e 2 1) 1,9 2,6 = 8,3 m. b. L inclinaison en un point est donnée par la valeur absolue du coefficient directeur de la tangente à la courbe C. Au point B, nous avons vu que cette inclinaison est égale à 2. Au point C, le coefficient directeur de la tangente à la courbe C est f (2) = ln(21) 2 1,4. Il est donc bien vrai que la piste est presque deux fois plus inclinée au point B qu au point C. 2. Le rectangle DD C C a pour aire 1 f(2) = 1 ( 21ln(21) 53 ) m 2. Le rectangle OAB B a pour aire 1 f() = 7 m 2. Les deux autres faces sont de même aire égale à I. On en déduit que la surface S à peindre est égale à S = 2I +7+1 ( 21ln(21) 53 ) = 651ln(21) 16 m 2. Avec chaque litre de peinture, on peint une surface de 5 m 2. Il faut donc N = S/5 litres de peinture. Avertissement. Il n y a pas une seule façon de rédiger des mathématiques et le corrigé précédent n est pas la référence universelle. En revanche, vous devez remarquer qu il y a plus de texte explicatif que de calculs techniques dans ce corrigé. Nous allons vous apprendre à rédiger de cette façon là; savoir calculer est indispensable, savoir expliquer ce que l on fait est essentiel! On peut essayer de faire le même travail avec l exercice 3 de ce même sujet de juin 215 abordant une application géométrique des nombres complexes.

6 6 Exercice 3. Bac S, Métropole, Juin 215. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct ( O; u, v 1. Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équation (E) d inconnue z : z 2 8z +64 =. On notera a la solution de (E) de partie réelle positive etbla seconde solution. On donnera a et b sous forme cartésienne et exponentielle. 2. Soit θ R. On considère les points A, B et C d affixes respectives a, b et c = 8e iθ. a. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon. b. Déterminer les complexes c pour lesquels le triangle ABC est équilatéral. c. Déterminer les complexes c pour lesquels le triangle ABC est rectangle en A. 3. On considère les points A, B et C d affixes respectives a = ae iπ 3, b = be iπ 3 et c = ce iπ 3. On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A B], [B C] et [C A]. a. Dans le casc = 8i, faire une figure avec notamment, les pointsa,b,c,a,b,c,r,s,t. b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST? Justifier ce résultat dans le cas général, (c est à dire pour c un complexe quelconque). ). 1. Soit z C Une solution. 2. z 2 8z +64 = (z 4) = (z 4) = (z 4) 2 (4 3i) 2 ( = z 4 4 )( 3i z 4+4 ) 3i. Donc (E) a pour solutions avec les notations de l énoncé : a = 4+4i ( ) = 8 2 +i = 8e iπ 3 2 b = 4 4i 3 = a = 8e iπ 3. a. Les complexes a, b, c sont de même module 8. Donc A, B et C appartiennent tous trois au cercle de centre O et de rayon 8. b. La médiatrice du segment [A,B] est la droite des abscisses. Pour que le triangle ABC soit équilatéral, il faut donc que C appartienne à cette droite. Les seules valeurs possibles de c sont donc 1 et 1. Rappelons que AB = 8 et considérons donc les deux cas. Pour c = 1, AC = CB = 16sin π 6 = 8 3 AB. Pour c = 1, AC = CB = 16sin π 3 = 8 = AB. On en déduit que ABC est équilatéral si, et seulement si, c = 1.

7 7 3. c. On a a b = 8i 3 donc ABC est rectangle en A si, et seulement si, C appartient à la droite horizontale passant par A, donc si, et seulement si, sinθ = sin(π/3). Le triangle ABC est donc un "vrai" triangle rectangle si, et seulement si c = 8e 2iπ 3. On aurait aussi pu traiter géométriquement cette question. Le triangle est rectangle en A si, et seulement si, [B,C] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC. a. On obtient le dessin suivant A C A T C S R B B b. Le triangle RST semble équilatéral. Pour le montrer, il suffit par exemple de prouver que R est l image de T par une rotation de centre S et d angle ± π 3 On a d une part : D autre part r s = 1 2 (a b)eiπ (b c). t s = 1 2 (c b)eiπ (a c) = 1 2 (c b)eiπ (a b)+ 1 2 (b c) = 1 2 (a b)+ 1 2 (b c)(1 eiπ 3) = 1 2 (a b)+ 1 2 (b c)e iπ 3 = (r s)e iπ 3. On a bien montré le résultat annoncé : RST est équilatéral.

8 8 Quelques remarques au sujet de cet exercice. Le sujet est très proche de l énoncé du bac correspondant. Il en diffère dans l esprit. Le sujet initial est un sujet de calcul avec des complexes numériquement déterminés. On y teste la connaissance d un certain nombre de techniques (résolution d une équation du second degré dans C, passage d une représentation cartésienne à une représentation exponentielle, calcul d un module et application géométrique). En classe préparatoire, l étude des complexes en donnera une vision plus riche : L ensemble des complexes est d une part un ensemble qu on peut associer au plan affine puisqu un complexe peut être vu comme un couple de réels. Cette association est beaucoup plus riche qu une simple représentation car beaucoup de propriétés géométriques des points du plan se traduisent directement par des propriétés algébriques de leurs représentants dans C. L ensemble des complexes est aussi un ensemble dans lequel on peut calculer avec des règles de calcul algébriques très proches de celles de R. Ces règles permettent de mener la plupart des calculs sans jamais revenir aux parties réelles et imaginaires des complexes utilisés. C est d ailleurs le grand intérêt de C Les deux points de vue se complètent. Dans les questions 1b et 1c, une solution géométrique est tout aussi efficace qu un calcul dans C. Dans la question 3b, le calcul en complexes donne en quelques lignes la preuve que le triangle RST est équilatéral. Mieux, la preuve ne tient pas du tout compte de la valeur de a, b, c. Elle est donc valable quel que soit le triangle considéré. On pourrait donc énoncer le théorème suivant : Soit ABC un triangle du plan affine. Soit A B C, son image par une rotation d angle π 3 alors les milieux de [A B], [B C], [C A] forment un triangle équilatéral. (Pour ceux qui objecteraient à juste titre que la preuve a été faite seulement pour une rotation de centre O, l origine du repère peut parfaitement être choisie au centre de la rotation). Terminons enfin avec un exemple sur les suites et les intégrales issu du Bac 214 (Asie) Exercice 4. Exercice 4. Bac S, Asie, 214. L objectif de cet exercice est d étudier la suite u = (u n ) n définie de la façon suivante : pour tout entier naturel n, on pose x n u n = 1+x dx. 1. Calculer u. 2. Pour tout entier naturel n, calculer u n +u n+1 en fonction de n. En déduire la valeur de u Étudier la monotonie de la suite u. En déduire que u converge et déterminer sa limite. 4. Pour tout entier naturel n et tout réel x, on pose n S n (x) = ( 1) k x k = 1 x+x 2 x 3 + +( 1) n x n et I n = k= S n (x)dx. Montrer que pour tout entier naturel n, il existe des entiers a n, b n (à déterminer) tels que I n = a n u +b n u n+1. En déduire lim I n. n + 5. En déduire la limite de la suite H définie par n ( 1) k 1 n 1, H n = = 1 1 k k=1 ( 1)n n

9 9 Une solution. Nommer les objets que l on est amené à manipuler est souvent un bon réflexe : pour toute la suite de l exercice, on note f n la fonction définie sur [, 1] par x xn 1+x 1. La fonction f définie par x 1 est continue sur [,1] et a pour primitive la fonction 1+x F définie par x ln(1+x) donc u = F (1) F () = ln(2). 2. Pour tout entier naturel n, en utilisant la linéarité de l intégrale, on obtient u n +u n+1 = x n +x n+1 dx. 1+x Le numérateur x n +x n+1 de la fraction se factorise en x n (1+x) et permet de simplifier la fraction d où u n +u n+1 = x n dx. On est ainsi ramené à un calcul d intégrale qui se fait simplement à l aide d une primitive. La fonction polynomiale P n définie par x x n est continue sur [,1] et a pour primitive la fonction Q n définie par x 1 n+1 xn+1. Il s ensuit que u n +u n+1 = Q n (1) Q n () = 1 n+1. En prenant le cas n =, on en déduit que u 1 = 1 u = 1 ln(2). 3. a. Monotonie de u : On utilise encore la linéarité de l intégrale et on factorise le numérateur de la fraction u n+1 u n = x n+1 x n dx = 1+x (x 1) x n 1+x dx. Pour tout x [, 1], on a (x 1) négatif et f n (x) positif ; l expression intégrée (x 1)f n (x) est donc à valeurs négatives. D après la propriété dite de "positivité de l intégrale", il s ensuit que u n+1 u n est négatif. La suite u est donc décroissante. b. Convergence de u : Pour tout entier naturel n, la fonction f n est à valeurs positives sur [, 1], donc en utilisant à nouveau la propriété dite de "positivité de l intégrale", on voit que u n est positif. La suite u est décroissante et minorée par donc u converge vers une limite l positive ou nulle. c. Limite de u : On sait que lim n + u n = l et par conséquent lim n + u n+1 = l. Il s ensuit que lim (u n +u n+1 ) = 2l. n + Grâce au résultat de la question 2) on peut aussi calculer

10 1 lim (u 1 n +u n+1 ) = lim n + n + n+1 =. D après l unicité de la limite d une suite, on en déduit que l =. 4. La quantité S n (x) est la somme des premiers termes d une suite géométrique de raison x. Lorsque x appartient à [, 1], la raison x est différente de 1, on a donc x [, 1], S n (x) = 1 ( 1)n+1 x n+1 = f (x)+( 1) n f n+1 (x). 1+x D après la linéarité de l intégrale, on obtient ainsi que I n = u +( 1) n u n+1. D après la question précédente, on sait que lim n + u n+1 = et on en déduit donc lim I n = u = ln(2). n + 5. D après la linéarité de l intégrale, pour tout entier n on a n n I n = ( 1) k x k ( 1) k dx = = 1 1 k ( 1)n n+1 = H n+1. k= On en déduit que k= lim n + H n = lim n + I n 1 = ln(2).