Les opérateurs différentiels grad, div, rot. Une fois la lecture lancée (clique souris), utilisez les touches ou pour naviguer
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- Ariane Doré
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1 Les opérateurs différentiels grad, div, rot Une fois la lecture lancée (clique souris), utilisez les touches ou pour naviguer
2 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C
3 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C 40 M 25 10
4 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C 40 y M x
5 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C 40 T M = T(x, y) y M x
6 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C 40 T M = T(x, y) un champ scalaire y M x
7 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C
8 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C M 10
9 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C y M 10 x
10 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C q M = q (x, y) x q y (x, y) y M 10 x
11 Champs scalaires et champs vectoriels scalar fields and vector fields Quelques exemples C q M = q (x, y) x q y (x, y) y M 10 un champ vectoriel x
12 Champs scalaires et champs vectoriels Quelques exemples Vitesse et pression dans le coin mantellique d une zone de subduction velocity and pression fields in the mantellic wedge of a subduction zone Mouvement d un fluide autour d une bille en chute fluid motion around a falling ball MPa
13 Champs scalaires et champs vectoriels Définitions Champ vectoriel v : n p Champ scalaire f : n (ou )
14 Champs scalaires et champs vectoriels Définitions Champ vectoriel v : n p Exemple : ( v(x, y, z) = z sin(x y), xy, z + x 2 ) Champ scalaire f : n (ou )
15 Champs scalaires et champs vectoriels Définitions Champ vectoriel v : n p Exemple : ( v(x, y, z) = z sin(x y), xy, z + x 2 ) Champ scalaire f : n (ou ) Exemple : f (x, y, z) = 2xy z log(1 + x 2 )
16 Gradient et dérivée dans une direction Soit f : 2 un champ dérivable. On sait que (voir cours de L1) f x f y (x, y) (x, y) donne le taux de variation de f au point (x,y) dans la direction des x positifs (rate of change of f when only x varies) donne le taux de variation de f au point (x,y) dans la direction des y positifs (rate of change of f when only y varies)
17 Gradient et dérivée dans une direction Exemple 1: f (x, y) = x + y f (x, y) = +1 si on avance de h selon x, x f augmentera de 1 h f M = 1,9
18 Gradient et dérivée dans une direction Exemple 1: f (x, y) = x + y f (x, y) = +1 si on avance de h selon x, x f augmentera de 1 h f M = 1,9 h
19 Gradient et dérivée dans une direction Exemple 1: f (x, y) = x + y f (x, y) = +1 si on avance de h selon x, x f augmentera de 1 h f M = 1,9 f M = 1, ,5 = 2,4 h
20 Gradient et dérivée dans une direction Exemple 2 : f (x, y) = sin(π x)cos(π y) f (x, y) = π cos(π x)cos(π y) x f M = 0 f M = 1,9 M
21 Gradient et dérivée dans une direction Exemple 2 : f (x, y) = sin(π x)cos(π y) f (x, y) = π cos(π x)cos(π y) x f M = 0 f M = f (1.5, 0.4) 0,31 f M = 1,9 M h
22 Gradient et dérivée dans une direction Exemple 2 : f (x, y) = sin(π x)cos(π y) f (x, y) = π cos(π x)cos(π y) x f M = 0 f M = f (1.5, 0.4) 0,31 f M = 1,9 f 0 + 0,5 (1, 0,4) x M h 0,48
23 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction
24 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction Réponse : n étant un vecteur unitaire dans cette direction il suffit de calculer le produit scalaire grad f (x, y) n où gradf = f, f x y
25 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction Réponse : n étant un vecteur unitaire dans cette direction il suffit de calculer le produit scalaire Df n (x, y) = où gradf = grad f, f x y f (x, y) n Dérivée dans la direction n au point (x,y)
26 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction f (x, y) = x + y u gradf = (1, 1)
27 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction f (x, y) = x + y u gradf = (1, 1) u = 1,1 ( )
28 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction f (x, y) = x + y u gradf = (1, 1) u = 1,1 ( ) u = 2
29 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction f (x, y) = x + y gradf = (1, 1) n u u = 1,1 ( ) u = 2 n = 1 2 1, 1 ( )
30 Gradient et dérivée dans une direction Calculer le taux de variation de f dans une direction quelconque Finding the rate of f in any direction f (x, y) = x + y gradf = (1, 1) n u u = 1,1 ( ) u = 2 n = 1 ( 1, 1 ) 2 Df n (1,0) = = 2 2
31 Gradient et dérivée dans une direction Rappels vector orthogonal to the level curve of f at (x,y) the gradient vector points in the direction of greatest increase gives the maximum rate of change that occurs at (x,y)
32 Gradient et dérivée dans une direction Rappels gradf (x, y) est un vecteur orthogonal à l équipotentielle de f passant par (x,y) vector orthogonal to the level curve of f at (x,y) the gradient vector points in the direction of greatest increase gives the maximum rate of change that occurs at (x,y)
33 Gradient et dérivée dans une direction Rappels gradf (x, y) est un vecteur orthogonal à l équipotentielle de f passant par (x,y) sa direction indique la ligne de plus grande pente au point (x,y) the gradient vector points in the direction of greatest increase vector orthogonal to the level curve of f at (x,y) gives the maximum rate of change that occurs at (x,y)
34 Gradient et dérivée dans une direction Rappels gradf (x, y) est un vecteur orthogonal à l équipotentielle de f passant par (x,y) sa direction indique la ligne de plus grande pente au point (x,y) the gradient vector points in the direction of greatest increase gradf (x, y) est le taux de variation maximal au point (x,y) gives the maximum rate of change that occurs at (x,y) vector orthogonal to the level curve of f at (x,y)
35 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (1) f : 3 (champ scalaire)
36 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (1) f : 3 (champ scalaire) gradf (x, y, z) = z f, f, f x y (champ vectoriel)
37 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (2) v : 3 3 (champ vectoriel) ( ) v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z
38 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (2) v : 3 3 (champ vectoriel) ( ) v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z v x x v x y v x z ( ) grad v x
39 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (2) v : 3 3 (champ vectoriel) ( ) v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z v x x v x y v x z ( ) ( v y v y v y ) grad x y z v y
40 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (2) v : 3 3 (champ vectoriel) ( ) v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z v x x v x y v x z ( ) v y x v z x v y y v z y v y ( ) z v z z ( ) grad v z
41 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (2) v : 3 3 (champ vectoriel) ( ) v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z v x x v y x v z x v x y v y y v z y v x z ( ) v y ( ) z v z z ( )
42 Gradient et dérivée dans une direction Généralisation (2) v : 3 3 (champ vectoriel) ( ) v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z v x x v x y v x z grad v(x, y, z) = v y x v y y v y z v z x v z y v z z (champ matriciel)
43 Gradient et dérivée dans une direction En notation indicielle f : 3 (x 1, x 2, x 3 ) f (x 1, x 2, x 3 ) ( ) gradf = f j x j j=1,2,3
44 Gradient et dérivée dans une direction En notation indicielle f : 3 (x 1, x 2, x 3 ) f (x 1, x 2, x 3 ) v : 3 3 ( ) gradf = f j x j j=1,2,3 (x 1, x 2, x 3 ) ( v 1 (x 1, x 2, x 3 ), v 2 (x 1, x 2, x 3 ), v 3 (x 1, x 2, x 3 )) ( ) grad v = v ij x i j i=1,2,3 j=1,2,3
45 Gradient et dérivée dans une direction Exercices Calculer le gradient de f : (x, y, z) x 3 y 2 2yz Calculer le gradient de F : (x, y, z) ax + by + cz, x 2 + sin z, xe y 1 ( )
46 Divergence v : 3 3 (champ vectoriel) ( ) v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z un champ de vecteurs dérivable. La divergence de v est le champ scalaire défini par div v = v v x + y + v z x y z (champ scalaire)
47 Divergence Exercice Calculer la divergence de F : (x, y, z) ax + by + cz, x sin y, ze y x ( )
48 Divergence Exemple 1 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) x
49 Divergence Exemple 1 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) x
50 Divergence Exemple 1 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) div v = 2 x
51 Divergence Exemple 1 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) div v = 2 Quand en un point div v > 0, on dit que c est une «source». x
52 Divergence Exemple 2 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) x
53 Divergence Exemple 2 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) div v = 2 x
54 Divergence Exemple 2 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) div v = 2 Quand en un point div v < 0, on dit que c est un «puits». x
55 Divergence Exemple 3 y v(x, y, z) = y, x, 0 ( ) x
56 Divergence Exemple 3 y v(x, y, z) = y, x, 0 ( ) x
57 Divergence Exemple 3 y v(x, y, z) = y, x, 0 ( ) div v = 0 x
58 Divergence Exemple 3 y v(x, y, z) = y, x, 0 ( ) div v = 0 Quand div v = 0, on dit que le champ est incompressible. x
59 Divergence Remarque La plupart des lois de conservation (bilan) font intervenir la divergence d une grandeur. Exemple : exprimer la conservation de la masse d un élément de fluide incompressible de masse volumique ρ.
60 Divergence dy v + δv Au cours du temps dt, la masse de fluide qui dz x v x+dx «rentre» par la «gauche» est «sort» par la «droite» est
61 Divergence Au cours du temps dt, la masse de fluide qui dz x dy vx v x+dx v + δv «rentre» par la «gauche» est «sort» par la «droite» est
62 Divergence Au cours du temps dt, la masse de fluide qui dz x dy vx v x+dx v + δv «rentre» par la «gauche» est «sort» par la «droite» est ρ dy dz dt v x
63 Divergence dy v + δv Au cours du temps dt, dz vx v vx+δvx la masse de fluide qui x x+dx «rentre» par la «gauche» est «sort» par la «droite» est ρ dy dz dt v x
64 Divergence dy v + δv Au cours du temps dt, dz vx v vx+δvx la masse de fluide qui x x+dx «rentre» par la «gauche» est «sort» par la «droite» est ρ dy dz dt v x ρ dy dz dt (v x + δv x )
65 Divergence dy v + δv Au cours du temps dt, dz vx v vx+δvx la masse de fluide qui x x+dx «rentre» par la «gauche» est «sort» par la «droite» est ρ dy dz dt v x ρ dy dz dt (v x + δv x ) avec δv = grad v (1,0,0) x x taux de variation selon Ox dx = v x x dx
66 Divergence v + δv z+dz Au cours du temps dt, la masse de fluide qui z v dx dy «rentre» par «sort» par le «bas» le «haut» ρ dx dy dt v z ρ dx dy dt (v z + δv z )
67 Divergence v + δv z+dz Au cours du temps dt, la masse de fluide qui z v dx dy «rentre» par «sort» par vz le «bas» le «haut» ρ dx dy dt v z ρ dx dy dt (v z + δv z )
68 Divergence vz+δvz v + δv z+dz Au cours du temps dt, la masse de fluide qui z v dx dy «rentre» par «sort» par vz le «bas» le «haut» ρ dx dy dt v z ρ dx dy dt (v z + δv z )
69 Divergence vz+δvz v + δv Au cours du temps dt, la masse de fluide qui z+dz z v dx dy «rentre» par le «bas» «sort» par le «haut» vz ρ dx dy dt v z ρ dx dy dt (v z + δv z ) avec δv = grad v (0,0,1) z z taux de variation selon Oz dz = v z z dz
70 Divergence Finalement, en égalant la masse du fluide qui est entrée à celle qui est sortie durant le temps dt (conservation) on obtient : ( ) = 0 ρ dt dy dz δv x + dx dz δv y + dx dy δv z
71 Divergence Finalement, en égalant la masse du fluide qui est entrée à celle qui est sortie durant le temps dt (conservation) on obtient : ( ) = 0 ρ dt dy dz δv x + dx dz δv y + dx dy δv z Mais δv x = v x x dx δv y = v y y dy δv z = v z z dz
72 Divergence Finalement, en égalant la masse du fluide qui est entrée à celle qui est sortie durant le temps dt (conservation) on obtient : ( ) = 0 ρ dt dy dz δv x + dx dz δv y + dx dy δv z Mais δv x = v x x dx δv y = v y y dy δv z = v z z dz D où v x x + v y y + v z z = div v = 0 (conservation de la masse pour un fluide incompressible)
73 Divergence Exercice : établir de la même façon l équation de conservation de la chaleur en régime stationnaire div q = r où q est le vecteur flux de chaleur et r la production de chaleur interne (volumique).
74 Divergence Généralisation Soit un champ matriciel (on dit aussi tensoriel) A : (x, y, z) A 11 (x, y, z) A 12 (x, y, z) A 13 (x, y, z) A 21 (x, y, z) A 22 (x, y, z) A 23 (x, y, z) A 21 (x, y, z) A 32 (x, y, z) A 33 (x, y, z) Sa divergence est un champ vectoriel.
75 Divergence En coordonnées cartésiennes, on a div A = A 11 x + A 12 y + A 13 z A 21 x + A 22 y + A 23 z A 31 x + A 32 y + A 33 z
76 Divergence En coordonnées cartésiennes, on a div A = A 11 x + A 12 y + A 13 z A 21 x + A 22 y + A 23 z A 31 x + A 32 y + A 33 z divergence du vecteur 1 re ligne de A
77 Divergence En coordonnées cartésiennes, on a div A = A 11 x + A 12 y + A 13 z A 21 x + A 22 y + A 23 z A 31 x + A 32 y + A 33 z divergence du vecteur 1 re ligne de A divergence du vecteur 2 e ligne de A
78 Divergence En coordonnées cartésiennes, on a div A = A 11 x + A 12 y + A 13 z A 21 x + A 22 y + A 23 z A 31 x + A 32 y + A 33 z divergence du vecteur 1 re ligne de A divergence du vecteur 2 e ligne de A divergence du vecteur 3 e ligne de A
79 Gradient et dérivée dans une direction Exercice Calculer la divergence de x 2 y y 2z + x A : (x, y, z) y y 2 z z 2z + x z z 2 x
80 Divergence À retenir La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire the divergence of a vector field is a scalar field La divergence d'un champ matriciel est un champ vectoriel the divergence of a matrix field is a vector field
81 Rotationnel Curl v : 3 3 v(x, y, z) = v (x, y, z), v (x, y, z), v (x, y, z) x y z un champ vectoriel dérivable. Le rotationnel de ( ) v est le champ vectoriel défini par The curl of the vector field v is a vector field given by rot v = v z y v y z, v x z v z x, v y v x x y
82 Rotationnel Exemple 1 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) x
83 Rotationnel Exemple 1 y v(x, y, z) = x, y, 0 ( ) rot v = (0, 0, 0) x
84 Rotationnel Exemple 2 y v(x, y, z) = y, x, 0 ( ) x
85 Rotationnel Exemple 2 y v(x, y, z) = y, x, 0 ( ) rot v = (0, 0, 2) x
86 L opérateur Les trois opérateurs grad, div et rot, peuvent s écrire à l aide du seul symbole («nabla») = x y z
87 L opérateur grad f = f = x y z f = f x f y f z
88 L opérateur grad f = f = x y z f = f x f y f z div v = v = produit scalaire x y z v v x y v z ( )
89 L opérateur grad f = f = x y z f = f x f y f z div v = v = produit scalaire x y z v v x y v z ( ) rot v = v = x y z v v x y v z ( ) produit vectoriel
90 L opérateur Exercice f étant un champ scalaire de R 3 et v un champ vectoriel de R 3 dans R 3, les opérations suivantes ont-elles du sens? Si oui, quelle est la nature du champ résultant (scalaire, vectoriel, etc.) : 1) f (= rot(grad f )) 2) v (= rot(div v)) 3) f (= div(grad f ))
91 Remarques finales grad, div, rot sont des opérateurs qui peuvent agir sur des champs de différentes natures (scalaire, vectorielle, matricielle). grad augmente l ordre tensoriel : un champ scalaire devient vectoriel, un champ vectoriel devient matriciel, etc. div diminue l ordre tensoriel : un champ matriciel devient vectoriel, un champ vectoriel devient scalaire. rot ne modifie pas l ordre tensoriel.
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