Annales : fonctions

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1 Annales -5 : fonctions Annales -5. : fonctions Annee E. correction Antilles 7 6 C. Soit f la fonction définie sur [ ; + [ par 5 4 f () = e. 3 (a) Déterminer la limite de la fonction f en + et étudier le sens de variation de f. (b) Démontrer que l'équation f () = admet une unique solution α sur l'intervalle [ ; + [. Déterminer une valeur approchée de α à près. (c) Déterminer le signe de f () suivant les valeurs de. M N Γ. On note C la courbe représentative de la fonction eponentielle et Γ celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O; ı, ȷ ). Les courbes C et Γ sont donnée en annee. Soit un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d'abscisse et N le point de Γ d'abscisse. On rappelle que pour tout réel strictement positif, e > ln(). (a) Montrer que la longueur MN est minimale lorsque = α. Donner une valeur approchée de cette longueur minimale à près. (b) En utilisant la question., montrer que e α =. En déduire que la tangente à C au point α d'abscisse α et la tangente à Γ au point d'abscisse α sont parallèles. 3. (a) Soit h la fonction définie sur ] ; + [ par h() = ln(). Montrer que la fonction h est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ] ; + [. (b) Calculer la valeur eacte, puis une valeur approchée à près, de l'aire (eprimée en unités d'aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en annee. Page

2 Annales -5 : fonctions E. correction Asie Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; ı, ȷ ).. Étude d'une fonction f On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] ; + [ par : f () = ln. (c) Tracer sur le graphique de l'annee (à rendre avec la copie) la courbe C g. 4. On désigne par A l'aire, eprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée, d'une part par les courbes C f et C g, et d'autre part par les droites d'équations respectives = et = e. En eprimant l'aire A comme différence de deu aires que l'on précisera, calculer l'aire A. Annee On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ] ; + [. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ( O; ı, ȷ ). La courbe C f est représentée en annee (à rendre avec la copie). (a) Déterminer les limites de la fonction f en et en +. (b) Calculer la dérivée f de la fonction f. (c) En déduire les variations de la fonction f.. Étude d'une fonction g On considère la fonction g définie sur l'intervalle ] ; + [ par :,6,5,4,3,, C f (ln ) g () =. On note C g la courbe représentative de la fonction g dans le repère ( O; ı, ȷ ). (a) Déterminer la limite de g en, puis en +. Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation : (b) Calculer la dérivée g de la fonction g. (ln ) (c) Dresser le tableau de variation de la fonction g. ( ) ln = (a) Démontrer que les courbes C f et C g possèdent deu points communs dont on précisera les coordonnées. (b) Étudier la position relative des courbes C f et C g. O,,,3,4 5 5 Page

3 Annales -5 : fonctions E 3. correction La Réunion Soit f la fonction définie sur R par 4e f () = e +. On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O; ı, ȷ ). Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe C. Elle coupe l'ae des abscisses au points A et B. (b) Donner le signe de f () selon les valeurs de. Partie B L'objet de cette partie est d'étudier quelques propriétés de la fonction F définie sur R par : F() = f (t)dt.. Déterminer les variations de la fonction F sur R.. Interpréter géométriquement le réel F(a). En déduire que a F(a). C ȷ 3. On cherche la limite éventuelle de F en +. B O ı A (a) Démontrer que pour tout réel positif t, f (t) 4e t. (b) En déduire que pour tout réel positif, F() 4 et déterminer la limite de F() lorsque tend vers +. Partie A L'objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction f que l'on peut conjecturer à partir du graphique. 4. Dans cette question. toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer la limite de F() lorsque tend vers.. La fonction f semble croissante sur l'intervalle [ ; + [. (a) Vérifier que pour tout réel, f () = 4e ( e ) ( e + ). (b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ ; + [.. La droite d'équation = semble être un ae de symétrie de la courbe C. Démontrer que cette conjecture est vraie. 3. On désigne par a l'abscisse du point A et on pose c = e a. (a) Démontrer que le réel c est une solution de l'équation 4 + =. En déduire la valeur eacte de a. Page 3

4 Annales -5 : fonctions E 4. correction Pondichéry Partie I Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C et C représentatives de deu fonctions f et f définies sur l'intervalle ] ; + [. 3 C Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est eacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.. La limite quand tend vers de f () est : + On ne peut pas conclure. La limite quand tend vers + de f () est :, On ne peut pas conclure 3. En +, C admet une asymptote oblique : Oui Non On ne peut pas conclure 4. Le tableau de signes de f () f () est : C f () f () + f () f () f () f () + On sait que : O 3 4 Partie II On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] ; + [ par f () = ln() +.. Déterminer les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition. l'ae des ordonnées est asymptote au courbes C et C l'ae des abscisses est asymptote à la courbe C. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle ] ; + [. 3. En déduire le signe de f () lorsque décrit l'intervalle ] ; + [. la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ] ; + [ la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ] ; + [ 4. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle ] ; + [ par F() = ln ln est une primitive de la fonction f sur cet intervalle. la limite quand tend vers + de f () est Démontrer que la fonction F est strictement croissante sur l'intervalle ] ; + [. Page 4

5 Annales -5 : fonctions 6. Montrer que l'équation F() = admet une unique solution dans l'intervalle ] ; + [ qu'on e note α. 7. Donner un encadrement de α d'amplitude.. P est le point d'intersection des courbes C g et C h. Justifier que les coordonnées du point P sont ( ; ). 3. On note A l'aire du domaine délimité par les courbes C g, C h et les droites d'équations respectives = e et = (domaine grisé sur le graphique). Partie III Soit g et h les fonctions définies sur l'intervalle ] ; + [ par : g () = et h() = ln() +. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C g représentatives des fonctions g et h. et C h (a) Eprimer l'aire A à l'aide de la fonction f définie dans la partie II. (b) Montrer que A = e. 4. Soit t un nombre réel de l'intervalle ] ; + [. On note B t l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives =, = t et les courbes C g et C h (domaine hachuré sur le graphique). On souhaite déterminer une valeur de t telle que A = B t. 3 C h (a) Montrer que B t = t ln(t) ln(t). (b) Conclure. P C g O A t 3 4. A est le point d'intersection de la courbe C h et de l'ae des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A. Page 5

6 Annales -5 : fonctions E 5. correction Amerique du Nord Partie A Restitution organisée des connaissances ep On rappelle que lim t t + t = +. ln() Démontrer que lim + =. Partie B On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par f () = ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O; ı, ȷ ).. Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par g () = + ln(). Montrer que la fonction g est positive sur [ ; + [.. (a) Montrer que, pour tout de [ ; + [, f () = g (). (b) En déduire le sens de variation de f sur [ ; + [. (c) Montrer que la droite D d'équation y = est une asymptote à la courbe C. (d) Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D. 3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à, on note respectivement M k et N k les points d'abscisse k de C et D. (a) Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à, la distance M k N k entre les points M k et N k est donnée par M k N k = ln(k). k (b) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k supérieur ou égal à tel que la distance M k N k soit inférieure ou égale à. Page 6

7 Annales -5 : fonctions E 6. correction Centres Étrangers On considère l'équation (E) d'inconnue réelle : e = 3 ( + 3). Partie A : Conjecture graphique Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction eponentielle et celle de la fonction f définie sur R par f () = 3 ( + 3) telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique. (a) Étudier selon les valeurs de, le signe de + 3. (b) En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle ] ; ]. (c) Vérifier que n'est pas solution de (E).. On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de ] ; [ ] ; + [ par : h() = ln3 + ln ( ) + ln( + ). Montrer que, sur ] ; [ ] ; + [, l'équation (E) équivaut à h() =. 3. (a) Montrer que, pour tout réel appartenant à ] ; [ ] ; + [, on a : (b) Déterminer les variations de la fonction h. h () = + +. ( + ) (c) Déterminer le nombre de solutions de l'équation h() = et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution. (d) Conclure quant à la conjecture de la partie A À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deu entiers consécutifs. Page 7

8 Annales -5 : fonctions E 7. correction Métropole Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O; ı, ȷ ). On considère une fonction f dérivable sur l'intervalle [ 3 ; ]. On dispose des informations suivantes : f () =. la dérivée f de la fonction f admet la courbe représentative C ci -dessous. ȷ O ı C Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.. Pour tout réel de l'intervalle [ 3, ], f ().. La fonction f est croissante sur l'intervalle [ ; ]. 3. Pour tout réel de l'intervalle [ 3 ; ], f (). 4. Soit C la courbe représentative de la fonction f. La tangente à la courbe C au point d'abscisse passe par le point de coordonnées ( ; ). Page 8

9 Annales -5 : fonctions E 8. correction Amerique du Nord 3 Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] ; + [ par f () = + ln() et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous : C (b) Résoudre sur l'intervalle ] ; + [ l'inéquation ln() >. En déduire le signe de f () sur l'intervalle ] ; + [. (c) Dresser le tableau des variations de la fonction f. 3. (a) Démontrer que la courbe C a un unique point d'intersection avec l'ae des abscisses, dont on précisera les coordonnées. (b) En déduire le signe de f () sur l'intervalle ] ; + [. 4. Pour tout entier n, on note I n l'aire, eprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'ae des abscisses, la courbe C et les droites d'équations respectives = e et = n. (a) Démontrer que I e. O 3 ln() On admet que la fonction F, définie sur l'intervalle ] ; + [ par F() =,est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ] ; + [. (b) Calculer I n en fonction de n. (c) Étudier la limite de I n en +. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.. (a) Étudier la limite de f en. ln() (b) Que vaut lim? En déduire la limite de la fonction f en +. + (c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C.. (a) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ] ; + [. Démontrer que, pour tout réel appartenant à l'intervalle ] ; + [, f () = ln() 3. Page 9

10 Annales -5 : fonctions E 9. correction Amerique du Sud 3 Partie A Soit f la fonction définie sur R par f () = e.. Vérifier que pour tout réel, f () = e e.. Déterminer la limite de la fonction f en. 3. Déterminer la limite de la fonction f en +. Interpréter graphiquement cette limite. 4. Déterminer la dérivée de la fonction f. 5. Étudier les variations de la fonction f sur R puis dresser le tableau de variation. Partie B Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions g n et h n définies sur R par : g n () = n et h n () = n n.. Vérifier que, pour tout réel : ( )g n () = n+. On obtient alors, pour tout réel : g n () = n+. Comparer les fonctions h n et g n, g n étant la dérivée de la fonction g n. En déduire que, pour tout réel : h n () = nn+ (n + ) n + ( ). 3. Soit S n = f () + f () f (n), f étant la fonction définie dans la partie A. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une epression de S n puis sa limite quand n tend vers +.. Page

11 Annales -5 : fonctions E. correction Asie 3 On considère les fonctions f et g définies pour tout réel par : f () = e et g () = e. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et C g, sont fournies en annee. Partie A Ces courbes semblent admettre deu tangentes communes. Tracer au mieu ces tangentes sur la figure de l'annee. (c) Dresser le tableau de variation de la fonction φ sur R. Préciser la valeur de φ().. (a) Démontrer que l'équation φ() = admet eactement deu solutions dans R. (b) On note α la solution négative de l'équation φ() = et β la solution positive de cette équation. À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de α et β arrondies au centième. Partie B Dans cette partie, on admet l'eistence de ces tangentes communes. On note D l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d'abscisse a et tangente à la courbe C g au point B d'abscisse b.. (a) Eprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A. (b) Eprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B. (c) En déduire que b = a.. Démontrer que le réel a est solution de l'équation Partie D Dans cette partie, on démontre l'eistence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbe C f d'abscisse α et F le point de la courbe C g d'abscisse α ( α est le nombre réel défini dans la partie C). ( )e + =. Partie C. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe C f au point E. On considère la fonction φ définie sur R par φ() = ( )e +.. Démontrer que (EF) est tangente à C g au point F.. (a) Calculer les limites de la fonction φ en et +. (b) Calculer la dérivée de la fonction φ, puis étudier son signe. Annee à rendre avec la copie Page

12 Annales -5 : fonctions 5 4 C f 3 C g O Page

13 Annales -5 : fonctions E. correction Antilles 3 Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque. Partie A Soit f la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels R telle que : f () = ( + )ep.. Calculer la limite de f en + et.. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que pour tout réel, f () = ( + )ep. 3. Dresser le tableau de variation de f sur R. 4 3 Annee à rendre avec la copie Partie B On définie la fonction g m sur R par : g m () = + m ep et on note C m la courbe de la fonction g m dans un repère ( O; ı, ȷ ) du plan.. (a) Démontrer que g m () = si et seulement si f () = m. (b) Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe C m avec l'ae des abscisses en fonction du réel m. Courbe. On a représenté en annee les courbes C, C ep, et C ep (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs, ep et ep ). Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annee en justifiant Étudier la position de la courbe C m par rapport à la droite D d'équation y = + suivant les valeurs du réel m. 4. (a) On appelle D la partie du plan comprise entre les courbes C ep, C ep, l'ae (Oy) et la droite =. Hachurer D sur l'annee. (b) Dans cette question, a désigne un réel positif, D a la partie du plan comprise entre C ep, C ep, l'ae (Oy) et la droite a d'équation = a. On désigne par A(a) l'aire de cette partie du plan, eprimée en unités d'aire. Démontrer que pour tout réel a positif : A(a) = ep ep a. En déduire la limite de A(a) quand a tend vers +. Courbe 3 Page 3

14 Annales -5 : fonctions E. correction Antilles septembre 3,6 T la fonction définie et dérivable sur l'en- Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k semble des nombres réels R telle que :,4 C f k () = ke k., C b On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal ( O; ı, ȷ ). C a Partie A : Étude du cas k = On considère donc la fonction f définie sur R par,,,4,6,8,, f () = e.. Déterminer les limites de la fonction f en et en +. En déduire que la courbe C admet une asymptote que l'on précisera.. Étudier les variations de f sur R puis dresser son tableau de variation sur R. 3. Démontrer que la fonction g définie et dérivable sur R telle que : est une primitive de la fonction f sur R. g () = ( + )e 4. Étudier le signe de f () suivant les valeurs du nombre réel.. Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes C k passent par un même point.. (a) Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel on a f k () = k( k)e k. (b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, f k admet un maimum et calculer ce maimum. (c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et. Epliquer la démarche. (d) Écrire une équation de la tangente à C k au point O origine du repère. (e) En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de b. 5. Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'ae des abscisses et les droites d'équation = et = ln. Partie B : Propriétés graphiques On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C, C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs fiés et T la tangente à C b au point O origine du repère. Page 4

15 Annales -5 : fonctions E 3. correction Centres Étrangers 3 On considère la fonction g définie pour tout réel de l'intervalle [ ; ] par : g () = + e. On admet que, pour tout réel de l'intervalle [ ; ], g () >. On note C la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, et D le domaine plan compris d'une part entre l'ae des abscisses et la courbe C, d'autre part entre les droites d'équation = et =. La courbe C et le domaine D sont représentés ci-contre. Le but de cet eercice est de partager le domaine D en deu domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'ae des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'ae des abscisses (partie B). y D C (b) Eprimer A en fonction de a.. Soit f la fonction définie pour tout réel de l'intervalle [ ; ] par : f () = e + e. (a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [ ; ]. On précisera les valeurs eactes de f () et f (). (b) Démontrer que la fonction f s'annule une fois et une seule sur l'intervalle [ ; ]. en un réel α. Donner la valeur de α arrondie au centième. 3. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A et A sont égales. Partie B Soit b un réel positif. Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deu domaines de même aire par la droite d'équation y = b. On admet qu'il eiste un unique réel b positif solution.. Justifier l'inégalité b < +. On pourra utiliser un argument graphique. e. Déterminer la valeur eacte du réel b. Partie A y Soit a un réel tel que a. On note A l'aire du domaine compris entre la courbe C, l'ae (O),les droites d'équation = et = a, puis A celle du domaine compris entre la courbe C, (O) et les droites d'équation = a et =. A et A sont eprimées en unités d'aire. A A C a. (a) Démontrer que A = a e a +. Page 5

16 Annales -5 : fonctions E 4. correction Liban 3 Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction f k définie sur R par f k () = Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O; ı, ȷ ). +e k. Partie A Dans cette partie on choisit k =. On a donc, pour tout réel, f () = +e. La représentation graphique C de la fonction f dans le repère ( O; ı, ȷ ) est donnée en AN- NEXE, à rendre avec la copie.. Déterminer les limites de f () en + et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus.. Démontrer que, pour tout réel, f () = e +e. 3. On appelle f la fonction dérivée de f sur R. Calculer, pour tout réel, f (). En déduire les variations de la fonction f sur R. 3. Tracer la courbe C sur l'annexe, à rendre avec la copie. 4. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes C, C l'ae des ordonnées et la droite d'équation =. Partie C Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.. Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction f k est strictement comprise entre les droites d'équations y = et y =.. Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction f k est strictement croissante. ( ) 3. Pour tout réel k, f k,99. ANNEXE, à rendre avec la copie Représentation graphique C de la fonction f 4. On définit le nombre I = f ()d. ( ) +e Montrer que I = ln. Donner une interprétation graphique de I. C ȷ Partie B Dans cette partie, on choisit k = et on souhaite tracer la courbe C représentant la fonction f. Pour tout réel, on appelle P le point de C d'abscisse et M le point de C d'abscisse. On note K le milieu du segment [MP]. 3 O ı 3. Montrer que, pour tout réel, f () + f () =.. En déduire que le point K appartient à la droite d'équation y =. Page 6

17 Annales -5 : fonctions E 5. correction Métropole 3 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O; ı, ȷ ), la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ] ; + [. C B (c) En déduire le tableau de variations de la fonction f. 3. (a) Démontrer que l'équation f () = admet une unique solution α sur l'intervalle ] ; ]. (b) Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il eiste un unique réel β de l'intervalle ] ; + [ tel que f (β) =. Déterminer l'entier n tel que n < β < n On donne l'algorithme ci-dessous. ȷ O ı A On dispose des informations suivantes : les points A, B, C ont pour coordonnées respectives ( ; ), ( ; ), ( ; ) ; la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est tangente à C en B ; il eiste deu réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif, C Variables : a,b et m sont des nombres réels. Initialisation : Affecter à a la valeur. Affecter à b la valeur. Traitement : Tant que b a >, Affecter à m la valeur (a + b). Si f (m) < alors Affecter à a la valeur m. Sinon Affecter à b la valeur m. Fin de Si. Fin de Tant que. Sortie : Afficher a. Afficher b. (a) Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. f () = a + b ln.. (a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f () et f (). (b) Vérifier que pour tout réel strictement positif, f () = (c) En déduire les réels a et b. (b a) b ln.. (a) Justifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle ] ; + [, f () a le même signe que ln. (b) Déterminer les limites de f en et en +. On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif, f () = + ln. étape étape étape 3 étape 4 étape 5 a b b a m (b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme? (c) Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deu bornes d'un encadrement de β d'amplitude. 5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en deu domaines d'aires égales. Page 7

18 Annales -5 : fonctions (a) Justifier que cela revient à démontrer que e f ()d =. (b) En remarquant que l'epression de f () peut s'écrire + ln, terminer la démonstration. Page 8

19 Annales -5 : fonctions E 6. correction Métropole septembre 3 Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère ( O; ı, ȷ ). Partie A Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C, C, C 3 avec la tangente en leur point d'abscisse. C (a) À l'aide de la courbe C, déterminer F () et F ( ). (b) L'une des courbes C, C, C 3 est la courbe représentative de la fonction F. Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deu autres. Partie B Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur R par f () = ( + )e.. L'observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum. (a) Démontrer que pour tout réel, f () = ( + 4)e. (b) En déduire une validation de la conjecture précédente. C d ȷ O ı ȷ O ı d ȷ O ı C O ı. Donner par lecture graphique, le signe de f () selon les valeurs de.. On désigne par F une primitive de la fonction f sur R. C 3 ȷ d 3. On pose I = f ()d. (a) Interpréter géométriquement le réel I. (b) Soient u et v les fonctions définies sur R par u() = et v() = e. Vérifier que f = ( u v + uv ). (c) En déduire la valeur eacte de l'intégrale I. 3. On donne l'algorithme ci-dessous. Variables : k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel. Entrée : Demander à l'utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à s la valeur. Traitement : Pour k allant de à n Fin de boucle. Sortie : Afficher s. Affecter à s la valeur s + n f ( k n ). Page 9

20 Annales -5 : fonctions On note s n le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n. (a) Justifier que s 3 représente l'aire, eprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur. C (b) Que dire de la valeur de s n fournie par l'algorithme proposé lorsque n devient grand? Page

21 Annales -5 : fonctions E 7. correction Nouvelle Calédonie 3 Soit f la fonction dérivable, définie sur l'intervalle ] ; + [ par f () = e +.. Étude d'une fonction auiliaire (a) Soit la fonction g dérivable, définie sur [ ; + [ par Étudier le sens de variation de la fonction g. g () = e. (b) Démontrer qu'il eiste un unique réel a appartenant à [ ; + [ tel que g (a) =. Démontrer que a appartient à l'intervalle [,73 ;,74[. (c) Déterminer le signe de g () sur [ ; + [.. Étude de la fonction f (a) Déterminer les limites de la fonction f en et en +. (b) On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle ] ; + [. Démontrer que pour tout réel strictement positif, f () = g (). (c) En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur l'intervalle ] ; + [. (d) Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel m = a + a. (e) Justifier que 3,43 < m < 3,45. Page

22 Annales -5 : fonctions E 8. correction Polynésie 3 On considère la fonction f définie sur R par C f () = ( + )e. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.. Étude de la fonction f. (a) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe C avec les aes du repère. (b) Étudier les limites de la fonction f en et en +. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe C. O (c) Étudier les variations de f sur R.. Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe. On note D le domaine compris entre l'ae des abscisses, la courbe C et les droites d'équation = et =. On approche l'aire du domaine D en calculant une somme d'aires de rectangles. (a) Dans cette question, on découpe l'intervalle [ ; ] en quatre intervalles de même longueur : Sur l'intervalle [ ; ], on construit un rectangle de hauteur f () 4 [ Sur l'intervalle 4 ; ] ( ), on construit un rectangle de hauteur f 4 [ Sur l'intervalle ; 3 ] ( ), on construit un rectangle de hauteur f 4 Sur l'intervalle Cette construction est illustrée ci-dessous. [ ] 3 4 ;, on construit un rectangle de hauteur f ( ) 3 4 L'algorithme ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents : Variables : k est un nombre entier S est un nombre réel Initialisation : Affecter à S la valeur Traitement : Pour k variant de à 3 Affecter à S la valeur S + ( ) k 4 f 4 Fin Pour Sortie : Afficher S Donner une valeur approchée à 3 près du résultat affiché par cet algorithme. (b) Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à. On découpe l'intervalle [ ; ] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question.a. Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits. 3. Calcul de la valeur eacte de l'aire sous une courbe. Page

23 Annales -5 : fonctions Soit g la fonction définie sur R par g () = ( 3)e. On admet que g est une primitive de la fonction f sur R. (a) Calculer l'aire A du domaine D, eprimée en unités d'aire. (b) Donner une valeur approchée à 3 près de l'erreur commise en remplaçant A par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question. a, c'est-à-dire l'écart entre ces deu valeurs. Page 3

24 Annales -5 : fonctions E 9. correction Pondichéry 3 Partie On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annee représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : 4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f. La vitesse de croissance est maimale pour une valeur de t. En utilisant le graphique donné en annee, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant. Annee a h(t) = + be,4t où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps eprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant, eprimée en mètres. On sait qu'initialement, pour t =, le plant mesure, m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de m. Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. Partie On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [ ; 5] par f (t) = + 9e,4t. Déterminer f (t) en fonction de t ( f désignant la fonction dérivée de la fonction f ). En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle [ ; 5].. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à,5 m. 3. (a) Vérifier que pour tout réel t appartenant à l'intervalle [ ; 5] on a f (t) = e,4t e,4t + 9. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle [ ; 5] par F(t) = 5ln ( e,4t + 9 ) est une primitive de la fonction f. (b) Déterminer la valeur moyenne de f sur l'intervalle [5 ; ]. En donner une valeur approchée à près et interpréter ce résultat.,,8,6,4,,,8,6,4, O hauteur (en mètres) y = temps t (en jours) Page 4

25 Annales -5 : fonctions E. correction Amerique du Nord 4 On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par f () = 5e 3e + 3. On note C f la représentation graphique de la fonction f et D la droite d'équation y = 3 dans un repère orthogonal du plan. Partie A : Positions relatives de C f et D. Hachurer sur le graphique donné en annee (à rendre avec la copie) le domaine dont l'aire est donnée par A().. Justifier que la fonction A est croissante sur l'intervalle [ ; + [. 3. Pour tout réel strictement positif, calculer A(). 4. Eiste-t-il une valeur de telle que A() =? Annee à rendre avec la copie Soit g la fonction définie sur l'intervalle [ ; + [ par g () = f () ( 3).. Justifier que, pour tout réel de l'intervalle [ ; + [, g () >.. La courbe C f et la droite D ont-elles un point commun? Justifier.,,5 C f D Partie B : Étude de la fonction g On note M le point d'abscisse de la courbe C f, N le point d'abscisse de la droite D et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.. Justifier que, pour tout de l'intervalle [ ; + [, la distance MN est égale à g ().. On note g la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle [ ; + [. Pour tout de l'intervalle [ ; + [, calculer g (). 3. Montrer que la fonction g possède un maimum sur l'intervalle [ ; + [ que l'on déterminera. En donner une interprétation graphique. O,5,,5,,5 3, 3 4 Partie C : Étude d'une aire On considère la fonction A définie sur l'intervalle [ ; + [ par A() = [f (t) (t 3)]dt. Page 5

26 Annales -5 : fonctions E. correction Amerique du Sud 4 On désire réaliser un portail comme indiqué à l annee. Chaque vantail mesure mètres de large. Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f l intervalle [ ; ] par ( f () = + ) e 4 + b 4 définie sur Partie C : utilisation d'un algorithme On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur, m, espacées de,5 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annee de l'eercice 4) et le bas de chaque planche à,5 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de : ainsi la première planche à gauche porte le numéro. où b est un nombre réel. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [ ; ].. (a) Calculer f (), pour tout réel appartenant à l'intervalle [ ; ]. (b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ ; ].. Donner l'aire de la planche numéro k.. Déterminer le nombre b pour que la hauteur maimale du portail soit égale à,5 m. Dans la suite la fonction f est définie sur l'intervalle [ ; ] par ( f () = + ) e Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la somme des aires des planches du vantail de droite. Partie B : détermination d'une aire Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à,5 m de hauteur du sol.. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle [ ; ] par est une primitive de la fonction f. ( F() = 4 ) e En déduire l'aire en m de chaque vantail. On donnera la valeur eacte puis une valeur approchée à près de cette aire. (On s'intéresse ici à l'objet «vantail» sans faire référence à son environnement). Variables : Les nombres X et S sont des nombres réels Initialisation : On affecte à S la valeur On affecte à X la valeur Traitement : Tant Que X +,7 <... S prend la valeur S +... X prend la valeur X +,7 Fin de Tant Que Affichage : On affiche S Annee Page 6

27 Annales -5 : fonctions pilier gauche vantail de gauche vantail de droite pilier droit Annee,5,,5 O,5,,5,,5 La distance entre le bas du portail et le sol est de,5 m. Page 7

28 Annales -5 : fonctions E. correction Antilles 4 On considère la fonction f définie et dérivable sur l'ensemble R des nombres réels par f () = + + e. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O; ı, ȷ ). Partie A. Soit H la fonction définie et dérivable sur R par H() = ( )e. Démontrer que H est une primitive sur R de la fonction h définie par h() = e.. On note D le domaine délimité par la courbe C, la droite T et les droites d'équation = et = 3. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine D.. Soit g la fonction définie et dérivable sur l'ensemble R par g () = +e. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R (les limites de g au bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de g ().. Déterminer la limite de f en puis la limite de f en On appelle f la dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que, pour tout réel, f () = e g (). 4. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R. 5. Démontrer que l'équation f () = admet une unique solution réelle α sur R. Démontrer que < α <. 6. (a) Démontrer que la droite T d'équation y = + est tangente à la courbe C au point d'abscisse. (b) Étudier la position relative de la courbe C et de la droite T. Partie B Page 8

29 Annales -5 : fonctions E 3. correction Antilles septembre 4 On considère l'équation (E ) : e n = où est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.. Montrer que l'équation (E ) est équivalente à l'équation (E ) : ln() n =.. Pour quelles valeurs de n l'équation (E ) admet-elle deu solutions? Page 9

30 Annales -5 : fonctions E 4. correction Asie 4 Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale au etrémités, en prenant, comme valeur approchée du nombre a. Une chaîne, suspendue entre deu points d'accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d'une fonction g définie sur [ ; ] par g () = ( e a +e a) a où a est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction g. On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale au etrémités, il faut et il suffit que le réel a soit une solution strictement positive de l'équation ( )e =. Dans la suite, on définit sur [ ; + [ la fonction f par f () = ( )e pour tout réel.. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f. Vérifier que f () = et que lim f () = On note f la fonction dérivée de f. Vérifier que, pour tout réel, f () = 4e. 3. Montrer que, sur l'intervalle [ ; + [ la fonction f s'annule pour une unique valeur, notée. 4. (a) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ ; + [, puis montrer que f () est négatif pour tout réel appartenant à l'intervalle [ ; ]. (b) Calculer f (). En déduire que sur l'intervalle [ ; + [, la fonction f s'annule pour une unique valeur. Si l'on note a cette valeur, déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur de a arrondie au centième. 5. On admet sans démonstration que la longueur L de la chaîne est donnée par l'epression L = ( e a +e a) d. Page 3

31 Annales -5 : fonctions E 5. correction Centres Étrangers 4 Les parties A et B sont indépendantes Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (piels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel de la façon suivante : = pour le blanc ; = pour le noir ; =,; =, et ainsi de suite jusqu'à =,99 par pas de, pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé). L'image A, ci-après, est composée de quatre piels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes. Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites «fonctions de retouche». Une fonction f définie sur l'intervalle [ ; ] est dite «fonction de retouche» si elle possède les quatre propriétés suivantes : f () = ; f () = ; f est continue sur l'intervalle [ ; ] ; f est croissante sur l'intervalle [ ; ]. Une nuance codée est dite assombrie par la fonction f si f () >, et éclaircie, si f () <. Ainsi, si f () =, un piel de nuance codée, prendra la nuance codée, =,4. L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous. Si f () =, la nuance codée, prendra la nuance codée,,45. L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous. Partie A. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ ; ] par : f () = (a) Démontrer que la fonction f est une fonction de retouche. (b) Résoudre graphiquement l'inéquation f (), à l'aide du graphique donné en annee, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles. Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ ; ] par : f () = ln[ + (e )]. On admet que f est une fonction de retouche. On définit sur l'intervalle [ ; ] la fonction g par : g () = f (). (a) Établir que, pour tout de l'intervalle [ ; ] : g (e ) (e ) () = ; + (e ) (b) Déterminer les variations de la fonction g sur l'intervalle [ ; ]. Démontrer que la fonction g admet un maimum en e, maimum dont une valeur arrondie e au centième est,. (c) Établir que l'équation g () =,5 admet sur l'intervalle [ ; ] deu solutions α et β, avec α < β. On admettra que :,8 < α <,9 et que :,85 < β <,86.,,4,4,6,45,63,6,8,36,64,77,89 Image A Image B Image C Partie B On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à,5. Page 3

32 Annales -5 : fonctions. Dans l'algorithme décrit ci-dessous, f désigne une fonction de retouche. Quel est le rôle de cet algorithme?, Variables : (nuance initiale) y (nuance retouchée) E (écart) c (compteur) k Initialisation : c prend la valeur Traitement : Pour k allant de à, faire k prend la valeur y prend la valeur f () E prend la valeur y Si E,5, faire c prend la valeur c + Fin si Fin pour Sortie : Afficher c. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction f définie dans la deuième question de la partie A?. (a) Calculer A f.,5,5, f () = e ( ) f () = (b) Calculer A f Partie C Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche f dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, pour tout réel de l'intervalle [ ; ], f (). On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire A f de la portion de plan comprise entre l'ae des abscisses, la courbe représentative de la fonction f, et les droites d'équations respectives = et =. Entre deu fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image sera celle correspondant à la plus petite aire. On désire comparer l'effet des deu fonctions suivantes, dont on admet qu'elles sont des fonctions de retouche :. De ces deu fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image? Annee Courbe représentative de la fonction f Page 3

33 Annales -5 : fonctions,,5,5, Page 33

34 Annales -5 : fonctions E 6. correction Liban 4 Soit f la fonction définie sur l'intervalle [ ; + [ par f () = e. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Partie A. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [; + [. Pour tout réel de l'intervalle [ ; + [, calculer f (). En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle [ ; + [.. Déterminer la limite de la fonction f en +. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat? Partie B Soit A la fonction définie sur l'intervalle [; + [ de la façon suivante : pour tout réel t de l'intervalle [ ; + [, A(t) est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'ae des abscisses, la courbe C et les droites d'équations = et = t.. Déterminer le sens de variation de la fonction A. (a) On note g la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle [; + [. Pour tout réel de l'intervalle [; + [, calculer g ().,,9,8,7,6,5,4,3,, (b) En déduire, pour tout réel t de l'intervalle [; + [, une epression de A(t). (c) Calculer une valeur approchée à près de A(6). Annee à rendre avec la copie y Représentations graphiques des fonctions f et A 3 4. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe C et l'ae des abscisses est égale à unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction A? 3. On cherche à prouver l'eistence d'un nombre réel α tel que la droite d'équation = α partage le domaine compris entre l'ae des abscisses et la courbe C, en deu parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel. (a) Démontrer que l'équation A(t) = admet une unique solution sur l'intervalle [ ; + [ (b) Sur le graphique fourni en annee (à rendre avec la copie) sont tracées la courbe C, ainsi que la courbe Γ représentant la fonction A. Sur le graphique de l'annee, identifier les courbes C et Γ, puis tracer la droite d'équation y =. En déduire une valeur approchée du réel α. Hachurer le domaine correspondant à A(α). 4. On définit la fonction g sur l'intervalle [; + [ par g () = ( + )e. Page 34

35 Annales -5 : fonctions E 7. correction Métropole septembre 4 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé ( O; ı, ȷ ), une courbe C et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives ( ; ) et ( ; 3).. D'après la question précédente, pour tout réel, f () = + 3e et f () = + 3 ( ) e. (a) Démontrer que pour tout réel de l'intervalle ] ; ], f () >. B 3 (b) Démontrer que pour tout réel inférieur ou égal à, f () >. (c) Démontrer qu'il eiste un unique réel c de l'intervalle [ 3 ] ; tel que f (c) =. ȷ A Justifier que c < On désigne par A l'aire, eprimée en unités d'aire, du domaine défini par : O ı c et y f (). (a) Écrire A sous la forme d'une intégrale. C (b) On admet que l'intégrale I = 3 Calculer la valeur eacte de l'intégrale I. f ()d est une valeur approchée de A à 3 près. On désigne par f la fonction dérivable sur R dont la courbe représentative est C. On suppose, de plus, qu'il eiste un réel a tel que pour tout réel, f () = + + ae.. (a) Justifier que la courbe C passe par le point A. (b) Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB). (c) Démontrer que pour tout réel, f () = a ( ) e. (d) On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe C au point A. Déterminer la valeur du réel a. Page 35

36 Annales -5 : fonctions E 8. correction Polynésie 4 Soient f et g les fonctions définies sur R par f () = e et g () = e. On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.. Démontrer que les courbes C f et C g ont un point commun d'abscisse et qu'en ce point, elles ont la même tangente dont on déterminera une équation.. Étude de la position relative de la courbe C g et de la droite Soit h la fonction définie sur R par h() = e. (a) Déterminer la limite de la fonction h en. (b) ( ) e Justifier que, pour tout réel,h() =. En déduire la limite de la fonction h en +. (c) On note h la fonction dérivée de la fonction h sur R. Pour tout réel, calculer h () et étudier le signe de h () suivant les valeurs de. (d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R. (e) En déduire que, pour tout réel, e +. (f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe C g et de la droite? 3. Étude de la position relative des courbes C f et C g (a) Pour tout réel, développer l'epression ( e ). (b) Déterminer la position relative des courbes C f et C g. 4. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes C f et C g et les droites d'équations respectives = et =. Page 36

37 Annales -5 : fonctions E 9. correction Pondichéry 4 C 9 8 Partie A f est une fonction définie et dérivable sur R. f est la fonction dérivée de la fonction f. Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme C la courbe représentative de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f. Le point A de coordonnées ( ; ) appartient à la courbe C. Le point B de coordonnées ( ; ) appartient à la courbe C C. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C de la fonction f. Sur l'une d'entre elles, la courbe C de la fonction dérivée f est tracée convenablement. Laquelle? Epliquer le choi effectué Déterminer l'équation réduite de la droite tangente à la courbe C en A. O Situation Situation ( C est une droite) 3. On sait que pour tout réel, f () = e + a + b où a et b sont deu nombres réels. (a) Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé. 3 C O C C O 3 4 C (b) Prouver que a =. 4. Étudier les variations de la fonction f sur R. 5. Déterminer la limite de la fonction f en +. Partie B Soit g la fonction définie sur R par g () = f () ( + ).. (a) Montrer que la fonction g admet comme minimum sur R. Situation 3 (b) En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite. Page 37

38 Annales -5 : fonctions La figure ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe C et de la droite, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris. G F C ȷ D O ı E Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : - D est le point de coordonnées ( ; ), - E est le point de coordonnées ( ; ), - F est le point d'abscisse de la courbe C, - G est le point d'abscisse de la courbe C. La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite, la courbe C, la droite d'équation = et la droite d'équation =.. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur eacte puis la valeur arrondie à du résultat). Page 38

39 Annales -5 : fonctions E 3. correction AmeriqueNordS5-eo-4.te Partie A Soit u la fonction définie sur ] ; + [ par u() = ln() Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l'intervalle ] ; + [.. On admet que la fonction H définie sur l'intervalle ] ; + [ par H() = [ln()] est une primitive de la fonction h définie sur l'intervalle ] ; + [ par h() = ln(). e ln Calculer I = d. Interpréter graphiquement ce résultat.. Démontrer que l'équation u() = admet une unique solution α comprise entre et En déduire le signe de u() en fonction de. Partie B Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] ; + [ par ( f () = ) [ln() ] +. On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.. Déterminer la limite de la fonction f en.. (a) Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle ] ; + [, f () = u() où u est la fonction définie dans la partie A. (b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] ; + [. Partie C Soit C la courbe d'équation y = ln().. Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle ] ; + [, f () ln() = ln(). En déduire que les courbes C et C ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. Page 39

40 Annales -5 : fonctions E 3. correction Antilles 5 Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] ; + [ par f () = ln. Pour tout réel a strictement positif, on définit sur ] ; + [ la fonction g a par g a () = a. On note C la courbe représentative de la fonction f et Γ a celle de la fonction g a dans un repère du plan. Le but de l'eercice est d'étudier l'intersection des courbes C et Γ a suivant les valeurs du réel strictement positif a. Partie A On a construit en annee (à rendre avec la copie) les courbes C, Γ,5, Γ,, Γ,9 et Γ,4.. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de C et Γ a suivant les valeurs (à préciser) du réel a. (b) h a () + h a () a + ln(a) Rappeler la limite de ln en +. En déduire la limite de la fonction h a en +. On ne demande pas de justifier la limite de h a en. 3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a =,. (a) Justifier que, dans l'intervalle ] ; ],, l'équation h, () = admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle ] [, ; +. Partie B (b) Quel est le nombre de points d'intersection de C et Γ,? Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction h a par définie sur l'intervalle ] ; + [ 4. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a = e. h a () = ln a.. Justifier que est l'abscisse d'un point M appartenant à l'intersection de C et Γ a si et seulement si h a () =.. (a) On admet que la fonction h a est dérivable sur ] ; + [, et on note h a la dérivée de la fonction h a sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction h a est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de h a () pour appartenant à ] ; + [. (a) Déterminer la valeur du maimum de h e. (b) En déduire le nombre de points d'intersection des courbes C et Γ e. Justifier. 5. Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles C et Γ a n'ont aucun point d'intersection? Justifier. ANNEXE à rendre avec la copie Page 4

41 Annales -5 : fonctions Page 4

42 Annales -5 : fonctions E 3. correction Centres Étrangers 5 Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité Les parties A et B sont indépendantes Le fabricant de cadenas de la marque «K» désire imprimer un logo pour son entreprise. Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C et C suivantes : Condition C : la lettre K doit être constituée de trois lignes : une des lignes est le segment [AD] ; une deuième ligne a pour etrémités le point A et un point E du segment [DC] ; la troisième ligne a pour etrémité le point B et un point G situé sur la deuième ligne. Condition C : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre,3 et,4, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les figures ci-après. Un atelier de design propose deu dessins possibles, représentés ci-dessous : D E C D E C Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : r = s = t = 3. Déterminer les coordonnées des points E et G. Partie B : étude de la proposition B Cette proposition est caractérisée par les deu modalités suivantes : la ligne d'etrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel par : f () = ln( + ) ; la ligne d'etrémités B et G est une portion ( de ) la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel > par : g () = k, où k est un réel positif qui sera déterminé.. (a) Déterminer l'abscisse du point E. (b) Déterminer la valeur du réel k, sachant que l'abscisse du point G est égale à,5.. (a) Démontrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie pour tout réel par : (b) Démontrer que r = e. F() = ( +,5) ln( + ). r 3. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle ] : + [. G s t r G t 4. On admet que les résultats précédents permettent d'établir que s = [ln()] + ln(). La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant? s A B A B Proposition A Proposition B Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé (A ; AB, ) AD. Partie A : étude de la proposition A Page 4

43 Annales -5 : fonctions E 33. correction Liban 5 On considère la courbe C d'équation y = e, tracée ci-dessous Pour tout réel m strictement positif, on note D m la droite d'équation y = m.. Dans cette question, on choisit m = e. Démontrer que la droite D e, d'équation y = e, est tangente à la courbe C en son point d'abscisse.. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d'intersection de la courbe C et de la droite D m. 3. Démontrer cette conjecture. Page 43

44 TS Annales -5 : fonctions E 34. correction Métropole 5 Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune. B C Le dessin ci-contre en fournit une perspective B A cavalière. Les quadrilatères OAD D, C DD C C, et OAB B sont des rectangles. D Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module J O est de mètres, autrement dit, DD I D =, sa longueur OD est de mètres. Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre. Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f définie sur l'intervalle [ ; ] par f () = ( + )ln( + ) On note f la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O, I, J). Partie. Montrer que pour tout réel appartenant à l'intervalle [ ; ], on a f () = ln( + ).. En déduire les variations de f sur l'intervalle [ ; ] et dresser son tableau de variation. 3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse. La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B. 4. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [ ; ] par B J O I C D C a pour dérivée la fonction g définie sur l'intervalle [ ; ] par g () = ( + )ln( + ). Déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle [ ; ]. Partie Les trois questions de cette partie sont indépendantes. Les propositions suivantes sont-elles eactes? Justifier les réponses. P : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres. P : L'inclinaison de la piste est presque deu fois plus grande en B qu'en C.. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m par litre. Déterminer, à litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires. 3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points B k (k ; f (k)) pour k variant de à. Ainsi, B = B. B O B B I B B k B B B B k k+ On décide d'approcher l'arc de la courbe C allant de B k à B k+ par le segment J A B k+ D C C D [B k B k+ ]. Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type B k B k+ B k+ B k (voir figure). (a) Montrer que pour tout entier k variant de à 9, B k B k+ = + ( f (k + ) f (k) ). g () = ( + ) ln( + ) 4 (b) Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante. Page 44

45 Annales -5 : fonctions Variables S : réel K : entier Fonction f : définie par f () = ( + )ln( + ) Traitement S prend pour valeur Pour K variant de à S prend pour valeur Fin Pour Sortie Afficher Page 45

46 Annales -5 : fonctions E 35. correction Métropole septembre 5 On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par (a) Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites D et, par la courbe C f et par l'ae des abscisses. (b) Peut-on déterminer la valeur eacte de cette aire? f () = ( + ln ). Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative C f de la fonction f et une courbe C F. Dans une seule situation, la courbe C F est la courbe représentative d'une primitive F de la fonction f. Laquelle? Justifier la réponse. Situation Situation,5,5 C F, C f, C f,5 -,5,5 K L,5,,5,,5 3, 3, C F -,5 Situation 3 K L,5,,5,,5 3, 3,,5, C f,5 -,5 C F K L,5,,5,,5 3, 3,. Dans la situation retenue à la question, on appelle : K le point d'intersection de la courbe C f et de l'ae des abscisses et D la droite passant par K et parallèle à l'ae des ordonnées ; L le point d'intersection de C F et de l'ae des abscisses, ayant une abscisse supérieure à et la droite passant par L et parallèle à l'ae des ordonnées. Page 46

47 Annales -5 : fonctions E 36. correction Polynésie 5 Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. Voici ce schéma : On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d'abscisse soit horizontale. Déterminer la valeur de l'entier b.. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3,5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l'entier a. Partie B Un aménagement pour les visiteurs On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel [ ; 8] par Partie A Modélisation Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représentant la fonction f définie sur l'intervalle [ ; 8] par f () = e. Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'eercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 3 euros augmenté de 5 euros par mètre carré peint.. Soit g la fonction définie sur [ ; 8] par f () = (a + b)e où a et b sont deu entiers naturels. g () = ( )e. La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g. Page 47

48 Annales -5 : fonctions. Quel est le montant du devis de l'artiste? Partie C Une contrainte à vérifier Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maimale du toboggan. On considère un point M de la courbe C, d'abscisse différente de. On appelle α l'angle aigu formé par la tangente en M à C et l'ae des abscisses. La figure suivante illustre la situation. M P α L Les contraintes imposent que l'angle α soit inférieur à 55 degrés.. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [ ; 8]. On admet que, pour tout de l'intervalle [ ; 8], f () = ( )e. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [ ; 8].. Soit un réel de l'intervalle ] ; 8] et soit M le point d'abscisse de la courbe C. Justifier que tanα = f (). 3. Le toboggan est-il conforme au contraintes imposées? Page 48

49 Annales -5 : fonctions E 37. correction Pondichéry 5 Partie A Soit f la fonction définie sur R par f () = 3 +e. Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal ( O; ı, ȷ ), la courbe représentative C de la fonction f et la droite d'équation y = Justifier que la fonction h est positive sur R.. On désigne par H la fonction définie sur R par H() = 3 ln( +e ). Démontrer que H est une primitive de h sur R. 3. Soit a un réel strictement positif. (a) (b) Donner une interprétation graphique de l'intégrale Démontrer que a h()d = 3 ln ( +e a a h()d. (c) On note D l'ensemble des points M( ; y) du plan défini par { f () y 3 Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine D. ). C ȷ - - ı 3 4. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R.. Justifier que la droite est asymptote à la courbe C. 3. Démontrer que l'équation f () =, 999 admet une unique solution α sur R. Déterminer un encadrement de α d'amplitude. Partie B Soit h la fonction définie sur R par h() = 3 f (). Page 49

50 Annales -5 : fonctions Correction. E. énoncé Antilles. (a) Il n'y a aucune forme indéterminée, d'après les limites usuelles : lim + e = +, donc par somme : lim f () = +. + La fonction f est dérivable sur [ ; + [ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout réel > : f () = e + e = ( + )e. Comme et e >, alors f () et la fonction f est donc strictement croissante sur [ ; + [. (b) La fonction f est continue (car dérivable), strictement [ croissante [ sur [ ; + [. Elle réalise donc une bijection de [ ; + [ sur l'intervalle f () ; lim f () = [ ; + [. Comme + [ ; + [, l'équation f () = admet donc une unique solution α dans [ ; + [. À l'aide de la calculatrice α,57 à près. (c) f (α) = et f est croissante sur [ ; + [, on en déduit donc que : si < α, alors f () < ; si > α, alors f () >.. (a) Pour tout >, on a M( ; e ) et N( ; ln ). On a donc MN = e ln = e ln, d'après le rappel de l'énoncé. Posons g () = e ln, alors g est dérivable sur ] ; + [ et pour tout >, g () = e. On a donc, pour tout > : g () > e > e > f () = > α. Ainsi, g est strictement croissante sur ]α ; + [ et décroissante sur ] ; α[. Elle admet donc un minimum en = α. La distance MN est donc minimale lorsque = α et cette longueur minimale vaut alors e α ln(α),33 à près. La tangente à Γ au point d'abscisse α a pour coefficient directeur le nombre dérivé de ln en α, c'est-à-dire α. D'après ce qui précède, ces deu valeurs sont égales ; les deu tangentes ayant le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles. 3. (a) h est dérivable sur ] ; + [ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout > : h () = + ln = ln. h est donc une primitive de la fonction ln sur ] ; + [. (b) C est au-dessus de Γ, donc, l'aire A hachurée sur la figure est donnée (en unités d'aire) par : E.. A = e ln d = [ e h() ] = e e ln + 4,8. énoncé Asie ( ];+ [) f () = ln. (a) La limite de la fonction f en est car lim ; > donc on obtient par produit le résultat énoncé. En +, la limite de la fonction f est (voir le cours). (b) f () = ln() = ( ln()). ( ) = + et lim (ln()) = ; ; > (c) f () est du signe de ( ln()) sur ] ; + [, or sur ] ; + [ ; ln() > < e; ln() < > e; ln() = = e e + f () + e (b) On a f (α) =, donc αe α =, d'où e α = α. La tangente à C au point d'abscisse α a pour coefficient directeur le nombre dérivé de ep en α, c'est-à-dire e α. f Page 5

51 Annales -5 : fonctions. Étude d'une fonction g On considère la fonction g définie sur l'intervalle ] ; + [ par : (ln ) g () =. On note C g la courbe représentative de la fonction g dans le repère ( O; ı, ȷ ). (a) La limite de g en est + car g () = f () ln() or, (ln()) = ; lim (f ()) = ; donc on obtient par produit le résultat énoncé. lim ;> ; > La limite de g en + est car : ( ) ( ) ( ) ln( ) ln( ) ln() 4 = = = (ln()) = g (). ( ( ) ) ( ( ) ln( ) ln(x) ) Donc lim (g ()) = lim 4 = lim 4 = car lim + + X + X X + posé X = et X tend vers + quand tend vers +. (b) g () = (ln() (ln()) ) = ( ln()) ln(), ( ln(x) donc g () s'annule si et seulement si ln() = ou ln() = donc pour = ou = e. e + ln() + ( ln()) + + g () + X ) = ; on a 3. (a) Les courbes C f et C g se coupent au points dont les abscisses sont les solutions f () = g () f () = g () ln() = (ln()) = (ln()) ln() = ln() (ln() ) ln() = ou ln() = = ou = e ce sont les deu points A( ; );B ( e ; e ). (b) La position relative des courbes C f et C g est donnée par l'étude du signe de f () g (). f () g () < ln() < (ln()) ln()( ln()) < e + ln() + ( ln()) + + ln() ( ln()) + f () g () < ln() < ou ln() > < ou > e f () g () > < < e La courbe de f est au dessus de la courbe de g pour ] ; e[. La courbe de f est au dessous de la courbe de g pour ] ; [ ]e ; + [. La courbe de f coupe la courbe de g pour = ou pour = e. (c) On a tracé sur le graphique de l'annee (à rendre avec la copie) la courbe C g. 4. A = e cet intervalle. e A = ( ln() )d (f () g ())d car sur [ ; e], f () g () et f et g sont continues sur e ( (ln()) )d = [ (ln()) (ln())3 ] e 3 = 3 = 6 (c) e + g () + g + 4 e (pour trouver les primitives, on a reconnu la forme u n u avec u : u() = ln() et u : u () = et pour la première intégrale n = c'est u u et pour la deuième n = c'est u u ; et si n, alors u n u a pour primitive u()n+ n+. Annee Page 5

52 Annales -5 : fonctions O 3 4 E C f 5 5 (b) Pour tout réel, 4e (e + ) > alors f () est du même signe que e. Puisque la fonction eponentielle est strictement croissante sur R et que, pour tout >, on a >, alors e > e soit e >. ];+ [, f () > et f () =, alors. f est définie sur R et, pour tout R, f est strictement croissante sur [;+ [ f ( ) = 4e e + = 4e e ( +e) = 4e +e = f () Ainsi la fonction f est paire et, graphiquement : la courbe C est symétrique par rapport à la droite d'équation = 3. (a) Les coordonnées du point A sont (a,) avec a > et A C, alors f (a) = = 4ea ea 4ea + = = = (ea) 4ea + = ea + ea + Si on pose c = ea, alors E 3. Partie A énoncé La Réunion. (a) La fonction eponentielle est définie et dérivable sur R et ne prend que des valeurs strictement positives, alors la fonction e + est dérivable et ne s'annule pas sur R. f est dérivable sur R. Soit R, f 4e (e + ) e 4e 4e ( e) () = (e + ) = (e + ) Pour tout réel, f () = 4e (e ) (e + ) c est une solution de l'équation 4 + = On résout l'équation 4 + = ; elle admet deu solutions réelles positives 3 et + 3, alors a { ln ( 3 ),ln ( + 3 )}. Puisque 3 ];[, alors ln ( 3 ) < et, a étant positif : a = ln ( + 3 ) (b) f est strictement croissante sur [;+ [ et s'annule en a = ln ( + 3 ) alors, en utilisant la parité de f, on en déduit : Page 5

53 Annales -5 : fonctions f () > si ] ; a[ ]a;+ [ ; Pour tout réel positif t, f (t) 4e t Partie B f () < si ] a; a[ ; f ( a) = f (a) =.. On reconnaît, sous forme intégrale, l'epression de la primitive sur R qui s'annule en de la fonction f, alors F est dérivable sur R et F = f. Les variations de la fonction F sur R se déduisent alors du signe de f () : (b) Soit. Puisque l'intégrale entre des bornes croissantes «conserve l'ordre», alors (d'après la question précédente) : f (t)dt ( 4e t)dt } {{ } } {{ } F() [t+4e t] [t + 4e t] = + 4e 4 4, car e >. On a bien : F est strictement croissante sur ] ; a] et sur [a ; + [ ; F est strictement décroissante sur [ a ; a]. a. f étant continue et négative sur [ ; a], F(a) = f (t) dt = a f (t) dt est l'opposé de l'aire, en unités d'aire, du domaine plan compris entre la courbe C, l'ae des abscisses et les droites d'équations = et = a. Ce domaine est contenu dans un rectangle dont les dimensions sont f () = et a, alors F(a) a, d'où : Puisque lim 4 = +, par comparaison : + pour tout réel positif, F() 4 lim F() = Puisque la fonction f est paire, on peut penser que sa primitive F qui s'annule en est impaire, c'est-à-dire a F(a) ( 4et 3. (a) Soit t [,+ [, f (t) = et ( +e t) = 4e t +e t On est donc amené à comparer +e t avec ; Soit t, on a : e t >, puis : e t + >, alors, par stricte décroissance de la fonction «inverse» sur ];+ [, +e t < En multipliant chaque membre par 4e t < : 4e t +e t > 4e t Finalement, en ajoutant : ). R, F( ) = F() R, F( ) + F() = Pour cela, on considère la fonction définie sur R par F( ) + F(). Cette fonction est dérivable sur R et sa dérivée est définie, pour tout réel, par f ( )+ f () = car f est paire, alors : Par imparité : Pour tout R, F( ) + F() = F( ) + F() =. Alors F est impaire. lim F() = lim F() = + Page 53

54 Annales -5 : fonctions E 4. énoncé Pondichéry Partie I. L'ae des ordonnées est asymptote à C au voisinage de ; la fonction étant décroissante sur ] ; + [, la limite quand tend vers de f () est +.. De même la limite quand tend vers + de f () est. 3. On ne peut pas savoir. 4. Sur ] ; [ la fonction différence est positive, s'annule en, puis est négative : c'est donc le troisième tableau. Partie II. On a lim = et lim ln() =, d'où par somme de limites > lim f () =. > lim + = et > lim ln() = +, donc lim + f () = f somme de fonctions dérivables sur ] ; + [ est dérivable sur cet intervalle et : f () = +. Chacun des termes est positif sur ] ; + [, donc la dérivée est positive sur cet intervalle, donc la fonction est croissante de moins l'infini à plus l'infini. 3. On a de façon évidente f () = ln + =. La fonction étant croissante sur ] ; + [, on a donc : f () < sur ] ; [ ; f () = ; f () > sur ] ; + [. 4. F somme de fonctions dérivables sur ] ; + [ est dérivable et sur cet intervalle : F () = ln + = ln + = f (). F est donc une primitive de f sur ] ; + [. 5. On vient de voir que F () = f () et d'après la question 5, f () > sur ] ; + [, donc F est croissante sur cet intervalle. 6. On a F() = = et F(e) = elne lne = e,7. D'autre part e,63, donc < e < e. La fonction F est dérivable donc continue sur [ ; e] : il eiste donc un unique réel α [; e] tel que F(α) = e. 7. La calculatrice donne : F(,9) + e,5 et F(,) + =,6, donc : e,9 < α <,. Partie III. L'ordonnée de A est égale à ; il faut donc résoudre l'équation : ln + = ln = e ln = e (par croissance de la fonction eponentielle) = e. On a donc A ( e ; ).. P étant commun au deu courbes son abscisse vérifie : g () = h() = ln() + f () =, d'après la partie II. Or dans cette partie on a vu que f s'annule en et g () = h() =. Donc le point commun au deu courbes est le point P ( ; ). [ ] 3. (a) On a vu que sur e ;, f (), c'est-à-dire que g () h() (la courbe C g est au dessus de la courbe C h ), donc A = e [g () h()]d = e f ()d. Page 54

55 Annales -5 : fonctions (b) On a vu qu'une primitive de f sur ] ; + [, donc en particulier sur [ e ; ] est F() = ln() ln(). On a donc : A = [ F()] e = F() + F ( e ) = (d) Pour tout [; + [, ln() et >, donc ln() donc la courbe C est située en dessous de la droite D. 3. (a) Un graphique pour comprendre : + e ln( e ) ln ( e ) = e ( ln(e)) ( ln(e)) = e. 4. (a) On a vu que sur [ ; + [, h() g (), donc puisque t, l'aire B t est égale à : B t = t [h() g ()]d = t f ()d = F(t) + F() = F(t) = t ln(t) ln t. 5 N 5 M 5 (b) On a vu que B t = e ou encore t ln(t) ln t = e soit F(t) = e résolue à la question 6 de la partie II et qui a pour solution α,9. équation qui a été 4 3 M 3 D C M 3 E 5. énoncé Amerique du Nord P A. R é On pose = e t, on a donc >, ln() = t. On a lim t e t = + = lim t. lim + ln() lim t + ln(e t ) e t P B. = lim t + t e t = puisque lim t + e t t = +. = La fonction g est dérivable d'après les théorèmes générau et g () = +. Pour, > et >, donc g () > donc la fonction g est strictement croissante sur [; + [.. (a) La fonction f () = u() v() u() avec u() = et v() = ln(). u et v sont dérivables avec u () = et v () =. D'après les théorèmes générau f est dérivable et on a f () = u () v ()u() v()u () u() = ln() = +ln() = g () (b) Pour tout [; + [, g () > et >, donc f () >. On en déduit que f est strictement croissante sur [; + [. (c) f () = ln() ln(), lim + f () = lim + y = est une asymptote à la courbe C. = donc la droite D d'équation Variables Initialisation Traitement Sortie La distance M k N k = f () = ln(k) k >. k est un entier d est une variable réelle k := ; d := ln(k) k Tant que d > Début du tant que k := k + ; d := ln(k) k ; Fin du tant que Afficher k Page 55

56 Annales -5 : fonctions E 6. énoncé Centres Étrangers Partie A : Conjecture graphique Les solutions de l'équation (E) sont les abscisses des points d'intersection des deu courbes. Il semble y en avoir. L'une comprise entre et, l'autre entre et. Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique (b). (a) R, + 3 = (+). Comme un carré est positif ou nul, + 3 est du signe de = pour { ; }. + 3 > pour ] ; [ ] ; + [. + 3 < pour ] ; [. (b) solution de (E) e = 3 ( + 3) + 3 = e e. Or, pour tout réel, >, alors que < pour ] ; [. (E) n'a pas de solution sur l'intervalle ] ; ]. (c) e = et 3 ( + 3 ) =. Donc n'est pas solution de (E).. ] ; [ ] ; + [, (E) e = 3 ( + 3) lne = ln ( 3 ( + 3)) a = b ln a = lnb = ln3 + ln ( ( + ) ) ln(ab) = ln a + lnb = ln3 + ln ( ) + ln( + ) ln3 + ln ( ) + ln( + ) = h() = 3. (a) h est une somme et composée de fonctions de référence dérivables, donc h est bien dérivable sur ] ; [ ] ; + [. Si u > sur un intervalle, alors lnu est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est u u. Pour tout réel ] ; [ ] ; + [,h () = = + + = ( + ) + ( + ) ( + ) On a bien : h () = + +. ( + ) (b) Pour étudier le sens de variations de h, on étudie le signe de sa dérivée. Les numérateurs et dénominateurs sont des trinômes du second degré. Pour le dénominateur, les racines sont et, le coefficient dominant est >. Il est donc positif «à l'etérieur» des racines, négatif «entre» les racines (voir le tableau). Pour le numérateur, pas de racine évidente. On calcule donc le discriminant. On trouve : = > et les deu racines sont = + 3 = 3 et = + 3. Le coefficient dominant est >, d'où le signe Étude des limites au bornes : Limite en lim lim X lim lim X Limite en lim lim X lim lim X Limite en + ( + ) + h () + + = lnx = + = lnx = = lnx = + = lnx = lim par composition = lim ln = par composition = lim lim par composition = lim ln3 = ln3 ln( + ) = ln3 = ln3 ln = par composition = lim ln( + ) = par somme = lim h() = par somme = lim h() = Page 56

57 Annales -5 : fonctions { lim + = + lim lnx = + X + { lim + = + + lim lnx = + X + ż ( ln h() = ln3 + ( + ) + Or lim + + = lim + + lim + = + + lnx = X lim X + lim + ln3 = par composition = lim + ln = + par composition = lim + ln( + ) + + = + ). par composition = lim + ln( + ) = + ln( + ) = + par somme = on a la F.I. ń + Pour tout >, ln + < ln ln. Par comparaison, lim = et le théorème des + ln gendarmes assure que lim + + = Finalement avec des opérations élémentaires, on obtient enfin lim h() =. + Pour avoir le tableau de variations complet, il nous faut encore les signes de h ( 3 ) < et h( + 3) > que l'on obtient avec la calculatrice.. h () h() + 3 h( 3) α h( + 3) (c) Sur l'intervalle ] ; [, la dérivée s'annule en changeant de signe (+; ), donc h( 3) est un maimum pour h sur cet intervalle. Or h( 3) < donc l'équation h() = n'a pas de solution sur ] ; [. C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A. α + Sur l'intervalle ] ; + 3[ la fonction h est dérivable, donc continue ; est compris entre lim h() et h ( + 3 ), d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h() = admet donc au moins une solution sur [ ; + 3 [. Comme h est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution α est unique. La calculatrice donne : h(,6), et h(,6),4. est donc compris entre h(,6) et h(,6), le raisonnement précédent assure donc que α [,6 ;,6]. On trouve de même que,68 < α <,69 Une valeur approchée de α, arrondie au centième est donc,6. Comme h( + 3) >, est aussi compris entre lim + h() et h ( + 3 ). Le même raisonnement assure donc l'eistence d'une autre solution dans cet intervalle. Voir le tableau. Avec la calculatrice, on trouve 7, comme valeur approchée de α, arrondie au centième. (d) La conjecture de la partie A est erronée. Il y a bien deu solutions mais pas dans les intervalles prévus! E 7. énoncé Métropole. Sur l'intervalle [ 3, ], tous les points de la courbe ont une ordonnée négative. VRAIE. Sur l'intervalle ] ; [, on lit que f () >, donc que f est croissante sur cet intervalle. VRAIE 3. Sur l'intervalle ] ; [, on a f () > donc f est strictement croissante sur ] ; [. Or on sait que f () =. D'après la croissance stricte sur l'intervalle tous les points de cet intervalle ont une image par f inférieure à. FAUSSE 4. Pour =, on lit f () = et on sait que f () =. On sait que l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse est y f () = f ()( ) y ( ) = y =. Cette tangente contient bien le point de coordonnées ( ; ) car ces cordonnées vérifient l'équation de la tangente. VRAIE Page 57

58 Annales -5 : fonctions E 8. énoncé Amerique du Nord 3 Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] ; + [ par f () = + ln() et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous : (c) lim + lim f () = prouve que l'ae des ordonnées est asymptote verticale. f () = que l'ae des abscisses est asymptote horizontale.à C. (a) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ] ; + [. f est dérivable sur ] ; + [, f () = ( + ln ) 4 ln = = 4 ln() 3. C (b) ln > ln < < e. Pour tout ] ; + [, > et f () est du signe de ln(). O 3 (c) Dresser le tableau des variations de la fonction f. ( ) On a f e = ( ) = e = e e e + f () + f () e. (a) Étudions la limite de f en. On sait que lim ln() = donc lim + ln() =. D'autre part lim = +, alors par produit des limites, lim f () = ln (b) On sait que lim + =, D'autre part lim + On a aussi lim + lim f () = + =, alors par produit des limites lim ln + =, =, et en ajoutant ces deu dernières limites, on obtient : 3. (a) On a : f () = + ln = ln = = e Ce qui prouve que la courbe C coupe l'ae des abscisses en un unique point, le point de coordonnées (e ; ) (b) D'après le tableau des variations de f et sachant que f ( e ) =. On en déduit que f () > sur l'intervalle ] e ; + [ et f () < sur l'intervalle ] ; e [. 4. Pour tout entier n, on note I n l'aire, eprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'ae des abscisses, la courbe C et les droites d'équations respectives = e et = n. Page 58

59 Annales -5 : fonctions (a) On sait que f > sur ] e ; + [ n, donc I n = f ()d e [ ] Sur e ; on a au vu des variations de f : < f () e. Comme l'intégration conserve l'ordre et le signe, on en déduit : n e I e d = e I e. ( e ) = e et finalement : ln() On admet que la fonction F, définie sur l'intervalle ] ; + [ par F() =,est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ] ; + [. (b) Calculons I n en fonction de n. On a : [ ] ln n ( lnn ln(e ) ) lnn I n = = n e = ( + )e n Et finalement : lnn I n = +e = e lnn n n n (c) Étudions la limite de I n en +. lnn On a lim n + n =, lim n + n = et lim n + n = alors lim I n = e. n + Graphiquement cela signifie que l'aire du domaine délimité par l'ae des abscisses, la courbe C et les droites d'équations respectives = e Eercice E 9. énoncé Amerique du Sud 3 Partie A Soit f la fonction définie sur R par f () = e.. e = e e = e e donc f () = e e. et = n tend vers e quand n tend vers +.. lim = + donc lim e = + (par composition). } lim = = lim e = (par produit) ; lim f () =. lim e = + 5 points 3. On sait que lim + e = + donc lim + e = donc lim + e e =. On a donc lim + f () = ce qui veut dire que la courbe représentant la fonction f admet la droite d'équation y = comme asymptote horizontale en La fonction f est dérivable sur R et f () = e + ( )e = e ( ) 5. Pour tout réel, e > donc f () est du signe de. f () = e =, d'où le tableau de variation de la fonction f : Partie B + + f () + f () Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions g n et h n définies sur R par : g n () = n et h n () = n n.. ( ) g n () = ( ) ( n) = n 3 n n+ = n+ On obtient alors, pour tout réel : g n () = n+. Pour tout, g n () = n donc g n () = nn = h n (). Or, pour tout réel, g n () = n+ g n est une fonction rationnelle de type u v dont la dérivée est u v uv v : ; h n () = g n () = (n + ) n ( ) ( n+) ( ) ( ) = (n + ) n + (n + ) n+ + n+ ( ) = (n + ) n + n n+ + n+ + n+ ( ) = nn+ (n + ) n + ( ). Page 59

60 Annales -5 : fonctions 3. Soit S n = f () + f () f (n), où f () = e. S n = + e + + ne n = + e + + n ( e ) n ( = hn e ). Or h n () = nn+ (n + ) n + ( ( ) donc h n e ) = n ( e ) n+ ( (n + ) e ) n + ( ( )) ; e n e n+ n + e n + S n = ( ) e On sait que lim + e = + donc lim + e = donc limn+ n n + = et limn+ en e n+ =. De plus, lim + + = et lim + = comme limites en + de fonctions rationnelles, + donc limn+ n n + = et limn+ n + n =. n e n+ = n n + n + n + ; donc par produit, limn+ en+ n n + e n+ = =. n + e n = n + n n n + ; donc par produit, limn+ en n n e n = =. Donc limn+ S n = E. ( ) = e (e ). e énoncé Asie 3 Partie A Voir la figure. Partie B. (a) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A est égal à f (a). Or f () = e, donc f (a) = e a. (b) De même le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B est égal à g (b). Or g () = ( e ), donc g (b) = e b. (c) Si les deu tangentes sont égales le coefficient directeur de leurs équations réduites sont égau, soit : f (a) = g (b) e a = e b et par croissance de la fonction logarithme népérien : a = b b = a.. Une équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A est égale à : y e a = e a ( a) y = e a +e a ( a). Une équation réduite de la tangente à la courbe C g au point B est égale à : y ( e b) = e b ( b) y = e b + e b be b. Ou en remplaçant b par a : y = e a + e a + ae a y = e a + +e a (a ). Si les deu tangentes sont égales, leurs équations réduites sont les mêmes. On a déjà vu l'égalité des coefficients directeurs. Les ordonnées à l'origine sont aussi les mêmes soit : e a ( a) = +e a (a ) e a ( a) = (a )e a + =. Donc a est solution de l'équation dans R : Partie C. (a) Sur R, φ() = e e +. On sait que lim e = et ( )e + =. lim e =, d'où par somme de limite : lim φ() =. to La droite d'équation y = est asymptote horizontale à la courbe représentative de φ. On a lim ( ) = + et lim to+ + e = +, d'où par somme de limites : (b) Somme de fonctions dérivable sur R, φ est dérivable sur R et : φ () = e + ( )e = e. lim φ() = +. + Comme, quel que soit R ; e >, le signe de φ () est celui de. Donc sur ] ; [, φ () < : la fonction est décroissante sur cet intervalle et sur ] ; + [, φ () > : la fonction φ est croissante sur cet intervalle. D'où le tableau de variations : Page 6

61 Annales -5 : fonctions (c) + f () + + f (). Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point d'abscisse α est e ( α) = e α. On a vu dans la question précédente que la droite (EF) a pour coefficient directeur e α et contient le point F. Conclusion la droite (EF) est la tangente à la courbe C g au point d'abscisse α. Annee à rendre avec la copie. (a) Sur ] ; ] la fonction φ est continue et décroissante à valeurs dans [ ; ]. Comme [ ; ] il eiste un réel unique α de ] ; ] tel que f (α) =. Le même raisonnement sur l'intervalle [ ; + [ montre qu'il eiste un réel unique de cet intervalle β tel que f (β) =. Donc l'équation φ() = admet eactement deu solutions dans R. (b) La calculatrice donne successivement : 4 3 C f φ( ),8 et φ( ),47, donc < α < ; φ(,7),3 et φ(,6),5, donc,7 < α <,6 ; φ(,68), et φ(,67),5, donc,68 < α <,67 ; φ(,679),4 et φ(,678),, donc,679 < α <,678. Conclusion au centième près α, 68. C g De la même façon on obtient β, O 3 4 Partie D. On sait que E appartient à la droite (EF) et à la courbe représentative C f. E (α ; e α ) et F ( α ; e α ). L'équation de la tangente en E à la courbe C f est : y e α = e α ( α). F appartient à cette tangente si et seulement si : 3 e α e α = e α ( α α) e α = e α (α )e α + = ce qui a été démontré à la question. b. de la partie C. Conclusion : la droite (EF) est bien la tangente à la courbe C f au point d'abscisse α. Page 6

62 Annales -5 : fonctions E. énoncé Antilles 3 Partie A. lim + ( + ) = + et lim + e = +, donc, par opérations lim + f () = +. Pour tout R, f () = e +e. Or lim e = (croissances comparées) et lim e =, donc, par opérations lim f () =.. Pour tout réel, f () = e + ( + )e = ( + )e. 3. Pour tout réel, e >, donc f () a le même signe que +. On en déduit le tableau de variations suivant : si m > : l'équation g m () = possède une solution, donc C m coupe l'ae des abscisses en un point.. La courbe ne coupe pas l'ae des abscisses, donc l'équation g m () = n'a pas de solution et cela entraîne que m < e. La seule possibilité est donc que m = e. La courbe coupe l'ae des abscisses une seule fois, donc m = e ou m =. La seule possibilité est donc m =. Par élimination, la courbe 3 correspond à m = e. 3. Pour tout réel, g m () ( + ) = me qui est du signe de m ; on en déduit : si m >, alors pour tout réel, g m () ( + ) <, donc C m est en dessous de D ; si m <, alors pour tout réel, g m () ( + ) <, donc C m est au dessus de D ; Partie B + f () + + f /e si m =, alors pour tout réel, g m () ( + ) =, donc C m et D sont confondues. 4. Le domaine D hachuré : (a) C e 5. (a) On a, pour tout réel : g m () = + = me ( + )e = m f () = m. (b) D'après l'équivalence et le tableau de variations précédents : si m < e : l'équation g m () = ne possède aucune solution, donc C m ne coupe pas l'ae des abscisses ; si m = e : l'équation g m () = possède une solution, donc C m coupe l'ae des abscisses en un point ; si < m : l'équation g e m () = possède deu solutions, donc C m coupe l'ae des abscisses en deu points ; 4 3 b = 4,7 3 4 C C e Page 6

63 Annales -5 : fonctions (b) Pour tout a, la courbe C e est au dessus de C e, par conséquent l'aire A(a) est donnée par : A(a) = = = a a a f e () f e ()d ( ( + ) +ee ) ( ( + ) ee ) d ee d = e [ e ] a = e ( e a + ) = e e a. On a de plus lim a+ e a =, par conséquent : lim a+ A(a) = e. + f () + f () 3. g () = ( + )e g étant dérivable, on a pour tout réel, g () = e [ ( + )e ] = e + ( + )e = e = f (). e Donc g est bien une primitive de la fonction f sur R. E. Partie A : Étude du cas k = énoncé Antilles septembre 3 4. Comme pour tout réel, e >, f () = =. Le tableau de variations ci-dessus montre donc que f () < sur ] ;[ et f () > sur ] ; + [.. Comme lim e = +, on a f () =. On sait que e lim f () = e. lim f () =. e = + donc + lim f () =. + Donc l'ae des abscisses est asymptote horizontale à C en Comme la fonction est positive sur ] ; + [, elle l'est aussi sur ] ; ln], donc l'aire cherchée est en unités d'aire égale à l'intégrale : ln f ()d = [ g () ] ln = g (ln) g () = (ln + )e ln +e. Comme e ln = e ln =, l'aire est égale à : + ln = 9 ln,67 u. a.. f produit de fonctions dérivables sur R est dérivable sur R : f () = e e = e ( ). Comme e > sur R, le signe de f () est celui de. Donc f () > si < et f () < si >. D'où le tableau de variations : Partie B : Propriétés graphiques On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C, C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs fiés et T la tangente à C b au point O origine du repère. Page 63

64 Annales -5 : fonctions,6,4 e T C (d) Une équation de cette tangente est : y = f k ()( ) + f k() y = k( )e + y = k. (e) Le coefficient directeur de la droite (T) est égal à,6, = 3. Donc la courbe C b correspond à la valeur b = 3., C a C b,,,4,6,8,, E 3. énoncé Centres Étrangers 3 Partie A. De façon évidente f k () = k e =, donc les courbes C k passent par l'origine.. (a) Produit de fonctions dérivables sur R, la fonction f k l'est aussi et : f k () = ke k k ke k = ke k ( k). (b) k strictement positif, et e k >, pour tout réel, donc le signe de la dérivée f () est k celui de k. Or k < k < ; k > k > ; k = k =. Il en résulte que la fonction f k est : ] croissante sur ; k [, et décroissante sur elle admet donc un maimum en k : ( ) f k = k k k e k k = e = e,368. ] [ k ; + ; Conclusion : toutes les fonctions ont le même maimum e pour = k. (c) Le maimum pour k = est obtenu pour = =,5, donc le maimum pour f a est obtenue pour une valeur inférieure à,5 donc a >. a Note : en fait on peut penser que l'abscisse du minimum est à peu près égale à,, ce qui correspond à a =.. (a) Soit G la fonction définie sur [ ; ] par G() = e est dérivable sur cet intervalle et G () = ( e ) = +e : c'est donc une primitive de g. Donc A = (b) A = a a g ()d = [G()] a = [ e ] a = a e a ( e ) = a + e a. g ()d = [G()] a = [ e ] a = e ( a e a) = a +e a e.. (a) Somme de fonctions dérivables sur [ ; ], f est dérivable sur cet intervalle et : f () = + e Les deu termes de cette somme sont positifs, donc sur [ ; ], f () > et la fonction f croissante sur [ ; ] de f () = + e à f () = e +. D'où le tableau de variation : e f () f () e + e (b) Sur [ ; ], f croît de f (),6 à f (),6. Comme elle est croissante et continue elle s'annule une seule fois sur l'intervalle [ ; ] pour un réel α tel que f (α) =. est Page 64

65 Annales -5 : fonctions La calculatrice permet de trouver que :,4 < α <,5, puis,45 < α <,46 et enfin,45 < α <,453. Donc α,45 au centième près. 3. On a : A = A a + e a = a + e a e a e a + e =, ce qui signifie que a est une solution de l'équation f () = sur [ ; ]. On a vu que cette solution est égale à α. Finalement les aires sont égales pour a = α,45. Partie B. On a g () = + =. Il est donc évident que l'aire du domaine D est inférieure à =. Comme g () = + e, si b + e impossible. Donc b < + e chacune des deu aires serait supérieure à ce qui est. L'aire du domaine du bas est égale à b = b qui est égale à la demi-aire de D. On a donc : b = Finalement b = g ()d = [G()] = E 4. Partie A ( e ) = e,86. [ e ] = [ e +e ]. énoncé Liban 3. Puisque lim + e =, il vient, lim f () = + Puisque lim e = +, il vient, lim f () = + Graphiquement cela signifie que les droites d'équation y = et y = sont deu asymptotes horizontales à C au voisinage respectivement de moins et plus l'infini. e. f () = e ( + e ) = e e + = e + e 3. f = e ( + e ) = e ( + e ). Cette epression étant toujours strictement positive sur R, il en résulte que la fonction f est strictement croissante sur R. 4. I = e f ()d = + e d = [ ln( + e ) ] ( ) + e = ln( + e) ln = ln I s'interprète graphiquement comme la mesure en unité d'aires du domaine limité par C, l'ae des ( et) les droites d'équations = et =. C'est l'aire du rectangle de côté et de longueur + e ln qui vaut à peu près,6 unité d'aire (ce qui se vérifie visuellement sur l'annee). Partie B P ( ; f () ) et M ( ; f () ). K est le milieu de [MP].. f () + f () = e e + + e + = e + e + =. y K = y M + y P = f () + f () = Le point K est donc un point de la droite d'équation y =. 3. Il résulte de la question précédente que les deu courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =. 4. Soit A l'aire du domaine considéré. Par symétrie entre les deu courbes, on obtient Partie C A = f () d = f ()d. Vrai : Quel que soit k R, e k > = +e k > = < ( ) + e d = ln,4. +e k <.. Fau : On a vu que la fonction f est strictement décroissante sur R. 3. Vrai : Car si k alors k 5 puis e k e 5 par croissance de la fonction eponentielle et enfin +e k +e 5. Finalement : Page 65

66 Annales -5 : fonctions,99 <,9933 +e 5 +e k = f k ( ) Page 66

67 Annales -5 : fonctions E 5. énoncé Métropole 3. + ln +. (a) On lit f () = y B = et pour f (), on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse, c'est à dire le coefficient directeur de la droite (CB), qui est horizontale, donc f () =. f () (b) La fonction f est dérivable sur ] ; + [, en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle (le dénominateur ne s'annulant pas sur cet intervalle). On a : ( + b ) (a + b ln ) f b (a + b ln ) () = = Soit effectivement : f () = (b a) b ln. (c) On en déduit : f () = a + b ln() f () =, donc a =. Du coup, on a f () = = a + = a, or d'après le. a., (b ) b ln() = b, or d'après le. a., f () =, donc b =.. (a) On reprend la forme de f obtenue précédemment, en remplaçant a et b par, et on a : f () = ln = ( ln ). Puisque pour tout élément de ] ; + [, est un nombre strictement positif, on en déduit que la dérivée de f a bien le même signe que ln pour tout élément de ] ; + [. (b) Quand tend vers : lim ln = donc, par limite d'un produit et d'une somme : lim + ln =. Comme par ailleurs lim = +, alors, par limite d'un quotient, on a lim f =. Quand tend vers +, on va utiliser la forme de f présentée dans la question : ln lim + puis par produit par : lim lim + =, et =, d'après la propriété des croissances comparées, et donc par limite d'une somme, + f =. (c) On peut donc dresser le tableau des variations de f : 3. (a) La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ] ; ] et est une valeur strictement comprise entre lim f et f (), donc l'application du corollaire au théorème des valeurs intermédiaires garantit l'eistence d'une unique solution à l'équation f () = sur l'intervalle ] ; ], qui sera notée α. (b) Par balayage à la calculatrice, on obtient f (5) > et f (6) <, donc comme la fonction f est continue sur [5 ; 6], le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'eistence d'au moins une solution à l'équation f () = sur l'intervalle [5 ; 6], et puisque l'on avait admis qu'il n'y avait qu'une seule solution β à cette équation sur ] ; + [, cette solution est donc entre 5 et 6. Enfin, puisque ni 5 ni 6 n'ont une image eactement égale à, on peut dire que β est strictement entre 5 et 6. Le nombre entier n cherché est donc (a) On obtient : étape étape étape 3 étape 4 étape 5 a,5,375,4375 b,5,5,5,5 b a,5,5,5,65 m,5,5,375,4375 f (m),3 3,9,,79,3 Le tableau a été complété par la ligne «f (m) ż pour montrer les affectations à a ou à b. Le tableau précédent sera probablement considéré comme correct, mais si on interprète la question très rigoureusement, d'un point de vue algorithmique, on doit supposer que l'étape est l'initialisation, et les étapes de à 5 correspondant au itérations de à 4. Dans ce cas, pour l'étape n'a pas de valeur m, et la valeur b a va servir à savoir si l'itération suivante va être utile ou non. Dans ce cas, on va écrire dans la colonne les valeurs en mémoire à la fin de l'itération de la boucle «Tant que», ce qui donne le tableau suivant : Page 67

68 Annales -5 : fonctions étape étape étape 3 étape 4 étape 5 a,5,375,4375 b,5,5,5,5 b a,5,5,5,65 m,5,5,375,4375 (b) Cet algorithme renvoie les deu bornes obtenues pour encadrer le nombre α par dichotomie, avec une amplitude au plus égale à,. (c) Pour que l'algorithme donne un encadrement de β avec la même précision, il faut modifier l'initialisation, en mettant : Affecter à a la valeur 5. Affecter à b la valeur 6. Puis, dans le traitement, modifier le test «Si» pour qu'il soit : "Si f (m) > ", afin de prendre en compte la décroissance de f sur l'intervalle [5 ; 6]. (Une autre possibilité serait d'affecter 6 à a et 5 à b, et de modifier le «tant que» pour avoir «tant que a b >,» et alors a serait la borne haute de l'encadrement, et b la borne basse). (b) On a f () = + ln. En posant u = ln, on reconnait alors : f = u + u u. Une primitive de f sur ] ; + [ est donc : F = u + u, c'est à dire F() = ln + (ln ). On a alors e f () d = e f () d = ln + (ln) [ ] ( ) F() = F() F e e [ ln ( ) ( + ln e ( )) ] = ( + ) =. e On arrive donc bien à la conclusion que le rectangle OABC est bien partagé en deu domaines de même aire par la courbe C. E 6. Partie A énoncé Métropole septembre 3 5. (a) Pour répondre à cette question, on commence par déterminer l'aire du rectangle, de largeur et de hauteur : son aire est donc de unités d'aire. Il faut ensuite déterminer l'aire délimitée par la courbe C dans le rectangle OABC, et pour cela, il faut commencer par déterminer qu'elle est l'abscisse de l'intersection de la courbe avec l'ae des abscisses, et donc résoudre :. Par lecture graphique, le signe de f () est donné par : f () = ( + ln ) =, c'est à dire résoudre : ln =, qui par application de la fonction eponentielle, donne une unique solution, qui est e = e. [ ] Sur l'intervalle e ;, la fonction f est positive et continue, et donc l'aire délimitée par la courbe C, l'ae des abscisses et les droites d'équations = e et = est donnée par : unités d'aire. e f () d, en. f () + + Pour que la courbe C partage le rectangles en deu domaines d'aires égales, il faut alors que l'aire sous cette courbe soit la moitié de l'aire du rectangle, c'est à dire une unité d'aire. La résolution du problème reviendra bien à démontrer : e f () d =.. (a) On sait que F est une primitive de f donc, F = f F () = f () =, F ( ) = f ( ) =. (b) Page 68

69 Annales -5 : fonctions. (a) f () = e + ( + )e donc f () = ( + + )e, donc f () = ( + 4)e. C 3 ne convient pas car la tangente au point d'abscisse n'a pas pour coefficient directeur : Elle passe par B( ;,5) (environ) et I( ; ) donc le coefficient directeur y de cette tangente est I y B I =,5 B, donc C 3 ne convient pas. C 3 d 3 ȷ I O ı B (b) On sait que la fonction ep ne prend que des valeurs strictement positives, donc f () est du signe de ( + 4), et donc le sens des variations de f est donné par le tableau : Il y a donc bien un minimum en = f () + f ( )e. (a) si > ( ), f () > vu son epression, donc sur [ ; ] f est positive, continue (car produit de fonctions continues), son intégrale sur [ ; ] est donc l'aire en unité d'aire de la surface entre la courbe de f, l'ae des et les verticales d'équations = et = (en unité d'aire). ȷ d 4 C ne convient pas car la tangente au point d'abscisse ( ) n'a pas pour coefficient directeur. C ne convient pas, la tangente horizontale semble plutôt concerner le point d'abscisse (,5) de la courbe. C O ı ( (b) (u()v () + u()v ()) = e + e ) = ( + )e Ainsi on voit bien que f est une dérivée : f = (uv) ; donc (uv) est une primitive de f. (c) L'intégrale I se calcule à l'aide d'une primitive de f donc I = [u()v()] = [e ] = e = e ȷ d 3. (a) Faisons un tableau des valeurs successives de k et s pendant le déroulement de l'algorithme pour n = 3 : Il reste donc C O ı Partie B : C Variables : k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel. Entrée : Demander à l'utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à s la valeur. Traitement : Pour k allant de à n Fin de boucle. Sortie : Afficher s. Affecter à s la valeur s + n f ( k n ). k s + 3 f ( ) 3 3 f ( ) f ( ) 3 3 f ( ) f ( ) f ( ) 3 Page 69

70 Annales -5 : fonctions (b) g () = < et g () = e >. Dressons le tableau de variations de g : Le traitement est alors fini car k a atteint la valeur (3 ) ce qui a été suivi de la nouvelle valeur de s, l'affichage est alors 3 f ( ) f ( ) f ( ) 3, or chacun de ces trois termes est l'aire d'un des trois rectangles (largeur obtenue en divisant l'unité par n = 3, leurs longueurs successives sont f ( ) ( 3, f ) ( 3 ; f ) 3. 4 C (b) D'une façon générale l'affichage de l'algorithme obtenu après n boucles ( de k = à k = (n ) ) est la somme de n termes qui sont de la forme n f ( k n ) donc l'affichage est : n ( ( )) k n f n k= c'est la somme des aires des rectangles «sous la courbe» et au dessus de l'ae des entre = et =, leur largeur vaut n. Quand n devient grand, s n se rapproche de I = E 7. f ()d. (cours) énoncé Nouvelle Calédonie 3 Soit f la fonction dérivable, définie sur l'intervalle ] ; + [ par f () = e +.. Étude d'une fonction auiliaire (a) Soit la fonction g dérivable, définie sur [ ; + [ par g () = e. Pour tout réel de [ ; + [ : g () = e + e sur ] ; + [ (car tous les termes sont positifs. La fonction g est strictement croissante sur [ ; + [ (car la dérivée ne s'annule qu'en ). a + g () D'après ce tableau de variations, l'équation g () = admet une solution unique dans l'intervalle [; ] ; on appelle a cette solution. e - g (,73),8 < et g (,74), > donc a [,73;,74]. (c) D'après le tableau de variations de g : g () < sur [; a[ g () > sur ]a ;+ [. Étude de la fonction f (a) lim e = lim > = + = lim > e + = + = lim > f () = + lim + e = + lim + = = lim + e + = + = lim + f () = + (b) On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle ] ; + [. f () = e + = f () = e = e = g () (c) Pour tout de ] ; + [, > donc f () est du signe de g (). On dresse le tableau de variation de f : a + g () + f () + f () + + f (a) Page 7

71 Annales -5 : fonctions (d) D'après son tableau de variation, la fonction f admet le nombre f (a) comme minimum sur son intervalle de définition. f (a) = e a +. Or a est la solution de l'équation g () = donc a g (a) = a e a = a e a = e a = a. On en déduit que f (a) = a + et on a donc démontré que la fonction f admettait pour minimum a sur ] ; + [ le nombre réel m = a + a. (e) On a successivement(en valeurs approchées) :,73 < a <,74,494 < a <,4957,4957 < a <, 494,7 < a <,4,73 < a <,74,74 < a <,73,4 < a <,43 (b) Remarque : la fonction ( e ) peut être considérée comme une fonction composée suivie de l'eponentielle ou bien comme un quotient (e = e ). } lim e = + ( + ) = lim par produit = lim f () =. La même stratégie menée en + conduit à la forme indéterminée «+» car Mais, R, f () = e + e. } lim = théorème de croissance comparée lim + e + e = L'ae des abscisses est donc asymptote à C en +. (c) par somme = lim + f () = lim + e =. f est dérivable sur R car composée et produit de fonctions dérivables sur R et, R, f () = e ( + )e = ( + )e. Comme e >, f () est donc du signe de ( + ). D'où le tableau de variations : donc par somme :,7 +,4 < a + <,4 +,43 et donc : a 3,43 < m < 3, f () + E 8. énoncé Polynésie 3. (a),64 f () e. (a) Les coordonnées du point d'intersection de la courbe C avec l'ae des ordonnées est le point de coordonnées ( ; f () ) soit ( ; ). Les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'ae des abscisses sont les solutions de l'équation f () =. On applique la règle du produit nul en sachant que e : f () = + = =. Le point d'intersection de C avec l'ae des abscisses a pour coordonnées ( ; ). (b) Variables : k est un nombre entier N est un nombre entier S est un nombre réel Initialisation : Affecter à S la valeur Traitement : Pour k variant de à N- Affecter à S la valeur S + ( ) k N f N Fin Pour Sortie : Afficher S Page 7

72 Annales -5 : fonctions 3. (a) Sur [ ; ], f est continue et positive, donc l'aire A du domaine D, eprimée en unités d'aire, est donnée par A = A = [ g (t) ] = g () g () = 4e + 3 = 3 4 e. (b) avec la calculatrice, 3 4,64,3 e E 9. énoncé Pondichéry 3 Partie f (t)dt. Comme g est une primitive de f sur R, on a donc : a h(t) = + be,4t On sait qu'initialement, pour t =, le plant mesure, m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de m. Par propriété de la fonction eponentielle, lim t + + be,4t = donc par quotient lim t + h(t) = a, d'après l'énoncé on a donc a =. h() =, = a =, = b = + b, = 9 Partie f (t) = + 9e,4t. f est de la forme u avec u(t) = + 9e,4t donc f = u u avec u (t) =,76e,4t, soit (confusion à ne pas faire entre fonction u,u et valeurs en t...) f (t) =,76e,4t ( + 9e,4t ). Pour tout t [ ; 5], f (t) > donc f strictement croissante sur l'intervalle [ ; 5].. Le plant de maïs atteint une hauteur supérieure à,5 m se traduit par h(t) >,5 + 9e,4t >,5,5 > 9e,4t > e,4t 57 ( ) ln >, 4t 57 ln57 >, 4t ln57,4 < t Or ln57,4,8. Il faut donc un peu plus de jours pour que le plant dépasse,5 m. 3. (a) Pour tout réel t appartenant à l'intervalle [ ; 5] on a e,4t e,4t + 9 = e,4t e,4t ( + 9 e,4t ) e,4t = e,4t ( + 9e,4t ) = f (t) F(t) = 5ln ( e,4t + 9 ) est de la forme 5lnu(t) avec u(t) = e,4t + 9 et u(t) > sur R. donc F = 5 u u avec u (t) =,4e,4t, soit F (t) = 5,4e,4t e,4t + 9 = e,4t e,4t + 9 = f (t). F est donc bien une primitive de f sur l'intervalle [ ; 5]. (b) Par définition la valeur moyenne de f sur l'intervalle [5 ; ] est µ = 5 µ = 5 [F(t)] 5 = ln(e4 + 9) ln(e + 9),3. La hauteur moyenne du plant entre le 5 e et le e jour est de,3 m. 5 f (t)dt. 4. D'après le graphique, la vitesse est maimale lorsque la pente (coefficient directeur) de la tangente à la courbe est maimale, soit à t = 8, la hauteur du plant est environ de,5 m. Page 7

73 TS Annales -5 : fonctions,,8,6,4,,,8,6 Annee (Eercice ) hauteur (en mètres) y = Tangente de pente maimale en t = 8 ( ) 3 ln < <. 5 Finalement, pour tout réel de l'intervalle [ ; + [, g () >.. La courbe C f et la droite D ont un point commun d'abscisse si et seulement si f () = 3 soit g () = ce qui n'est pas possible car on vient de voir que g () >. La courbe C f et la droite D n'ont pas de point commun. Partie B : Étude de la fonction g On note M le point d'abscisse de la courbe C f, N le point d'abscisse de la droite D et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.. Comme M et N ont la même abscisse, pour tout de l'intervalle [ ; + [, MN = f () ( 3) = g () = g () car g () > d'après la première question.,4, E. temps t (en jours) énoncé Amerique du Nord 4 Partie A : Positions relatives de C f et D Soit g la fonction définie sur l'intervalle [ ; + [ par g () = f () ( 3).. Pour tout réel de l'intervalle [ ; + [, g () = 5e 3e = e (5 3e ). Comme e > (eponentielle), g () est du signe de 5 3e. 5 3e > 5 > 3e 5 ( ) ( ) > e ln > ln < ce qui est toujours vrai car 3 5. Si u est dérivable, (e u ) = u e u. La dérivée de e est donc e et celle de e est e. Pour tout de l'intervalle [ ; + [, g () = 5e + 3e = 6e 5e. 3. g étant dérivable sur [ ; + [, on étudie le signe de sa dérivée sur [ ; + [. Pour tout de l'intervalle [ ; + [, g () 6e 5e 6e 5 on a divisé par e > e 5 6 ( ) 5 ln 6 ( ) 6 ln 5 ( 6 En ln 5 pour g sur l'intervalle [ ; + [. ( ( 6 g ln 5 croissance de la fonction ln ), la dérivée s'annule en changeant de signe (+; ), donc g )) ( ) = 5 e ln e ln = ( 5 6 ) = = 5. ( ln ( )) 6 est un maimum 5 Page 73

74 Annales -5 : fonctions La distance entre un point de la courbe C f et le point de même abscisse sur la droite D est donc ( ) 6 maimale lorsque = ln. Cette distance maimale vaut 5 5 unités. Remarque : Comme le repère est orthogonal (a priori pas orthonormé), il s'agit d'unité en ordonnée.) 4. A() = 3 e 5e + 7 = 3 e 5e + 3 = On pose X = e solution de 3 e 5e + 3 = X solution de 3 X 5X + 3 = X solution de 3X X + 3 = équation du second degré Partie C : Étude d'une aire On considère la fonction A définie sur l'intervalle [ ; + [ par A() = [f (t) (t 3)]dt. Finalement, A() = = ln3. X = 3 ou X = 3 e = 3 ou e = 3 on revient à et X = e = ln3 ou = ln3 ln = ( ln3) = ln3 3 = ln3 car et ln3 <. A() = [f (t) (t 3)] dt = g (t) dt et g > sur [;]. A() mesure donc (en unités d'aires) l'aire du domaine limité par les droites d'équation =, =, la courbe C f et la droite D. (voir figure page suivante). La fonction g est continue sur [;+ [ et A() = g (t)dt, la fonction A est donc dérivable sur [;+ [ et A = g >. La fonction A est donc bien croissante sur l'intervalle [ ; + [. Eercice 3 E. énoncé Amerique du Sud 4 4 points On désire réaliser un portail comme indiqué à l'annee. Chaque vantail mesure mètres de large. On modélise le bord supérieur ( du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l'intervalle [ ; ] par f () = + ) e 4 + b où b est un nombre réel. 4 On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [ ; ]. 3. Pour tout réel strictement positif, A() = g (t)dt = 5 e t dt 3 e t dt = 5 [ e t ] [ 3 ] e t = 5( e + ) 3 = 5 5e + 3 e 3 ( e + ) par linéarité de l'intégrale. (a) La fonction f est dérivable sur R comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur R donc f est dérivable sur [ ; ] : ( f () = e ) ( 4)e 4 = e 4 4e 4 e 4 = 4e 4 4 (b) Pour tout réel, e 4 > et pour tout de ]; ], > Donc, pour tout de ]; ], 4e 4 < donc la fonction f est strictement décroissante sur [; ].. La fonction f est strictement décroissante sur [; ] donc son maimum est f (). On sait que le maimum est,5 on a donc f () =,5 ce qui équivaut à 4 +b =,5 b = 3 4 b = 5 4. A() = 3 e 5e + 7 Il faut donc que b soit égal à 5 4 pour que le maimum de la fonction f soit égal à,5. Page 74

75 Annales -5 : fonctions ( Dans la suite la fonction f est définie sur l'intervalle [ ; ] par f () = + ) e Chaque vantail est réalisé à l'aide d'une plaque métallique. On veut calculer l'aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à,5 m de hauteur du sol. (. Soit F la fonction définie sur l'intervalle [ ; ] par F() = 4 ) e La fonction F est dérivable sur R comme somme, produit et composée de fonctions dérivables sur R,donc elle est dérivable sur [ ; ] : F () = 4 e 4 + f () ( 4 8 Donc F est une primitive de f sur [; ]. )( 4)e 4 = 54 = 4 e 4 + e 4 + e = ( + 4. La fonction f est positive sur [; ] donc l'aire du vantail est A = f (t)dt. Comme F est une primitive de f sur [; ], cette intégrale est égale à F() F(). ) e = Variables : Les nombres X et S sont des nombres réels Initialisation : On affecte à S la valeur On affecte à X la valeur Traitement : Tant Que X +,7 <,5 S prend la valeur S +, ( f (X),5 ) Affichage : X prend la valeur X +,7 Fin de Tant Que On affiche S Dans cet algorithme, S désigne la somme des aires des planches du vantail de droite, et X désigne l'abscisse du bord gauche de chaque planche. Comme la largeur d'une planche est de, m, il ne faut pas que l'abscisse X du bord gauche de la dernière planche soit supérieure à, ; il faut donc faire tourner la boucle «Tant que X +, <», autrement dit «Tant que X +,7 <,5». F() = 5 8 e et F() = 8 donc F() F() = e 8 Pour calculer l'aire du vantail il faut retrancher l'aire du vide de,5 m de haut m de large et l'aire du vantail est égale à : F() F(),5 = e 8,,5 m. On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur, m, espacées de,5 m. Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail (voir l'annee de l'eercice 4) et le bas de chaque planche à,5 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de : ainsi la première planche à gauche porte le numéro.. Les bords gauches des planches sont situés tous les, +,5 =,7 m donc le bord gauche de la planche numéro k est situé à l'abscisse,7 k. L'ordonnée du point d'abscisse,7k est f (,7k) mais comme chaque planche est située à une hauteur de,5 m du sol, la hauteur de la planche numéro k est de f (,7k),5 en mètres. Chaque planche a une largeur de, m donc l'aire de la planche numéro k est, en m, égale à ( f (,7k),5 ),.. L'algorithme suivant calcule la somme des aires des planches du vantail de droite : E. énoncé Antilles 4 Partie A. g est dérivable sur R comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et pour tout réel : g () = + e. On a alors g () e. Le tableau de variations de g est donc : + g () + g On déduit du tableau précédent que, pour tout réel, g () >.. Étude en. lim ( + ) = et lim = donc, par somme : lim f () =. e Étude en +. Page 75

76 Annales -5 : fonctions lim + ( + ) = + et, par croissances comparées lim + e lim + f () = Pour tout réel, on a : f () = + e e (e ) = + e ( ) e e = + e = e + e = e g (). =, donc, par somme 4. On a vu plus haut que, pour tout réel, g () >, et comme par ailleurs e >, on en déduit que f () >. On obtient alors le tableau de variations suivant : + f () + f 5. La fonction f est continue sur R, strictement croissante. D'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'intervalle R a pour image R, ce dernier intervalle contenant, on en déduit que l'équation f () = possède dans R une solution α unique. + Par ailleurs, f ( ) = e < et f () = >, donc : < α <. 6. (a) La tangente T a pour équation réduite : Dressons alors un tableau de signes : + + e + k() On en déduit que C est située en dessous de T. Partie B. Pour tout réel : H () = e + ( ) ( e ) = e ( + ) = e = h(), la fonction H est donc une primitive de h sur R.. Sur [ ; 3], C est en dessous de T, l'aire A du domaine D est donc : 4 ( ) A = ( + ) f () d = 3 3 h()d [ ] 3 = H() = 4 + 4e 3 e. y = f ()( ) + f () y = +. (b) Posons, pour tout réel, k() = f () ( + ), alors : k() = + + ( + ) e = e = e ( e ). E 3. énoncé Antilles septembre 4 Soit (E ) l'équation : e n = où est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul. Page 76

77 Annales -5 : fonctions. e n = e = n ln(e ) = ln( n ) = n ln() n = ln() ln() n = Donc les équations (E ) et (E ) sont équivalentes.. L'équation (E ) admet deu solutions si et seulement si l'équation (E ) admet deu solutions. Soit f la fonction définie sur I =]; + [ par f () = ln() n ; résoudre l'équation (E ) revient donc à résoudre l'équation f () =. Cherchons les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition : lim ln() = > lim > par somme f () = lim n = f () = ln() ( ln() n peut s'écrire ) pour tout de ]; + [. n ln() ln() lim = = lim + + n = n < ( par produit ln() lim lim = + + n + La fonction f est dérivable sur I et f () = n = n n. f () s'annule et change de signe pour = n et f (n) = ln(n) n n = ln(n). D'où le tableau de variation de la fonction f : ) = lim + f () = n + n + f () + f () ln(n) D'après ce tableau de variation, l'équation f () = admet deu solutions dans ]; + [ si et seulement si le maimum de la fonction f est strictement positif, c'est-à-dire quand ln(n) > : ln(n) > ln(n) > n > e n 3 Donc on peut dire que l'équation (E ) admet deu solutions si et seulement si n est un entier naturel supérieur ou égal à 3. E 4. énoncé Asie 4 Soit g la fonction définie sur [ ; ] par g () = a (ea +e a ) où a est un réel strictement positif. On définit sur [ ; + [ la fonction f par f () = ( )e.. La fonction f est dérivable sur [; + [ comme somme, produit et composée de fonctions dérivables : f () = e + ( ) e = ( )e f () = e = lim ( ) = + + lim + e = + = lim + e = +. f () = e + ( ) e = ( + 4 )e = 4e } par produit = lim + ( )e = + = lim + f () = + 3. Pour tout, e > donc la fonction f est strictement positive sur ]; + [, et donc la fonction f est strictement croissante sur [; + [. La fonction f est continue [; + [. f () = < lim + f () = + donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation f () = admet une solution unique dans l'intervalle [; + [ ; on appelle cette solution. On aurait pu également établir le tableau de variations de la fonction f. 4. (a) D'après la question précédente : f () < sur [; [ donc f est strictement décroissante sur [; ] ; Page 77

78 Annales -5 : fonctions f () > sur ] ; + [ donc f est strictement croissante sur [ ; + [. f () = e = < f est décroissante sur [; ] (b) f () = e 4 = e 4 3 5,6 > } = f () < pour tout [; ] = f ( ) < E 5. énoncé Centres Étrangers 4 Les parties A et B sont indépendantes. On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ ; ] par : La fonction f est strictement croissante sur [ ; + [. La fonction f est continue sur [ ; + [. f ( ) < f () = e 4 3 > donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l'équation f () = admet une solution unique dans l'intervalle [ ; ]. f () > et f est strictement croissante sur [; + [ donc l'équation f () = n'a pas de solution dans l'intervalle [; + [. Comme f () < sur [; ], l'équation f () = n'a pas de solution dans [; ]. On peut donc dire que l'équation f () = admet une unique solution dans l'intervalle [; + [ et que cette solution appartient à l'intervalle [ ; ] ; on l'appelle a. En utilisant la calculatrice,on trouve a,. Pour déterminer une valeur approchée de à la calculatrice, on peut programmer la fonction f et utiliser le tableau de valeurs, ou utiliser le solveur si la calculatrice en possède un. 5. On admet que la longueur L de la chaîne est donnée par l'epression L = ( e a +e a) d. La fonction e α où α a pour primitive eα α donc la fonction ea + e a a pour primitive la fonction ea a + e a a soit a (ea e a ). ( L = e a +e a) [ ( d = e a e a)] [ ( = e a e a)] [ ( e e )] = ( e a e a) a a a a = ( e, e,),5, (a) f () = : évident ; f () = = ; f () = f fonction polynôme est dérivable sur [ ; ] donc continue sur cet intervalle ; f () = + 3 = 3 ( ) = 3( ) sur R donc sur [ ; ]. f est donc bien une fonction de retouche. (b) Il semble que la courbe coupe la droite d'équation y = pour =,5. On peut vérifier que f (,5) =,5. On a donc f (),5. Ce résultat signifie que f éclaircie les nuances codées par un nombre inférieur à,5 et inversement pour celles codées par un réel entre,5 et.. (a) f est une fonction dérivable car composée de fonctions dérivables, donc g l'est aussi et : g () = f () = e e (e ) (e ) (e ) = =. + (e ) + (e ) + (e ) (b) Comme e >, le dénominateur est positif comme somme de termes positifs ; le signe de g () est donc celui de son numérateur ; or e (e ) e (e ) e e On a e e,48. On a donc avec e e = a, g () a et de même g () a. La fonction g est donc croissante sur [ ; a], puis décroissante sur [a ; ]. g a donc un maimum g (a),. Page 78

79 Annales -5 : fonctions (c) D'après la question précédente sur l'intervalle [ ; a] la fonction g est continue et croissante de g () = à g (a),. Comme,5 [ ; a], il eiste une valeur unique α de [ ; a] telle que f (α) =,5. On démontre de même (avec g décroissante) que sur [a ; ] il eiste un réel unique β tel que g (β) =,5. On admettra que :,8 < α <,9 et que :,85 < β <,86., Annee Courbe représentative de la fonction f Partie B. Cet algorithme calcule le nombre de nuances par palier de, pour lesquelles la modification est perceptible visuellement.. On applique l'algorithme à la fonction g = f. Il calcule toutes valeurs telles que g (),5. Ce sont d'après la question précédente toutes les nuances comprises entre,9 et,85 : l'algorithme doit donc retourner : c = = 77.,5 Partie C,5,. (a) f produit de fonctions positives sur [ ; ] est positive sur cet intervalle. On a donc : A f = e ( ) d = [e ( ) ] = ( e ). (b) On a f () = 5+5 = et comme il est admis qu'elle est une fonction de retouche elle est croissante sur [ ; ], donc positive sur cet intervalle. On a donc : ( A f = ) d = [ 5 + 6ln( + 4) ] + 4 = 5 + 6ln5 6ln4 = 3 + 6ln On a A f = ( e ),36 et A f = 3 + 6ln 5 4,389. C'est la fonction f qui éclaircit le plus l'image. E 6. énoncé Liban 4 Soit f la fonction définie sur l'intervalle [; + [ par f () = e. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Partie A. f () = e e = ( )e e étant toujours strictement positif, f () sera du signe de. Il s'ensuit que f () sur [, ] et f () < sur ], + [ f est donc croissante sur [, ] et décroissante sur ], + [. Page 79

80 Annales -5 : fonctions. On sait que lim + e =, ce qui signifie que l'ae des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe C (c) A(6) = 7e 6,98 Partie B Soit A la fonction qui à tout réel t de l'intervalle [ ; + [ associe l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'ae des abscisses, la courbe C et les droites d'équations = et = t.. Comme la fonction f est continue et positive sur l'intervalle [; + [ alors et donc, pour tout t [; + [ Comme f [ ; + [. A (t) = f (t) t A(t) = f ()d est positive sur l'intervalle [ ; + [ il s'ensuit que la fonction A est croissante sur. On peut en déduire que la fonction A a pour limite en (a) Dressons le tableau de variations de la fonction A sur [ ; + [ :, y,9,8,7,6,5,4,3,, Γ C α A + A D'après ce tableau de variations l'équation A(t) = [ ; + [ (b) Sur le graphique ci-joint, on obtient α,7 4. (a) g () = e ( + )e = e admet une solution unique sur l'intervalle E 7. énoncé Métropole septembre 4 (b) On remarque que g () = f (), d'où t A(t) = f ()d = t g ()d = [ g () ] t = g (t) + g () = ( + t)e t Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé ( O; ı, ȷ ), une courbe C et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives ( ; ) et ( ; 3). Page 8

81 Annales -5 : fonctions Donc, pour tout de ] ; ], f () >. B 3 (b) Si, alors donc, donc et donc 3 ( ) 3. Comme pour tout, e >, on peut dire que pour tout, 3 ( ) e > (par produit). Donc, pour tout, f () = + 3 ( ) e >. ȷ O A ı (c) Sur ] ; ], f () > donc la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle donc sur l'intervalle [ 3 ] ;. ( Or f 3 ), 6 < et f ( ), > donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f () = admet une solution unique dans l'intervalle [ 3 ] ; ; on C l'appelle c. Or f ( 3 ) +.,7 > donc c [ 3 ; 3 [ +. et donc c < On désigne par f la fonction dérivable sur R dont la courbe représentative est C. On suppose, de plus, qu'il eiste un réel a tel que pour tout réel, f () = + + ae.. (a) Le point A a pour abscisse ; f () = donc C passe par le point A (; ). (b) Le coefficient directeur de la droite (AB) est y B y A = 3 B A =. (c) D'après la formule (e u ) = u e u et la dérivée d'une somme et d'un produit : f () = + + ae + a( )e = a ( ) e (d) On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe C au point A ; cela veut dire que le coefficient directeur de (AB) est égal au nombre dérivé de la fonction f en A soit f (). On a donc f () = a ( )e = + a = a = 3. D'après la question précédente, pour tout réel, f () = + 3e et f () = + 3 ( ) e. (a) R, e > ] ; ], 3 } par produit ] ; ], 3e ] ; ], + > par somme ] ; ], + 3e > 3. On désigne par A l'aire, eprimée en unités d'aire, du domaine défini par : (a) Comme f () sur [c ; ], alors A = c et y f () c f ()d. (b) On admet que l'intégrale I = f ()d est une valeur approchée de A à 3 près. 3 Pour calculer la valeur eacte de I, il faut déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle [ 3 ] ;. La fonction + a pour primitive la fonction +. La fonction e (forme u e u ) a pour primitive la fonction e donc la fonction 3e a pour primitive la fonction 3 e. La fonction f a donc pour primitive la fonction F définie par F() = e. ( D'après le cours : I = F() F 3 ) = 3 ( ) e 9 4 = e 9 4 Page 8

82 Annales -5 : fonctions E 8. énoncé Polynésie 4 Soient f et g les fonctions définies sur R par f () = e et g () = e On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.. Intersection de deu courbes : M(; y) C f C g f () = g () e = e Ainsi M a pour coordonnées (; ). f () = e = f () = ; g () = e = g () = En M, leurs tangentes ont, toutes deu le même cœfficient directeur, elles ont donc même tangente d'équation y = ( ) y = +.. Étude de la position relative de la courbe C g et de la droite Soit h la fonction définie sur R par h() = e. (a) Limite de la fonction h en : (b) lim h() = lim ( ) = + car lim e = Pour tout réel ( ) e = e = e = h() Limite de la fonction h en + : lim h() = lim + + e (c) Fonction dérivée de la fonction h sur R : = +, car lim { + h () = e = e X = e (f) Ainsi la courbe C g se trouve au dessus de la droite d'équation y = + qui est la droite. X X + = (X ) = e = = 3. Étude de la position relative des courbes C f et C g = et lim e X X= + X = +. g () g () + (e) La fonction h possède un minimum en qui est. Donc : + + +, R, h() e = e e + (a) On a vu plus haut (question.) que, pour tout réel, (b) Ainsi la courbe C f se trouve au dessus de la courbe C g. Ainsi, f () g () = ( f () g () ). ( e ) = f () g (). 4. Aire A du domaine compris entre les courbes C f et C g et les droites d'équations respectives = et = : ( ) A = f () g () d = f () + g () d = e d 4 e d + d = [ e ] [ ] 4 e + [] = e 4e = e 4 e + 4, O C h O C f C g 3 h () > e > > > et h () < e < < < (d) Tableau de variations de la fonction h sur R : Page 8

83 Annales -5 : fonctions E 9. énoncé Pondichéry 4 f est une fonction définie et dérivable sur R et f est la fonction dérivée de la fonction f. Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme C la courbe représentative de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f ; A ( ; ) C et B ( ; ) C.. La fonction f est décroissante puis croissante, donc la fonction dérivée doit être négative puis positive, ce qui élimine la situation 3. Si la fonction dérivée est représentée par une droite comme dans la situation, c'est que la fonction f est une fonction du second degré ; donc sa représentation graphique possède un ae de symétrie vertical. Ce n'est pas le cas donc on peut éliminer la situation. La bonne situation est donc la situation.. La droite tangente à la courbe C en A d'abscisse, a pour équation y = f ()( )+ f (). f () est l'ordonnée de A donc f () = ; f () est l'ordonnée du point B donc f () =. L'équation réduite de la tangente est donc : y = On sait que pour tout réel, f () = e + a + b où a et b sont deu nombres réels. (a) f () = e + + b = + b = b = (b) b = donc f () = e + a + donc f () = e + a ; or f () = e + a = + a = a =. (a) g () = f () = e + = e +. g () > e + > > e ln > > Donc g est strictement décroissante sur R, et strictement croissante sur R + ; la fonction g admet donc un minimum en =. Ce minimum vaut g () = f () ( + ) = =. (b) D'après la question précédente, pour tout réel : g () donc f () ( + ) f () + ce qui veut dire que la courbe C est au-dessus de la droite sur R.. On a vu que la courbe C était au dessus de la droite sur R donc c'est vrai sur [ ;]. De plus, la courbe C et la droite sont toutes les deu au-dessus de l'ae des abscisses sur l'intervalle [ ;]. L'aire de la partie grisée est égale à la différence de l'aire sous la courbe C entre = et =, et l'aire sous la droite entre = et =. Autrement dit cette aire est égale à f ()d (+)d = f () (+)d = g ()d g () = e + + = e + ; donc g a pour primitive la fonction G telle que G() = e +. ] ) g ()d = G() G( ) = [ e + = ( e + ( e ( ) + ( ) = e + +e = e e 4 3, 5 unités d'aire. ) ( ) Donc f () = e + + E 3. énoncé AmeriqueNordS5-eo-4.te 4. On a vu que f () = e + a et comme a =, f () = e +. f () > e + > > e ln > ln < Donc : la fonction f est strictement décroissante sur ] ; ln] ; la fonction f admet un minimum pour = ln ; la fonction f est strictement croissante sur [ ln ;+ [. 5. On sait que lim + e = et que lim + = + donc, par somme, lim + Soit g la fonction définie sur R par g () = f () ( + ). f () = La fonction est la somme des fonctions ln() et 3, toutes deu strictement croissantes sur ] ; + [, elle est donc strictement croissante sur cet intervalle. Remarque. On pouvait également dériver la fonction u et constater que la dérivée est strictement positive sur l'intervalle considéré.. Remarquons que la fonction ln conserve les inégalités strictes puisqu'elle est strictement croissante. Calculons u() = ln() or ln() < ln(e) = car e >. On prouve ainsi que u() <. Page 83

84 Annales -5 : fonctions D'autre part, u(3) = ln(3) or ln(3) > ln() = car 3 >, ce qui montre que u(3) >. Notons également que u est continue comme somme de fonctions continues. Nous sommes donc dans les conditions d'application du théorème des valeurs intermédiaires. possède ainsi un antécédent par u dans l'intervalle [ ; 3]. Comme u est strictement monotone sur ] ; + [, cet antécédent α est unique sur ] ; + [. Remarque. Ici, on pouvait également epliquer que l'on constate à la calculatrice que u() < et u(3) >. Mais cet argument est nettement moins satisfaisant d'un point de vue du raisonnement. 3. Compte-tenu du sens de variation de u, on a :. u() - α. Nous savons que lim = + et lim ln() =. Par opérations sur les limites, on en déduit > > que : lim f () = + >. (a) f est dérivable sur ]; + [ comme sommes et produits de fonctions dérivables sur ]; + [. Pour tout > : f () = ( (ln() ) + ). En réduisant au dénominateur : = (ln() + ) = (ln() + 3) = u() (b) Pour tout >, >. Ainsi le signe de f est celui de u. On en déduit que f est strictement décroissante sur ] ; α] et strictement croissante sur ]α ; + ] Un point M ( ; y ) appartient au deu courbes à la fois lorsque : { { { y = f () y = ln() y = ln() y = ln() f () = ln() = f () ln() On calcule : f () ln() = ( ) (ln() ) + ln(). On réduit au dénominateur : = [( )(ln() ) + ln()] = [ ln() ln() + + ln()] = ( ln()) Or ln() = n'a qu'une solution qui est = e. Les deu courbes se coupent donc en un unique point d'abscisse = e et d'ordonnée y = ln ( e ) =.. On utilise la linéarité de l'intégrale : e ln() I = d e e = d ln() d Or ln est une primitive de I = [ln()] e [H()]e = ( ln ( e ) ln() ) = (ln ( e ) ln() ) et H est une primitive de ln(). Ainsi : L'aire délimitée par C, C, et les deu droites d'équations = et = e est donc égale à. E 3. énoncé Antilles 5 Partie A. Pour toutes les courbes, on a g a () = a. Donc on a de bas en haut les courbes Γ,5, Γ,, Γ,9 et Γ,4. Page 84

85 Annales -5 : fonctions. Les courbes Γ,5 et Γ, semblent sécantes à C en deu points ; La courbe Γ,9 semble être tangente à C ; La courbe Γ,4 et C semblent ne pas être sécantes. Il semble donc que : - si < a <,9, Γ a et C ont deu points communs ; - si a =,9, Γ,9 et C ont un point commun ; - si a >,9, Γ a et C n'ont pas de point commun. Partie B. C et Γ a si et seulement si h a () =. Si m( ; y) CcapΓ a, alors ln = a ln a = h a () =. Le nombre de points communs à C et Γ a est donc égal au nombre de solutions de l'équation h a () =.. (a) a + h a () + h a () ln(a) On a en fait : h a () = a a =. a Comme > et a >, le signe de h a () est celui de a. Or a = = a a = =. a D'où le tableau de variation de h a ln (b) On sait que lim + =. ( ) Comme h a () = ln a, on a donc : ln lim + lim + a = et par produit de limites : ( ) ln a =. 3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a =,. (a) h, () = ln, =. Soit i la fonction définie sur ] ; + [ par i() = ln, ; cette fonction est dérivable sur ] ; + [ et sur cet intervalle : i () =,. or i () =, = =, 5 = = 5. On a de même i () >, > >, 5 > < 5. Sur l'intervalle ] ; 5[, la fonction i est continue et strictement croissante de à ln 5, ( 5 ) = ln5,5,3 > : la fonction i s'annule donc une seule fois sur cet intervalle. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle ] 5 ; + [. (b) D'après la question précédente la courbe Γ, et C ont deu points communs : l'un sur ] ; 5[ et l'autre sur ] 5 ; + [. 4. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a = e. (a) Le tableau de variations montre que le maimum de h e est égal à ln e + lne = =. (b) Le maimum étant nul, on en déduit que h e () ln e ; autrement dit C est sous Γ e, sauf pour = = e où elles ont un seul point commun. e 5. On a vu que C et Γ a n'ont aucun point d'intersection lorsque l'équation h a () = n'a pas de solution, c'est-à-dire lorsque le maimum de la fonction h a est inférieur à zéro, soit : ln(a) < ln(a) < lna > e lna > e a > e a >,8394,9. e Page 85

86 Annales -5 : fonctions 5 4 ANNEXE à rendre avec la copie Γ,4 Γ,9 Γ, Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : r = s = t = 3. Le point E est situé sur la droite (CD) donc son ordonnée vaut. AD DE Le nombre r est l'aire du triangle ADE qui est égale à. 3 Γ,5 De plus, cette aire doit valoir et on sait que AD =. 3 AD DE Donc = 3 entraîne DE = 3. ( ) Les coordonnées de E sont donc 3 ; Soit H le pied de la hauteur issue de G dans le triangle ABG ; donc GH est l'ordonnée du point G. AB GH L'aire s du triangle ABG est :. Or AB = et s = 3, donc : GH = 3 donc GH = 3. L'ordonnée y G de G est 3. E 3. énoncé Centres Étrangers 5 Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité Un atelier de design propose deu dessins possibles, représentés ci-dessous : D r G E t C D r G t E C Le point G( est) situé sur la droite (AE). Les points A et E ont pour coordonnées respectives (; ) et 3 ;. Donc la droite (AE) a pour équation y = 3. G (AE) d'équation y = 3 donc y G = 3 G. Comme y G = 3, on déduit que G = 4 9. ( 4 Le point G a pour coordonnées 9 ; ). 3. (a) D'après le tete, l'ordonnée y E du point E est égale à et ce point appartient à C f donc f ( E ) = y E ln( E + ) = E + = e E = e (b) L'abscisse du point G vaut,5 et le point G appartient à C f ; donc : A H s B Proposition A Proposition B ( ) Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé A ; AB, AD. A s K B f ( G ) = y G f (,5) = y G ln = y G Le point G appartient aussi à C g donc : ( ) ( ) G,5 g ( G ) = y G k = y G k = ln k = ln,5 G. (a) Soit F la fonction définie sur R + par F() = ( +,5) ln( + ). F est dérivable sur R + et : F () = ln( + ) + ( +,5) = ln( + ) + = ln( + ) = f () + Donc f a pour primitive F sur R +. Page 86

87 Annales -5 : fonctions (b) Soit K le projeté orthogonal de E sur (AB). Comme le point E a pour abscisse e, et e que la fonction f est positive, l'aire sous la courbe entre et est donnée par : e ( ) e e f () = d = [F()] = F F() = e ln e e = L'aire du rectangle ADEK est AD DE = e Donc r = e = e 3. g () = ln ( ) = ln = e Donc une primitive de g sur ] ; + [ est donnée par : G() = ln (ln ). 4. On admet que les résultats précédents permettent d'établir que s = [ln()] + ln() r = e,36 [,3 ;,4[. s = [ln()] + ln(),33 ],3 ;,4[ t = r s,3 ],3 ;,4[. Donc la proposition B vérifie les conditions imposées par le fabriquant Les points communs à C et à D m ont une abscisse qui vérifie : e = m e m =. Soit g la fonction définie sur R par g () = e m ; elle est dérivable sur R et sur cet intervalle : g () = e m. Or e m > e > m > lnm ; de même e m < e < m < lnm et e m = e = m = lnm (ce nombre eiste puisque m > ). La fonction g est donc décroissante sur ] ; lnm[ et croissante sur ] lnm ; + [. Elle a donc un minimum g (lnm) = e lnm m lnm = m m lnm = m( lnm). De plus : lim e =, donc En écrivant g () = lim g () = + ; lim g () = +. D'où le tableau de variations suivant : ( ) e m e, on sait que lim lnm g () = +, donc par produit de limites E 33. énoncé Liban 5 m( lnm). m = e. Une équation de la tangente à C au point d abscisse est : y e = e ( ) y = e.. Il semble d'après la question précédente que : si m = e, la droite est tangente à la courbe : il y a un point commun ; si m < e, la droite et la courbe n'ont pas de point commun ; si m > e, la droite et la courbe ont au moins un point commun. Si < m < e, alors lnm < lnm > et m( lnm) > : le minimum de la fonction est supérieur à zéro donc la fonction ne s annule pas ; la droite et la courbe n ont pas de point commun. Si m = e on a vu que la droite est tangente à la courbe. Si m > e alors lnm > lnm < et m( lnm) < : la fonction g s annule deu fois d'après le théorème des valeurs intermédiaires, donc la droite et la courbe ont deu points communs. Page 87

88 Annales -5 : fonctions E 34. B J O I B A énoncé Métropole 5 Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune. C Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD D, C DD C C, et OAB B sont des rectangles. D Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de mètres, autrement dit, DD D =, sa longueur OD est de mètres. Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre. Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f définie sur l'intervalle [ ; ] par f () = ( + )ln( + ) On note f la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O, I, J). Partie. f = u ln(u) + v avec u() = + et v() = + 7. f est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables. f = u ln(u)+u u u +v avec u () = et v () = 3 d'où f () = ln(+)+(+) + 3 = ln( + ) + 3 donc f () = ln( + ).. f () = ln( + ) = + e = e. f () > ln( + ) > + > e (croissance de la fonction ep ) d'où > e -. On en déduit le tableau de variation de f : Sgn. f () Var. f 3. f () = ln() =. 7 e +,6,93 La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B. 4. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [ ; ] par g () = ( + ) ln( + ) 4 a pour dérivée la fonction g définie sur l'intervalle [ ; ] par g () = ( + )ln( + ). g est donc une primitive de ( + )ln( + ). Une primitive de 3 7 est une primitive de f est donc définie par : F() = g () = ( + ) ln( + ) = ( + ) ln( + ) Partie Les trois questions de cette partie sont indépendantes. Les propositions suivantes sont-elles eactes? Justifier les réponses. P : La différence entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est f () f ( e ),93,6 8,3 > 8 donc P est vraie ; P : L'inclinaison en B est. L'inclinaison en est f () = ln(),4, donc P est vraie. Page 88

89 Annales -5 : fonctions. f est continue, donc la face avant, en unités d'aire, vaut A = f () d = F() F(). F() = ln F() =. On en déduit = 44ln 57. A = 44ln 57,3. L'aire latérale gauche vaut A = A(OAB B) = f () = 7. L'aire latérale droite vaut A 3 = A(DD C C) = f () = 9,3. L'aire à peindre en rouge est donc A = A +A +A 3 38,9 m. Le nombre de litres de peinture à prévoir est 38, E 35. énoncé Métropole septembre 5 On considère la fonction f définie sur ] ; + [ par f () = ( + ln ). Comme F est une primitive de f, alors f est la dérivée de F donc les variations de F sont données par le signe de f : F est croissante si et seulement f est positive C'est donc dans la situation que la courbe C F est la courbe représentative d'une primitive F de la fonction f.. Dans la situation, on appelle : K le point d'intersection de la courbe C f et de l'ae des abscisses et D la droite passant par K et parallèle à l'ae des ordonnées. Ce point K a pour abscisse la solution de l'équation f () = ce qui équivaut à ( + ln ) = ln = = e ; donc K ( e ; ). 3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points B k (k ; f (k)) pour k variant de à. Ainsi, B = B. B J O B B I B B k A B B B k B k+ (a) B k B k+ = + ( f (k + ) f (k) ) = + ( f (k + ) f (k) ). B k+ D C C D L le point d'intersection de C F et de l'ae des abscisses, ayant une abscisse supérieure à et la droite passant par L et parallèle à l'ae des ordonnées. Remarque : les primitives d'une fonction étant définies à une constante près, on ne peut pas déterminer l'epression de F, primitive de f, et on ne peut donc pas déterminer la valeur eacte de l'abscisse du point L. (a) L'aire du domaine du plan délimité par les droites D et, par la courbe C f et par l'ae des abscisses a une valeur approchée de,5 (aire du rectangle coloré en gris sur le graphique). (b) La partie de l'algorithme à compléter est : S prend la valeur. Pour K allant de à 9 S prend la valeur S + + ( f (k + ) f (k) ) (b) Rien dans le tete ne permettant de déterminer l'abscisse du point L, on ne peut donc pas calculer la valeur eacte de l'aire du domaine défini précédemment. Il serait intéressant de savoir ce que les consignes officielles de correction suggéraient comme réponse à cette question! Afficher S Page 89

90 Annales -5 : fonctions. En dérivant g comme un produit, on a pour tout réel de [ ; 8] :,5 C F g () = ( )e + ( ) ( )e = e ( ) = e = f (). g est donc une primitive de f sur [ ; 8].,,5 D C f. Comme > et e >, on a f () > sur [ ; 8]. Donc l'aire de la surface hachurée est égale en unités d'aire ( soit = m ) à l'intégrale : 8 f ()d = [g ()] 8 = g (8) g () = ( 8 )e 8 ( )e = e 9e 8. D'après les conditions du peintre son devis sera donc d'un montant de : D = ( e 9e 8) 666,37 e. -,5 K E 36. L,5,,5,,5 3, énoncé Polynésie 5 Partie A Modélisation. On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point. Il faut donc que f () =. Or f est dérivable sur [ ; 8] et sur cet intervalle : f () = ae + (a + b) ( )e = e (a a b). Donc f () = e (a a b) = be = b =, car e.. Le haut de la courbe est obtenu pour =. Or : 3,5 < f () < 4 3,5 < ae < 4 3,5e < a < 4e. Or 3,5e 9,5 et 4e,9 : le seul entier compris entre ces deu valeurs est a =. On a donc sur [ ; 8], f () = e. Partie B Un aménagement pour les visiteurs Partie C Une contrainte à vérifier. La fonction f est dérivable sur [ ; 8] et sur cet intervalle [ ; 8] : f () = ( )e + ( ) ( )e = e ( + = ( )e. Comme e > quel que soit le réel, le signe de f () est celui de. Si <, < : la fonction f est donc décroissante sur [ ; [ ; Si < 8, > : la fonction f est donc croissante sur ] ; 8[ ; Si =, f () = e,35 est donc le minimum de la fonction f sur [ ; 8].. Une équation de la tangente (T M ) au point M( ; y) est : P(X ; Y) (T M ) Y f () = f ()(X ). Le point L est le point de cette droite d'ordonnée nulle donc son abscisse X vérifie : f () = f f () ()(X ) X = f () Dans le triangle MLP, on tanα = PM PL = f () = f (). X = f () f (). f () f () = f () f () f () = f () 3. On a vu dans l'étude de la fonction f que celle-ci décroit de f () = ( )e = à,35 puis croissante de f () à f (8) = ( 8)e 8 = 7e 8,3. Le maimum de la fonction f () est donc,35 tan53,47 Cette valeur est bien inférieure à la valeur 55. Le toboggan est conforme. Page 9

91 Annales -5 : fonctions E 37. énoncé Pondichéry 5 Partie A f (4,),99899 et f (4,),999, donc 4, < α < 4, ; f (4,),99899 et f (4,),999, donc 4, < α < 4,. (encadrement à près. Partie B - C - 3 ȷ ı a 3 4. On sait que e > quel que soit le réel, donc + e > >. Le dénominateur étant 3 non nul, la fonction f est dérivable sur R et sur cet intervalle la fonction étant de la forme u(), avec u() = +e, donc u () = e on a : f () = 3u () (u()) = 3 ( ( )e ) +e = 6e ( ) > car quotient de deu nombres supérieurs à +e zéro. la fonction f est donc strictement croissante sur R (comme le laisse supposer le graphique).. On a lim = et en posant X =, lim + X ex =, d'où lim + X ex = et enfin par quotient de limites lim f () = 3 : ceci montre que la droite ( ) + d'équation y = 3 est asymptote à C au voisinage de plus l'infini. 3. Sur l'intervalle [ ; + [, la fonction f est continue car dérivable, strictement croissante de f () = 3 =,5 à 3 : il eiste donc un réel unique α [ ; + [ tel que f (α) =, La calculatrice donne : f (4),99899 et f (5),9999, donc 4 < α < 5 ;. On a vu dans la partie A que < f () < 3 f () < < 3 f (), soit h() > sur R.. La fonction H est dérivable sur R et sur cet intervalle : H () = 3 e 3e = +e +e = 3e e = 3e + 3 +e 3 +e = 3 ( e + ) +e 3 = 3 f () = h(). +e Donc H est une primitive de h sur R. 3. (a) On a vu que sur R donc en particulier sur l'intervalle [ ; a] (avec a > ), la fonction h est positive, donc l'intégrale a h()d est égale en unités d'aire à la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de h, l'ae des abscisses, et les droites d'équation = et = a. Mais comme h() = 3 f (), cette surface est la surface limitée par la droite, la courbe C et les droites d'équation = et = a (voir l'aire hachurée ci-dessus. (b) D'après la question B.., on a : a h() d = [H()] a = H(a) H() = 3 ln( +e a) + 3 ln( +e ) = 3 ln 3 ln( +e a) = 3 ( ) ln +e a. (c) D'après la question précédente, on sait que l'aire de D a, surface limitée par la droite, la courbe C et les droites d'équation = et = a est égale à 3 ( ) ln +e a. ( ) Or lim + e =, donc lim + + e = et lim + +e =, donc finalement par composition, l'aire de D est égale à lim ( ) 3 + ln +e = 3 ln,4 (u. a.) Page 9