7 Etude d une bobine. 7.1 Modèle théorique Bobine simple

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1 7 Etude d une oine Responsle : J.Roussel Ojectif Le ut de ce TP est d estimer les vleurs de l self inductnce L et de l résistnce interne r d une oine à l ide d un modèle simple puis de confronter le modèle ux résultts expérimentux. Prérequis Revoir le cours d électricité (régime sinusoïdl). 7.1 Modèle théorique Boine simple On forme une oine simple en enroulnt du fil de cuivre sur un cylindre de dimètre D et de longueur. Le fil de cuivre pour épisseur d et est enroulé en formnt N spires jointives. On cherche à exprimer l self-inductnce L et l résistnce interne r en fonction de N, D, d, et l conductivité du cuivre. d D Résistnce interne Figure 7.1: Le fil de cuivre ynt une conductivité finie, l oine résiste u pssge du cournt. S résistnce interne r s otient à l ide de l loi d ohm. Si l densité de cournt est uniforme dns le fil conducteur, on æ j = æ E L intensité du cournt électrique est donné pr I = js = ES et l tension ux ornes du fil conducteur pr U = Ec où c désigne l longueur de fil de cuivre. L résistnce du oinge vut donc r = U I = 1 c S 51

2 7 Etude d une oine Or si d est le dimètre du fil, s section vut S = fid 2 /4. De plus, il y N spires enroulées qui ont pour longueur fid de sorte que c = NfiD. Finlement l oine possède une résistnce interne qui ugmente vec le nomre de spires : L self inductnce r = 4ND d 2 Étudions mintennt l self inductnce. On considère l oine su smment longue pour pouvoir négliger les e ets de ord de sorte que l oine est ssimille à un solénoïde infini. Dns ce cs, lorsqu elle est prcourue pr un cournt d intensité I, elle produit un chmp mgnétique xil et uniforme dns l oine B Œ = µ 0 ni vec µ 0 =4fi.10 7 H.m 1 où n désigne l densité d enroulement en nomre de spires/mètre, soit n = N/. Pr illeurs le flux du chmp mgnétique à trvers une spire vut 1 = B Œ fi /4. Donc le flux emrssé pr les N spires, vut =N 1 = N 2 fi µ 0 4 Ce flux est proportionnel à l intensité électrique. I Définition L inductnce L d un circuit électrique est définie comme le rpport entre le flux mgnétique emrssé pr le circuit et l intensité du cournt : L = I On en déduit l vleur de l uto-inductnce de l oine : Boine multicouche L = µ 0 N 2 fi 4 Pour les mesures (prtie II) on utilise une oine dont l enroulement est répété plusieurs fois de fçon à former plusieurs couches. Si l épisseur du fil est file devnt le dimètre de l oine on peut considérer que toutes les spires ont le même dimètre de sorte que les formules précédentes restent pproximtivement vlides. On donc L = µ 0 N 2 fi 4 et r = 4ND d 2 (7.1) 52

3 7.2 Mnipultion L e et de peu L e et de peu est un phénomène électromgnétique qui fit qu en régime lterntif, le cournt est plus importnt en surfce des conducteurs. Ce phénomène d origine électromgnétique existe pour tous les conducteurs prcourus pr des cournts lterntifs. Plus précisément, un cournt lterntif de fréquence f se réprti essentiellement sur une couche d épisseur = 1 Ô µ0 fif Ainsi, le cournt se réprtit sur une couche pelliculire d utnt plus fine que l fréquence est grnde. Il en résulte une ugmenttion de l résistnce du conducteur vec l fréquence. On peut montrer qu à sse fréquence, l résistnce d une oine doit croître vec l fréquence de fçon qudrtique : r = r 0 (1 + f 2 ) 7.2 Mnipultion On utilise une oine LEBOLD. Le constructeur donne : d D N 0, 8 mm 7 cm 7 cm , S.m 1 On plce l oine étudiée dns un circuit électrique vec une résistnce vrile R et un condensteur de cpcité vrile C de fçon à former un circuit RLC série. L ensemle est limenté pr un GBF délivrnt une tension sinusoïdle. CH1 L, r C CH2 GBF u e (t) R u s (t) 53

4 7 Etude d une oine Rppel On dit qu il y résonnce d intensité lorsque l intensité qui circule dns le circuit est d mplitude mximle. L impédnce complexe du circuit RLC série vut 3 Z = R + r +i LÊ 1 4 CÊ L résonnce se produit qund l impédnce Z est minimum c està-dire qund LÊ = 1 CÊ = Ê = 1 Ô LC À l résonnce, le dipôle RLC se comporte donc comme une résistnce R + r et, pr conséquent, l intensité et l tension d entrée oscillent en phse. Si l on injecte deux signux sinusoïdux sur les voies et d un oscilloscope, et que l on commute l oscilloscope en mode, on otient une coure prmétrique d éqution I (t) = cos(êt) (t) = cos(êt + ) Il s git de l éqution prmétrique d une ellipse circonscrite dns un rectngle et dont l excentricité e vrie vec. Ce mode est prticulièrement dpté à l recherche de deux signux en phse. =0 = fi/4 = fi/2 =3fi/4 54

5 7.2 Mnipultion Mesure de L et r L mesure de l sel-inductnce et de l résistnce interne s e ectue pr une mesure de fréquence et deux mesures de tension e cces. 1. Rélisez le montge. Fixez C =1µF et R =20. Brnchez l entrée à un voltmètre en mode AC. Demndez à l enseignnt responsle de vérifier le montge. Ne rien llumer vnt cette vérifiction! 2. Réglez l mplitude de l tension d entrée de fçon à ce que l tension e cce ne dépsse ps 2V. Fixez une fréquence de l ordre de 500 Hz. 3. Augmentez l fréquence et, à l ide de l oscilloscope, déterminez l fréquence de résonnce f 0 pour lquelle les deux signux sont en phse. 4. Toujours à l résonnce, mesurez u voltmètre l tension e cce d entrée U Brnchez le voltmètre à l sortie (ux ornes de l résistnce) puis mesurez l tension e cce U Répétez les opértions précédentes pour les vleurs C =400, 100 et 20 nf. En portnt f 0 en fonction de 1/ Ô C on déduir l vleur de L. Enfin, près voir montré que le rpport U 1 /U 2 est lié à r on vérifier que l résistnce interne vrie comme le crré de l fréquence. Mtériel : Une résistnce x10 ; une oine LEBOLD 1000 tours ; une oîte de condensteurs ; un oscilloscope numérique ; un voltmètre un GBF Metrix G249 ; 55