Anémomètre à coupelles élémentaire

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1 Anémomètre à coupelles élémentaire Frédéric Élie, avril 2014 La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des études scolaires et supérieures, est INTERITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner clairement l auteur et la référence de l article. «Si vous de dites rien à votre brouillon, votre brouillon ne vous dira rien!» Jacques Breuneval, mathématicien, professeur à l université Aix-Marseille I, 1980 Le principe d'un anémomètre à coupelles, destiné à évaluer la vitesse du vent, exploite la relation entre la vitesse du vent et le nombre de tours par seconde effectué par des demi-sphères creuses montées à l'extrémité de bras portés sur un axe vertical. On propose ici le raisonnement hydrodynamique qui permet d'aboutir à cette relation, au final d'expression très simple, mais qui nécessite des calculs intermédiaires assez copieux... SOMMAIRE 1 Principe 2 Modélisation simplifiée 3 épendance des coefficients de traînée avec la vitesse 1 Principe Le principe d'un anémomètre à coupelles exploite la relation entre la vitesse du vent et le nombre de tours par seconde effectué par des demi-sphères creuses (coupelles) montées à l'extrémité de bras Frédéric Élie avril 2014 page 1/10

2 portés par un axe vertical, qui est l'axe de rotation. Nous allons établir cette relation dans le cas très simple du montage suivant (figure 1): un ensemble de 4 petites cuillers à médicament, en plastique, est disposé en croix sur un axe vertical. Celui-ci est formé par un bouchon de liège dans lequel on plante les manches de ces cuillers, et transpercé par une aiguille le long de son axe, cette aiguille étant disposée, à sa partie inférieure, dans un petit tube servant de guide: l'ensemble bouchon, aiguille, cuillers peut alors tourner librement autour de l'axe. Les coupelles sont orientées de la même manière, le creux de l'une étant précédé par la partie bombée de l'autre. Figure 1 Montage d'un anémomètre à coupelles rudimentaire Sous l'action du vent, la rotation de l'ensemble résulte d'un couple mécanique créé par les forces de traînée qui apparaissent sur les coupelles: elles sont différentes selon que l'écoulement arrive d'un côté ou de l'autre des hémisphères, en l'occurrence du côté creux ou du côté bombé. ans une approche simplifiée on considère que les coefficients de traînée sont constants et ne dépendent que de la géométrie de la coupelle. Une analyse plus fine tient compte que ces coefficients dépendent du nombre de Reynolds, donc de la vitesse relative de la coupelle dans l'écoulement. L'accélération des coupelles dépend directement des forces de traînée, mais la rotation devient uniforme lorsque ces forces s'équilibrent. La condition d'équilibre conduit alors à la relation entre la vitesse de rotation et celle de l'écoulement. 2 Modélisation simplifiée La géométrie du problème est représentée à la figure 2: figure 2 Les forces de traînées sont écrites dans le repère tournant e r, e pour deux coupelles et ' Frédéric Élie avril 2014 page 2/10

3 diamétralement opposées: en : F = 1 2 C U v S U v ² U v en ': F ' = 1 2 C ' S ' U v U v ' ² ' U v ' où v et v ' sont les vecteurs vitesses de et '. C et C' sont les coefficients de traînée de F et F '. En toute rigueur, ils dépendent de l'orientation des coupelles par rapport à la résultante des vitesses en et ', U v et U v ' donc de l'angle entre U et v, et entre U et v ', donc de l'angle de rotation θ (compté positivement depuis l'axe Oz portant la direction du vent U supposée fixe. S et S' sont les surfaces des maîtres-couples des hémisphères (surfaces projetées perpendiculairement au vent U): elles dépendent elles aussi de θ. La liaison 'O étant rigide, on a la relation vectorielle entre les vitesses des coupelles: v ' = v Considérons le moment cinétique de par rapport à l'axe de rotation O: L O =mo v Comme O ' = O et v ' = v, le moment cinétique de ' par rapport à O est: L ' O =mo ' v '= mo v =mo v = L O on a donc un couple mécanique, de bras de levier R, avec O=R e r (R est la distance entre le centre de rotation O est le centre d'une coupelle ). L'équation du mouvement est obtenue en appliquant le théorème du moment dynamique: M O = O F = d L O où F est la différence des forces de traînée: F = F F '. 'où: R e r F F ' =mr e r d v 2 m e [ C S U v r U v ² U v C ' S ' U v U v ' ² ' U v ' ] = e d v r d'où: d v = 2m[ C S U v U v ² U v C ' S ' U v U v ' ² ' U v ' ] Comme O=R e r, on a: d O = R d e r d d v = R d² ² d = R d e R d e = v 2 e r Frédéric Élie avril 2014 page 3/10

4 U = U sin e U cos e r alors l'équation vectorielle du mouvement est: R d² ² e R d 2 e r = m[ 2 C S U cos e U sin e r R d m[ 2 C ' S ' U cos e U sin e r R d U v e ² ] U v U v e ² ] U v (1) Cette équation du mouvement (1) est difficile à intégrer, compte tenu d'une part de son comportement non linéaire (présence de cos θ et sin θ) et d'autre part du fait que C, C', S et S' dépendent de θ. On peut s'affranchir de leur résolution si l'on considère que, sous l'action d'un vent constant en intensité et en direction (U = cste) l'anémomètre finit par atteindre rapidement un régime de rotation uniforme d² (équilibre dynamique): ² =0, d =cste=. L'équation (1) se simplifie alors en: R ² e r = m[ 2 C S U cos e R U sin e U v r ² ] U v m[ 2 C ' S ' U cos e R U sin e U v ] r ² U v (2) En particulier, pour θ = π/2, U =U e z, v =v e z = R e z : (2) devient: cos =0, sin =1 U v U v = U v U v = e z S=S ' C S R U ² e z C ' S R U ² e z =0 d'où la relation entre U et la vitesse angulaire de rotation des coupelles: C R U ²=C ' R U ² Comme on doit avoir U > Rω (la vitesse de rotation des coupelles ne peut pas être supérieure à celle du vent qui l'a induite), seule convient la racine U Rω: ou encore: C C ' U R =R U U =R C C ' C C ' (3) Pour une demi-sphère creuse, on a: C = 1,42 et C' = 0,38, d'où la relation remarquable: U =3,14 R (4) Frédéric Élie avril 2014 page 4/10

5 Remarque importante: ans (2) on a le terme R ² e r qui risque de devenir nul si (3) est vérifié: est-ce alors compatible avec la possibilité que v² /R = Rω² soit non nul? Pour essayer d'y répondre, développons (2) sur les axes tournant e r et e : soit, tout calcul fait: 2m R ² e r =C S U cos e r R U sin e ² U sin e U cos e r R e U sin e U cos e r R e C ' S ' U cos e r R e U sin e ² U sin e U cos e r R e U sin e U cos e r R e 2m R ² =U cos[c S U² cos² R U sin ² C ' S ' U² cos² R U sin ² ] 0=C S R U sin U² cos² R U sin ²±C ' S ' R U sin U² cos² R U sin ² (la présence du ± provient que certains termes ont été divisés par leur racine carrée). On a finalement: 2m R ² =U cos[c S U²R R 2U sin C ' S ' U²R R 2U sin ] 0=C S R U sin U² R R 2U sin ±C ' S ' R U sin U²R R U sin Pour θ π/2, sin θ 1, cos θ = ε << 1, S = S', les égalités précédentes deviennent: 2m R ² S U [C U R C ' U R ] 0 C R U ²±C ' RU ² qui, avec «-» donne (3): il s'ensuit que, en injectant dans la première égalité: U R ²= C ' C R U ² 2m R ² S U [C ' RU C ' U R ]=0 qui est compatible si: 2m R ² 1 (4 bis) S U Vérifions que (4bis) est vérifiée dans les cas pratiques: soit a le rayon d'une coupelle (rayon de la demisphère), alors le maître-couple est de l'ordre de S = πa². Si ρ 0 est la masse volumique du matériau de la coupelle, et ρ celle du fluide (en l'occurrence ici l'air), alors la masse de la coupelle m est, avec h épaisseur de la paroi de la demi-sphère: m = ρ 0 hs = ρ 0 h πa². La quantité (4bis) devient alors: 2m R ² S U = 2 0 h a² R ² a² U =2 0 h R ² U Or, d'après (4): U = 3,1 Rω, et la quantité précédente devient: 0,21 0 h U, qui est très petite devant R 1 si h << R, ce qui est le cas en pratique. La simplification est donc justifiée sous cette condition. 3 épendance des coefficients de traînée avec la vitesse Pour certaines valeurs de la vitesse relative U-Rω, les coefficients de traînée C et C' dépendent d'elle Frédéric Élie avril 2014 page 5/10

6 à travers le nombre de Reynolds: U R R e= = 2R diamètre, viscosité cinématique. Pour des Re > 10 6, les C et C' sont pratiquement constants. Mais pour des valeurs comprises entre 1 et 100 (écoulements où les effets de viscosité deviennent comparables aux effets dynamiques), les coefficients de traînée décroissent pratiquement de manière linéaire avec Re: C K R e (5) (K = 24 pour uns sphère pleine). (5) se démontre par la formule de Stokes, valide pour de petits nombres de Reynolds (Re < 1000). Cette démonstration est rappelée ci-après: On s'intéresse à l'écoulement autour d'une sphère, le cas des demi-sphères creuses sera une correction du résultat final. Si l'écoulement est lent et si le fluide est incompressible, les équations de Navier-Stokes se réduisent à: d i vu=0 6 P ² u=0 7 où u est la vitesse relative de l'écoulement par rapport au solide, donc: u= U R e avec U =U e z et = viscosité dynamique. Si «a» est le rayon de la sphère, les conditions aux limites sont: u=0 pour r=a u=u e z à r En coordonnées sphériques (r, θ, φ) (base: e r, e, e ), on cherche des solutions pour le champ de vitesse et de pression sous la forme (figure 3): u r = v j r P j cos 8a j u = j P= j où les P j sont des polynômes de Legendre. w j r dp j d 8b p j r P j cos 8c Frédéric Élie avril 2014 page 6/10

7 Figure 3 Par définition, les polynômes de Legendre sont solutions de: 1 sin sin P j j j1 P j =0 (9) (8a) et (6) donnent la relation entre les «coefficients» v j de u r et ceux w j de u θ : j j1w j r = 1 r r r² v j (10) ans (7), ² u s'exprime par le rotationnel: ² u= rot rot u Or d'après (8a): rot u= j j r v j j j1 P j cos e où j est l'opérateur différentiel: donc: j = 1 r ² j j1 r r² r² ² u= { j r v j P j r j cos e r 1 r Les polynômes de Legendre P j forment une base orthogonale, i.e.: r r j r v j j j1 dp } j d e (11) P j x P m xdx= jm il en est de même pour leurs dérivées à l'ordre quelconque. On peut donc exprimer (8c) en fonction des v j, au lieu des polynômes de Legendre P j : Frédéric Élie avril 2014 page 7/10

8 P j r = rv j j r P j = (7) donne alors, compte tenu de (12a), (12b) et (11): Les solutions de (13) sont de la forme: 12a r r j r v j j j1 12b j j rv j =0 (13) v j r= A 1 r j 1 A 2 r j1 A 3 r j j 2 A 4 r Les constantes A 1, A 2, A 3, A 4 sont déterminées par les conditions aux limites: vitesse nulle sur la sphère r = a: v j (a) = w j (a) = 0 pour tout j vitesse égale à la vitesse de l'écoulement à l'infini r = : lim u= U =U e z =U cos e r sin e r Il en résulte que seule subsiste la composante v 1 (r) pour laquelle on a: avec: v 1 r=a 1 A 2 r² A 3 r A 4 r 3 A 1 = U, A 2 = 0, A 3 = -3Ua/2, A 4 = Ua 3 /2 Pour j = 1, P 1 (cosθ) = cosθ, d'où finalement: u r =U cos 1 3a 2r a3 3 2r 3 4 r 3a u = U sin 1 4r a3 p= 3 U a 2r² cos (14) La force de traînée F sur la sphère est égale à: F = [ ] e r ds S où [σ] est le tenseur des contraintes qui se limite aux composantes σ rr et σ rθ en symétrie sphérique. onc: / 2 F = / 2 2 d d rr cos r sin a² sin e z 0 Or, pour un fluide newtonien, le tenseur des contraintes s'écrit: ik = p ik u k x i u i x k 2 3 d i v u ik d i vu ik où ζ est le coefficient de viscosité dynamique de volume, encore appelé seconde viscosité. Le fluide Frédéric Élie avril 2014 page 8/10

9 étant incompressible, d'après (6), il reste: ce qui donne, en symétrie sphérique: e (14) on déduit alors la formule de Stokes: ik = p ik u k x i u i x k rr a= p a r a= u r r=a F =6 au (15) où F =F e z orientée suivant Oz. NB: application de la formule de Stokes - Lorsque la pesanteur intervient, l'équilibre d'une bille qui coule dans un fluide visqueux est atteint lorsque le bilan des forces exercées sur elle est nul: force de frottement, ou de traînée (15), poids et poussée d'archimède (V: volume du corps immergé, ρ 0 sa masse volumique): F 0 V g V g=0 6 au 4 3 a3 g 0 =0 = 4 3 a3 g 0 6 au = g U a² (16) (16) permet de déterminer la viscosité d'un fluide par la mesure de la vitesse de chute uniforme U d'une bille de dimensions et densité connues. Le coefficient de traînée C intervient, par définition, dans l'expression suivante de la force de traînée: F = 1 2 C S U² où S = πa² est la surface du maître-couple d'une sphère pleine. L'égalité avec (15) conduit à: 6 au C = = 1 2 S U² 6 a U = 1 2 a² U² 12 2 U soit: C = 24 R e (18) où R e= U nombre de Reynolds ( = 2a diamètre de la sphère). En toute rigueur, dans l'expression (17) de F on devrait remplacer U par (U ± Rω) du fait que la sphère U R est en rotation suivant le rayon R de l'anémomètre, et donc R e= pour la face bombée, et Frédéric Élie avril 2014 page 9/10

10 U R R e= pour la face creuse. En outre, ayant affaire à une demi-sphère creuse (15) doit être corrigé d'un coefficient K et K' qui dépend de la face exposée au vent: C = 24 K U R C ' = 24 K ' U R que l'on remplace dans la condition d'équilibre (égalité des forces de traînée): F = 1 2 C SU R ²=F ' = 1 2 C ' S U R ² donc: soit: C U R ²=C ' U R ² K U R =K ' U R ce qui donne la relation, très simple, entre la vitesse du vent et la vitesse de rotation de l'anémomètre, qui remplace (3) et établie rigoureusement: U =R K K ' K K ' (19) Idée d'expérience: pour vérifier la relation (19) on pourra mesurer la vitesse angulaire de rotation ω (ou le nombre de tours par seconde) à l'aide d'une caméra, et on fera varier la vitesse du vent U (à l'aide par exemple d'un pendule statique: inclinaison d'une plaque en équilibre sous l'action d'un vent constant, tel qu'expliqué dans l'article: «Équilibre d'une plaque soumise à l'action d'un écoulement: une application du théorème d'euler par Frédéric Élie, avril 2014»). On doit obtenir une droite U = f(ω) dont la pente dépend de K et K'. Frédéric Élie avril 2014 page 10/10