Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY

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1 Université Paris-Dauphine Ceremade o Introduction aux méthodes particulaires o François BOLLEY

2 I - Les équations d Euler incompressibles : modèle macroscopique, particules déterministes II - L équation de Vlasov-Fokker-Planck : modèle cinétique, particules stochastiques

3 I - Les équations d Euler incompressibles 1 - Présentation des équations Modèle mathématique décrivant le mouvement macroscopique d un fluide idéal incompressible. Phénomènes macroscopiques : fluide = continuum d éléments de fluide Etat du fluide décrit par les propriétés des éléments de fluides, les champs macroscopiques u(t, x) (vitesse), ρ = ρ(t, x) (densité),... Moyennes de quantités microscopiques : u(t, x) = 1 N(x) u i N(x)

4 Obtention des équations : Fluide : ensemble D de R 2 ou R 3 Flot : application Φ t de D dans D : position initiale position à l instant t Mouvement incompressible : volume (V t ) = volume (V 0 ) si V t = Φ t (V 0 ) Champ de densité de fluide : ρ = ρ(t, x) où ρ(t, x) dx est la masse de fluide au temps t dans l élement de fluide dx en x Conservation de la masse : ρ(y, t) dy = ρ(x, 0) dx V t V 0 Or, avec y = Φ t (x), ρ(y, t) dy = ρ(φ t (x), t) dφ t(x) dx = ρ(φ t (x), t) dx. V t V 0 dx V 0 Comme V est arbitraire, ρ(φ t (x), t) = ρ(x, 0) : densité constante sur chaque trajectoire. On supposera qu elle est uniforme, égale à 1.

5 Vitesse d une particule : dφ t(x) Champ de vitesse : u(t, y) = dφ t(x) si y = Φ t (x). Connaître le champ de vitesse u(t) en tout temps revient à connaître le flot Φ t en tout temps Description eulérienne / lagrangienne du fluide Mouvement du fluide déterminé par l interaction entre éléments du fluide produite par l incompressibilité Force : il existe une fonction p = p(t, x) réelle telle que d2 Φ t 2 (x) = p(t, Φ t(x)). Or De là : d 2 Φ t (x) = d 2 u(t, Φ t(x)) = u t (t, Φ t(x)) + dφ t (x) u(t, Φ t(x)) ( u ) = t + u u (t, Φ t (x)) u (t, y) + u u(t, y) = p(t, y) t

6 Incompressibilité : 0 = div u = 3 u i x i Condition au bord : u tangent au bord si D est borné valeur asymptotique de u si D n est pas borné Cas simple où D = R 2 : u t + u u = p, t > 0, x R2 div u = 0, t > 0, x R 2 u(t, x) 0, x + On écrit ces équations en fonction seulement du champ réel de vorticité ω(t, x) = rot u(t, x) = u 2 x 1 u 1 x 2

7 ( ψ La condition div u = 0 implique u = ψ =, ψ ) x 2 x 1 où de manière générale y = (y 2, y 1 ) si y = (y 1, y 2 ). De là ψ = ω : équation de Poisson La solution Ψ nulle à l infini est où c est-à-dire où Ψ(x) = R 2 G(x y) ω(y) dy G(x) = 1 ln x 2π u(x) = K(x y) ω(y) dy R 2 K(x) = 1 x 2π x 2. K(x y) champ de vitesse créé en x par un tourbillon d intensité ω(y) = 1 en y.

8 Connaître le champ de vitesse u t = u(t,.) en tout temps revient à connaître le champ de vorticité ω t = ω(t,.) en tout temps. La vorticité vérifie soit soit encore ω t + (u ) ω = 0, d ω(t, Φ t(x)) = 0 ω(t, Φ(t)) = ω(0, x). t > 0, x R2 La vorticité est conservée le long des trajectoires.

9 2 - Approximation particulaire : la méthode des tourbillons Elle consiste à approcher la solution ω t (x) par un profil de vorticité ˆω I t (x) = i I a i δ(x x i (t)). On part d une donnée initiale ˆω I 0(x) = i I a i δ(x x i (0)) qui approche la donnée initiale ω 0 (x). Questions : 1. choix des a i et x i (0), 2. évolution des x i (t), 3. évaluation de l erreur commise. 1. Construction de la donnée initiale : choix des a i et x i (0) Si par exemple le support de ω 0 est compact on le découpe en carrés de côté h : pour i = (i 1, i 2 ) Z 2 on pose par exemple x i (0) = h i = (h i 1, h i 2 ) et a i = h 2 ω 0 (x i ). Ainsi I = {i Z 2, x i support(ω 0 )}. On peut également tirer les x i aléatoirement : voir partie II.

10 2. Evolution des x i (t) Le profil de vorticité ˆω t I (x) = a j I j δ(x x j (t)) induit le champ de vitesse û I t (x) = K(x y) ˆω I t (y) dy = a j K(x x j (t)). R 2 j I En particulier û I t (x i (t)) = j I a j K(x i (t) x j (t)) donc x i (t) doit évoluer selon dx i (t) = j I a j K(x i (t) x j (t)) = j I 1 (x i (t) x j (t)) a j 2π x i (t) x j (t). 2 Pour j = i cela pose un problème, on considère alors dx i (t) = j i 1 (x i (t) x j (t)) a j 2π x i (t) x j (t). 2 Ceci revient à dire que l influence d un tourbillon sur lui-même est nulle : dans R 2, un tourbillon seul est fixe, ce qui n est pas le cas en présence d un bord.

11 Le problème x j (t) = x i (t) : effondrement en temps fini pour des a i de signe différent ; grandes vitesses pour x j (t) proche de x i (t). Régularisation du noyau K en un noyau K α = χ α K Evolution des x i (t) : dx i (t) = j i a j K α (x i (t) x j (t)) = K α ˆω I t (x i (t)) Remarque : Si ˆω I,α t (x) = j I a j χ α (x j (t)) = χ α ˆω I t (x), alors K α ˆω I t = (K χ α ) ˆω I t = K (χ α ˆω I t ) = K ˆω I,α t. Ainsi les x i (t) évoluent dans le champ de vitesse K α ˆω t I, qui est donc égal au champ de vitesse créé par les tourbillons a j χ α (x x j (t)), centrés en x j (t) et de taille (α) donnée par la fonction χ α.

12 3. Evaluation de l erreur commise : au niveau des champs de vorticité : on a remplacé la solution ω t (x) obtenue à partir de ω 0 (x) par la vorticité ˆω I t (x) construite à partir des points x i (t) ; au niveau des champs de vitesse : on a remplacé le champ de vitesse u t (x) = K ω t (x) correspondant à ω t (x) par le champ de vitesse û I t (x) = K α ˆω I t ; au niveau des trajectoires : on a remplacé les trajectoires Φ t (x i (0)) construites à partir du champ de vitesse u t par les trajectoires x i (t). Par exemple : pour tout s > 0 et T 0 il existe une constante C telle que sup u t (x) û I t (x) + max Φ t (x i (0)) x i (t) C ( x R 2 i I α s α + h2 α ), 0 t T. Preuve fondée sur des estimations de Φ t (x i (0)) x i (t), comme on le retrouvera dans la partie II. 4. Etape suivante : discrétisation en temps x n+1 i x n 1 i 2τ = j a j K α (x n i x n j ), n 1, i J

13 II - L équation de Vlasov-Fokker-Planck 1 - Présentation de l équation Modèle cinétique de l évolution de la distribution d un gaz : position et vitesse En un point de l espace, les particules peuvent avoir différentes vitesses. Un élément de fluide est repéré par sa position et sa vitesse Densité dans l espace des positions et vitesses : f t (x, v) où f t (x, v) dx dv est la masse de fluide à l instant t dans l élément dx dv en (x, v). Solution d une équation de transport et diffusion : f t t + v xf t x U x ρ t v f t = v f t + λ v (vf t ), t > 0, x, v R 3 où ρ t (x) = f t (x, v) dv est la densité dans l espace des positions. R 3

14 Interprétation : un élément de fluide initialement en (x(0), v(0)) sera à l instant t en (x(t), v(t)) où dx(t) = v(t) dv(t) = 2 db(t) λ v(t) x U x ρ t (x(t)). B = B(t) est un processus de Wiener (ou mouvement brownien) sur R 3. De manière abstraite on pose y(t) = (x(t), v(t)) R 6 : y(t) est alors solution de dy(t) = σ db(t) + b(y(t)) + c f t (y(t)). A chaque instant t, y(t) est une variable aléatoire dans R 6. La probabilité qu elle soit dans l ensemble A est f t (z) dz où z = (x, v) : la distribution du gaz f t est la R 6 distribution de présence de la variable y(t). y(t) évolue dans un champ de force généré par sa distribution f t.

15 2 - Approximation particulaire Elle consiste à approcher la solution f t (x) par un profil ˆf N t (x) = a i δ(x x i (t)). On part d une donnée initiale ˆf N 0 (x) = initiale f 0 (x). a i δ(x x i (0)) qui approche la donnée Questions : 1. choix des a i et x i (0), 2. évolution des x i (t), 3. évaluation de l erreur commise. 1. Construction de la donnée initiale : choix des a i et x i (0) On prend a i = 1/N, et x i (0) N variables aléatoires indépendantes de distribution f 0. Pour N grand, au niveau des observables 1 n ϕ(x i (0)) ϕ(z) f 0 (z) dz R 6

16 2. Evolution des x i (t) Le point y(t) du fluide évolue selon dy(t) = σ db(t) + b(y(t)) + c f t (y(t)), dans le champ de force créé par la distribution du fluide f t dans R 6. Dans le cadre discret où le fluide est remplacé par seulement les N points x i (t), l analogue de la distribution f t est la mesure empirique ˆf N t (x) = 1 N δ(x x i (t)). En effet A ˆf N t (x) dx est bien la proportion de points x i (t) dans l ensemble A. On fait donc évoluer les points x i (t) dans le champ de force créé par cette mesure, soit selon dx i (t) = σ db(t) + b(x i (t)) + c ˆf N t (x i (t)), i = 1,..., N.

17 Prenant différents processus de Wiener ceci s écrit dx i (t) = σ db i(t) + b(x i (t)) + 1 N c(x i (t) x j (t)), i = 1,..., N. D après H. McKean, A.-S. Sznitman, H. Tanaka,..., à t fixé 1 E ϕ(x i (t)) ϕ(x) f t (x) dx 0 quand N + N R 6 Etant donnée une erreur ε, peut-on estimer [ 1 P N ] ϕ(x i (t)) ϕ(x) f t (x) dx > ε R 6 en fonction du nombre N de particules (optique numérique)?

18 Par exemple, sous une hypothèse de moment exponentiel carré sur la donnée initiale f 0 (F. B., A. Guillin, C. Villani) [ P sup 0 t 1 sup [ϕ] lip 1 1 N ] ϕ(x i (t)) ϕ(x) f t (x) dx > ε R 6 pour ε > 0, N N 0 (ε) explicite. Autrement dit [ ( 1 P sup d 0 t 1 N ) ] δ(x i (t)), f t > ε pour ε > 0, N N 0 (ε), où d(µ, ν) = sup ϕ dµ ϕ dν = [ϕ] lip 1 R 6 R 6 K N ε2 e K N ε2 e inf E X Y X µ,y ν est une distance mesurant la convergence faible des mesures de probabilité.

19 Application : approximation de la densité de f t sur R 6 On régularise ˆf N t avec (x) en N,α ˆf t (x) dx où ˆf N,α t (x) = (χ α ˆf N t )(x) = 1 N χ α (x x i (t)) χ α (x) = 1 α χ( x) 6 α Alors P [ sup y R 6 ] N,α ˆf t (y) f t (y) > ε K N ε2d+4 e pour tout ε > 0, N N 0 (ε) et pour α = L ε (ou pour α = α(n)). Approximation du profil limite f quand t tend vers +

20 Idée de preuve : 1. Les points x i (t) évoluent selon dx i (t) = σ db i(t) + b(x i (t)) + c ˆf N t (x i (t)), i = 1,..., N. Propagation du chaos : quand N devient grand les x i (t) tendent à se comporter comme des processus indépendants : plus précisément comme les processus y i (t) tels que y i (0) = x i (0) et évoluant selon dy i (t) = σ db i(t) + b(y i (t)) + c f t (y i (t)), i = 1,..., N. On quantifie ce comportement en évaluant les quantités x i (t) y i (t) : on obtient ( 1 sup d 0 t 1 N ) ( 1 δ(x i (t)), f t C sup d 0 t 1 N δ(y i (t)), f t ).

21 2. Les variables y i (t) sont indépendantes et de loi commune f t : on est donc amené à comparer la mesure empirique de N variables indépendantes avec leur loi commune. Pour cela on dispose de résultats généraux. Par exemple si R 6 e a x 2 [ P ϕ df t 1 N ] ϕ(y i (t)) > ε e KNε2, ε > 0, N 1 f t (x) dx < + pour un a > 0 Djellout-Guillin-Wu, B.-Villani, Gozlan Uniformément sur les observables ϕ : [ P d(f t, 1 N ] δ(y i (t))) > ε [ = P sup [ϕ] 1 ϕ df t 1 N ] ϕ(y i (t)) > ε e KNε2 pour ε > 0, N N 0 (ε), sous la même hypothèse

22 3. On en déduit [ P sup d(f t, 1 0 t T N ] δ(y i (t))) > ε e KNε2 pour ε > 0, N N 0 (ε), puis [ P sup d(f t, 1 0 t T N ] δ(x i (t))) > ε [ P sup d(f t, 1 0 t T N ] δ(y i (t))) > ε/c e K Nε 2 pour ε > 0, N N 0 (ε). On peut également étudier les propriétés des trajectoires (y(t)) 0 t T sur un intervalle de temps [0, T ] donné. et (x i (t)) 0 t T

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