BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2017

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1 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 7 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Rigny, A. Walbron et A. Warin 4, CC BY-NC-SA 3. FR Dernière mise à jour : le 8/9/6

2 Introduction L épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante : 5mn de préparation sur table. 5mn de passage à l oral. Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site un exercice sur points. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les exercices de la banque pour la session 7 : 58 exercices d analyse ( exercice à exercice 58). 36 exercices d algèbre (exercice 59 à exercice 94). 8 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice ). Dans l optique d aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d année scolaire. Cela dit, il ne s agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour plus de clarté, relevé d éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d exercices. Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d année, en vous connectant sur le site : si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3. Remerciements à David DELAUNAY pour l autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des exercices de l ancienne banque, diffusés sur son site NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d Estampes et interrogateurs, Banque d exercices de mathématiques pour le programme 3-4 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 7 (3) exercices. D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 4. L équipe des examinateurs de l oral de mathématiques des CCP, filière MP. Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.com CC BY-NC-SA 3. FR Page

3 MISES À JOUR : Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site des concours, en date du 4/4/6. mise à jour du 8/9/6 : exercice corrigé. modifié. exercice 3 énoncé : une virgule otée " à gauche de concernant". exercice 7 corrigé. : X changé en A dans tout le corrigé. exercice 49 corrigé.(a) autre méthode : a n M = n= a n changé en a n M = exercice 59 énoncé : rajout de : Soit n un entier naturel tel que n. exercice 59 corrigé : justification du fait que f est un endomorphisme de E placée avant les questions.(a) et.(b). exercice 6 corrigé 4. : "d après les questions précédentes" supprimé. exercice 6 corrigé.(b) : analyse remplacée par analyse (unicité) et synthèse remplacée par synthèse (existence). exercice 63 corrigé. : (D n ) n> changé en (D n ) n. exercice 69 corrigé. troisième cas : les deux première colonnes changé en les deux premières colonnes. exercice 7 énoncé : rajout de : Soit n un entier naturel non nul. exercice 77 : changement de barème. exercice 78 : corrigé 3. ligne 4 changée en : ore est une base orthonormée de E donc (e i e j ) = δ j i où δj i désigne le symbole de Kronecker. exercice 8 énoncé : deux phrases permutées dans le début de l énoncé. exercice 84 corrigé. : début modifié. exercice 85 corrigé : harmonisation de la numérotation du corrigé avec celle de l énoncé. exercice 86 énoncé.(c) : changé en : En déduire, pour tout entier naturel n, que : p ne divise pas n = n p mod p. exercice 87 énoncé : p,..., n changé en p, n. exercice 88 énoncé.b : jutfier remplacé par justifier. et question reformulée. exercice 9 énoncé. : rajout de : On admet que S n (R) et A n (R) sont des sous-espaces vectoriels de E. exercice 98 corrigé.b : une parenthèse en trop dans l expression de Z(Ω). exerccie 5 énoncé : 5 dés sont pipés changé en 5 sont pipés (c est-à-dire truqués). exercice énoncé.(a) : pour tout réel t fixé changé en Pour tout réel t fixé de D GX. p= a p. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

4 BANQUE ANALYSE EXERCICE analyse Énoncé exercice. On considère deux suites numériques (u n ) n N et (v n ) n N telles que (v n ) n N est non nulle à partir d un certain rang et u n v n. + Démontrer que u n et v n sont de même signe à partir d un certain rang. ( ) ( ). Déterminer le signe, au voisinage de l infini, de : u n = sh tan. n n Corrigé exercice. Par hypothèse, ( N) N/ n N, n N = v n. un Ainsi la suite est définie à partir du rang N. v n u n De plus, comme u n v n, on a lim =. + n + v n Alors, ε >, N N/N N et n N, n N = u n v n ε. () Prenons ε =. Fixons un entier N vérifiant (). Ainsi, n N, n N = u n v n. C est-à-dire, n N, n N = u n v n. On en déduit que n N, n N = u n v n. Et donc, n N, n N = u n >. v n Ce qui implique que u n et v n sont de même signe à partir du rang N.. Au voisinage de +, sh( n ) = n + ( ) 6n 3 + o n 3 et tan n = n + On en déduit, d après., qu à partir d un certain rang, u n est négatif. 3n 3 + o ( ) n 3. Donc u n + 6n 3. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

5 EXERCICE analyse Énoncé exercice On pose f(x) = 3x + 7 (x + ).. Décomposer f(x) en éléments simples.. En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle du type ] r, r[ (où r > ). Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité D de ce développement en série entière. 3. (a) Soit a n x n une série entière de rayon R >. On pose, pour tout x ] R, R[, g(x) = n= a n x n. Exprimer, pour tout entier p, en le prouvant, a p en fonction de g (p) (). (b) En déduire le développement limité de f à l ordre 3 au voisinage de. Corrigé exercice. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : f(x) = 3 x (x + ).. D après le cours, x et x sont développables en série entière à l origine. x + (x + ) De plus, on a x ], [, + x = ( ) n x n. n= Et, x ], [, ( + x) = ( ) n+ nx n ( obtenu par dérivation du développement précédent). n= On en déduit que f est développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en série entière. Et x ], [, f(x) = 3 + ( ) n x n ( ) n (n + )x n. n= C est-à-dire : x ], [, f(x) = n= n= (4n + 7)( ) n x n. Notons D le domaine de validité du développement en série entière de f. D après ce qui précéde, ], [ D. Notons R le rayon de convergence de la série entière (4n + 7)( ) n x n. D après ce qui précéde R. Posons, pour tout entier naturel n, a n = (4n + 7)( ) n. Pour x = et x =, Donc R, D et D. On en déduit que D = ], [. lim a nx n = + donc (4n + 7)( ) n x n diverge grossièrement. n + 3. (a) Soit a n x n une série entière de rayon R >. On pose, pour tout x ] R, R[, g(x) = n= a n x n. D après le cours, g est de classe C sur ] R, R[. De plus, x ] R, R[, g (x) = g (x) = n= n= na n x n = n= n(n + )a n+ x n = (n + )a n+ x n n= (n + )(n + )a n+ x n. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

6 et, par récurrence, on a : p N, x ] R, R[, g (p) (x) = n= Ainsi, pour tout p N, g (p) () = p!a p. C est-à-dire, pour tout p N, a p = g(p) (). p! (b) f est de classe C sur ], [. (n + )(n + )...(n + p)a n+p x n = Donc d après la formule de Taylor-Young, au voisinage de, f(x) = n= 3 p= (n + p)! a n+p x n. n! f (p) () x p + o(x 3 ). (*) p! Or, d après 3.(a), pour tout entier p, f (p) () est aussi la valeur du p ième coefficient du développement en p! série entière de f. Donc, d après., pour tout entier p, f (p) () = (4p + 7)( ) p. (**) p! 3 Ainsi, d après (*) et (**), au voisinage de, f(x) = (4p + 7)( ) p x p + o(x 3 ). C est-à-dire, au voisinage de, f(x) = 7 x + 5x 9x 3 + o(x 3 ). p= CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

7 EXERCICE 3 analyse Énoncé exercice 3. On pose g(x) = e x et h(x) = + x. Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs.. On pose f(x) = ex + x. En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivée n ième d un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel n et pour tout x R\ { }, la valeur de f (n) (x). 3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente. Corrigé exercice 3. g est de classe C sur R et h est de classe C sur R\ { }. On prouve, par récurrence, que : x R, g (k) (x) = k e x et x R\ { }, h (k) (x) = ( )k k! ( + x) k+.. g et h sont de classe C sur R\ { } donc, d après la formule de Leibniz, f est de classe C sur R\ { } et x R\ { } : f (n) (x) = k= ( n k ) g (n k) (x)h (k) (x) = k= ( ) n k n k e x ( )k k! ( + x) k+ = n!ex k= ( ) k n k (n k)!( + x) k+. 3. Notons (P n ) la propriété : Si f : I R et g : I R sont n fois dérivables sur I alors, fg est n fois dérivable sur I et : ( ) n x I, (fg) (n) (x) = f (n k) (x)g (k) (x). k k= Prouvons que (P n ) est vraie par récurrence sur n. La propriété est vraie pour n = et pour n = (dérivée d un produit). Supposons la propriété vraie au rang n. Soit f : I R et g : I R deux fonctions n + fois dérivables sur I. Les fonctions f et g sont, en particulier, n fois dérivables sur I et donc par hypothèse de récurrence la fonction fg l est aussi avec x I, (fg) (n) (x) = k= ( n k ) f (n k) (x)g (k) (x). Pour tout k {,..., n}, les fonctions f (n k) et g (k) sont dérivables sur I donc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction (fg) (n) est encore dérivable sur I. Ainsi la fonction fg est (n + ) fois dérivable et : x I,(fg) (n+) (x) = k= ( n k ) ( f (n+ k) (x)g (k) (x) + f (n k) (x)g (k+) (x)). En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d indice sur la deuxième somme, on ( ) n+ n ( ) n obtient : x I, (fg) (n+) (x) = f (n+ k) (x)g (k) (x) + f (n+ k) (x)g (k) (x). k k k= C est-à-dire (( ) ( )) ( ) n n n (fg) (n+) (x) = + f (n+ k) (x)g (k) (x) + f (n+) (x)g () (x) + k k k= ( ) ( ) ( ) n n n + Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a + =. ( ) ( k ) k ( ) ( k ) n n + n n + On remarque également que = = et = =. n n + n+ ( ) n + On en déduit que (fg) (n+) (x) = f (n+ k) (x)g (k) (x). k Donc (P n+ ) est vraie. k= k= ( ) n f () (x)f (n+) (x). n CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

8 EXERCICE 4 analyse Énoncé exercice 4. Énoncer le théorème des accroissements finis.. Soit f : [a, b] R et soit x ]a, b[. On suppose que f est continue sur [a, b] et que f est dérivable sur ]a, x [ et sur ]x, b[. Démontrer que, si f admet une limite finie en x, alors f est dérivable en x et f (x ) = lim x x f (x). 3. Prouver que l implication : ( f est dérivable en x ) = (f admet une limite finie en x ) est fausse. Indication : on pourra considérer la fonction g définie par : g(x) = x sin x si x et g() =. Corrigé exercice 4. Théorème des accroissements finis : Soit f : [a, b] R. On suppose que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = f (c)(b a).. On pose l = lim f (x). x x Soit h tel que x + h [a, b]. En appliquant le théorème des accroissements finis, à la fonction f, entre x et x + h, on peut affirmer qu il existe c h strictement compris entre x et x + h tel que f(x + h) f(x ) = f (c h )h. Quand h (avec h ), on a, par encadrement, c h x. Donc lim h (f(x + h) f(x )) = lim f (c h ) = lim f (x) = l. h x x On en déduit que f est dérivable en x et f (x ) = l. h 3. La fonction g proposée dans l indication est évidemment dérivable ) sur ], [ et ], + [.. g est également dérivable en car ( h (g(h) g()) = h sin ( ) ( ) h Or lim h sin = car h sin h. h h h h Donc, g est dérivable en et g () =. Cependant, x R\ {}, g (x) = x sin ( ) x sin x x Donc g n a pas de limite en. ( ) cos x ( ). x (car x sin( ) x ), mais x cos x ( ) n admet pas de limite en. x CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

9 EXERCICE 5 analyse Énoncé exercice 5. On considère la série de terme général u n = (a) Cas α n (ln n) α où n et α R. En utilisant une minoration très simple de u n, démontrer que la série diverge. (b) Cas α > Étudier la nature de la série. Indication : on pourra utiliser la fonction f définie par f(x) = x(ln x) α. ( (. Déterminer la nature de la série e + ) n ) e n n (ln(n n + n)). Corrigé exercice 5. (a) Cas α n, ln n ln donc (ln n) α (ln ) α. On en déduit que : n, u n (ln ) α n. Or n diverge. n Donc, par critère de minoration pour les séries à termes positifs, on en déduit que n u n diverge. (b) Cas α > La fonction f : x est continue par morceaux, décroissante et positive sur [, + [ donc : x(ln x) α + f(n) et f(x) dx sont de même nature. n Puisque X ln(x) f(x) dx = t=ln x ln dt, on peut affirmer que : tα On en déduit que : n f(n) converge α >.. On pose, pour tout entier naturel n, u n = Au voisinage ( de +, + n + ( ( e + ) n ) e n n (ln(n + n)). ) n = e e n ln(+ n) = e e n( n +o( n )) n = e e +o( n n) e = e ( On en déduit qu au voisinage de +, e + n) n De plus, au voisinage de +, ln ( n + n ) = ln n + ln Donc ln ( n + n ) + ln n. + e n. ( + n e Et comme e n, on en déduit que u n n (ln n). Or, d après.(b), n (ln n) converge. n f(x) dx converge α >. n + o ) = ln n + ( n + o n ( ). n ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

10 Donc, par critère d équivalence pour les séries à termes positifs, n u n converge. CC BY-NC-SA 3. FR Page

11 EXERCICE 6 analyse Énoncé exercice 6 Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs et l un réel positif strictement inférieur à. u n+. Démontrer que si lim = l, alors la série u n converge. n + u n u n+ Indication : écrire, judicieusement, la définition de lim = l, puis majorer, pour n assez grand, u n n + u n par le terme général d une suite géométrique.. Quelle est la nature de la série n! n n? n Corrigé exercice 6. Par hypothèse : ε >, N N/ n N, u n+ u n l ε. () Prenons ε = l. Fixons un entier N vérifiant (). Alors n N, n N = u n+ u n Et donc, n N, u n+ u n On pose q = + l + l.. On a donc q ], [. l l. On a alors n N, u n+ qu n. On en déduit, par récurrence, que n N, u n q n N u N. Or q n N u N = u N q N q n et q n converge car q ], [. n N n N n N Donc, par critère de majoration des séries à termes positifs, u n converge.. On pose : n N, u n = n! n n. n N, u n > et n N, u n+ u n = Or n ln( + n ) donc lim + n + Donc u n converge. n n (n + ) n = ln(+ e n n ). u n+ = e <. u n CC BY-NC-SA 3. FR Page

12 EXERCICE 7 analyse Énoncé exercice 7. Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites de nombres réels positifs. On suppose que (v n ) n N est non nulle à partir d un certain rang. Montrer que : u n v n = u n et v n sont de même nature. + ( ). Étudier la convergence de la série (i ) ln n sin n ( ). n n + 3 Remarque : i désigne le nombre complexe de carré égal à. Corrigé exercice 7. Par hypothèse, ( N) N/ n N, n N = v n. un Ainsi la suite est définie à partir du rang N. v n De plus, on suppose que u n v n. + u n v n =. On en déduit que lim n + Alors, ε >, N N tel que N N et n N, n N = u n v n ε. () Prenons ε =. Fixons un entier N vérifiant (). Ainsi, n N, n N = u n v n. C est-à-dire, n N, n N = u n v n. On en déduit que n N, n N = u n v n 3. (*) Premier cas : Si v n converge D après (*), n N, u n 3 v n. Donc, par critère de majoration des séries à termes positifs, u n converge. Deuxième cas : Si v n diverge D après (*), n N, v n u n. Donc, par critère de minoration des séries à termes positifs, u n diverge. Par symétrie de la relation d équivalence, on obtient le résultat. ( ) (i ) ln n sin n. On pose n, u n = ( ). n + 3 ln n sin( u n = n ) ( ). n + 3 ln n De plus u n On a n 5 4 v n = + D après., n n 3 ln n n 4 = v n, donc lim n + n 5 4 v n =. On en déduit que v n converge. u n converge. CC BY-NC-SA 3. FR Page

13 Donc n u n converge absolument. De plus, la suite (u n ) n est à valeurs dans C, donc n u n converge. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

14 EXERCICE 8 analyse Énoncé exercice 8. Soit (u n ) n N une suite décroissante positive de limite nulle. (a) Démontrer que la série ( ) k u k est convergente. Indication : on pourra considérer (S n ) n N et (S n+ ) n N avec S n = ( ) k u k. (b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série ( ) k u k.. On pose : n N, x R, f n (x) = ( )n e nx. n (a) Étudier la convergence simple sur R de la série de fonctions f n. n k= (b) Étudier la convergence uniforme sur [, + [ de la série de fonctions n f n. Corrigé exercice 8. (a) S n+ S n = u n+ u n+, donc (S n ) n N est décroissante. De même S n+3 S n+, donc (S n+ ) n N est croissante. De plus S n S n+ = u n+ et lim u n+ =, donc lim (S n S n+ ) =. n + n + On en déduit que les suites (S n ) n N et (S n+ ) n N sont adjacentes. Donc elles convergent et ce vers une même limite. Comme (S n ) n N et (S n+ ) n N recouvrent l ensemble des termes de la suite (S n ) n N, on en déduit que la suite (S n ) n N converge aussi vers cette limite. Ce qui signifie que la série ( ) k u k converge. (b) Le reste R n = k=n+ ( ) k u k vérifie n N, R n u n+.. On pose : x R, n N, f n (x) = ( )n e nx. n On a alors n N, f n (x) = ( ) n u n (x) avec u n (x) = e nx n. (a) Soit x R. Si x <, alors lim f n(x) = +, donc f n (x) diverge grossièrement. n + n Si x, alors (u n (x)) n N est positive, décroissante et lim u n(x) =. n + Donc d après.(a), f n (x) converge. n Donc n f n converge simplement sur [, + [. Remarque : pour x >, on a aussi convergence absolue de f n (x). n ( ) En effet, pour tout réel x >, n f n (x) = ne nx donc, au vosinage de +, f n(x) = o n + n. (b) Comme n f n converge simplement sur [, + [, on peut poser x [, + [, R n (x) = Alors, comme, x [, + [, (u n (x)) n N est positive, décroissante et d après.(b), que : k=n+ f k (x). lim u n(x) =, on en déduit, n + CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

15 x [, + [, R n (x) e (n+)x n +. Et donc x [, + [, R n (x). (majoration indépendante de x) n + Et comme lim n + n + =, alors (R n) converge uniformément vers sur [, + [. C est-à-dire n f n converge uniformément sur [, + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

16 EXERCICE 9 analyse Énoncé exercice 9. Soit X un ensemble, (g n ) une suite de fonctions de X dans C et g une fonction de X dans C. Donner la définition de la convergence uniforme sur X de la suite de fonctions (g n ) vers la fonction g.. On pose f n (x) = n + n + e nx cos ( nx). (a) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (f n ). (b) La suite de fonctions (f n ) converge-t-elle uniformément sur [, + [? (c) Soit a >. La suite de fonctions (f n ) converge-t-elle uniformément sur [a, + [? (d) La suite de fonctions (f n ) converge-t-elle uniformément sur ], + [? Corrigé exercice 9. Soit g n : X C et g : X C. Dire que (g n ) converge uniformément vers g sur X signifie que : ε >, N N/ n N, n N = x X, g n (x) g(x) ε. ( ) Ou encore, (g n ) converge uniformément vers g sur X lim sup g n (x) g(x) =. n + x X. (a) On pose pour tout x R, f n (x) = n + n + e nx cos ( nx). Soit x R. Si x =, alors f n () = n + n +, donc Si x, alors lim f n(x) =. n + lim f n() =. n + En effet, f n (x) + e nx cos ( nx) et e nx cos ( nx) e nx n +. On en déduit que (f n ) converge simplement sur R vers la fonction f définie par : { si x f(x) = si x = (b) Pour tout n N, f n est continue sur [, + [ et f non continue en donc (f n ) ne converge pas uniformément vers f sur [, + [. (c) Soit a >. On a : x [a, + [, f n (x) f(x) = f n (x) n + n + e na (majoration indépendante de x). n + Par ailleurs, lim = (car n + e n + n + e na n + e na na ). + Donc (f n ) converge uniformément vers f sur [a, + [. (d) On remarque que pour tout n N, f n est bornée sur ], + [ car pour tout x ], + [, f n (x) n +. n + D autre part, f est bornée sur ], + [, donc, pour tout n N, sup f n (x) f(x) existe. x ],+ [ On a f n ( n ) f( n ) = (n + )e cos n + donc lim f n( ) f( ) = e cos. n + n n Or sup f n (x) f(x) f n ( ) f( ), donc sup f n (x) f(x). x ],+ [ n n x ],+ [ n + Donc (f n ) ne converge pas uniformément vers f sur ], + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

17 EXERCICE analyse Énoncé exercice On pose f n (x) = ( x + ) ne x + xe x. n + x. Démontrer que la suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur [, ].. Calculer lim n + Corrigé exercice ( x + ) ne x + xe x dx. n + x. Pour x [, ], lim n + f n(x) = (x + )e x. La suite de fonctions (f n ) converge simplement vers f : x (x + )e x sur [, ]. On a x [, ], f n (x) f(x) = (x + ) x(e x e x ), et donc : x [, ], f n (x) f(x) e n + x n. Ce majorant indépendant de x tend vers quand n +, donc la suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers f sur [, ].. Par convergence uniforme sur le segment [, ] de cette suite de fonctions continues sur [, ], on peut intervertir limite et intégrale. On a donc lim (x + ) nex + xe x dx = (x + )e x dx. n + n + x Puis, en effectuant deux intégrations par parties, on trouve (x + )e x dx = e 3. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

18 EXERCICE analyse Énoncé exercice. Soit X une partie de R, (f n ) une suite de fonctions de X dans R convergeant simplement vers une fonction f. On suppose qu il existe une suite (x n ) n N d éléments de X telle que la suite (f n (x n ) f (x n )) n N ne tende pas vers. Démontrer que la suite de fonctions (f n ) ne converge pas uniformément vers f sur X. sin (nx). Pour tout x R, on pose f n (x) = + n x. (a) Étudier la convergence simple de la suite (f n ). (b) Étudier la convergence uniforme de la suite (f n ) sur [a, + [ (avec a > ), puis sur ], + [. Corrigé exercice. Par contraposée : si (f n ) converge uniformément vers f alors : il existe un entier N tel que n N, f n f = sup f n (x) f(x) existe et lim f n f x X n + =. Or, n N, x n X donc n N, n N = f n (x n ) f(x n ) f n f. Or lim f n f n + =. Donc lim f n(x n ) f(x n ) =. n + C est-à-dire la suite (f n (x n ) f(x n )) n N converge vers.. (a) Soit x R. Si x =, alors f n () =. Si x, alors lim f n(x) = car f n (x) n + n x. Donc la suite (f n ) converge simplement vers la fonction nulle sur R. (b) Soit a >. x [a, + [, f n (x) f(x) = f n (x) Cette majoration est indépendante de x et + n a. lim n + + n a =. On en déduit que la suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers la fonction nulle sur [a, + [. On pose, n N, x n = π n. On a n N, x n ], + [ et f n (x n ) f(x n ) = qui ne tend pas vers quand n +. + π 4 On en déduit, d après., que la suite de fonctions (f n ) ne converge pas uniformément sur ], + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

19 EXERCICE analyse Énoncé exercice. Soit (f n ) une suite de fonctions de [a, b] dans R. On suppose que la suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur [a, b] vers une fonction f, et que, pour tout n N, f n est continue en x, avec x [a, b]. Démontrer que f est continue en x.. On pose : n N, x [; ], g n (x) = x n. La suite de fonctions (g n ) n N converge-t-elle uniformément sur [; ]? Corrigé exercice. Soit x [a, b]. Prouvons que f est continue en x. Soit ε >. Par convergence uniforme, il existe un entier N tel que n N, n N = ( x [a, b], f(x) f n (x) ε). En particulier pour n = N, on a x [a, b], f(x) f N (x) ε. (*) Or la fonction f N est continue en x donc α > tel que : x [a, b], x x α f N (x) f N (x ) ε. (**) D après l inégalité triangulaire, x [a, b], f(x) f(x ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x ) + f N (x ) f(x ). Alors d après (*) et (**), x [a, b], x x α f(x) f(x ) 3ε. On en déduit que f est continue en x.. La suite (g n ) n N converge simplement sur [, ] vers la fonction g : x n N, g n est continue en alors que g est discontinue en. { si x [, [ si x = D après la question précédente, on en déduit que (g n ) n N ne converge pas uniformément vers g sur [, ]. CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

20 EXERCICE 3 analyse Énoncé exercice 3. Soit (g n ) une suite de fonctions de X dans C, X désignant un ensemble non vide quelconque. On suppose que, pour tout n N, g n est bornée et que la suite (g n ) converge uniformément sur X vers g. Démontrer que la fonction g est bornée.. Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction f n définie sur R par : { n 3 x si x n f n (x) = si x > x n Prouver que la suite de fonctions (f n ) converge simplement sur R. La convergence est-elle uniforme sur R? Corrigé exercice 3. Pour tout n N, g n est bornée sur X, c est-à-dire : n N, M n R +, x X, g n (x) M n. ( ) Notons que ce majorant M n dépend de n. (g n ) converge uniformément vers g sur X. Ce qui signifie que : ε >, N N/ n N, n N = x X, g n (x) g(x) ε. () Prenons ε = et fixons un entier N vérifiant () pour ce choix de ε. Alors, n N, n N = x X, g n (x) g(x). En particulier, x X, g N (x) g(x). (**) Or, d après l inégalité triangulaire, x X, g(x) g(x) g N (x) + g N (x). Donc, d après (*) et (**), x X, g(x) + M N. Ce qui signifie que g est bornée sur X.. n N, f n () =, donc lim f n() =. n + Soit x R. lim n + n = donc, N N tel que, n N, n N = n < x. Fixons un tel entier N. Alors n N, n N = f n (x) = x. Donc lim f n(x) = n + x. On en déduit que (f n ) converge simplement sur R vers la fonction f définie par : { si x f(x) = x si x =. De plus, n N, f n est bornée car x R, f n (x) n. Or f n est pas bornée sur R donc, d après la question précédente, (f n ) ne converge pas uniformément sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page

21 EXERCICE 4 analyse Énoncé exercice 4. Soit a et b deux réels donnés avec a < b. Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur [a, b], à valeurs réelles. ( b ) Démontrer que si la suite (f n ) converge uniformément sur [a, b] vers f, alors la suite f n (x) dx converge vers b a f (x) dx.. Justifier comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions. ( + ) 3. Démontrer que x n dx = n n. Corrigé exercice 4 n= n=. Comme la suite (f n ) converge uniformément sur [a, b] vers f, et que, n N, f n est continue sur [a, b], alors f est continue sur [a, b]. Ainsi, n N, f n f est continue sur le segment [a, b]. On pose alors, n N, f n f = sup f n (x) f(x). x [a,b] b b b b On a f n (x) dx f(x) dx = (f n (x) f(x)) dx f n (x) f(x) dx (b a) f n f. (*) a a Or (f n ) converge uniformément vers f sur [a, b], donc Donc d après (*), b lim n + a a f n (x) dx = b a f(x) dx. a lim f n f n + =.. On suppose que n N, f n est continue sur [a, b] et f n converge uniformément sur [a, b]. On pose S n = f k. k= fn converge uniformément sur [a, b], donc converge simplement sur [a, b]. On pose alors, également, x [a, b], S(x) = f k (x). k= fn converge uniformément sur [a, b] signifie que (S n ) converge uniformément sur [a, b] vers S. De plus, n N, S n est continue sur [a, b], car S n est une somme finie de fonctions continues. On en déduit que S est continue sur [a, b]. Et d après., Or b Donc a lim S n (x)dx = lim Ou encore b n + a b n + k= lim a k= b a n + k= S n (x) dx = f k (x)dx = f k (x) dx = b a b a f k (x) dx = b a k= S(x) dx. b a S(x) dx. b a k= Ce qui signifie que b f k (x) dx converge et a f k (x)dx car il s agit d une somme finie. f k (x) dx. b k= a f k (x) dx = b a k= f k (x) dx. Bilan : La convergence uniforme de la série de fonctions f n où les f n sont continues sur [a, b] permet d intégrer terme à terme, c est-à-dire : b a n= f n (x) dx = b n= a f n (x) dx. a n N CC BY-NC-SA 3. FR Page

22 3. La série entière x n est de rayon de convergence R = donc cette série de fonctions converge [ normalement et donc uniformément sur le compact, ] ], [. [ De plus, n N, x x n est continue sur, ]. ( + ) On en déduit alors, en utilisant., que : x n + dx = x n dx = n + n+ = n n. n= n= n= n= CC BY-NC-SA 3. FR Page

23 EXERCICE 5 analyse Énoncé exercice 5 Soit X une partie de R ou C.. Soit f n une série de fonctions définies sur X à valeurs dans R ou C. Rappeler la définition de la convergence normale de f n sur X, puis celle de la convergence uniforme de fn sur X.. Démontrer que toute série de fonctions, à valeurs dans R ou C, normalement convergente sur X est uniformément convergente sur X. 3. La série de fonctions n n! zn est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre et de rayon R R +? Corrigé exercice 5. On suppose que n N, f n est bornée sur X. On pose alors n N, f n = sup f n (t). t X fn converge normalement sur X f n converge. On pose n N, S n = f k. k= fn converge uniformément sur X la suite de fonctions (S n ) converge uniformément sur X.. On suppose que f n converge normalement sur X. Les fonctions f n sont donc bornées sur X et la série numérique f n converge. Or, x X, f n (x) f n. Donc, par comparaison des séries à termes positifs, la série f n (x) est absolument convergente et donc convergente, puisque les fonctions f n sont à valeurs dans R ou C. Ainsi la série de fonctions f n converge simplement sur X. On peut donc poser x X, n N, R n (x) = x X, n N, N N, N n + = N k=n+ k=n+ Alors, en faisant tendre N vers +, on obtient : + x X, R n (x) = f k (x) f k (x) k=n+ k=n+ Or f n converge normalement sur X donc lim f k (x). f k (x) k=n+ n + k=n+ N k=n+ f k (x) N k=n+ f k. f k. (majoration indépendante de x) f k =. On en déduit alors que la suite de fonctions (R n ) converge uniformément vers sur X. Comme R n = S S n, la suite (S n ) converge uniformément vers S sur X. C est-à-dire f n converge uniformément sur X. 3. On pose, n N, a n = n n!. n N, a n+ = n + a n n. Donc lim n + a n+ a n =. On en déduit que série entière n n! zn a un rayon de convergence égal à +. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

24 Cette série entière converge donc normalement sur tout compact de C. En particulier, cette série entière converge normalement et donc uniformément, d après., sur tout disque de centre O et de rayon R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 4

25 EXERCICE 6 analyse Énoncé exercice 6 On considère la série de fonctions de terme général u n définie par : ( n N, x [, ], u n (x) = ln + x ) x n n. On pose, lorsque la série converge, S(x) = n=. Démontrer que S est dérivable sur [, ].. Calculer S (). Corrigé exercice 6. Soit x [, ]. Si x =, u n () = et donc u n () converge. [ ( ln + x ) x ]. n n ( ) n + o x n, alors u n (x) + n. n converge donc, par critère de comparaison des séries à termes positifs, u n (x) converge Si x, comme au voisinage de +, u n (x) = x Or n absolument, donc converge. On en déduit que la série des fonctions u n converge simplement sur [, ]. La fonction S est donc définie sur [, ]. n N, u n est de classe C sur [, ] et x [, ], u n(x) = x + n n = x n(x + n). Donc n N, x [, ], u n(x) n. On en déduit que u n = Or n n converge. sup u n(x) x [,] n. Donc n u n converge normalement, donc uniformément sur [, ]. On peut alors affirmer que la fonction S est de classe C. Elle est donc dérivable sur [, ]. Et on a : x [; ], S (x) = n=. En vertu de ce qui précède, S () = Or N n= u n(x). n= u n() = ( n + ) = n N +. N + Donc S () =. n= ( n + ). n CC BY-NC-SA 3. FR Page 5

26 EXERCICE 7 analyse Énoncé exercice 7 Soit A C et (f n ) une suite de fonctions de A dans C.. Démontrer l implication : ( la série de fonctions ) f n converge uniformément sur A (la suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers sur A). On pose : n N, x [; + [, f n (x) = nx e x n. Prouver que f n converge simplement sur [; + [. fn converge-t-elle uniformément sur [; + [? Justifier. Corrigé exercice 7. On suppose que f n converge uniformément sur A. On en déduit que f n converge simplement sur A. On pose alors, x A, S(x) = f k (x) et n N, S n (x) = f k (x). k= k= fn converge uniformément sur A, c est-à-dire (S n ) converge uniformément vers S sur A, c est-à-dire lim S n S =, avec S n S = sup S n (x) S(x). n + x A On a n N, x A, f n (x) = S n (x) S n (x) S n (x) S(x) + S(x) S n (x). Donc n N, x A, f n (x) S n S + S n S (majoration indépendante de x). Or lim S n S =, donc lim ( S n S + S n S ) =. n + n + Donc (f n ) converge uniformément vers sur A.. On pose : n N, x [; + [, f n (x) = nx e x n. Soit x [; + [. Si x = : n N, f n () = donc f n () converge. Si x : Or n ( ) n. lim n + n f n (x) =, donc au voisinage de +, f n (x) = o n converge donc, par critère de domination, f n (x) converge. On en déduit que f n converge simplement sur [; + [. n N, f n est continue sur [; + [ et lim f n(x) =, donc f n est bornée sur [; + [. x + Comme f est bornée (f = ), on en déduit que n N, f n est bornée. De plus, la suite de fonctions (f n ) converge simplement vers la fonction nulle. En effet, si x = alors f n () = et si x, lim f n(x) =. n + On a n N, f n ( n ) = e. ( ) ( ) Or, n N, f n n = f n n sup f n (t) ; donc sup f n (t) e. t [;+ [ t [;+ [ Ainsi, sup f n (t). t [;+ [ n + CC BY-NC-SA 3. FR Page 6

27 On en déduit que (f n ) ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur [; + [. Donc, d après., f n ne converge pas uniformément sur [; + [. CC BY-NC-SA 3. FR Page 7

28 EXERCICE 8 analyse Énoncé exercice 8 On pose : n N, x R, u n (x) = ( )n x n. n On considère la série de fonctions u n. n. Étudier la convergence simple de cette série. On note D l ensemble des x où cette série converge et S(x) la somme de cette série pour x D.. (a) Étudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série sur D. (b) La fonction S est-elle continue sur D? Corrigé exercice 8. La série de fonctions étudiée est une série entière de rayon de convergence R =. En x =, il y a convergence par le critère spécial des séries alternées. En x =, la série diverge (série harmonique). On a donc D = ], ].. (a) x D, u n (x) = ( )n x n. n u n = sup u n (x) = x ],] n et n diverge. n Donc ( ) n x n ne converge pas normalement sur D. n n ( ) n x n ne converge pas uniformément sur D non plus car, sinon, on pourrait employer le n n théorème de la double limite en et cela entraînerait la convergence absurde de la série n (b) En tant que somme d une série entière de rayon de convergence, S est continue sur ], [. (*) Pour étudier la continuité en, on peut se placer sur [, ]. x [, ], la série numérique n u n (x) satisfait le critère spécial des séries alternées ce qui permet de majorer son reste. On a, x [, ], k=n+ Et, lim n + n + =. Donc, u n converge uniformément sur [, ]. n u k (x) u n+(x) = xn+ n +. (majoration indépendante de x) n + Les fonctions u n étant continues sur [, ], la somme S est alors continue sur [, ]. Donc, en particulier, S est continue en. (**) Donc, d après (*) et (**), S est continue sur D. n. CC BY-NC-SA 3. FR Page 8

29 EXERCICE 9 analyse Énoncé exercice 9. Prouver que, pour tout entier naturel n, f n : t t n ln t est intégrable sur ], ] et calculer I n = t n ln tdt.. Prouver que f : t e t ln t est intégrable sur ], ] et que e t ln tdt = nn!. n= Indication : utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle. Corrigé exercice 9. On pose, pour tout entier naturel n, pour tout t ], ], f n (t) = t n ln t. Pour tout entier naturel n, f n est continue par morceaux( sur )], ]. On a t f n (t) donc, au voisinage de, f n (t) = o. t t Or, t est intégrable sur ], ](fonction de Riemann intégrable). t Donc f n est intégrable sur ], ]. De plus,pour x ], ], par intégration par parties : [ t t n n+ ] ln t t n xn+ ln tdt = x n + x x n + dt = ln x n + (n + ) + xn+ (n + ). On en déduit, en faisant tendre x vers, que I n = (n + ).. t R, e t = n= t n + n! donc, pour tout t ], ], f(t) = n= t n ln t. n! On pose : n N, t ], ], g n (t) = tn ln t. n! i) n N, g n est continue par morceaux et intégrable sur ], ] d après la question. ii) g n converge simplement sur ], ] et a pour somme f. iii) f est continue par morceaux sur ], ]. iv) g n (t) dt = t n ln t dt = I n = n! n! (n + ) n!. On a : n N, (n + ) n! (n + ). n et n converge. n Donc, par critère de majoration des séries à termes positifs, (n + ) n! converge. De plus, (n + ) = n Alors, d après le théorème d intégration terme à terme pour les séries de fonctions, f est intégrable sur ], ] et on a : e t t n ln t I n ln tdt = g n (t)dt = dt = n! n! = + n!(n + ) = + n= n= C est-à-dire, n= e t ln tdt = n= n= nn!. n= (n + )!(n + ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 9

30 EXERCICE analyse Énoncé exercice. Donner la définition du rayon de convergence d une série entière de la variable complexe.. Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : (a) (n!) (n)! zn+. (b) n ( )n z n. (c) cos nz n. Corrigé exercice. Soit a n z n une série entière. Le rayon de convergence R de la série entière a n z n est l unique élément de R + {+ } défini par : R = sup {r /(a n r n ) est bornée}. On peut aussi définir le rayon de convergence de la manière suivante :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a n z n converge absolument. ii) z C, z > R = a n z n diverge (grossièrement). R est le rayon de convergence de la série entière a n z n. Remarque : pour une série entière de la variable réelle, la définition est identique.. (a) Notons R le rayon de convergence de (n!) (n)! zn+ et posons : n N, z C, u n (z) = (n!) (n)! zn+. Pour z =, u n () converge. Pour z, u n+ (z) u n (z) = n + 4n + z. Donc lim u n+ (z) n + u n (z) D après la règle de d Alembert, Pour z <, la série numérique u n (z) converge absolument. Pour z >, la série numérique diverge grossièrement. On en déduit que R=. = z 4. (b) Notons R le rayon de convergence de n ( )n z n et posons : n N, a n = n ( )n. On a, n N, z C, a n z n nz n et le rayon de convergence de la série entière nz n vaut. Donc R. (*) De même, n N, z C, n zn a n z n et le rayon de convergence de la série n Donc R. (**) D après (*) et (**), R =. (c) Notons R le rayon de convergence de cos nz n et posons : n N, a n = cos n. n zn vaut. On a, n N, z C, a n z n z n et le rayon de convergence de la série entière z n vaut. Donc R. (*) Pour z =, la série cos nz n = cos n diverge grossièrement car cos n. n + Donc R. (**) D après (*) et (**), R =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

31 EXERCICE analyse Énoncé exercice. Donner la définition du rayon de convergence d une série entière de la variable complexe.. Soit (a n ) n N une suite bornée telle que la série a n diverge. Quel est le rayon de convergence de la série entière a n z n? Justifier. 3. Quel est le rayon de convergence de la série entière n ( n ) ( ) n ln ( + n ) z n? Corrigé exercice. Soit a n z n une série entière. Le rayon de convergence R de la série entière a n z n est l unique élément de R + {+ } défini par : R = sup {r /(a n r n ) est bornée}. On peut aussi définir le rayon de convergence de la manière suivante :! R R + {+ } tel que : i) z C, z < R = a n z n converge absolument. ii) z C, z > R = a n z n diverge (grossièrement). R est le rayon de convergence de la série entière a n z n. Pour une série entière de la variable réelle, la définition est identique.. La série numérique a n z n diverge pour z =. Donc R. (*) De plus, la suite (a n ) n N étant bornée, la suite (a n n ) n N est bornée. Donc {r /(a n r n ) est bornée}. Donc R. (**) D après (*) et (**), R =. 3. Notons R le rayon de convergence de n On pose, n N, a n = ( ( n) ( )n ln n N, a n n ln Or b n ( + n ) = b n. ( n ) ( ) n ln ( + n ) z n. + ). n + n et n diverge donc b n diverge. n n Donc, par critère de minoration pour les séries à termes positifs, n a n diverge. (***) De plus, n N, a n = a n ( n ln + ) car x [, + [, ln( + x) x. n Donc (a n ) n N est bornée. (****) D après (***) et (****), on peut appliquer. et on en déduit que R =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

32 EXERCICE analyse Énoncé exercice. Que peut-on dire du rayon de convergence de la somme de deux séries entières? Le démontrer.. Développer en série entière au voisinage de, en précisant le rayon de convergence, la fonction f : x ln ( + x) + ln ( x). La série obtenue converge-t-elle pour x = 4? x =? x =?. Corrigé exercice. On note R a et R b les rayons de convergence respectifs de a n z n et b n z n. On note R le rayon de convergence de la série entière somme de a n z n et b n z n, c est-à-dire le rayon de convergence de la série entière (a n + b n )z n. On a toujours R min(r a, R b ). De plus, si R a R b alors R = min(r a, R b ). Preuve : On suppose par exemple que R a R b. Premier cas : R a =. R = min(r a ; R b ). Deuxième cas : R a >. Soit z C tel que z < min(r a, R b ) = R a. Comme z < R a, alors a n z n converge absolument. De même, comme z < R b, alors b n z n converge absolument. De plus, n N, (a n + b n )z n a n z n + [b n z n. (*) Or ( a n z n + [b n z n ) converge car somme de deux séries convergentes. Donc, par critère de majoration pour les séries à termes positifs et en utilisant (*), on en déduit que (an + b n )z n converge, c est-à-dire (a n + b n )z n converge absolument. Donc z D (O, R). On en déduit que R min(r a, R b ). (**) On suppose maintenant que R a R b, c est-à-dire R a < R b. Soit z C tel que R a < z < R b. z < R b, donc b n z n converge. z > R a, donc a n z n diverge. Donc (a n + b n )z n diverge (somme d une série convergente et d une série divergente). On en déduit que z R. On a donc prouvé que z C, R a < z < R b z R. Donc R R a. C est-à-dire R min(r a, R b ). (***) Donc, d après (**) et (***), R = min(r a, R b ).. Pour x <, ln( + x) = n= ( ) n x n. n Pour x < +, ln( x) = n n xn. n= CC BY-NC-SA 3. FR Page 3

33 D après., le rayon de convergence de ( ) n n x n vaut n. n Donc le domaine de validité du développement en série entière à l origine de f contient [ contenu dans, ]. Et, pour x < +, f(x) = ( ) n n x n. n n= Pour x = 4 : la série entière ( ) n n x n converge car n 4 <. n Pour x = : ], [ et est la série entière ( ) n n x n diverge car elle est la somme d une série convergente ( appartient au n n disque de convergence de la série entière ( ) n x n ) et d une série divergente (série harmonique). n n Pour x = : la série entière ( ) n n x n converge comme somme de deux séries convergentes. n n En effet : D une part, n ( ) n x n. n n n ( ) n n n ( ) n converge car appartient au disque de convergence de la série entière D autre part, ( n ) n = ( ) n converge d après le critère spécial des séries alternées ( la suite ( n n n ) n N est bien positive, décroissante et de limite nulle). CC BY-NC-SA 3. FR Page 33

34 EXERCICE 3 analyse Énoncé exercice 3 Soit (a n ) n N une suite complexe telle que la suite ( ) an+ admet une limite. a n n N. Démontrer que les séries entières a n x n et (n + )a n+ x n ont le même rayon de convergence. On le note R.. Démontrer que la fonction x Corrigé exercice 3 n= a n x n est de classe C sur l intervalle ] R, R[... Pour x, posons u n (x) = a n x n et v n (x) = (n + )a n+ x n. a n+ On pose l = lim. n a n u n+ (x) v n+ (x) On a, alors, lim = l x et lim = l x. n u n (x) n v n (x) On en déduit que le rayon de convergence des deux séries entières a n x n et (n + )a n+ x n vaut R = /l (avec R = + dans le cas l = et R = dans le cas l = + ).. Soit R le rayon de convergence de a n x n. On pose, n N, x ] R, R[, f n (x) = a n x n. Soit r [, R[. On pose D r = [ r, r]. i) f n converge simplement sur D r. ii) n N, f n est de classe C sur D r. iii) D après., f n est une série entière de rayon de convergence R. Donc, d après le cours, f n converge normalement donc uniformément sur tout compact inclus dans ] R, R[, donc converge uniformément sur D r. On en déduit que r [, R[, S : x Donc, S est de classe C sur ] R, R[. n= a n x n est de classe C sur D r. CC BY-NC-SA 3. FR Page 34

35 EXERCICE 4 analyse Énoncé exercice 4. Déterminer le rayon de convergence de la série entière x n (n)!. On pose S(x) = n= x n (n)!.. Rappeler, sans démonstration, le développement en série entière en de la fonction x ch(x) et préciser le rayon de convergence. 3. (a) Déterminer S(x). (b) On considère la fonction f définie sur R par : Démontrer que f est de classe C sur R. Corrigé exercice 4 f() =, f(x) = ch x si x >, f(x) = cos x si x <.. Notons R le rayon de convergence de la série entière x n (n)!. Pour x, posons u n = xn (n)!. lim u n+ n + u n = lim n + On en déduit que la série entière. x R, ch(x) = est égal à +. n= x (n + )(n + ) =. x n (n)! x n (n)! 3. (a) Pour x, on peut écrire x = t et S(x) = Pour x <, on peut écrire x = t et S(x) = converge pour tout x R et donc R = +. et le rayon de convergence du développement en série entière de la fonction ch x n (n)! = + n= n= n= x n + (n)! = n= t n (n)! = ch(t) = ch x. ( ) n t n (n)! = cos(t) = cos x. (b) D après la question précédente, la fonction f n est autre que la fonction S. S est de classe C sur R car développable en série entière à l origine avec un rayon de convergence égal à +. Cela prouve que f est de classe C sur R. CC BY-NC-SA 3. FR Page 35

36 EXERCICE 5 analyse Énoncé exercice 5. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la fonction t + t + t n est intégrable sur [, + [. e t + dt. Pour tout n N, pose u n = + t + t n. Calculer lim e t u n. n + Corrigé exercice 5. f n : t + t + t n est définie et continue par morceaux sur [, + [. e t De plus, t [, + [, f n (t) + t = ϕ(t). Or ϕ(t) t et t est intégrable sur [, + [, donc ϕ est intégrable sur [, + [. t Donc, par critère de majoration pour les fonctions positives, f n est intégrable sur [, + [. Or f n est continue sur [, ] donc f n est intégrable sur [, + [. +. i) La suite de fonctions (f n ) converge simplement sur [, + [ vers la fonction f définie par : + t si t [, [ f(t) = + e si t = si t ], + [ ii) Les fonctions f n et f sont continues par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, f n (t) ϕ(t) avec ϕ intégrable sur [, + [. Alors, d après le théorème de convergence dominée, Or + Donc, f(t) dt = lim u n = π n + 4. dt + t = π 4. lim u n = n + lim n + + f n (t) dt = + f(t) dt. CC BY-NC-SA 3. FR Page 36

37 EXERCICE 6 analyse Énoncé exercice 6 Pour tout entier n, on pose I n =. Justifier que I n est bien définie. + ( + t ) n dt.. (a) Étudier la monotonie de la suite (I n ) n N. (b) Déterminer la limite de la suite (I n ) n N. 3. La série n ( ) n I n est-elle convergente? Corrigé exercice 6 Posons pour tout n N et t [, + [, f n (t) = ( + t ) n.. n N, f n est continue sur [, + [. De plus, f n (t) + t n. Or n, alors t est intégrable sur [, + [. tn Donc, par règle d équivalence pour les fonctions positives, f n est intégrable sur [, + [. Or f n est continue sur[, ], donc f n est intégrable sur [, + [.. (a) t [, + [, ( + t ) n+ ( + t ) n car + t. En intégrant, on obtient : n N, I n+ I n. Donc (I n ) n N est décroissante. (b) Remarque : (I n ) n N est décroissante et clairement positive ce qui nous assure la convergence de la suite (I n ) n N. Déterminons la limite de la suite (I n ) n N. i) n N, f n est continue par morceaux sur [, + [. ii) La suite { de fonctions (f n ) n converge simplement sur [, + [ vers la fonction f définie sur [, + [ si x > par f(x) = si x =. De plus, f est continue par morceaux sur [, + [. iii) t [, + [, n N, f n (t) = ϕ(t) avec ϕ intégrable sur [, + [. + t En effet ϕ est continue sur [, + [ et ϕ(t) t. Comme t est intégrable sur [, + [, donc ϕ est t intégrable sur [, + [. Comme ϕ est continue sur [, ], donc ϕ est intégrable sur [, ] donc sur [, + [. + Par le théorème de convergence dominée on obtient : lim I n = n + et la suite (I n ) n N a pour limite. lim n + + f n (t) dt = + f(t) dt = 3. D après les questions précédentes, la suite (I n ) n N est positive, décroissante et converge vers. Donc, par application du théorème spécial des séries alternées, on peut affirmer la convergence de la série ( ) n I n. n CC BY-NC-SA 3. FR Page 37

38 EXERCICE 7 analyse Énoncé exercice 7 Pour tout n N, on pose f n (x) = e x + n x et u n = f n (x) dx.. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (f n ) sur [, ].. Soit a ], [. La suite de fonctions (f n ) converge-t-elle uniformément sur [a, ]? 3. La suite de fonctions (f n ) converge-t-elle uniformément sur [, ]? 4. Trouver la limite de la suite (u n ) n N. Corrigé exercice 7. Soit x [, ]. Si x =, f n () =. e x Si x ], ], pour n au voisinage de +, f n (x) + x n, donc lim f n(x) =. n + On en déduit { que la suite de fonctions (f n ) converge simplement sur [, ] vers la fonction f définie par : si x ], ] f(x) = si x =. Soit a ]; [. n N, x [a, ], f n (x) f(x) = f n (x) Donc sup f n (t) f(t) e a t [a,] + n a. e a Or lim n + + n =, donc lim a sup f n (t) f(t) = n + t [a,] On en déduit que (f n ) converge uniformément vers f sur [a, ]. e a + n (majoration indépendante de x). a 3. Les fonctions f n étant continues sur [, ] et la limite simple f ne l étant pas, on peut assurer qu il n y a pas convergence uniforme sur [, ]. 4. i) Les fonctions f n sont continues par morceaux sur [, ]. ii) (f n ) converge simplement vers f sur [, ], continue par morceaux sur [, ]. iii) De plus, x [, ], f n (x) e x = ϕ(x) avec ϕ : [, ] R + continue par morceaux et intégrable sur [, ]. D après le théorème de convergence dominée, on peut donc affirmer que : lim u n = n + lim n + f n (x) dx = f(x) dx =. CC BY-NC-SA 3. FR Page 38

39 EXERCICE 8 analyse Énoncé exercice 8 N.B. : les deux questions sont indépendantes.. La fonction x e x est-elle intégrable sur ], + [? x 4. Soit a un réel strictement positif. La fonction x ln x est-elle intégrable sur ], + [? + x a Corrigé exercice 8. Soit f : x e x x 4. f est continue sur ], + [. f(x) = e x (x )(x + ) e (x ). Or x est intégrable sur ], 3] (fonction de Riemann intégrable sur ], 3] car (x ) < ). Donc, par règle d équivalence pour les fonctions positives, f est intégrable sur ], 3]. (*) e x f(x) + x = g(x). Or lim x + x g(x) = donc, au voisinage de +, g(x) = o( x ). Comme x est intégrable sur [3, + [, on en déduit que g est intégrable sur [3, + [. x Donc, par règle d équivalence pour les fonctions positives, f est intégrable sur [3, + [. (**) D après (*) et (**), f est intégrable sur ], + [.. Soit a un réel strictement positif. ln x On pose x ], + [, f(x) =. + x a f est continue sur ], + [. f(x) ln x = g(x). ( Or lim x g(x) = donc, au voisinage de, g(x) = o x x Or x x est intégrable sur ], ] (fonction de Riemann intégrable sur ], ] car < ). Donc g est intégrable sur ], ]. Donc, par règle d équivalence pour les fonctions positives, f est intégrable sur ], ]. Donc, f est intégrable sur ], ] (*) ln x f(x) + x a = h(x). Premier cas : si a >. ( ) lim x +a h(x) = lim x a ln x =, donc, au voisinage de +, h(x) = o. x + x + x +a Or x est intégrable sur [, + [ (fonction de Riemann intégrable sur [, + [ car + a > ). x +a Donc, h est intégrable sur [, + [. Donc, par règle d équivalence pour les fonctions positives, f est intégrable sur [, + [. (**). D après (*) et (**), f est intégrable sur ], + [. Deuxième cas : si a x [e, + [, f(x) x a. ). CC BY-NC-SA 3. FR Page 39