Théorème de Thalès et sa réciproque

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1 P T 12 Théorème de Thalès et sa réciproque V le théorème de Thalès dans un triangle ; l agrandissement ou la réduction d une figure. ÉUV le théorème de Thalès dans le cas général ; comment reconnaître des droites parallèles. L U 1 grandir ou réduire une figure. 2 ans un triangle, utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur. 3 ans un triangle, utiliser la réciproque du théorème de Thalès. ur ces grandes façades de verre est gravé le mot Paix dans 49 langues différentes. e monument, appelé ur pour la Paix, a été conçu par l artiste française lara alter et l architecte français ean-ichel Wilmotte. l est constitué d une charpente métallique habillée d inox et de verre. n peut voir la tour iffel à travers ce monument situé sur le hamp-de-ars à Paris. ur le schéma ci-dessous, le segment bleu représente un des montants du ur pour la Paix. alculer la hauteur réelle d e ce monument. 324 m 26 m 910 m 203

2 TVTÉ 1 e découvre une nouvelle configuration ur la figure ci-contre, les droites () et () sont sécantes au point et les droites () et () sont parallèles. 1 a) eproduire en vraie grandeur la figure ci-contre. b) onstruire les points et, symétriques respectifs des points et par rapport au point. c) Tracer la droite ( ). 2 a) ustifier que les droites ( ) et () sont parallèles. b) alculer la longueur. c) n déduire la longueur. 5 cm 7 cm 6 cm 4 cm 2 e généralise un théorème étudié en Quatrième Pour cette activité, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple eoebra (voir page ). onstruction de la figure 1 a) Placer trois points (1), et non alignés, puis tracer les droites (), () et (). b) Placer un point (2) sur la droite (). Le renommer. c) Tracer la parallèle à la droite () passant par le point. ommer le point d intersection de cette parallèle et de la droite (). 2 a) fficher le tableur du logiciel. b) ompléter la cellule 1 en tapant «""». c) n utilisant de même des guillemets, recopier les lignes 1, 3 et 5 du tableur ci-contre. 3 a) ans la cellule 2, afficher la longueur en tapant «distance[,]», puis sur la touche du clavier. b) ompléter de même les cellules 2, 2, 4, 4 et 4. 4 a) ans la cellule 6, calculer le quotient en entrant la formule «= /». b) ompléter de même les cellules 6 et 6. Étude d une configuration connue 1 a) éplacer (1) le point sur la demi-droite [). b) Qu observe-t-on concernant les nombres de la ligne 6? xpliquer pourquoi. 2 Que peut-on dire du triangle par rapport au triangle? Étude d une nouvelle configuration Le point appartient à la droite (). 1 a) éplacer le point sans le positionner sur la demi-droite [). b) Qu observe-t-on concernant les nombres de la ligne 6? 2 aire une conjecture concernant les quotients, et. V ai reconnu un théorème étudié en Quatrième. 204

3 PT 12 3 e cherche à savoir si des droites sont parallèles 1 a) onstruire un triangle tel que = 5 cm, = 10 cm et = 8 cm. Placer le point du segment [] tel que = 3 cm. Placer le point du segment [] tel que = 6,1 cm. Tracer la droite (). b) Quelle conjecture peut-on faire concernant les droites () et ()? 2 ans cette question, on suppose que les droites () et () sont parallèles. a) n utilisant le théorème de Thalès, justifier que les quotients et sont égaux. b) n utilisant les longueurs données dans l énoncé, calculer les quotients et. es quotients sont-ils égaux? Une conjecture n est pas toujours vraie. c) omment expliquer cette contradiction? 4 e reconnais des droites parallèles Pour cette activité, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple eoebra (voir page ). onstruction de la figure 1 a) Placer trois points (1), et. Tracer les droites (), () et (). b) Placer un point (2) sur la droite (). Le renommer. Tracer la parallèle à la droite () passant par le point. c) Placer un point sur la droite (). Tracer la droite (). La colorer (1) en rouge. V 2 a) fficher le tableur du logiciel. b) ompléter la cellule 1 en tapant «""». n utilisant de même des guillemets, recopier les lignes 1, 3 et 5 du tableur ci-contre. c) ans la cellule 2, taper «distance[,]» pour calculer la longueur, puis valider en tapant sur la touche du clavier. d) ompléter de même les cellules 4, 2 et 4. e) ans la cellule 6, calculer le quotient en entrant la formule «= 4/2». f) ompléter de même la cellule 6. onjecture 1 a) Positionner le point sur la demi-droite [). b) éplacer le point sur la demi-droite [) de telle sorte que. omment semblent alors être les droites () et ()? c) éplacer le point sur la droite () de telle sorte que [] et. La conjecture faite à la question précédente est-elle encore vraie? 2 a) Placer le point sur la droite () sans le positionner sur la demi-droite [). b) eprendre les questions 1 b) et 1 c) dans ce cas-là. PT 12 TÉÈ TLÈ T ÉPQU 205

4 U 1 Théorème de Thalès Théorème de Thalès i deux droites () et () sont sécantes en un point et si les droites () et () sont parallèles, } alors TÉÈ () = =. onfiguration vue en Quatrième ouvelle configuration onséquence : Lorsque le théorème de Thalès s applique, on a les égalités : = =. insi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité : XPL : Les droites (L) et () sont sécantes au point. Les droites (L) et () sont parallèles. après le théorème de Thalès, on a : = L = L. L = 5, donc 3 = L = L = 5 3. Le triangle est un agrandissement du triangle L de rapport 5 3. Longueur des côtés du triangle Longueur des côtés du triangle Le triangle est un agrandissement ou une réduction du triangle. emarque : Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs. 4,5 cm XPL : ans l exemple ci-dessus, on a les égalités : 4,5 = L = 5 3. Pour calculer, on choisit 4,5 = 5 3. insi, = 5 4,5 = 7,5. onc : = 7,5 cm. 3 PT PÈ 3 cm L 5 cm ur la figure ci-contre : les droites () et () sont sécantes au point ; les droites () et () sont parallèles. après le théorème de Thalès, on a : = = Triangle Triangle Le point est le sommet commun aux deux triangles. 206

5 PT 12 2 omment reconnaître des droites parallèles i les droites () et () sont sécantes au point, et si, alors les droites () et () ne sont pas parallèles. PPÉTÉ XPL : Les droites (T) et (U) sont sécantes au point. n calcule alors les quotients T U et : T = 2 3 = = 8 i 12 u y n constate que : T u U U. = 3 4 = = 9 12 t es quotients ne sont pas égaux, donc les droites (TU) et () ne sont pas parallèles. U T PPÉTÉ () éciproque du théorème de Thalès i deux droites () et () sont sécantes en un point, si les points, et sont alignés dans le même ordre que les points, et, et si =, alors les droites () et () sont parallèles. XPL : Les droites () et () sont sécantes au point. Les points, et sont alignés dans le même ordre que les points, et. n calcule alors les quotients et : = 3 i 5 u y n constate que : u =. = 3 5 t onc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et () sont parallèles. emarque : btenir des quotients égaux ne suffit pas pour conclure que des droites sont parallèles. l est indispensable de vérifier l ordre des points. XPL : n reprend l exemple précédent. Le point est le symétrique du point par rapport au point. Les droites () et () ne sont visiblement pas parallèles. Pourtant, = 3 et 5 = 3. onc : 5 =. ans cette configuration, les points, et et les points, et sont alignés, mais ils ne sont pas dans le même ordre. n effet, [] mais []. PT 12 TÉÈ TLÈ T ÉPQU 207

6 À L L Théorème de Thalès Pour les exercices 1 et 2, quatre droites sont tracées ; celles en rouge sont parallèles. ans chaque cas, énoncer le théorème de Thalès. 1 2 a) b) 2 a) b) Pour les exercices 3 et 4, quatre droites sont tracées. ans chaque cas, justifier que l on peut utiliser le théorème de Thalès, puis énoncer les trois quotients égaux. 3 2 a) b) U () // (U) T 4 a) b) U 70 L Y 60 5 n a : (), () et () // (). Le théorème de Thalès permet-il de conclure que : a) =? b) =? c) =? d) =? e) =? f) =? grandissement - éduction 6 1 Les droites () et () sont sécantes au point. Les droites () et () sont parallèles. 3 cm 1) Que représente le 12 cm triangle pour le triangle? onner le rapport. 2) alculer les longueurs et. 4 cm?? 2,5 cm 7 1 Les droites (Z) et () sont sécantes au point T. Les droites (Z) et () sont parallèles. Z 2,5 cm? 3 cm T 1 cm 6 cm 1) Que représente le triangle T pour le triangle ZT? onner le rapport. 2) alculer les longueurs ZT et. omment reconnaître des droites parallèles 8 3 Les droites (U) et () sont sécantes au point. Les droites () et (U) sont-elles parallèles? 9 Les droites () et () sont sécantes au point. Les droites () et () sont-elles parallèles? 10 n a : [) et [). ustifier que les droites () et () sont parallèles.? U 5 m 5 cm 4 cm 3 cm 4 cm 3 m 3 m 1 m 2 m 1,5 m 7,5 m 6 m 208

7 V PT 12 1 'apprends à... alculer une longueur à l aide du théorème de Thalès ÉÉ n considère la figure ci-contre, pour laquelle : les points, et sont alignés ; les points, et sont alignés ; les droites () et () sont parallèles ; = 4,8 cm, = 1,8 cm et = 5,6 cm. alculer la longueur. LUT ai tracé une figure à main levée avec les longueurs données. Les droites () et () sont sécantes au point, et les droites () et () sont parallèles. après le théorème de Thalès, on a : = = = 1,8 4,8 = 5,6 insi : 1,8 4,8 = 5,6. ai utilisé les produits en croix : 4,8 = 5,6 1,8 1,8 5,6 = 4,8 onc : = 2,1 cm. 'applique 11 ur la figure ci-dessous, on a : () // () et les points, et sont alignés ainsi que les points, et. 4,8 cm 2,1 cm 0,7 cm alculer les longueurs et ur la figure ci-contre réalisée à main levée, on a : [] ; T [] ; (T) // (). alculer les longueurs et T. 1,9 cm 13 2 ur la figure ci-dessous, on a : = 6 cm ; = 3,5 cm ; = 2,4 cm. 1) émontrer que : () // (). 2) alculer la longueur. 14 1) a) Tracer deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sécantes au point. b) ur la droite (d 1 ), placer deux points P et de part et d autre du point tels que : P = 2,4 cm et = 3,6 cm c) ur la droite (d 2 ), placer un point Q tel que : Q = 1,8 cm d) onstruire la parallèle à la droite (QP) passant par le point : elle coupe la droite (d 2 ) au point T. 2) alculer la longueur T. PT 12 TÉÈ TLÈ T ÉPQU 209

8 V 2 'apprends à... econnaître si des droites sont parallèles ÉÉ n considère la figure ci-contre, pour laquelle les points, et sont alignés et les points, et sont alignés. Les droites () et () sont-elles parallèles? 6 cm 8,4 cm 5,6 cm 4 cm LUT Les droites () et () sont sécantes au point. e plus, les points, et sont alignés dans le même ordre que les points, et. n calcule les quotients et : = 4 5,6 = = = 5 7 = 6 8,4 = = = 5 7 insi, on constate que : =. onc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites () et () sont parallèles. 'applique e commence par vérifier l alignement et l ordre des points. Pour prouver que ces deux quotients sont égaux, j ai justifié qu ils sont égaux à la même fraction Les points, et sont alignés ainsi que les points, et. 2,7 cm 0,9 cm 2,4 cm 0,8 cm émontrer que les droites () et () sont parallèles. 16 1) a) onstruire un triangle tel que : = 8,4 cm, = 12 cm et = 7 cm. b) Placer le point appartenant au segment [] tel que = 7,4 cm. c) Placer le point appartenant au segment [] tel que = 4,2 cm. 2) ustifier que les droites () et () ne sont pas parallèles. 17 Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. Les droites (VW) et (TU) sont sécantes en. U V 1,5 2,5 Les droites (UV) et (WT) sont-elles parallèles? 2 3,5 18 1) a) onstruire un triangle tel que : = 4,5 cm, = 2,8 cm et = 3,6 cm. b) Placer le point de la demi-droite [) tel que : [] et = 3 cm. c) Placer le point de la demi-droite [) tel que : [] et = 2,4 cm. 2) Les droites () et () sont-elles parallèles? W T

9 TÎ Théorème de Thalès Voir avoir faire 1, p T V 2 U ur la figure ci-contre, les droites (TU) et (V) sont parallèles. n donne : T = 4 et V = 3,4 cm. 9 alculer la longueur TU n donne : T [T] et [T] ; 35 T = 2,2 cm ; T = 4,2 cm ; T = 6,3 cm et = 5,4 cm. 1) émontrer que les droites () et () sont parallèles. 2) alculer les longueurs T et Un menuisier doit réaliser un chevalet pour un artiste-peintre. L artiste lui a donné le schéma ci-contre. Les trois montants du chevalet mesurent 1,65 m. La barre transversale est parallèle au sol. Quelle est la longueur de cette barre arrondie au centimètre près? 1,05 m 0,80 m 1,65 m 22 ntonin visite un château entouré de douves. l veut connaître leur profondeur. Pour cela, il recule sur un pont jusqu à ce que le fond des douves, le pilier P du pont et ses yeux Y soient alignés. l est alors à 1,20 m du pilier P. éterminer la profondeur des douves de ce château. ai fait un schéma de la face avant que j ai complété. 7 m Y P 1,20 m 1,50 m grandissement - éduction 23 1 Les droites () et () sont sécantes au point. 3 cm 12 cm 2,1 cm 1) Que représente le triangle pour le triangle? ustifier la réponse et préciser le rapport. 2) n déduire la longueur. 24 Le solide est un prisme droit. n a : [] ; [] ; L [] ; L []. 6 cm 9 cm Le solide L est un prisme droit. Le triangle est une réduction de rapport 1 du triangle. 3 1) Quelle est la hauteur du prisme droit L? 2) alculer les longueurs et. 4,5 cm omment reconnaître des droites parallèles Voir avoir faire 2, p [] [] 12 cm 6 cm 2 cm PT 12 TÉÈ TLÈ T ÉPQU 3 cm émontrer que les droites () et () sont parallèles. 26 Les droites () et (T) sont sécantes au point. n donne : T = 6,5 cm ; = 3,5 cm ; = 4 cm ; T = 7,5 cm. Les droites () et (T) sont-elles parallèles? PT

10 PP ) Tracer un segment [] de longueur 10 cm. Placer le point sur ce segment tel que = 6 cm. Tracer le cercle () de diamètre [] et le cercle ( ) de diamètre []. Placer un point P sur le cercle () tel que P = 3,6 cm. La droite (P) recoupe le cercle ( ) au point. 2) émontrer que les droites (P) et () sont parallèles. 3) alculer la longueur. 28 Les droites () et () sont sécantes au point. Les droites () et () sont sécantes au point. Les droites () et () sont parallèles. émontrer que : =. ai reconnu deux configurations de Thalès. 29 Les droites () et () sont parallèles. n donne : = 2,7 cm ; [] = 3,6 cm ; [] = 8,4 cm. 1) alculer la longueur. 2) alculer le périmètre du quadrilatère. 3) alculer l aire du quadrilatère. 30 alcul littéral ans la figure ci-dessous, les points, et sont alignés ainsi que les points, et. Les droites () et () sont parallèles. x désigne la longueur en centimètres. 5 cm 7 cm 1) ontrer que le nombre x vérifie : 7x = 5x ) n déduire la longueur. 3 cm x cm 31 ur la figure ci-dessous : les points, et sont alignés ; les points, et sont alignés ; les points, et sont alignés ; 68 m les droites () et 32 m () sont parallèles. 1) ustifier que : 12,8 m 24 m () (). 2) alculer la longueur. 3) Le quadrilatère est-il un parallélogramme? 32 éométrie dans l espace Un verre a la forme d un cône de révolution de génératrice 13 cm. La base de ce cône a un rayon de 5 cm. n verse dans ce verre de la grenadine. Le liquide forme alors un cône de révolution de hauteur 9 cm. alculer le volume de liquide contenu dans ce verre. 9 cm 5 cm 40 m 13 cm 33 Physique himie L œil est un «appareil optique». Le cristallin joue le rôle d une lentille convergente de foyer. Les images projetées sur la rétine sont réduites et inversées. rbre au loin ristallin étine xe optique Le cristallin a un rayon de 5,5 mm. La rétine a un rayon de 0,5 mm. La profondeur de l œil est égale à 18 mm. alculer la distance focale. mage projetée

11 Problème de synthèse PT 12 onnaissances mises en œuvre : Égalité de Pythagore (évisions), Parallélogrammes particuliers (évisions), Théorème de Thalès et sa réciproque (hapitre 12), otion de fonction (hapitre 7). 34 est un triangle tel que : = 4,2 cm, = 5,6 cm et = 7 cm. n a : [] ; P P [] ; Q []. n veut connaître la position du point sur le segment [] pour que l aire du quadrilatère PQ soit maximale. Partie 1) ustifier que le triangle est rectangle. 2) n déduire la nature du quadrilatère PQ. Partie ans cette partie, on suppose que : = 2,5 cm 1) alculer les longueurs P et P. 2) alculer l aire du rectangle PQ. Partie ans cette partie, on note x la longueur en centimètres. 1) a) xpliquer pourquoi on a : 0 x 7. b) Quelle est l aire du rectangle PQ lorsque x = 0? lorsque x = 7? 2) a) xprimer en fonction de x les longueurs P et P. b) n déduire en fonction de x la longueur P. 3) a) Pour quelle valeur de x le rectangle PQ estil un carré? Q b) onstruire en vraie grandeur la figure correspondant à ce cas. 4) n note (x) l aire du rectangle PQ, exprimée en centimètres carrés. ustifier que : (x) = 3,36x 0,48x². 5) n donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction ire de PQ a) Par lecture graphique, trouver les valeurs de x pour lesquelles l aire du rectangle PQ est de 3 cm². b) Par lecture graphique, trouver la valeur de x pour laquelle l aire du rectangle PQ est maximale. Quelle est alors la position du point sur le segment []? ans ce cas, calculer la valeur exacte de l aire du rectangle PQ. x e cherche 35 1) a) Tracer un triangle rectangle en. Placer un point sur le segment []. Tracer la parallèle à la droite () passant par le point. lle coupe la droite () au point. b) émontrer que les triangles et ont la même aire. 2) eprendre la question 1) en plaçant le point tel que : a) [] et [) ; b) [] et [). 36 ur la figure ci-dessous : les points,, et sont alignés ; les points, et sont alignés ; () // () et () // () ; = 3 cm ; = 2 cm ; 2 cm = 6 cm. alculer la longueur. 6 cm 3 cm PT 12 TÉÈ TLÈ T ÉPQU 213

12 TVLL UT Pour débuter Pour se perfectionner 37 1 Le triangle formé par l accoudoir de la chaise ci-dessous est une réduction de rapport 7 du triangle formé par les pieds de cette chaise cm alculer la longueur de l accoudoir rouge Les droites () et (T) sont sécantes en. Les droites () et (T) sont parallèles. alculer les longueurs et T. 6,4 cm 5,2 cm 3,9 cm T 3,2 cm 39 Les droites () et () sont sécantes au point. 6 cm 5 cm émontrer que : () // (). 3 cm 3,6 cm 40 É 1) onstruire un triangle tel que : = 10,5 cm, = 6,3 cm et = 8,4 cm. Placer le point de la droite () tel que : [] et = 4,5 cm. La perpendiculaire à la droite () passant par le point coupe la droite () en. 2) émontrer que le triangle est rectangle. 3) alculer la longueur. 4) a) Placer les points et tels que : [], [], = 5 cm et = 4 cm. b) Les droites () et () sont-elles parallèles? olution rédigée : voir ite élève 41 Un pommier de 6,7 m de hauteur et un cerisier sont distants de 20 m. Luc se situe sur l alignement de ces deux arbres fruitiers à 30 m du pommier. À cet emplacement, ses yeux L sont à 1,6 m du sol et les sommets P et des arbres sont alignés. Les points L, et P sont alignés. alculer la hauteur du cerisier. L voir indications, page 303 evoir à la maison 42 1) onstruire un triangle tel que : = 5,4 cm, = 12 cm et = 9 cm. Placer le point tel que [] et = 2,4 cm. Placer le point tel que [] et () // (). 2) alculer les longueurs et. 43 n a : T [T] ; [] ; (T) // (). alculer la longueur. 4 m 5 m 6 m 7 m? 44 Les points,, et L sont alignés. Les points,, et U sont alignés. U 1 m 3,5 m 1,2 m 4,2 m 1,8 m 1,5 m 1) Les droites () et () sont-elles parallèles? 2) Les droites () et (UL) sont-elles parallèles? L 214

13 L PT PT 12 'ai appris à... grandir ou réduire une figure. alculer une longueur en utilisant le théorème de Thalès. econnaître deux droites parallèles en utilisant la réciproque du théorème de Thalès. 3 cm ttention : l peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes. Pour les exercices 45 à 54, on utilise les figures suivantes : 6 cm 7,5 cm igure 1 9 cm Les points,, et sont alignés. Les points,, et sont alignés. 45 ur la figure 1, le triangle est une réduction du triangle de rapport : () // () et () // () ,2 cm i échec, revoir : U 4 cm 1 cm T 5 cm igure 2 L Les points,, U et L sont alignés. Les points, T, U et sont alignés ,6 cm p ur la figure 1, on a : l = l l = l l = l p ur la figure 1, d après le théorème de Thalès, on a : 48 ur la figure 1, d après le théorème de Thalès, on a : 49 ur la figure 1, la longueur est égale à : 50 ur la figure 1, la longueur (en centimètres) est égale à : 51 ur la figure 2, les droites () et (L) 52 ur la figure 2, les droites () et (T) 53 ur la figure 2, si U = 5,75 cm, les droites (T) et (L) 54 ur la figure 2, si U = 6 cm, les droites () et (T) = = = = = = = = = = = = p. 206 p ,5 cm 9 7,5 cm 5 cm p ,5 2 4,5 sont parallèles sont parallèles sont parallèles sont parallèles ne sont pas parallèles ne sont pas parallèles ne sont pas parallèles ne sont pas parallèles 6 p sont peut-être parallèles sont peut-être parallèles sont peut-être parallèles sont peut-être parallèles p. 207 p. 210 p. 207 p. 207 p. 210 p. 207 p. 210 corrigés : voir page 309 PT 12 TÉÈ TLÈ T ÉPQU 215

14 PÉP L VT après brevet mérique du ord ur la figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur, le quadrilatère 13 cm segment [V]. V est un rectangle. Le point T est sur le V 9,6 cm T est le point d intersection des droites (T) et (). 1) ustifier que : T = 3,4 cm. 2) alculer la longueur T. 3) alculer la longueur T. 7,2 cm 56 après brevet uyane L est un triangle tel que : = 6 cm, L = 3,6 cm et L = 4,8 cm. est un point du segment [] et = 9 cm. () est le cercle de diamètre []. La droite (L) coupe le cercle () en. ( ) La figure n est pas en vraie grandeur et il n est pas demandé de la reproduire. 1) émontrer que le triangle L est rectangle. 2) ustifier que le triangle est rectangle. 3) éterminer la longueur. L 57 après brevet mérique du ord n a : () // () ; = 5 cm ; = 3,8 cm ; = 6,84 cm ; = 7,2 cm. Les trois questions d un exercice ont été effacées. l reste ci-dessous des calculs exacts effectués par un élève, en réponse à ces questions. 1) 6,84 3,8 = 3,04 2) 5 6,84 = 11,25 3,04 3) 7,2 + 6, ,25 = 25,29 n utilisant tous les calculs précédents, écrire les questions auxquelles l élève a répondu et rédiger précisément ses réponses. 58 après brevet Pondichéry Un silo à grains est formé de deux solides de révolution : un cône et un cylindre. es deux solides ont le même axe., et sont des points de l axe. Les points,, et sont alignés. Pour réaliser des travaux, deux échelles représentées par des segments [] et [] ont été posées contre le silo. n donne : = 0,80 m et = 2 m. Les deux échelles sont-elles parallèles? 1,60 m 2,40 m 59 après brevet mérique du ord Les points,, et sont alignés ainsi que les points,, et. n sait que les droites () et () sont parallèles. n donne : = 7,2 cm, = 10,8 cm, = 6 cm, = 5,1 cm, = 2,4 cm et = 2 cm. 1) alculer les longueurs et. 2) émontrer que : () // (). 60 après brevet adagascar Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile ayant la forme du triangle PW ci-contre. 1) n souhaite faire une couture suivant le segment [T]. i la droite (T) était parallèle à la droite (W), quelle serait la longueur de cette couture? P 4,20 m 3,78 m 2) Une fois la couture terminée, on mesure : PT = 1,88 m et PW = 2,30 m. La couture est-elle parallèle à la droite (W)? 3,40 m T W

15 UTL U LL PT 12 Pour ces exercices, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple eoebra (voir page ). 61 1) a) Tracer un triangle. b) Tracer les droites () et (). Placer un point (2) sur la droite (). c) Tracer la parallèle à la droite () passant par le point. ommer le point d intersection de cette parallèle avec la droite (). d) Tracer le triangle. V e) n veut afficher l aire du triangle. 2) a) fficher le tableur du logiciel. b) ompléter la cellule 1 en tapant «""». ompléter de même les lignes 1 et 3 du tableur ci-contre. c) ans la cellule 2, calculer la longueur en tapant «distance[,]», puis sur la touche du clavier. d) fficher la distance dans la cellule 4. Pour cela, dans la cellule 2, taper «aire[poly1]», puis valider en tapant sur la touche du clavier. f) fficher l aire du triangle en tapant «aire[poly2]» dans la cellule 4. 3) a) éplacer (1) le point pour que les longueurs et soient environ égales. ans le cas où =, l aire du triangle est-elle égale à l aire du triangle? b) éplacer le point pour que la longueur soit environ la moitié de la longueur. ans le cas où = 1, l aire du triangle est-elle la moitié de l aire du triangle? 2 c) éplacer le point pour que la longueur soit environ le triple de la longueur. Lorsque l on multiplie par 3 les longueurs des côtés du triangle, par quel nombre l aire du triangle semble-t-elle multipliée? 62 1) a) Tracer une droite (). b) onstruire deux points et tels que le quadrilatère soit un rectangle. ai tracé des perpendiculaires. 2) a) Tracer les segments [] et []. b) Placer un point (2) sur la droite (). c) Tracer la parallèle à la droite () passant par le point. ommer le point d intersection de cette parallèle avec la droite (). d) Tracer le triangle, puis le triangle. olorer (1) le triangle en vert et le triangle en marron. 3) a) fficher l aire du triangle et l aire du triangle. b) Que remarque-t-on concernant ces aires? c) ette conjecture reste-t-elle vraie lorsque l on déplace le point sur la droite ()? PT 12 TÉÈ TLÈ T ÉPQU 217

16 ÉUV Usain olt Usain olt est un athlète jamaïcain, triple champion olympique. est le premier coureur de l histoire à avoir établi trois records du monde dans trois disciplines différentes lors des mêmes jeux lympiques, ceux de Pékin 2008 : record du 100 m : 9 s 69 ; record du 200 m : 19 s 30 ; record du relais m : 37 s Le drapeau de la amaïque présente une «croix de aint ndré» jaune. 1) est un rectangle tel que = 10 cm et = 5 cm. eproduire la figure ci-contre, avec = 1 cm et L = 0,5 cm. 2) a) émontrer que la droite () est parallèle à la droite (). b) émontrer que les droites () et () sont parallèles. c) émontrer que les droites () et (L) sont parallèles. 3) n veut montrer que le quadrilatère P est un losange. a) ustifier que le quadrilatère P est un parallélogramme. b) émontrer que les droites (L) et () sont parallèles. n déduire que le quadrilatère L est un parallélogramme. c) ustifier que : = L. d) xpliquer pourquoi P =. e) xpliquer pourquoi = L. f) éduire des questions précédentes que le quadrilatère P est un losange. P L Le centre eaubourg Le entre national d art et de culture eorges Pompidou à Paris, appelé centre eaubourg, a ouvert ses portes en e bâtiment à l architecture emblématique du XX e siècle a été conçu par l architecte italien enzo Piano et l architecte britannique ichard ogers. es deux architectes ont voulu laisser visibles les éléments de construction (poutres métalliques, câbles ). 64 La figure ci-contre représente une partie de la façade ouest de ce bâtiment. n veut déterminer la longueur du câble []. La façade est composée de rectangles tous identiques au rectangle. n donne : = 12,8 m, = 14 m et = 3,50 m. 1) alculer la longueur, arrondie au décimètre près. 2) a) alculer une valeur approchée au décimètre près de la longueur. b) n déduire une valeur approchée au décimètre près de la longueur du câble []. 218